resolução de sistemas lineares métodos numéricos para engenharia i pedro augusto munari junior...
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Resolução de sistemas linearesMétodos Numéricos para Engenharia I
Pedro Augusto Munari Junior [munari@icmc.usp.br]
Aula de hoje...
Introdução
Número de soluções
Métodos para resolução Eliminação de Gauss Fatoração LU
Exemplos e algoritmos
Introdução
Sistemas lineares são de grande importância para a descrição e resolução de problemas que surgem nas mais diversas áreas da ciência e engenharia.
Geometria Redes elétricas, hidráulicas, de tráfego, ... Distribuição de calor Química Economia Programação linear Estatística Jogos ...(http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/system.html)
Introdução
Interpretação geométrica para sistemas de duas variáveis
23
32
21
21
xx
xx
Introdução
1x 1x
1x-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
1
2
3
4
23
32
21
21
xx
xx2x
1x
Introdução
Por que utilizar um método?
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Introdução
Notação
bAx
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
nx
x
x
x2
1
mb
b
b
b2
1
,nx ,nmA .mb
Número de soluções
Dado um sistema linear, apenas uma das situações abaixo pode ocorrer:
O sistema tem solução única O sistema tem infinitas soluções O sistema não admite solução
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
1
2
3
4
Número de soluções
23
32
21
21
xx
xx2x
1x
Solução única
-2 -1 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
2
4
6
Número de soluções
624
32
21
21
xx
xx2x
1x
Infinitas soluções
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-2
2
4
Número de soluções
224
32
21
21
xx
xx2x
1x
Não admite solução
Número de soluções
Graficamente... Solução única:
Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se cruzam.
Infinitas soluções: Retas coincidentes. Todos os pontos sobre
a reta são soluções do sistema. O sistema não admite solução:
Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.
Número de soluções
No caso geral...
Precisamos analisar o Posto e a Imagem da matriz A, de acordo com suas dimensões m e n.
,nx bAx ,nmA .mb
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
1
2
3
4
Número de soluções
2x
2)Im( A
23
32
21
21
xx
xx
Solução única
2)( Aposto
Número de soluções
As colunas de A são Linearmente Independentes e formam uma base do R2.
b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A.
23
32
21
21
xx
xx)Im(Ab
Sistema compatível determinadoSistema compatível determinado
-2 -1 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
2
4
6
Número de soluções
624
32
21
21
xx
xx2x
1x
Infinitas soluções
2)Im( A
1)( Aposto
Número de soluções
As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2.
Basta uma coluna de A para escrever b.
624
32
21
21
xx
xx)Im(Ab
Sistema compatível Sistema compatível inindeterminadodeterminado
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-2
2
4
Número de soluções
224
32
21
21
xx
xx
Não admite solução
2)Im( A
1)( Aposto
Número de soluções
As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2.
b não pode ser escrito como combinação das colunas de A.
224
32
21
21
xx
xx)Im(Ab
Sistema Sistema inincompatívelcompatível
Número de soluções
Essas situações se estendem para o caso geral, sempre que m = n.
Quando m ≠ n, temos: posto(A) ≤ min{m, n} se m < n o sistema nunca pode ter solução
única, pois posto(A) < n se m > n o sistema pode não ter solução
Número de soluções
Quadro-resumo...
Matriz A m = n m < n m > n
Posto completo
Posto deficienteb Im(A)
b Im(A)
Métodos de resolução
Métodos de resolução
Veremos aqui métodos para a resolução sistemas com n linhas e n variáveis (a matriz A deve ter posto completo).
Os métodos de resolução podem ser divididos em dois grupos: Métodos Diretos Métodos Iterativos
Veremos dois métodos diretos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU
Métodos de resolução
Mas... só uma pergunta antes de começar...
Se a matriz A é quadrada, por que não
fazer x = A-1 b ?
Eliminação de Gauss
mnmn
nn
nn
dxc
dxcxc
dxcxcxc
22222
11212111
(2)
Eliminação de Gauss
Qual sistema é mais fácil de ser resolvido?
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
(1)
Eliminação de Gauss
Algoritmo...
Eliminação de Gauss
Consiste em transformar o sistema a ser resolvido em um sistema triangular equivalente, por meio de operações elementares. A solução é então obtida, resolvendo-se um sistema triangular.
Eliminação de Gauss
zerar estes elementos
Eliminação de Gauss
Operações elementares: Trocar duas equações; Multiplicar uma equação por uma
constante não-nula; Adicionar um múltiplo de uma equação
a uma outra equação.
Garantem que o sistema obtido é equivalente ao original
Eliminação de Gauss
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
Eliminação de Gauss
)1(
)1(2
)1(1
)1()1(2
)1(1
)1(2
)1(22
)1(21
)1(1
)1(12
)1(11
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
Eliminação de Gauss
)1(
)1(2
)1(1
)1()1(2
)1(1
)1(2
)1(22
)1(21
)1(1
)1(12
)1(11
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
Zerar esses elementosutilizando operações
elementares
Eliminação de Gauss
)1(
)1(2
)1(1
)1()1(2
)1(1
)1(2
)1(22
)1(21
)1(1
)1(12
)1(11
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
pivô
Zerar esses elementosutilizando operações
elementares
Eliminação de Gauss
)2(
)2(2
)1(1
)2()2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(12
)1(11
0
0
nnnn
n
n
b
b
b
aa
aa
aaa
Eliminação de Gauss
)2(
)2(2
)1(1
)2()2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(12
)1(11
0
0
nnnn
n
n
b
b
b
aa
aa
aaa
Zerar esses elementosutilizando operações
elementares
pivô
Eliminação de Gauss
Eliminação de Gauss
)1(
)1(2
)1(1
)1()1(2
)1(1
)1(2
)1(22
)1(21
)1(1
)1(12
)1(11
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
)1(11
)1(1
1 a
am i
i Multiplicador
12122 LmLL
11LmLL nnn
...
Iteração 1
Eliminação de Gauss
)2(
)2(2
)1(1
)2()2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(12
)1(11
0
0
nnnn
n
n
b
b
b
aa
aa
aaa
)1(1
)1()2(
)1(1
)1()2(
mbbb
maaa
ii
jijij
Obs.: devemos ter , para todo k = 1, ..., n0)( kkka
Eliminação de Gauss
Exemplo
12 5
511296
20523
31
321
321
xx
xxx
xxx
Eliminação de Gauss
Algoritmo...
Eliminação de Gauss
Estratégias de pivoteamento
O que acontece se o pivô for nulo? Pivô próximo de zero pode levar a
resultados totalmente imprecisos. Para contornar esses dois problemas
deve-se adotar uma estratégia para a escolha de um “bom” pivô.
Eliminação de Gauss
Pivoteamento parcial Escolher para pivô o elemento de maior
módulo na coluna, dentre os que ainda irão atuar no processo de eliminação.
Pivoteamento completo Escolher para pivô o elemento de maior
módulo dentre todos os elementos que ainda irão atuar no processo de eliminação
Eliminação de Gauss
601082
48104
4111236
7532
432
4321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
Fatoração LU
Fatoração LU
Decompor a matriz A em um produto de dois fatores:L: matriz triangular inferiorU: matriz triangular superior
Ax = b LU x = b
A = LU
Fatoração LU
U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. Quem é L então?
Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss?
Fatoração LU
U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. Quem é L então?
Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss?
Continua na próxima aula...
Bibliografia
Ruggiero, MAG; Lopes, VLR. Cálculo numérico. 2ª edição. 1998.
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