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Def.: Um grafo é acíclico se não possui ciclos.
Def.: Uma árvore é um grafo acíclico e conexo.
Def.: Uma floresta é um grafo acíclico (cada componente
conexa de uma floresta é uma árvore).
ÁRVORES
1
Def.: Um grafo é acíclico se não possui ciclos.
Def.: Uma árvore é um grafo acíclico e conexo.
Def.: Uma floresta é um grafo acíclico (cada componente
conexa de uma floresta é uma árvore).
ÁRVORES
2
Def.: Um grafo é acíclico se não possui ciclos.
Def.: Uma árvore é um grafo acíclico e conexo.
Def.: Uma floresta é um grafo acíclico (cada componente
conexa de uma floresta é uma árvore).
ÁRVORES
3
Teorema 1:
Um grafo T é uma árvore
sss
existe um único caminho entre cada par de vértices de T .
ÁRVORES
4
Teorema 1:
Um grafo T é uma árvore
sss
existe um único caminho entre cada par de vértices de T .
ÁRVORES
5
Teorema 1:
Um grafo T é uma árvore
sss
existe um único caminho entre cada par de vértices de T .
ÁRVORES
6
Teorema 1:
Um grafo T é uma árvore
sss
existe um único caminho entre cada par de vértices de T .
ÁRVORES
7
Teorema 1:
Um grafo T é uma árvore
sss
existe um único caminho entre cada par de vértices de T .
ÁRVORES
8
Def.: Uma folha de uma árvore é um vértice de grau um.
Teorema 2:
Toda árvore não trivial tem pelo menos duas folhas.
ÁRVORES
9
Def.: Uma folha de uma árvore é um vértice de grau um.
Teorema 2:
Toda árvore não trivial tem pelo menos duas folhas.
ÁRVORES
10
folha
Teorema 3:
Se T é uma árvore então m=n -1 .
ÁRVORES
11
Teorema 3:
Se T é uma árvore então m=n -1 .
ÁRVORES
12
Note inicialmente que o resultado vale trivialmente para
n = 1 ou n = 2
Teorema 3:
Se T é uma árvore então m=n -1 .
ÁRVORES
13
n = 8
Teorema 3:
Se T é uma árvore então m=n -1 .
ÁRVORES
14
n = 7
Teorema 3:
Se T é uma árvore então m=n -1 .
ÁRVORES
15
n = 7, m = 6
Teorema 3:
Se T é uma árvore então m=n -1 .
ÁRVORES
16
n = 8
Teorema 3:
Se T é uma árvore então m=n -1 .
ÁRVORES
17
n = 8, m = 7
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
18
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
19
T
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
20
T
6
6
6
5
5
5
4
3
4
4
4
5
6
6
5
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
21
T
6
6
6
5
5
5
4
3
4
4
4
5
6
6
5
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
22
T
6
6
6
5
5
5
4
3
4
4
4
5
6
6
5
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
23
T
6
6
6
5
5
5
4
3
4
4
4
5
6
6
F
5
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
24
T’
4
4
3
2
3
3
4
ÁRVORES
25
T’
4
4
3
2
3
3
4
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
26
T’’2
1
2
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
27
T’’2
1
2
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
ÁRVORES
28
T’’’
0
Lema:
Seja T uma árvore com pelo menos três vértices.
Seja F o conjunto das folhas de T .
Seja T ' = T - F .
Então, T e T ' têm o mesmo centro.
Teorema 4: (Jordan 1869)
O centro de uma árvore ou é formado por apenas um vértice ou
por dois vértices vizinhos.
ÁRVORES
29
Teorema 4: (Jordan 1869)
O centro de uma árvore ou é formado por apenas um vértice ou
por dois vértices vizinhos.
Demonstração:
ÁRVORES
30
Teorema 4: (Jordan 1869)
O centro de uma árvore ou é formado por apenas um vértice ou
por dois vértices vizinhos.
Demonstração:
❑ Toda árvore tem pelo menos duas folhas
ÁRVORES
31
Teorema 4: (Jordan 1869)
O centro de uma árvore ou é formado por apenas um vértice ou
por dois vértices vizinhos.
Demonstração:
❑ Toda árvore tem pelo menos duas folhas
❑ Cada iteração de retirada de folhas remove pelo menos dois
vértices
ÁRVORES
32
Teorema 4: (Jordan 1869)
O centro de uma árvore ou é formado por apenas um vértice ou
por dois vértices vizinhos.
Demonstração:
❑ Toda árvore tem pelo menos duas folhas
❑ Cada iteração de retirada de folhas remove pelo menos dois
vértices
❑ As iterações param quando há menos do que 3 vértices, isto
é, a árvore remanescente é um vértice isolado ou dois
vértices ligados por uma aresta
ÁRVORES
33
Teorema 4: (Jordan 1869)
O centro de uma árvore ou é formado por apenas um vértice ou
por dois vértices vizinhos.
Demonstração:
❑ Toda árvore tem pelo menos duas folhas
❑ Cada iteração de retirada de folhas remove pelo menos dois
vértices
❑ As iterações param quando há menos do que 3 vértices, isto
é, a árvore remanescente é um vértice isolado ou dois
vértices ligados por uma aresta
❑ Estes vértices restantes formam o centro da árvore
ÁRVORES
34
Def.: Uma ponte ou aresta de corte de um grafo G é uma
aresta e tal que w(G -e) > w(G).
ÁRVORES
35
Def.: Uma ponte ou aresta de corte de um grafo G é uma
aresta e tal que w(G -e) > w(G).
ÁRVORES
36
e
G
w(G)=1
Def.: Uma ponte ou aresta de corte de um grafo G é uma
aresta e tal que w(G -e) > w(G).
ÁRVORES
37
G
w(G-e)=2
Teorema 5:
Uma aresta e é uma ponte de G
sss
não existe ciclo contendo e em G .
ÁRVORES
38
Teorema 5:
Uma aresta e é uma ponte de G
sss
não existe ciclo contendo e em G .
ÁRVORES
39
e
G
Teorema 5:
Uma aresta e é uma ponte de G
sss
não existe ciclo contendo e em G .
ÁRVORES
40
e
Ge'
Teorema 6:
Um grafo conexo T é uma árvore
sss
cada aresta de T é uma ponte.
ÁRVORES
41
Teorema 6:
Um grafo conexo T é uma árvore
sss
cada aresta de T é uma ponte.
ÁRVORES
42
Def. Uma árvore geradora de um grafo G é um subgrafo
gerador conexo e acíclico de G.
ÁRVORES
43
Def. Uma árvore geradora de um grafo G é um subgrafo
gerador conexo e acíclico de G.
Fato: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora.
ÁRVORES
44
Def. Uma árvore geradora de um grafo G é um subgrafo
gerador conexo e acíclico de G.
Fato: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora.
A idéia para verificar o fato acima é ir retirando as arestas
uma a uma de modo a manter o grafo conexo. Quando isto
não for mais possível, as arestas remanescentes são todas
pontes!
ÁRVORES
45
Def. Uma árvore geradora de um grafo G é um subgrafo
gerador conexo e acíclico de G.
Fato: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora.
A idéia para verificar o fato acima é ir retirando as arestas
uma a uma de modo a manter o grafo conexo. Quando isto
não for mais possível, as arestas remanescentes são todas
pontes! Logo, formam uma árvore.
ÁRVORES
46
Def. Uma árvore geradora de um grafo G é um subgrafo
gerador conexo e acíclico de G.
Fato: Todo grafo conexo possui uma árvore geradora.
A idéia para verificar o fato acima é ir retirando as arestas
uma a uma de modo a manter o grafo conexo. Quando isto
não for mais possível, as arestas remanescentes são todas
pontes! Logo, formam uma árvore.
Como esta árvore contém os vértices originais, é geradora!
ÁRVORES
47
Teorema 7:
Se G é conexo, então m ≥ n - 1 .
ÁRVORES
48
Teorema 7:
Se G é conexo, então m ≥ n - 1 .
Demonstração:
Já sabemos que G contém uma árvore geradora T
ÁRVORES
49
Teorema 7:
Se G é conexo, então m ≥ n - 1 .
Demonstração:
Já sabemos que G contém uma árvore geradora T
Sabemos também que T tem n vértices e n-1 arestas
ÁRVORES
50
Teorema 7:
Se G é conexo, então m ≥ n - 1 .
Demonstração:
Já sabemos que G contém uma árvore geradora T
Sabemos também que T tem n vértices e n-1 arestas
Como G tem mais arestas do que T, pois T é subgrafo de G,
segue que m ≥ n - 1 .
ÁRVORES
51
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