relatório de torque
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL I
PROFESSOR: MARILDO PEREIRA
Equilíbrio Estático
NAIDSON FIGUEIREDO BITTENCOURT
Feira de SantanaNovembro de 2015
RESUMO
O presente relatório descreve um experimento, que se busca provar as leis do equilíbrio
estático de forças e torques, para um sistema em repouso. Isso será feito equilibrando
pesos diferentes nas extremidades de uma barra de madeira graduada em cm, que esta
presa em um ponto fixo sobre um suporte de metal. São aplicados pesos diferentes em
três repetições e o sistema é equilibrado variando as distancias, dos respectivos pesos e
do centro de massa da barra em relação ao ponto fixo. A força de reação que o suporte
exerce sobre o sistema é determinado através da equação, ∑i=0
n
Fi = 0, onde estando o
sistema em equilíbrio não apresenta nenhum movimento de translação. O torque
resultante do sistema, determinado pela equação ∑i=0
n
τ i=0 , deverá ser nulo, pois o
momento angular é constante, e o sistema não apresenta nenhum movimento de
rotação. Porém os valores encontrados foram 0,0474, -0,0474, e -0,0454, próximos de
zero, esse aspecto pode ser devido a erros sistemáticos ou a erros de leitura de escala,
associado ao MDE.
1. Introdução
1.1 Com base nas leis do movimento circular busca-se provar neste experimento
o equilíbrio estático de uma barra de madeira, onde diferentes pesos são aplicados
ao longo da barra em diferentes distâncias. Onde será mostrado que o sistema
apresenta torque resultante nulo, e momento angular é constante, ou seja, não
realiza movimento de rotação, que ‘é o movimento do corpo em torno de um eixo
fixo próprio. Além disso, a força resultante do sistema também deverá ser nula, não
apresentando nenhum movimento de translação. O relatório está organizado por
meio de tabelas onde serão mostradas as variáveis estudadas, sendo estruturado
em introdução, desenvolvimento experimental e conclusão dos resultados
encontrados.
1.2 Contextualização Histórica: O estudo do movimento e do equilíbrio dos
corpos data desde a antiguidade, um dos primeiros a determinar conceitos e leis
sobre o fenômenos foi o matemático grego Arquimedes de Siracusa, (287-212 a.C),
uma das figuras mais importantes da Grécia antiga, é bastante conhecido nos livros
didático de Física e de Ciências por contribuições dadas ao estudo da mecânica,
geometria, astronomia e por seus engenhosos instrumentos mecânicos, ele
determinou a lei da alavanca, que na verdade era a lei de equilíbrio de uma alavanca
pois seu real interesse era estudar as condições de equilíbrio de uma alavanca para
determinar o centro de gravidade de figuras planas, onde postulou conforme a
tradução simplificada do seu artigo.
Eu postulo o seguinte:
1. Pesos iguais a distâncias iguais estão em equilíbrio, e
pesos
iguais a distâncias desiguais não estão em equilíbrio, mas
pendendo para o lado do peso que está a maior distância.
2. Se, quando pesos a certas distâncias estão em
equilíbrio,
alguma coisa foi adicionada a um dos pesos, eles não ficam
[mais] em equilíbrio, mas inclinados para o peso ao qual foi
feita a adição.
3. Similarmente, se alguma coisa é tirada de um dos pesos,
eles
não ficam em equilíbrio, mas pendendo para o peso do qual
não foi nada tirado.
(Arquimedes e alei da alavanca: erros conceituais em livros didáticos,
pg 223, 2006)
No entanto, centro de massa e centro de gravidade são conceitos bem
diferentes. O centro de gravidade é o ponto que representa a localização média de
todo o peso do objeto, o peso do objeto é distribuído de forma uniforme pelo centro
de gravidade. O resultado é que a força descendente de todo o peso de um objeto
parece agir através de seu centro de gravidade. Entretanto na mecânica clássica,
centro de massa de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda a massa
do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos. O centro de massa não
precisa coincidir com o centro geométrico, nem ao menos precisa estar dentro do
corpo.
Posterior a Arquimedes Galileu Galilei (1564-1642) pública novos estudos
sobre o assunto em seu livro Duas Novas Ciências, onde leva em consideração uma
relação semelhante a de centro de massa da alavanca.
Salviati (...) Assim, por exemplo, se imaginamos uma alavanca, ou seja, esta BA, a
qual, colocada sobre o ponto de apoio E, é usada para levantar uma pedra muito
pesada D, é evidente, de acordo com o princípio demonstrado, que a força
aplicada
na extremidade B será suficiente para equilibrar a resistência do grave D, desde
que seu momento (momento) esteja para o momento D na mesma proporção que
a distância AC tem para a distância CB; e isto é verdade sem que se faça intervir
outros momentos além daqueles da força aplicada a B e da resistência em D,
como se a própria alavanca fosse imaterial e sem gravidade [grifo nosso]. Mas, se
levamos em conta também o peso do próprio instrumento, o qual pode ser de
madeira ou de ferro, fica claro que, se acrescentarmos à força em B o peso da
alavanca, a proporção será alterada, pelo que devemos expressá-la em termos
diferentes. Eis por que, antes de continuar, é necessário que estejamos de acordo
em distinguir estas duas maneiras de considerar, dizendo que numa o tomamos
absolutamente (prendere assolutamente), quando consideramos o instrumento em
abstrato, ou seja, separado da gravidade da própria matéria; e noutra, quando
acrescentarmos a matéria e com esta a gravidade às figuras simples e absolutas
[grifo nosso], designaremos as figuras unidas à matéria pelo termo momento ou
força composta (momento o forza composta).
( Galilei.G, Discursos sobre duas Novas Ciências, 1638).
Galileu faz uma distinção clara entre as duas maneiras de considerar a Lei da
Alavanca de Arquimedes, uma na situação abstrata, na qual a gravidade é separada
da própria matéria (irreal) e a outra em que ela é considerada na situação concreta
sem desprezar o peso da alavanca. Posteriormente foram introduzidos os conceitos
e leis de momento angular semelhante ao de momento linear, da forma que se
apresentam hoje, onde o momento angular se conserva, e no experimento descrito
onde o sistema encontra-se em equilíbrio de forma que o somatório das forças
atuantes sobre o mesmo é igual a zero, portanto a força resultante é nula, conforme
as leis de Newton.
1.3 Contextualização Teórica: Os equações estabelecidas para a dinâmica do
movimento angular foram construídas a partir de analogias as equações já
estabelecidas para a dinâmica do movimento linear. Uma forma de definir uma força
F no momento linear seria através do ΔW trabalho por ela realizado num
deslocamento infinitesimal ΔX, onde.
ΔW = F.ΔX
O análogo de F para a rotação seria uma grandeza τ chamada de torque, tal que:
ΔW= τΔθ (1.1)
Corresponde ao trabalho realizado numa rotação infinitesimal Δθ .
Figura1.3: Haste fixa com extremidade rígida, retirada
do livro Moyses Nussenzeveig 3° ed
Para deduzir o valor de t em função de outras variáveis, considere uma haste
rígida girando em torno de uma extremidade fixa O sob a ação de uma força F
aplicada ao ponto P , à distancia r do ponto O . A força F faz um ângulo φ com a
direção OP = r . Numa rotação infinitesimal Δθ, o ponto P sofre um deslocamento
PP’ que se confunde com a tangente ao circulo de centro O e raio r no centro P,
sendo, portanto perpendicular a direção r. Cuja projeção de F na direção do
deslocamento é então
F⃗cos(π/2 – φ) = F⃗senφ
E a magnitude do deslocamento no ponto de aplicação é PP’= r Δθ, de modo que:
ΔW = F⃗senφ r⃗Δθ, (1.2)
Comparando as equações (1.1) e (1.2), concluímos que:
τ = |F||r|senφ (1.3)
Segue da definição de momento angular que:
L⃗o = r⃗ x p⃗ = r⃗ x mv⃗
Onde L0 é o momento angular, nesse caso atribuindo como uma partícula onde L
é um vetor perpendicular tanto a r quanto a p Derivando essa grandeza em relação
ao tempo;
dldt
= ddt
( r x p ) = drdt
x p⃗ + r⃗ x dpdt
= F⃗x r⃗
Como a primeira parte da derivada e composta de dois vetores paralelos seu
produto vetorial é nulo, só ficando a segunda parte tal qual, conclui-se que:
dldt
= F⃗ r x r⃗ → dldt
= τ⃗ r (1.4 )
Sendoτ r o torque resultante, se não houver torque resultante o momento angular
se conserva, L0 se conserva. Sendo a força resultante que atua sobre a partícula
nula. Ou seja a partícula permanece em repouso
L = constante → τ⃗ r = 0⃗
Estendendo o caso para sistemas de mais de uma partícula ou corpos extensos
∑i=0
n
τ⃗ i = 0 (1.5)
Ou seja, o sistema permanece em equilíbrio e não realiza nenhum movimento de
rotação. No experimento descrito será atribuído sinal negativo para as forças do lado
direto, que tendem a realizar movimento no sentido horário, e sinal positivo para as
forças do lado esquerdo, que tendem a realizar movimento no sentido anti-horário.
O sistema permanece em equilíbrio de forças de modo que a força resultante é
nula, conforme os enunciados das leis de Newton. Assim o sistema não realiza
nenhum movimento de translação.
∑i=0
n
F⃗ i = 0⃗ (1.6)
Onde F⃗ i são todas as forças atuantes no sistema.
2. Metodologia Experimental
O experimento foi desenvolvido em laboratório. Onde foi usado uma barra de
madeira presa a um suporte na sua parte intermediária e nas extremidades da barra
foram aplicados pesos diferentes. Desse modo procurou-se equilibrar a barra
variando as distâncias dos pesos as extremidades e a posição sobre o suporte, de
forma que seu ângulo descrito com a horizontal seja de 0°.
2.1 Os equipamentos utilizados no desenvolvimento do experimento estão contidos
na tabela 2.1
Tabela 2.1: Materiais utilizados no experimento
OBJETO MDE (Menor Divisão de Escala) Erro Associado1 Balança Mecânica 0,1g ± 0,05g2 Barra de madeira
graduada0,1cm ± 0,01cm
3 Suporte de metal - -4 Pesos de metal - -
Figura 2.1: Balança mecânica Figura 2.2: Pesos de metal
Figura 2.3: Suporte de metal Figura 2.4: Barra de madeira graduada
2.2 Montagem do experimento
Figura 2.2.1 : Montagem do experimento
Esquema do experimento:
Figura 2.2.2 : Esquema do experimento
2.3 Procedimento: Incialmente, no desenvolvimento do experimento, são pesadas
duas massas de metal juntamente com seus ganchos que servirão de suporte, onde
essas massas serão as forças pesos P⃗1 e P⃗2. Após a pesagem com a barra de
madeira já presa ao suporte o sistema é equilibrado manualmente variando a
distância onde os pesos estão presos a barra e variando a posição que a barra está
presa ao suporte. O sistema não deverá se movimentar, pois as três forças pesos P⃗1,
P⃗2 e P⃗CM( peso da barra de madeira atribuído ao centro de massa) estão equilibradas
com a força F⃗ de reação do suporte de metal e o somatório dos torques deverá ser
nulo.
3. Dados experimentais
Incialmente são determinadas todos os pesos envolvidos no sistema, depois
que o sistema é equilibrado e determinadas as distancias: d1, d2, e dCM, de cada peso
ao ponto que está preso o suporte inclusive a distância do centro de massa, todas
essas distâncias tendo como referência o ponto fixo. Como o sistema está em
equilíbrio o somatório das forças deverá ser nulo e somatório dos torques também
deverá ser igual a zero. Onde P1 é a força peso aplicada no lado esquerdo do
sistema e d1 sua respectiva distância em relação ao ponto que a barra está presa ao
suporte e P2 é a força aplicada no lado direito do sistema e d2 sua respectiva
distância ao ponto fixo. Já o PCM que é o peso da barra pode estar em qualquer um
dos lados, onde seu valor é constante PCM = 0,5376N, pois foi usada para todos os
momentos a mesma barra variando apenas sua distância em relação ao ponto fixo.
Tabela 3.1; Pesos e suas respectivas distâncias.
Momentos de equilíbrio
P1 (N)
(±0,00005
)
P2 (N)
(±0,00005)
d1 (m)
(±0,0005)
d2 (m)
(±0,0005)
dCM (m)
(±0,0005)
F (N)
(±0,00005)
1° 1.5991 1,7216 0,100 0,081 0,050 3,8583
2° 0,9467 1,2312 0,180 0,165 0,030 2,7155
3° 1,5991 1,2312 0,100 0,145 0,050 3,3679
Como o sistema está em equilíbrio o somatório das forças é igual a zero, assim
determinou-se o valor F para cada momento, utilizando a equação (1.6) em
seguida é apresentado em outra tabela os valores de torque para cada peso, P1
sempre terá sinal positivo pois esta do lado esquerdo do sistema podendo provocar
um movimento de rotação no sentido anti-horário convencionado como positivo, e P2
sempre terá sinal negativo pois está do lado direito do sistema tendendo a provocar
um movimento no sentido horário convencionado como negativo. Já o PCM vai variar
dependendo do lado que estiver, sempre vai tar do lado onde apresenta o menor
peso, cuja distância é maior. A força F não apresenta torque, pois está encima do
ponto fixo ao suporte de metal sendo sua distância igual a zero.
Tabela 3.2: Torques referentes a cada força
Momentos de equilíbrio
τ 1 (N/m) τ 2 (N/m) τ CM (N/m) τ R (N/m)
1° 0,1599 -0,1394 0,0269 0,0474
2° 0,1704 -0,2031 0,0161 -0,0474
3° 0,1599 -0,1785 -0,0268 -0,0454
Utilizando a equação (1.5) determinou-se o somatório dos torques, que é igual aos
torque resultanteτR mostrados na tabela 3.2.
4. Análise
Nesta seção serão analisados os dados encontrados na realização do
experimento, Determinando a coerência com as leis que regem o movimento
angular.
Após o a realização dos cálculos observa-se que como descrito no laboratório
o sistema não realiza nenhum movimento de translação o somatório das forças é
nulo, de modo que força de reação do suporte se anula com as outras forças pesos.
Entretanto, para a conservação dos momentos angulares que diz que o momento
angular de um sistema fechado permanece constante e os somatórios dos torques
iguais a zero, as medidas descritas apresentaram-se diferente do previsto no
referencial teórico. Os valores dos momentos encontrados nos cálculos foram:
0,0474, -0,0474, e -0,0454, valores que se aproximam de 0, e mostram que, no
primeiro momento de equilíbrio ouve uma tendência maior do sistema em realizar
movimento de rotação no sentido anti-horário e no segundo e terceiro momento a
uma tendência maior do sistema em realizar movimento no sentido horário . Essa
discordância de valores pode ser devida a erros sistemáticos já que as medidas se
afastam do valor real em um sentido definido ou também podem estar associadas ao
MDE, tendo erro nas leituras das escalas. Porém na prática o sistema descrito
apresentou-se equilibrado não realizando nenhum movimento de rotação em torno
do seu eixo fixo.
5. Conclusão
Os experimentos descritos consistiam em provar as leis de conservarão do
momento angular para um sistema em equilíbrio estático. Foram aplicados
diferentes pesos sobre as extremidades da barra de madeira, onde o sistema era
equilibrado variando manualmente a posição desses pesos e do ponto fixo que a
barra estava presa ao suporte, conforme esperado o sistema não apresentou
nenhum movimento de translação, ∑i=0
n
Fi = 0,ou seja, a força de reação do suporte
direcionada para cima anulou-se com todas as forças pesos direcionadas para
baixo.
Porém, mesmo o sistema estando em equilíbrio e também não realizando
nenhum movimento de rotação, onde ∑i=0
n
τ i = 0, ou seja, o momento angular de um
sistema se conserva sob a ausência de forças externas, os respectivos cálculos
apresentaram-se diferentes do previsto. Os valores encontrados para o somatório
dos torques foram, 0,0474, -0,0474, e -0,0454, valores próximos de zero, esse
aspecto pode estar relacionado a erros sistemáticos ou a erros de leitura da escala
associado ao MDE.
6. Referências Bibliográficas
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FILHO, Júlio de Mesquita, Apostila da disciplina Laboratório de Física II,
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