EQUAÇÃO DO CALOR

Engenharia Mecânica

Resumo

Trata do assunto Equação do calor, o qual descreve a distribuição da temperatura em corpos

materiais como função da posição e do tempo. Através da apresentação de um problema

proposto e solucionado utilizando a definição da mesma equação e o desenvolvimento do

Laplaciano em coordenadas cilíndricas. Descreve as funções de Bessel em primeira e segunda

espécies, as relações da mesma função, assim como o método de Frobenius, importante na

solução de equações diferenciais. Conclui com a importância e as aplicações da equação do

calor para utilização na vida prática para os alunos de engenharia mecânica.

Palavras-chave: Equação do calor, equação de Bessel, método de Frobenius .

1. Introdução

A equação do calor é um modelo matemático para a difusão de calor em sólidos. Este

modelo consiste em uma equação de derivadas parciais que muitas vezes é também

chamada de equação da difusão.

Existem diversas variações da referente equação. Na sua forma mais conhecida, ela

modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua

fontes de calor.

Ela é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na

matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na

estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano

através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão é uma versão mais geral da

equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão

química.

*Aluna de graduação do curso de Engenharia Mecânica, Universidade Federal Fluminense, 24024-000 Niterói,Brasil

2Equação do calor

O foco do presente trabalho consiste na aplicação da equação na Engenharia Mecânica,

para mostrar um estudo voltado para a área e alguns exemplos clássicos, em forma de

exercício, com as utilizações mais corriqueiras.

2. Contexto Histórico da Equação do Calor

Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas,

matemáticos debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries

trigonométricas. D’Alambert, Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática

da época e aproximaram do que é hoje conhecido como Série de Fourier.

Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a

Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor.

Seu trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o

problema. Em 1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora

mais uma vez resolveu não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus

trabalhos só ocorreu mais tarde, quando Fourier tornou-se secretário da Academia.

Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos problemas

surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos conjuntos

foram algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de

Fourier.

3. Aplicação

Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais

conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que

não possua fontes de calor, e é escrita:

A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos

campos da ciência. Na matemática, é as equações parabólicas em derivadas parciais por

3Equação do calor

antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do

movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é

uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo

de processos de difusão química. A equação do calor é usado em probabilidade e

descreve passeios aleatórios. É aplicada em matemática financeira por esta razão.

É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada

por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por

Grigori Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.

4. LAPLACIANO

4.1 LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES

Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por

∆=∇2= ∂2

∂ x2 + ∂2

∂ y2

Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar em

coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De

acordo com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar

a obtenção da solução.

As coordenadas polares são dadas por

{x=r cos (θ)y=r sen (θ)

Ou ainda

{ r=√ x2+ y2

θ=arctg( yx )

Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-se

u utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter

ux=ur r x+uθθx

4Equação do calor

Derivando-se novamente

uxx=(u¿¿ r )x rx+ur r xx+(u¿¿θ)x θx+uθ θxx ¿¿

Utilizando novamente a regra da cadeia

uxx=(u¿¿ rr r x+u rθθx)rx+ur r xx+(u¿¿θr r x+uθθ θx)θx+uθθxx ¿¿

Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz

urθ=uθr

Logo, podemos escrever uxx como

uxx=urr (r x )2+2urθr x θx+uθθ (θx )2+ur r xx+uθθxx

Analogamente se obtém uyy como

uyy=urr (r y )2+2urθ r y θ y+uθθ (θ y )2+ur r yy+uθ θyy

Segundo a definição do Laplaciano

∆ u=uxx+uyy=¿( (r x )2+ (r y )2 )urr+2 (r x θx+r y θy ) urθ+((θ y )2+(θy )2 )uθθ+(r xx+r yy )ur+(θxx+θyy ) uθ

Agora basta resolver as derivadas

1. (r x )2+ (r y )2=( x√x2+ y2 )

2

+( y√ x2+ y2 )

2

=1

2. r x θx+r y θ y=x

√ x2+ y2 ( − yx2+ y2 )+ y

√x2+ y2 ( xx2+ y2 )=0

3. (θ y )2+ (θy )2=( − yx2+ y2 )

2

+( xx2+ y2 )

2

= 1r2

4. r xx+r yy=x2+ y2

( x2+ y2 )32

=1r

5Equação do calor

5. θxx+θyy=2 xy−2 xy( x2+ y2 )2

=0

Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a

∆ u=∇2u=urr+1r

ur+1r2 uθθ

4.2. LAPLACIANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas

para as cilíndricas é dada por

{x=r cos (θ)y=r sen (θ)

z=z

Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer

transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas

cilíndricas fica como

∆ u=∇2u=urr+1r

ur+1r2 uθθ+uzz

5. Funções de Bessel

Equação diferencial de Bessel

As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial

x2 y ' '+ x y '+ ( x2−n2 ) y=0 n≥0 (1)

chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por

y=c1 J n ( x )+c2 Y n (x ) (2)

6Equação do calor

A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de

Bessel de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é

não-limitada) quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de

ordem n, ou função de Neumann.

Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação

resultante é

x2 y ' '+ x y '+ ( λ2 x2−n2 ) y=0 (3)

com solução geral

y=c1 J n ( λx )+c2Y n ( λx ) (4)

A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace

expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).

O Método de Frobenius

Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como

a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma

y= ∑k=−∞

∞

ck xk+β (5)

Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0,

que se supõe diferente de zero.

Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β

(constante) (chamada equação inicial), bem como equações que podem servir para

determinar as constantes ck.

Funções de Bessel de primeira espécie

Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como

Jn ( x )= xn

2n Г (n+1) {1− x2

2(2 n+2)+ x4

2 × 4(2 n+2)(2 n+4 )−…} (6)

7Equação do calor

Ou

Jn ( x )=∑r=0

∞ (−1)r( x2 )

n+2 r

r ! Г (n+r+1)(7)

onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6)

se torna

J0 ( x )=1− x2

22 + x4

22 42 −… (8)

A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar,

Jn(x) pode-se exprimir em termos de senos e cossenos.Pode-se definir uma função J-n(x)

n>0, substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que

J−n ( x )=(−1)n J n ( x ) (9)

Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução

geral de (1) é

y=A J n( x)+B J−n(x) n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,... (10)

Funções de Bessel de segunda espécie

Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como

Y n ( x )=¿

J n ( x ) cosnπ−J−n(x )sennπ

n ≠0,1,2,3,...

(11)

limp → n

J p ( x )cos pπ−J− p(x )sen pπ

n =0,1,2,3,...

Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):

Y n ( x )=2π {ln( x

2 )+γ}J n (x )−1π ∑

k=0

n−1 (n−k−1 )!( x2 )

2k −n

k !−

1π ∑

k=0

∞

(−1 )k {ϕ (k )+ϕ (n+k ) }( x2 )

2k−n

k ! ( n+k ) !(12)

8Equação do calor

onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.

ϕ ( p )=1+ 12+ 1

3+…+ 1

p ϕ (0 )=0 (13)

Função Geratriz de Jn(x)

A função

eπ2 (τ −1

t )= ∑n=−∞

∞

J n ( x ) tn (14)

é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. É de

grande utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n –

propriedades que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.

Fórmulas de Recorrência

Os resultados abaixo valem para todo n:

1. Jn+1 ( x )=2 nπ

Jn ( x )−J n−1 ( x )

2. J 'n ( x )=12 [J n−1 ( x )−J n+1 (x ) ]

3. x J ' n ( x )=n Jn ( x )−x J n+1 (x )

4. x J ' n ( x )=x J n−1 ( x )−n Jn ( x )

5.ddx [ xn J n ( x ) ]=xn J n−1 ( x )

6.ddx [ x−n J n(x)]=−x−n J n+1(x)

Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz.

Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.

As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo

Jn(x).

Funções relacionadas com as funções de Bessel

1. As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente,

por

9Equação do calor

H n1 ( x )=J n (x )+i Y n ( x )

(15)H n

2 ( x )=J n (x )−iY n ( x )

2. Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de

primeira espécie de ordem n como

I n ( x )=i−n Jn (ix )+e−n π i

2 Jn (ix ) (16)

Se n é inteiro,

I−n (x )=I n ( x ) (17)

mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.

A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como

K n ( x )=¿

π2 [ I−n ( x )−I n ( x )

sennπ ] n ≠0,1,2,3,...

(18)limp→n

π

2 [ I− p ( x )−I p ( x )sen pπ ] n =0,1,2,3,...

Essas funções verificam a equação diferencial

x2 y ' '+ x y '+ ( x2−n2 ) y=0 (19)

e a solução geral desta equação é

y=c1 I n ( x )+c2 K n ( x ) (20)

ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,

y=A I n ( x )+B I−n ( x ) (21)

10Equação do calor

3. Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as

partes real e imaginária de Jn(i32 x ), onde

i32=e

3 πi4 =√2

2(−1+i ) , i . e ,

(22)

Jn(i¿¿32

x)=Bern(x )+ i Bein(x )¿

As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de

e−nπi

2 Kn(i

12 x ), onde i

12=e

πi4 =√2

2(−1+i ) , i .e ,

e−nπi

2 Kn(i

12 x )=Kern(x )+ i Kein( x) (23)

Essas funções são úteis em relação à equação

x2 y ' '+ x y '+ (ix2−n2) y=0 (24)

que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta

equação é

y=c1 J n( i

32 x)+c2 Kn

(i12 x ) (25)

Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x),

Ker(x), Kei (x), respectivamente.

Equações transformáveis na equação de Bessel

A equação

x2 y ' '+(2k+1)x y '+( α2 x2r−β2 ) y=0 (26)

onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral

11Equação do calor

y=x−k [ c1 J k /r ( α xr /r )+c2Y k / r (α xr /r ) ] (27)

onde k=√k2−β2. Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como

solução

y=x−k [ c3 xk+c4 x−k ] (28)

Fórmulas assintóticas para funções de Bessel

Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:

Jn ( x ) √ 2πx

cos (x−π4−

nπ2 ) ,

(29)

Y n ( x ) √ 2πx

sen(x− π4−

nπ2 ) ,

Zeros das funções de Bessel

Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A

diferença entre raízes sucessivas tende a π na medida em que as raízes aumentam de

valor. Este fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as

raízes de Jn(x) = 0 (os zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0.

Observações análogas valem para Yn(x).

Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie

Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que

∫0

1

x J n ( λx ) J n (μx ) dx=μJ n ( λ ) J ' n ( μ )−λJn ( μ ) J ' n ( λ )

λ2−μ2 (30)

enquanto que

12Equação do calor

∫0

1

x J n2 ( λx ) dx=1

2 [J ' n2 ( λ )+(1−n2

λ2 )J n2 ( λ )] (31)

De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação

R J n (x )+Sx J 'n ( x )=0 (32)

onde R e S são constantes, então

∫0

1

x J n ( λx ) J n (μx ) dx=0 (33)

o que equivale afirmar que as funções √ x Jn ( λx )e √ x Jn ( μx ) são ortogonais em (0,1).

Notes-se como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0

ou de J’n(x)=0. Pode-se dizer também que as funções Jn ( λx )e Jn ( μx) são ortogonais em

relação à função densidade (função peso) x.

Séries de funções de Bessel de primeira espécie

Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar que se F(x) e f’(x) são

seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo

0<x<1 existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma

f ( x )=A1 Jn ( λ1 x )+A2 J n ( λ2 x )+…=∑p=1

∞

Ap Jn ( λp x ) (34)

onde λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e

Ap=2 λp

2

(λp2 −n2+

R2

S2 )J n2(λp)

∫0

1

x Jn ( λ p x ) f ( x ) dx(35)

13Equação do calor

Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para

12 [ f ( x+0 )+ f (x−0)], expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de

(34).

Se S = 0, de modo que λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes de Jn(x) = 0,

Ap=2

Jn+12 (λp)

∫0

1

x J n ( λ p x ) f ( x ) dx (36)

Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante

A1=2∫0

1

x f ( x )dx (37)

Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.

Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie

Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser

estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.

7. Problema PropostoSeja um cilindro oco muito longo, de raio interno a e raio externo b,é feito com material

condutor com difusividade α . Se as superfícies interior e exterior são mantidas à

14Equação do calor

temperatura de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é f (r ) (sendo r o raio).

Determine a temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário t .

A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever a

temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função

u(r , θ , z ; t )

Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do calor,

o que se almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo

entre os raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto a≤ r ≤b.

Solução

Denotemos por f (r ) a função que determina a temperatura inicial de um ponto qualquer

no instante inicial t=0 dentro de a ≤ r ≤b. Pela simetria do problema, observa-se que a

temperatura jamais varia com as variáveis z ou θ.

Utilizando a equação do Calor

∇2u−α ∂ u∂t

=0

Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias

u=u (r ,t )

15Equação do calor

∂u∂ t

=α (1r

∂∂ r (r ∂u

∂ r )) (1 )

Onde as condições de contorno são

u (a , t )=0 °C

u (b , t )=100℃

u (r ,0 )=f (r )

|u (r , t )|< M

Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante arbitrário

pode ser escrita como uma combinação de

u (r , t )=u0 (r ,t )+u100(r )

Onde u0 (r , t ) é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do

cilindro são 0 C, e u100 (r ) é a solução particular em que a temperatura do raio externo é

100 C e independe do tempo t.

Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para u0 (r , t ) homogênea associada.

Pela separação de variáveis

Façamos u=R (r )T (t )=RT , em (1)

∂ RT∂t

=α ( ∂2 RT∂r 2 +1

r∂ RT∂ r )

R T '=α(T R' '+ 1r

T R' )(÷ αRT )

T }} over {αT} = {{R} ^ {''}} over {R} + {1} over {r} {{R} ^ {'}} over {R} =- {λ} ^ {2 ¿¿

Então

T '

αT=−λ2⇒T '+α λ2 T=0 (2 )

16Equação do calor

R ' '

R+ 1

rR'

R=−λ2

R' '+ R'

r+R λ2=0 (3 )

Que resultam em

T=c1 e−αt λ2

, R=A1 J 0 ( λr )+B1Y 0 ( λr )

Como u=RT ,temos

u (r , t )=∑λ

e−αt λ2

[a1 J 0 ( λr )+b1 Y 0 ( λr ) ] ( 4 )

Aplicando-se as condições de contorno para u0 (r , t ) em que u (a , t )=0eu (b , t )=0, obtem-se

a1J 0 ( λa )+b1 Y 0 ( λa )=0 ,a1 J0 ( λb )+b1Y 0 ( λb )=0 (5 )

Estas equações nos levam à

Y 0 ( λa ) J 0 ( λb )−J0 ( λa ) Y 0 ( λb )=0 (6 )

De (5) b1=−a1 J 0 ( λa )

Y 0 ( λa )

Deste modo, a eq.(4) pode ser escrita como:

u (r , t )=∑λ

C e−αt λ 2

[Y 0 ( λa ) J 0 ( λr )−J0 ( λa ) Y 0 ( λr ) ]

λ=λm

u (r , t )=∑m=1

∞

Cm e−α tλm2

u0 ( λm r ) (7 )

e

u0 ( λmr )=Y 0 ( λm a ) J 0 ( λm r )−J 0 ( λm a ) Y 0 ( λm r )

Do fato, de que u (r ,0 )=f (r ) e utilizando a eq. (7):

f (r )=∑m=1

∞

Cmu0 ( λm r )

17Equação do calor

Cm=∫

a

b

rf (r ) u0 ( λm r ) dr

∫a

b

r [ u0 ( λm r ) ]2 dr

Logo, a solução é

u (r , t )=∑m=1

∞ (∫ab

rf (r ) u0 ( λm r ) dr

∫a

b

r [u0 ( λm r ) ]2dr )e−α tλm2

u0 ( λmr )

Quanto à solução particular u100 (r ), tem-se a equação

0=α (1r

∂∂ r (r ∂u

∂ r ))Temperatura estacionaria. Portanto esta equação pode ser considerada ordinária pois as

derivadas são apenas com respeito a r. Com isso

ddr (r du

dr )=0

r dudr

=c1

∫ du=∫c1drr

u=c1 ln (|r|)+K=¿

Como r ≥ 0, tem-se como solução

u100 (r )=c1 ln (c2r )

Aplicando-se as condições de contorno para u100 (r ) em que u (a )=0 °C e u (b )=100° C

u100 ( a )=0=c1 ln (c2a )

Ou que

c2 a=1∴ c2=1a

E a segunda condição

18Equação do calor

u100 (b )=100=c1 ln( ba )

Portanto

c1=100

ln( ba )

Com as constantes determinadas, pode-se escrever

u100 (r )= 100

ln( ba )

ln( ra )

Para escrever a solução final basta lembrar que

u (r , t )=u0 (r ,t )+u100 (r )

Ou seja, a solução final do problema proposto é

u (r , t )= 100

ln( ba )

ln( ra )+∑

m=1

∞ (∫ab

rf (r ) u0 ( λm r ) dr

∫a

b

r [u0 ( λm r ) ]2 dr )e−α tλm2

u0 ( λm r )

É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco

com raios a interno e b externo as temperaturas 0º C e 100 º C, respectivamente, para

qualquer instante de tempo t ≥ 0. O caráter exponencial do tempo na solução homogênea

garante que a distribuição tende a estacionaria conforme o tempo flui. Ou seja

limt → ∞

u (r , t )=¿u100 (r )¿

Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando

dessa forma a irreversibilidade desse processo.

19Equação do calor

Distribuição estacionaria de temperatura em cilindro oco como o descrito no

problema. A figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica.

OBS: o gráfico foi traçado com raios interno a=2 e externo b=5 e o eixo z significa

u100 (r ).

7. Conclusão

Os assuntos da equação do calor abordados no trabalho permitem concluir a sua

importância para o estudo da engenharia no cálculo de transferência de calor. Enfim,

permitem o advento de tecnologias aplicadas em diversas áreas do conhecimento ao

proporcionar uma melhor compreensão da equação já descrita.

8. Agradecimentos

A Deus, ao professor Altair por compartilhar seu grande conhecimento na área

tecnológica com seus alunos e aos colegas que ajudaram na elaboração do trabalho.

9. Referências

1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda, 1976

20Equação do calor

2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.

3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.

4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.

5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010