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SEMELHANÇA DE FIGURAS
Conceitos
aplicações
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Semelhanças de figuras - conceitos
Figuras semelhantes, têm ângulos iguais e lados proporcionais.
Semelhanças de figuras - conceitos
Figuras semelhantes, têm ângulos iguais e lados proporcionais.
Semelhanças de figuras - conceitos
Figuras semelhantes, têm a mesma forma .
Semelhanças de figuras - conceitos
A semelhança de triângulos já era conhecida no tempo do grande matemático Tales de Mileto ( 600 a.C.), ao qual foi pedido que calculasse a altura da pirâmide de Quéope.
Semelhanças de figuras - conceitos
EM POLÍGONOS SEMELHANTES :
Os segmentos de recta são transformados em segmentos de recta de comprimentos proporcionais.
Os ângulos são transformados em ângulos iguais.
Semelhanças de figuras - conceitos
CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1 – Dois triângulos são semelhantes se de um para o outro, tiverem 2 ângulos iguais. (7ºano)
2 – Dois triângulos são semelhantes se de um para o outro tiverem, 1 ângulo igual e os lados que o formam proporcionais. (8º ano)
3 – Dois triângulos são semelhantes se de um para o outro tiverem, os três lados proporcionais. (8ºano)
Semelhanças de figuras - conceitos
ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SEMELHANÇAS DE TRIÂNGULOS
1) Descobrir os ângulos iguais entre triângulos, justificando.
2) Aplicando os critérios estabelecer a semelhança de triângulos.
3) Definir qual dos triângulo é original e qual é transformado.
5) Substituir na proporção os dados do problema e resolver.
4) Estabelecer as razões entre os comprimentos dos lados dos dois triângulos, ficando os lados do original nos consequentes.
Semelhanças de figuras - CONCEITOS
C
B
E
D
Considere os triângulos [ABC] e [EBD] AC || DE [ABC] é semelhante a [EBD], visto :
ABC ser comum aos dois triângulos, logo igual;
DEB = ACB, ângulos de lados paralelos e agudos, logo iguais, dizem-se correspondentes num sistema de rectas paralelas intersectadas por uma recta secante.
[ABC] e [EBD] têm de um para o outro dois ângulos iguais, logo são semelhantes.
A
Semelhanças de figuras - CONCEITOS
A
C
B
E
D
Os triângulos [ABC] e [EBD] sendo semelhantes, verificam as seguintes proporções :
Os lados do triângulo [EBD] (transformado), formam os antecedentes.
Os lados do triângulo [ABC] (original), formam os consequentes.
A ângulos iguais opõem-se lados proporcionais.
Ao maior ângulo opõe-se o maior lado e vice-versa.
rBCEB
ABBD
ACED
, razão de semelhança
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
A
C
B
E
D
Os triângulos [ABC] e [EBD] sendo semelhantes, verificam as seguintes proporções :
rBCEB
ABBD
ACED
, razão de semelhança
Dados: ED= 5m;
AC=12m;
EB= 4m.
a) Calcular BC.
5m 4m
12m = 9,6m
b) Calcular r .
r =5/12 ( redução )
BC. BC
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
AC
B
E
D
Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes, pois de um para o outro têm 2 ângulos iguais.
Dados: BD=28cm;
BC=25cm;
CD= 3cm
EC= 5cm.
a) Calcular AC.
5cm 3cm = 15cm
b) Calcular r .
r =1/5 (redução)
25cm ACAC
112
2
O s ângulos numerados com 1 são verticalmente opostos, logo iguais.
O s ângulos numerados com 2 são ambos rectos.
rABED
ACCD
BCEC
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
mm
ACm
rBCEB
ABBD
ACED
3,79,25,1
A B
C
D
E
BAC BDE = 90º
ABC é comum, logo igual.
Os triângulos [ABC] e [EBD]
são semelhantes, por terem
2 ângulos iguais.
ED= 1,5m
AB= 7,3m
BD= 2,9m
AC= ?m
mm
ACm
rBCEB
ABBD
ACED
3,79,25,1
AC= 3,78m
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
B D
E
BAC = CDE = 90º
ABC = DCE, ângulo de inclinação do sol.
Os triângulos [ABC] e [CDE]
são semelhantes, por terem
2 ângulos iguais.
ED= DC
AB= ACA
C
F C
Tales calculou a altura da pirâmide de Quéope, somando AF com FB, quando a sombra DC
tinha a altura da vara ED.
ED DC
AC ABMetade do lado
Comprimento da sombra FB
Semelhanças de figuras - conclusões
1) Todos os polígonos regulares da mesma espécie são semelhantes.
2) Todas as circunferências e círculos são semelhantes, na mesma espécie.
3) Todas as esferas e cubos são semelhantes, dentro da mesma espécie.
6) As razões entre perímetros de polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança.
4) As razões entre volumes de cubos é igual ao cubo da razão de semelhança.
5) As razões entre áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.
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