UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FÍSICA EXPERIMENTAL I

PROFESSOR: MARILDO PEREIRA

Equilíbrio Estático

NAIDSON FIGUEIREDO BITTENCOURT

Feira de SantanaNovembro de 2015

RESUMO

O presente relatório descreve um experimento, que se busca provar as leis do equilíbrio

estático de forças e torques, para um sistema em repouso. Isso será feito equilibrando

pesos diferentes nas extremidades de uma barra de madeira graduada em cm, que esta

presa em um ponto fixo sobre um suporte de metal. São aplicados pesos diferentes em

três repetições e o sistema é equilibrado variando as distancias, dos respectivos pesos e

do centro de massa da barra em relação ao ponto fixo. A força de reação que o suporte

exerce sobre o sistema é determinado através da equação, ∑i=0

n

Fi = 0, onde estando o

sistema em equilíbrio não apresenta nenhum movimento de translação. O torque

resultante do sistema, determinado pela equação ∑i=0

n

τ i=0 , deverá ser nulo, pois o

momento angular é constante, e o sistema não apresenta nenhum movimento de

rotação. Porém os valores encontrados foram 0,0474, -0,0474, e -0,0454, próximos de

zero, esse aspecto pode ser devido a erros sistemáticos ou a erros de leitura de escala,

associado ao MDE.

1. Introdução

1.1 Com base nas leis do movimento circular busca-se provar neste experimento

o equilíbrio estático de uma barra de madeira, onde diferentes pesos são aplicados

ao longo da barra em diferentes distâncias. Onde será mostrado que o sistema

apresenta torque resultante nulo, e momento angular é constante, ou seja, não

realiza movimento de rotação, que ‘é o movimento do corpo em torno de um eixo

fixo próprio. Além disso, a força resultante do sistema também deverá ser nula, não

apresentando nenhum movimento de translação. O relatório está organizado por

meio de tabelas onde serão mostradas as variáveis estudadas, sendo estruturado

em introdução, desenvolvimento experimental e conclusão dos resultados

encontrados.

1.2 Contextualização Histórica: O estudo do movimento e do equilíbrio dos

corpos data desde a antiguidade, um dos primeiros a determinar conceitos e leis

sobre o fenômenos foi o matemático grego Arquimedes de Siracusa, (287-212 a.C),

uma das figuras mais importantes da Grécia antiga, é bastante conhecido nos livros

didático de Física e de Ciências por contribuições dadas ao estudo da mecânica,

geometria, astronomia e por seus engenhosos instrumentos mecânicos, ele

determinou a lei da alavanca, que na verdade era a lei de equilíbrio de uma alavanca

pois seu real interesse era estudar as condições de equilíbrio de uma alavanca para

determinar o centro de gravidade de figuras planas, onde postulou conforme a

tradução simplificada do seu artigo.

Eu postulo o seguinte:

1. Pesos iguais a distâncias iguais estão em equilíbrio, e

pesos

iguais a distâncias desiguais não estão em equilíbrio, mas

pendendo para o lado do peso que está a maior distância.

2. Se, quando pesos a certas distâncias estão em

equilíbrio,

alguma coisa foi adicionada a um dos pesos, eles não ficam

[mais] em equilíbrio, mas inclinados para o peso ao qual foi

feita a adição.

3. Similarmente, se alguma coisa é tirada de um dos pesos,

eles

não ficam em equilíbrio, mas pendendo para o peso do qual

não foi nada tirado.

(Arquimedes e alei da alavanca: erros conceituais em livros didáticos,

pg 223, 2006)

No entanto, centro de massa e centro de gravidade são conceitos bem

diferentes. O centro de gravidade é o ponto que representa a localização média de

todo o peso do objeto, o peso do objeto é distribuído de forma uniforme pelo centro

de gravidade. O resultado é que a força descendente de todo o peso de um objeto

parece agir através de seu centro de gravidade. Entretanto na mecânica clássica,

centro de massa de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda a massa

do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos. O centro de massa não

precisa coincidir com o centro geométrico, nem ao menos precisa estar dentro do

corpo.

Posterior a Arquimedes Galileu Galilei (1564-1642) pública novos estudos

sobre o assunto em seu livro Duas Novas Ciências, onde leva em consideração uma

relação semelhante a de centro de massa da alavanca.

Salviati (...) Assim, por exemplo, se imaginamos uma alavanca, ou seja, esta BA, a

qual, colocada sobre o ponto de apoio E, é usada para levantar uma pedra muito

pesada D, é evidente, de acordo com o princípio demonstrado, que a força

aplicada

na extremidade B será suficiente para equilibrar a resistência do grave D, desde

que seu momento (momento) esteja para o momento D na mesma proporção que

a distância AC tem para a distância CB; e isto é verdade sem que se faça intervir

outros momentos além daqueles da força aplicada a B e da resistência em D,

como se a própria alavanca fosse imaterial e sem gravidade [grifo nosso]. Mas, se

levamos em conta também o peso do próprio instrumento, o qual pode ser de

madeira ou de ferro, fica claro que, se acrescentarmos à força em B o peso da

alavanca, a proporção será alterada, pelo que devemos expressá-la em termos

diferentes. Eis por que, antes de continuar, é necessário que estejamos de acordo

em distinguir estas duas maneiras de considerar, dizendo que numa o tomamos

absolutamente (prendere assolutamente), quando consideramos o instrumento em

abstrato, ou seja, separado da gravidade da própria matéria; e noutra, quando

acrescentarmos a matéria e com esta a gravidade às figuras simples e absolutas

[grifo nosso], designaremos as figuras unidas à matéria pelo termo momento ou

força composta (momento o forza composta).

( Galilei.G, Discursos sobre duas Novas Ciências, 1638).

Galileu faz uma distinção clara entre as duas maneiras de considerar a Lei da

Alavanca de Arquimedes, uma na situação abstrata, na qual a gravidade é separada

da própria matéria (irreal) e a outra em que ela é considerada na situação concreta

sem desprezar o peso da alavanca. Posteriormente foram introduzidos os conceitos

e leis de momento angular semelhante ao de momento linear, da forma que se

apresentam hoje, onde o momento angular se conserva, e no experimento descrito

onde o sistema encontra-se em equilíbrio de forma que o somatório das forças

atuantes sobre o mesmo é igual a zero, portanto a força resultante é nula, conforme

as leis de Newton.

1.3 Contextualização Teórica: Os equações estabelecidas para a dinâmica do

movimento angular foram construídas a partir de analogias as equações já

estabelecidas para a dinâmica do movimento linear. Uma forma de definir uma força

F no momento linear seria através do ΔW trabalho por ela realizado num

deslocamento infinitesimal ΔX, onde.

ΔW = F.ΔX

O análogo de F para a rotação seria uma grandeza τ chamada de torque, tal que:

ΔW= τΔθ (1.1)

Corresponde ao trabalho realizado numa rotação infinitesimal Δθ .

Figura1.3: Haste fixa com extremidade rígida, retirada

do livro Moyses Nussenzeveig 3° ed

Para deduzir o valor de t em função de outras variáveis, considere uma haste

rígida girando em torno de uma extremidade fixa O sob a ação de uma força F

aplicada ao ponto P , à distancia r do ponto O . A força F faz um ângulo φ com a

direção OP = r . Numa rotação infinitesimal Δθ, o ponto P sofre um deslocamento

PP’ que se confunde com a tangente ao circulo de centro O e raio r no centro P,

sendo, portanto perpendicular a direção r. Cuja projeção de F na direção do

deslocamento é então

F⃗cos(π/2 – φ) = F⃗senφ

E a magnitude do deslocamento no ponto de aplicação é PP’= r Δθ, de modo que:

ΔW = F⃗senφ r⃗Δθ, (1.2)

Comparando as equações (1.1) e (1.2), concluímos que:

τ = |F||r|senφ (1.3)

Segue da definição de momento angular que:

L⃗o = r⃗ x p⃗ = r⃗ x mv⃗

Onde L0 é o momento angular, nesse caso atribuindo como uma partícula onde L

é um vetor perpendicular tanto a r quanto a p Derivando essa grandeza em relação

ao tempo;

dldt

= ddt

( r x p ) = drdt

x p⃗ + r⃗ x dpdt

= F⃗x r⃗

Como a primeira parte da derivada e composta de dois vetores paralelos seu

produto vetorial é nulo, só ficando a segunda parte tal qual, conclui-se que:

dldt

= F⃗ r x r⃗ → dldt

= τ⃗ r (1.4 )

Sendoτ r o torque resultante, se não houver torque resultante o momento angular

se conserva, L0 se conserva. Sendo a força resultante que atua sobre a partícula

nula. Ou seja a partícula permanece em repouso

L = constante → τ⃗ r = 0⃗

Estendendo o caso para sistemas de mais de uma partícula ou corpos extensos

∑i=0

n

τ⃗ i = 0 (1.5)

Ou seja, o sistema permanece em equilíbrio e não realiza nenhum movimento de

rotação. No experimento descrito será atribuído sinal negativo para as forças do lado

direto, que tendem a realizar movimento no sentido horário, e sinal positivo para as

forças do lado esquerdo, que tendem a realizar movimento no sentido anti-horário.

O sistema permanece em equilíbrio de forças de modo que a força resultante é

nula, conforme os enunciados das leis de Newton. Assim o sistema não realiza

nenhum movimento de translação.

∑i=0

n

F⃗ i = 0⃗ (1.6)

Onde F⃗ i são todas as forças atuantes no sistema.

2. Metodologia Experimental

O experimento foi desenvolvido em laboratório. Onde foi usado uma barra de

madeira presa a um suporte na sua parte intermediária e nas extremidades da barra

foram aplicados pesos diferentes. Desse modo procurou-se equilibrar a barra

variando as distâncias dos pesos as extremidades e a posição sobre o suporte, de

forma que seu ângulo descrito com a horizontal seja de 0°.

2.1 Os equipamentos utilizados no desenvolvimento do experimento estão contidos

na tabela 2.1

Tabela 2.1: Materiais utilizados no experimento

OBJETO MDE (Menor Divisão de Escala) Erro Associado1 Balança Mecânica 0,1g ± 0,05g2 Barra de madeira

graduada0,1cm ± 0,01cm

3 Suporte de metal - -4 Pesos de metal - -

Figura 2.1: Balança mecânica Figura 2.2: Pesos de metal

Figura 2.3: Suporte de metal Figura 2.4: Barra de madeira graduada

2.2 Montagem do experimento

Figura 2.2.1 : Montagem do experimento

Esquema do experimento:

Figura 2.2.2 : Esquema do experimento

2.3 Procedimento: Incialmente, no desenvolvimento do experimento, são pesadas

duas massas de metal juntamente com seus ganchos que servirão de suporte, onde

essas massas serão as forças pesos P⃗1 e P⃗2. Após a pesagem com a barra de

madeira já presa ao suporte o sistema é equilibrado manualmente variando a

distância onde os pesos estão presos a barra e variando a posição que a barra está

presa ao suporte. O sistema não deverá se movimentar, pois as três forças pesos P⃗1,

P⃗2 e P⃗CM( peso da barra de madeira atribuído ao centro de massa) estão equilibradas

com a força F⃗ de reação do suporte de metal e o somatório dos torques deverá ser

nulo.

3. Dados experimentais

Incialmente são determinadas todos os pesos envolvidos no sistema, depois

que o sistema é equilibrado e determinadas as distancias: d1, d2, e dCM, de cada peso

ao ponto que está preso o suporte inclusive a distância do centro de massa, todas

essas distâncias tendo como referência o ponto fixo. Como o sistema está em

equilíbrio o somatório das forças deverá ser nulo e somatório dos torques também

deverá ser igual a zero. Onde P1 é a força peso aplicada no lado esquerdo do

sistema e d1 sua respectiva distância em relação ao ponto que a barra está presa ao

suporte e P2 é a força aplicada no lado direito do sistema e d2 sua respectiva

distância ao ponto fixo. Já o PCM que é o peso da barra pode estar em qualquer um

dos lados, onde seu valor é constante PCM = 0,5376N, pois foi usada para todos os

momentos a mesma barra variando apenas sua distância em relação ao ponto fixo.

Tabela 3.1; Pesos e suas respectivas distâncias.

Momentos de equilíbrio

P1 (N)

(±0,00005

)

P2 (N)

(±0,00005)

d1 (m)

(±0,0005)

d2 (m)

(±0,0005)

dCM (m)

(±0,0005)

F (N)

(±0,00005)

1° 1.5991 1,7216 0,100 0,081 0,050 3,8583

2° 0,9467 1,2312 0,180 0,165 0,030 2,7155

3° 1,5991 1,2312 0,100 0,145 0,050 3,3679

Como o sistema está em equilíbrio o somatório das forças é igual a zero, assim

determinou-se o valor F para cada momento, utilizando a equação (1.6) em

seguida é apresentado em outra tabela os valores de torque para cada peso, P1

sempre terá sinal positivo pois esta do lado esquerdo do sistema podendo provocar

um movimento de rotação no sentido anti-horário convencionado como positivo, e P2

sempre terá sinal negativo pois está do lado direito do sistema tendendo a provocar

um movimento no sentido horário convencionado como negativo. Já o PCM vai variar

dependendo do lado que estiver, sempre vai tar do lado onde apresenta o menor

peso, cuja distância é maior. A força F não apresenta torque, pois está encima do

ponto fixo ao suporte de metal sendo sua distância igual a zero.

Tabela 3.2: Torques referentes a cada força

Momentos de equilíbrio

τ 1 (N/m) τ 2 (N/m) τ CM (N/m) τ R (N/m)

1° 0,1599 -0,1394 0,0269 0,0474

2° 0,1704 -0,2031 0,0161 -0,0474

3° 0,1599 -0,1785 -0,0268 -0,0454

Utilizando a equação (1.5) determinou-se o somatório dos torques, que é igual aos

torque resultanteτR mostrados na tabela 3.2.

4. Análise

Nesta seção serão analisados os dados encontrados na realização do

experimento, Determinando a coerência com as leis que regem o movimento

angular.

Após o a realização dos cálculos observa-se que como descrito no laboratório

o sistema não realiza nenhum movimento de translação o somatório das forças é

nulo, de modo que força de reação do suporte se anula com as outras forças pesos.

Entretanto, para a conservação dos momentos angulares que diz que o momento

angular de um sistema fechado permanece constante e os somatórios dos torques

iguais a zero, as medidas descritas apresentaram-se diferente do previsto no

referencial teórico. Os valores dos momentos encontrados nos cálculos foram:

0,0474, -0,0474, e -0,0454, valores que se aproximam de 0, e mostram que, no

primeiro momento de equilíbrio ouve uma tendência maior do sistema em realizar

movimento de rotação no sentido anti-horário e no segundo e terceiro momento a

uma tendência maior do sistema em realizar movimento no sentido horário . Essa

discordância de valores pode ser devida a erros sistemáticos já que as medidas se

afastam do valor real em um sentido definido ou também podem estar associadas ao

MDE, tendo erro nas leituras das escalas. Porém na prática o sistema descrito

apresentou-se equilibrado não realizando nenhum movimento de rotação em torno

do seu eixo fixo.

5. Conclusão

Os experimentos descritos consistiam em provar as leis de conservarão do

momento angular para um sistema em equilíbrio estático. Foram aplicados

diferentes pesos sobre as extremidades da barra de madeira, onde o sistema era

equilibrado variando manualmente a posição desses pesos e do ponto fixo que a

barra estava presa ao suporte, conforme esperado o sistema não apresentou

nenhum movimento de translação, ∑i=0

n

Fi = 0,ou seja, a força de reação do suporte

direcionada para cima anulou-se com todas as forças pesos direcionadas para

baixo.

Porém, mesmo o sistema estando em equilíbrio e também não realizando

nenhum movimento de rotação, onde ∑i=0

n

τ i = 0, ou seja, o momento angular de um

sistema se conserva sob a ausência de forças externas, os respectivos cálculos

apresentaram-se diferentes do previsto. Os valores encontrados para o somatório

dos torques foram, 0,0474, -0,0474, e -0,0454, valores próximos de zero, esse

aspecto pode estar relacionado a erros sistemáticos ou a erros de leitura da escala

associado ao MDE.

6. Referências Bibliográficas

CARDOSO. Henrique B., FREIRE, Paulo de T. C.,FILHO, SIMPÓSIO NACIONAL DE ENSINO DE FÍSICA, Josué M., Arquimedes e a lei da alavanca: erros conceituais em livros didáticos, 2003, Curitiba, Atas.., Curitiba, 2003.

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