semanal omec 2015ene12 (soluciones) · pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma...
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LISTA SEMANAL Soluciones
Fecha: 2015/Ene/12 Nivel 1 Un rectángulo ABCD está dividido en cuatro rectángulos menores. Las áreas de tres de ellos se encuentran en la figura mostrada. ¿Cuál es el área del cuarto? Solución: Veamos que las bases de los rectángulos de área 12 y 16 miden lo mismo, así mismo se tiene que las alturas de los rectángulos de área 12 y 27 son iguales. Sean a , b las bases de los rectángulos con área 12, 27 respectivamente, y sean x , y las alturas de los rectángulos con área 12 y 16 respectivamente. Se tiene que ax = 12 , ay = 16 , bx = 27 , vemos que bastaría con encontrar by , para esto veamos que ay ibx = 16 i 27 entonces
ay ibxax
= 16 i 2712
Simplificando se obtiene by = 36 Nivel 2 Un número natural 𝑛 es escogido estrictamente entre dos cuadrados perfectos consecutivos. El menor de los dos cuadrados es obtenido al restarle 𝑘 a 𝑛 y el mayor al sumarle 𝑙 a 𝑛. Probar que 𝑛 – 𝑘𝑙 es un cuadrado perfecto. Solución: Sea 𝑛 − 𝑘 = 𝑚! y 𝑛 + 𝑙 = 𝑚 + 1 ! entonces 𝑚 + 1 ! −𝑚! = 𝑘 + 𝑙 , esto implica que 2𝑚 + 1 = 𝑘 + 𝑙 o que 𝑙 − 1 = 2𝑚 − 𝑘 Ahora 𝑛 − 𝑘𝑙 puede escribirse como 𝑛 − 𝑘 − 𝑙 − 1 𝑘 Substituyendo 𝑙 − 1 tenemos que 𝑛 − 𝑘 − 𝑙 − 1 𝑘 = 𝑛 − 𝑘 − (2𝑚𝑘 − 𝑘!) Entonces 𝑛 − 𝑘𝑙 = 𝑛 − 𝑘 − 2𝑚𝑘 + 𝑘! = 𝑚! − 2𝑚𝑘 + 𝑘! = (𝑚 − 𝑘)! con lo que se puede concluir que es un cuadrado perfecto.
Sociedade Brasileira de Matemática
EUREKA! N°7, 2000
8
09. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas detrês deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?
16
12 27
A
B C
D
A) 80 B) 84 C) 86 D) 88 E) 91
10. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% sãovermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhumvermelho. Depois que a doença foi controlada verificou-se que no aquário, 75%dos peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixesamarelos morreram?A) 15% B) 37% C) 50% D) 67% E) 84%
11. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairrodiferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagouR$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinhaPedro ao sair de casa?A) R$ 220,00 B) R$ 204,00 C) R$ 196,00 D) R$ 188,00 E) R$ 180,00
12. Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que 1999
++
xx seja um
número inteiro?A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 40
13. A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação( ) ( ) 021452 22 =−−− xx é:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14. Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonosregulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dospentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser costurados.Cada costura une dois lados de duas dessas peças.Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma bola de futebol?A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180
Sociedade Brasileira de Matemática
EUREKA! N°7, 2000
8
09. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas detrês deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?
16
12 27
A
B C
D
A) 80 B) 84 C) 86 D) 88 E) 91
10. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% sãovermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhumvermelho. Depois que a doença foi controlada verificou-se que no aquário, 75%dos peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixesamarelos morreram?A) 15% B) 37% C) 50% D) 67% E) 84%
11. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairrodiferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagouR$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinhaPedro ao sair de casa?A) R$ 220,00 B) R$ 204,00 C) R$ 196,00 D) R$ 188,00 E) R$ 180,00
12. Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que 1999
++
xx seja um
número inteiro?A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 40
13. A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação( ) ( ) 021452 22 =−−− xx é:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14. Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonosregulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dospentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser costurados.Cada costura une dois lados de duas dessas peças.Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma bola de futebol?A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180
a b x
y
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Nivel 3
Hallar todos los enteros positivos n para los cuales 1+ n
1⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
3⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ divide a 22015 .
Solución: Lo que nos pide el problema es hallar todos los enteros positivos n para los cuales
1+ n
1⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
3⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= 2k , para algún k ≤ 2015 .
Claramente n ≥ 3 para que la expresión 1+ n
1⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
3⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ tenga sentido.
Mediante simples manipulaciones algebraicas se deduce que
1+ n
1⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n
3⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=
n+1( ) n2 − n+ 6( )6
, por lo que el problema se reduce a hallar todos
los n ≥ 3 para los cuales
n+1( ) n2 − n+ 6( ) = 2k+1 ⋅3 para algún k ≤ 2015 .
Por otro lado, se tiene que
mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = mcd n2 − n+ 6− n+1( ) n− 2( ) , n+1( ) = mcd 8 , n+1( )
por lo que el máximo común divisor entre estos dos factores puede ser 1,2,4,8 .
Además, obsérvese que n2 − n+ 6 es siempre par y para n ≥ 3 se tiene que n2 − n+ 6 ≥12 . De aquí en adelante es un simple análisis por casos:
(i) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 1
Se tienen dos casos, ambos no válidos: (a) n+1= 1 ⇒ n = 0 < 3 . (b) n+1= 3 ⇒ n = 2 < 3 .
(ii) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 2
Se tienen dos casos, ambos no válidos: (a) n+1= 2 ⇒ n = 1< 3 .
(b) n+1= 6 ⇒ n = 5 , por lo tanto n2 − n+ 6 = 26 = 2 ⋅13 , lo cual es absurdo, ya que el
producto
n+1( ) n2 − n+ 6( ) no sería entonces de la forma 2k+1 ⋅3 .
(iii) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 4
Se tienen tres casos: (a) n+1= 4 ⇒ n = 3 , por lo tanto n2 − n+ 6 = 12 = 22 ⋅3 , con lo cual
n+1( ) n2 − n+ 6( ) = 24 ⋅3 que claramente satisface las condiciones del problema.
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(b) n+1= 12 ⇒ n = 11 , por lo tanto n2 − n+ 6 = 116 = 22 ⋅29 , lo cual es absurdo, ya que
el producto
n+1( ) n2 − n+ 6( ) no sería entonces de la forma 2k+1 ⋅3 .
(c) n2 − n+ 6 = 12 ⇒ n = 3 , la cual ya fue considerada en el sub-‐caso (a) de este caso.
(iv) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 8
Se tienen tres casos: (a) n+1= 8 ⇒ n = 7 , por lo tanto n2 − n+ 6 = 48 = 24 ⋅3 , con lo cual
n+1( ) n2 − n+ 6( ) = 27 ⋅3 que claramente satisface las condiciones del problema.
(b) n+1= 24 ⇒ n = 23 , por lo tanto n2 − n+ 6 = 512 = 29 , con lo cual ( )( )2 121 6 2 3n n n+ − + = ⋅ que claramente satisface las condiciones del problema.
(c) n2 − n+ 6 = 24 , la cual no tiene soluciones enteras. Por lo tanto, las únicas soluciones son n = 3,7,23 . Nivel U Sean S1 y S2 dos esferas en el espacio, con centros O1 y O2 y radios 1 y x respectivamente. O1 se encuentra sobre la superficie de S2 . Sea f x( ) el área de la superficie de S2 que se encuentra dentro de S1 . Hallar una fórmula explícita para f x( ) . Solución: Existen dos diferentes casos para este problema.
Caso 1: Si x ≤ 12 la esfera S2 está ubicada completamente dentro de la esfera S1 . Por lo tanto
f x( ) = 4π x2 es el área de la superficie de la esfera de radio x .
Caso 2: Si x > 12 se calcula que la altura del casquete es 1
2x y el radio del círculo de la
intersección de las dos esferas es 1− 14x2
.
Usando la fórmula
2π y 1+ dydx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2dx
a
b
∫
para el área de la superficie de un sólido de revolución, se puede encontrar el área deseada
que es igual a π y no depende de x si x > 12.
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