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LISTA  SEMANAL  Soluciones  

 Fecha:  2015/Ene/12    Nivel  1  Un   rectángulo   ABCD  está   dividido   en   cuatro   rectángulos   menores.  Las  áreas  de  tres  de  ellos  se  encuentran  en   la   figura  mostrada.  ¿Cuál  es  el  área  del  cuarto?          Solución:  Veamos  que   las  bases  de   los  rectángulos  de  área  12  y  16  miden   lo  mismo,  así  mismo  se  tiene  que  las  alturas  de  los  rectángulos  de  área  12  y  27  son  iguales.  Sean   a ,  b  las  bases  de  los  rectángulos  con  área  12,   27   respectivamente,   y   sean   x ,   y  las   alturas   de   los   rectángulos  con  área  12  y  16  respectivamente.    Se   tiene   que   ax = 12 ,   ay = 16 ,   bx = 27 ,   vemos   que   bastaría   con  encontrar  by ,  para  esto  veamos  que   ay ibx = 16 i 27  entonces  

 

ay ibxax

= 16 i 2712

 

Simplificando  se  obtiene     by = 36      Nivel  2  Un  número  natural  𝑛  es  escogido  estrictamente  entre  dos  cuadrados  perfectos  consecutivos.  El  menor  de  los  dos  cuadrados  es  obtenido  al  restarle  𝑘  a  𝑛  y  el  mayor  al  sumarle  𝑙  a  𝑛.  Probar  que  𝑛  – 𝑘𝑙  es  un  cuadrado  perfecto.    Solución:  Sea   𝑛 − 𝑘 = 𝑚!  y   𝑛 + 𝑙 = 𝑚 + 1 !  entonces   𝑚 + 1 ! −𝑚! = 𝑘 + 𝑙 ,   esto   implica   que  2𝑚 + 1 = 𝑘 + 𝑙  o  que  𝑙 − 1 = 2𝑚 − 𝑘    Ahora  𝑛 − 𝑘𝑙  puede  escribirse  como  𝑛 − 𝑘 − 𝑙 − 1 𝑘  Substituyendo  𝑙 − 1  tenemos  que  𝑛 − 𝑘 − 𝑙 − 1 𝑘 = 𝑛 − 𝑘 − (2𝑚𝑘 − 𝑘!)  Entonces  𝑛 − 𝑘𝑙 = 𝑛 − 𝑘 − 2𝑚𝑘 + 𝑘! = 𝑚! − 2𝑚𝑘 + 𝑘! = (𝑚 − 𝑘)!  con   lo   que   se   puede  concluir  que  es  un  cuadrado  perfecto.    

Sociedade Brasileira de Matemática

EUREKA! N°7, 2000

8

09. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas detrês deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?

16

12 27

A

B C

D

A) 80 B) 84 C) 86 D) 88 E) 91

10. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% sãovermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhumvermelho. Depois que a doença foi controlada verificou-se que no aquário, 75%dos peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixesamarelos morreram?A) 15% B) 37% C) 50% D) 67% E) 84%

11. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairrodiferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagouR$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinhaPedro ao sair de casa?A) R$ 220,00 B) R$ 204,00 C) R$ 196,00 D) R$ 188,00 E) R$ 180,00

12. Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que 1999

++

xx seja um

número inteiro?A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 40

13. A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação( ) ( ) 021452 22 =−−− xx é:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonosregulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dospentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser costurados.Cada costura une dois lados de duas dessas peças.Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma bola de futebol?A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180

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EUREKA! N°7, 2000

8

09. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas detrês deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?

16

12 27

A

B C

D

A) 80 B) 84 C) 86 D) 88 E) 91

10. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% sãovermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhumvermelho. Depois que a doença foi controlada verificou-se que no aquário, 75%dos peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixesamarelos morreram?A) 15% B) 37% C) 50% D) 67% E) 84%

11. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairrodiferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagouR$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinhaPedro ao sair de casa?A) R$ 220,00 B) R$ 204,00 C) R$ 196,00 D) R$ 188,00 E) R$ 180,00

12. Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que 1999

++

xx seja um

número inteiro?A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 40

13. A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da equação( ) ( ) 021452 22 =−−− xx é:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. 12 delas são pentágonosregulares e as outras 20 são hexágonos também regulares. Os lados dospentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser costurados.Cada costura une dois lados de duas dessas peças.Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma bola de futebol?A) 60 B) 64 C) 90 D) 120 E) 180

a   b  x  

y  

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Nivel  3  

Hallar  todos  los  enteros  positivos   n  para  los  cuales   1+ n

1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟  divide  a   22015 .  

 Solución:  Lo   que   nos   pide   el   problema   es   hallar   todos   los   enteros   positivos   n  para   los   cuales  

1+ n

1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 2k ,  para  algún   k ≤ 2015 .    

Claramente   n ≥ 3  para  que  la  expresión   1+ n

1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟  tenga  sentido.  

Mediante   simples   manipulaciones   algebraicas   se   deduce   que  

1+ n

1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ n

3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

n+1( ) n2 − n+ 6( )6

,  por  lo  que  el  problema  se  reduce  a  hallar  todos  

los   n ≥ 3  para  los  cuales  

n+1( ) n2 − n+ 6( ) = 2k+1 ⋅3  para  algún   k ≤ 2015 .  

 Por  otro  lado,  se  tiene  que  

mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = mcd n2 − n+ 6− n+1( ) n− 2( ) , n+1( ) = mcd 8 , n+1( )  

por  lo  que  el  máximo  común  divisor  entre  estos  dos  factores  puede  ser   1,2,4,8 .    

Además,  obsérvese  que   n2 − n+ 6  es  siempre  par  y  para   n ≥ 3  se  tiene  que   n2 − n+ 6 ≥12 .    De  aquí  en  adelante  es  un  simple  análisis  por  casos:  

(i) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 1  

Se  tienen  dos  casos,  ambos  no  válidos:     (a) n+1= 1 ⇒ n = 0 < 3 .     (b) n+1= 3 ⇒ n = 2 < 3 .  

(ii) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 2  

Se  tienen  dos  casos,  ambos  no  válidos:     (a) n+1= 2 ⇒ n = 1< 3 .  

  (b) n+1= 6 ⇒ n = 5 ,   por   lo   tanto   n2 − n+ 6 = 26 = 2 ⋅13 ,   lo   cual   es   absurdo,   ya   que   el  

producto  

n+1( ) n2 − n+ 6( )  no  sería  entonces  de  la  forma   2k+1 ⋅3 .  

(iii) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 4  

Se  tienen  tres  casos:     (a) n+1= 4 ⇒ n = 3 ,   por   lo   tanto   n2 − n+ 6 = 12 = 22 ⋅3 ,   con   lo   cual  

n+1( ) n2 − n+ 6( ) = 24 ⋅3  que  claramente  satisface  las  condiciones  del  problema.  

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  (b) n+1= 12 ⇒ n = 11 ,  por  lo  tanto   n2 − n+ 6 = 116 = 22 ⋅29 ,  lo  cual  es  absurdo,  ya  que  

el  producto  

n+1( ) n2 − n+ 6( )  no  sería  entonces  de  la  forma   2k+1 ⋅3 .  

  (c) n2 − n+ 6 = 12 ⇒ n = 3 ,  la  cual  ya  fue  considerada  en  el  sub-­‐caso  (a)  de  este  caso.  

(iv) mcd n2 − n+ 6 , n+1( ) = 8  

Se  tienen  tres  casos:     (a) n+1= 8 ⇒ n = 7 ,   por   lo   tanto   n2 − n+ 6 = 48 = 24 ⋅3 ,   con   lo   cual  

n+1( ) n2 − n+ 6( ) = 27 ⋅3  que  claramente  satisface  las  condiciones  del  problema.  

  (b) n+1= 24 ⇒ n = 23 ,   por   lo   tanto   n2 − n+ 6 = 512 = 29 ,   con   lo   cual  ( )( )2 121 6 2 3n n n+ − + = ⋅  que  claramente  satisface  las  condiciones  del  problema.  

  (c) n2 − n+ 6 = 24 ,  la  cual  no  tiene  soluciones  enteras.  Por  lo  tanto,  las  únicas  soluciones  son   n = 3,7,23 .      Nivel  U  Sean   S1  y  S2  dos  esferas  en  el  espacio,   con  centros  O1  y  O2  y   radios  1  y   x  respectivamente.  O1  se   encuentra   sobre   la   superficie   de  S2 .   Sea   f x( )  el   área   de   la   superficie   de  S2  que   se  encuentra  dentro  de   S1 .  Hallar  una  fórmula  explícita  para   f x( ) .    Solución:  Existen  dos  diferentes  casos  para  este  problema.    

Caso  1:  Si   x ≤ 12  la  esfera  S2  está  ubicada  completamente  dentro  de  la  esfera  S1 .  Por  lo  tanto  

f x( ) = 4π x2  es  el  área  de  la  superficie  de  la  esfera  de  radio   x .    

Caso   2:   Si   x > 12  se   calcula   que   la   altura   del   casquete   es   1

2x  y   el   radio   del   círculo   de   la  

intersección  de  las  dos  esferas  es   1− 14x2

.  

Usando  la  fórmula  

2π y 1+ dydx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2dx

a

b

∫  

para  el  área  de   la  superficie  de  un  sólido  de  revolución,  se  puede  encontrar  el  área  deseada  

que  es  igual  a  π  y  no  depende  de   x  si   x > 12.