s = log 10 - páginas pessoais -...
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20. Estima-se que 1350 m2 de terra sejam necessários para fornecer alimento para
uma pessoa. Admite-se, também, que há 30 x 1350 bilhões de m2 de terra arável no
mundo e que, portanto, uma população máxima de 30 bilhões de pessoas pode ser
sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial,
no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a
população continua a crescer, a uma taxa de 2% ao ano, e usando as aproximações
ln 1,02 = 0,02; ln 2 = 0,70 e ln 3 = 1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987,
a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada.
Resposta: 90 Fazendo 5 bilhões = 5 e 30 bilhões = 30 f(x) = 5.(1,02)x 30 = 5.(1,02)x 6 = 1,02x ln 6 = ln 1,02x ln (2.3) = x.ln 1,02 ln 2 + ln 3 = x.ln 1,02 0,70 + 1,10 = x.0,02 x = 1,80/0,02 = 90 anos
21. Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função
RRf →+*: determine a imagem de x = 1024" e f(x) = log2 64x3. Qual não foi sua
surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a
imagem era:
a) 30
b) 32
c) 33
d) 35
e) 36
Resposta: E f(x) = log2 64x3 f(1024) = log2 64(1024)3 f(1024) = log2 2
6(210)3 f(1024) = log2 2
6.230 f(1024) = log2 2
36 f(1024) = 36.log2 2 = 36.1 = 36
22. Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é:
2
a) -3
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
Resposta: C S = log 0,001 + log 100 S = log 10-3 + log 102 S = -3.log 10 + 2.log 10 S = - 3 + 2 = - 1
23. Observe a figura.
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = logn x.
O valor de f(128) é:
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 7
Resposta: C f(x) = logn x 2 = logn 16 n2 = 16 n = 4 f(x) = log4 x f(128) = log4 128 = y 4y = 128 22y = 27 2y = 7 y = 7/2
3
24. Se log3 n = 6, então )(32 3 nn + é igual a:
a) 36
b) 45
c) 54
d) 81
Resposta: D log3 n = 6 n = 36
812754
9.327.2
3.33.2
3.332
)(32
23
3 66
3
=+=+=+
=+
=+ nn
25. Se log (2x - 5) = 0, então x vale:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 7/3.
e) 5/2.
Resposta: C log (2x - 5) = 0 2x – 5 = 100 2x - 5 = 1 2x = 6 x = 3
26. Em que base o logaritmo de um número natural n, n>1, coincide com o próprio
número n?
a) nn.
b) 1/n.
c) n2.
d) n.
4
e) n n .
Resposta: E
n
n
x
nx
nx
nn
=
=
=log
27. Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
Resposta: B logb a = x bx = a x é o número ao qual se eleva b para se obter a.
28. Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de
um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para
os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco
ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais?
(Obs.: use as aproximações ln 1000 = 6,907, ln 1,2 = 0,182.)
Resposta: 38 1 bilhão = 109 1 trilhão = 1012 f(x) = 109.(1,20)x 1012 = 109.(1,20)x 103 = 1,20x ln 103 = ln 1,20x ln 1000 = x.ln 1,2 6,907 = x.0,182 x = 6,907/0,182 = 37,9 = 38 anos
29. Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas
favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao
ano.
5
Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos.
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões
de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano.
b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em
anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x.
Resposta: f(s) = p0.(1,02)s f(f) = p0.(1,15)f a) s + f = 12,1 10f + f = 12,1 11f = 12,1 f = 1,1 milhões f(1) = 1,1.(1,15)1 f(1) = 1.265.000 b) 10.p0.1,02t = p0.1,15t 10 = 1,15t/1,02t 10 = (115/102)t log 10 = t.log(115/102) 1 = t.log(115/102) t = 1/[log115/102)]
102
115102
115loglog
log
1
102
115log
1
log
1
=
=
=
=
x
x
x
xt
30. Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e,
desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições,
em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996?
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
a) 1998
b) 1999
c) 2000
6
d) 2001
e) 2002
Resposta: E f(x) = 6.000.(1,20)x 18.000 = 6.000.1,2x 3 = 1,2x log 3 = log 1,2x 0,48 = x.log 1,2 0,48 = x. (log12 – log 10) 0,48 = x(log 22.3 – 1) 0,48 = x(2.log 2 + log 3 – 1) 0,48 = x(2.0,30 + 0,48 – 1) 0,48 = x.0,08 x = 0,48/0,08 x = 6 anos 1196 + 6 = 2002
31. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:
a) sen x
b) 2 sen (x/2)
c) 2 sen x
d) 2 sen 2x
e) sen 2x
Sendo y = a + b.sen (m.x + n); a = 0 b = 2 P = 2π/m ⇒ 4π = 2π/m⇒ m = ½ n = 0, logo a função é y = 2.sen x/2
7
32. Observe o gráfico.
Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é
a) -2 cos (3x).
b) -2 sen (3x).
c) 2 cos (3x).
d) 3 sen (2x).
e) 3 cos (2x).
3
2
3
2
2
=
=
=
mm
mP
ππ
π
A função apresentada é uma senóide com imagem entre -2 e 2 e como está invertida em relação à função original deve ser multiplicada por (-2). f(x) = -2.sen(3x)
33. Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2 sen x, a seguir.
8
Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo
a) [-2, 1]
b) [-2, 2]
c) [-1, 2]
d) [-1, 3]
e) [-1, 4]
y = 1 + 2 sen x P/ -1: y = 1 + 2(-1) = -1 P/ +1: y = 1 + 2(1) = 3 Im = [-1, 3]
34. Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de R em R, definida por f(x) =
k.sen(mx), em que k e m são reais, e cujo período é 8π/3.
Qual o valor de f(π/3)?
4
3
8
6
68
2
3
8
2
==
=
=
=
m
mm
mP
ππ
ππ
π
k = 2
9
22
2.2
4.2
43
.3.2
3
4
3.2)(
==
=
=
=
ππ
πsensenf
xsenxf
35. (UFAL) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em
radianos é igual a
a) (π/4) - 17
b) (64/15) π
c) (64/45) π
d) (16/25) π
e) (32/45) π
Resposta: E 180o π 128o x 180o x = 128o π x = 128o π/180o x = 32π/45 rad.
36. Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida
mais próxima de 1 radiano é
Resposta: B 180o π
10
xo 1 180o = x.π x = 180o/π x = 180o/3,14 x = 57,3º
37. Dos números a seguir, o mais próximo de sen 5 é
a) 1
b) 1/2
c) 0
d) -1/2
e) -1
Resposta: E 180o π xo 5 5.180o = x.π x = 900o/π x = 900o/3,14 x = 286,6º Dentro os números dados o 286,6º está mais próximo de 270º, cujo seno vale -1. 38. Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm,
como mostra a figura.
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1
radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é:
a) π - 1.
b) π + 1.
c) 2π - 1.
d) 2π.
11
e) 2π + 1.
Resposta: E C = circunferência – arco + r + r C = 2πR – 1 + 1 + 1 C = 2π + 1
39. O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles
a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores,
teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e
também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa
situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria
semelhante a este:
O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t),
em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas
sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então
a) b = (5π)/31
b) a + b = 13,9
c) a - b = π/1,5
d) a . b = 0,12
e) b = (4π)/3
Resposta: A
31
5
124
10.2
10
1242
4,12
2
24,12
2
ππππ
π
π
====
=
=
m
m
mP
12
40. No processo de respiração do ser humano, o fluxo de ar através da traquéia,
durante a inspiração ou expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em
cada instante t, por F(t) = M sen wt. A pressão interpleural (pressão existente na
caixa torácica), também durante o processo de respiração, pode ser modelada pela
função P, definida, em cada instante t, por P(t) = L - F(t + a). As constantes a, L, M e
w são reais, positivas e dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo.
(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M. Cálculo para Ciências
Médicas e Biológicas, ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)
Um possível gráfico de P, em função de t, é:
Resposta: D A função P(t) = L - F(t + a) fica sendo: P(t) = L - M sen w(t + a), que é uma senóide.
41. Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número
de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o
número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica f(x) = 900 - 800
sen [(x.π)/12], onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um
inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 24).
Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número
mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a
a) 600.
13
b) 800.
c) 900.
d) 1.500.
e) 1.600.
Resposta: E f(x) = 900 - 800 sen [(x.π)/12] Mínimo = 900 – 800 = 100 Máximo = 900 – 800(-1) = 900 + 800 = 1700 1700 – 100 = 1600
42. (PUC-RIO) O valor de (cos60° + tg45°)/sen90° é:
a) 2
3
b) 2 c) 2
d) 2
12 +
e) 0
Resposta: A (cos60° + tg45°)/sen90° =
2
3
1
12
1
=+
43. O conjunto-imagem da função f definida por f(x) = sen (x) + h é [-2; 0]. O valor de
h é
a) π
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1
Resposta: C f(x) = sen (x) + h P/ -1: -1 + h = -2 h = -1
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44. O período e a imagem da função
−−=π
2cos35)(
xxf , x ∈ R, são,
respectivamente,
a) 2π e [-1, 1]
b) 2π e [2, 8]
c) 2π2 e [2, 8]
d) 2π e [-3, 3]
e) 2π2 e [-3, 3]
Resposta: C 22
1.2
122 πππ
π
ππ ====m
P
Imagem: P/ -1: 5 – 3(-1) = 8 P/ 1: 5 – 3.(1) = 2 Im = [2, 8]
45. Carlos propõe o seguinte exercício para seus alunos: Calcule o período da função
f(x) = 2 + sen(6πx + 1/2). A resposta correta é
a) 6π
b) 1/3
c) π/3
d) π
e) 2π
Resposta: B
3
1
6
22 ===πππ
mP
46. Seja RRf →: , onde R denota o conjunto dos números reais, uma função definida
por 1cos4
3)( +
+=
xxf . O menor e o maior valor de f(x), respectivamente, são:
a) 1,6 e 2
b) 1,4 e 3
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