relações de girard
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PROF. EVERTON MORAES 1
RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES
Considere a equação do 2º grau 2 0ax bx c . Sejam ,x e ,,
x suas raízes. Vamos estabelecer as
relações de Girard entre essas raízes e os coeficientes a, b e c da equação.
Sabemos que:
2
, bx
a
e
2
,, bx
a
1a relação: Soma das raízes.
2
2 2 2 2 2
, ,,b bb b b b b b
S x xa a a a a a
Portanto:
2a relação: Produto das raízes.
222
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 4
4 4 4
4 4 4
, ,,bb b b
S x . x .a a a a
b b .a.c b b .a.c ac c
a a a a
Portanto:
3a relação: Diferença das raízes.
2
2 2 2 2 2
, ,,b bb b b b
D x xa a a a a a
Portanto:
Exemplo 1: calcular a soma o produto e a diferença das raízes da equação 2 7 10 0x x .
Temos : a = 1, b = -7 e c = 10
7 77
1 1
, ,, b ( )S x x
a
1010
1
, ,, cS x . x
a
, ,, bS x x
a
, ,, cP x .x
a
, ,,D x x
a
22 7 4 1 104
1 1
49 40 9 3
, ,, ( ) . .b .a.cD x x
a
PROF. EVERTON MORAES 2
1) Calcule a soma e o produto das raízes das seguintes equações:
a) 2 8 15 0x x f) 23 25 0x
b) 22 3 1 0x x g) 2 22 0x ax a
c) 25 21 4 0x x h) 23 5 5 0x ( a)x a
d) 2 7 12 0x x i) 2 1 0x (a )x a
e) 23 6 0x x
2) Determinar o valor de k na equação 2 22 20 0kx x para que a soma das raízes seja 11
3.
3) Determinar o valor de p na equação 2 5 5 0px x (p ) para que o produto das raízes seja 1
6.
4) Determine o valor de m na equação 24 2 3 0x (m )x para que a soma das raízes seja 3
4.
5) Calcule o valor de k na equação 25 10 3 0(k )x x para que o produto das raízes seja 3
8.
6) Calcule o valor de m na equação 210 21 5 0(m )x x para que a soma das raízes seja 7
6.
7) Determine o valor de p na equação 26 11 1 0x x (p ) para que o produto das raízes seja 3
4.
8) Calcular o valor de k na equação 2 12 0x x k para que uma das raízes seja o dobro da outra.
9) Calcule o valor de p na equação 2 8 2 0x x p para que uma das raízes seja o triplo da outra.
10) Determinar m na equação 2 3 7 0x (m )x m , de modo que uma de suas raízes seja o
triplo da outra.
11) Calcule o valor de k na equação 2 36 0x kx para que uma das raízes seja o quádruplo da
outra.
12) Determinar p na equação 2 8 2 3 0x x p , de modo que a diferença de suas raízes seja 4.
13) Determine m, de modo que uma das raízes da equação 21 8 3 0(m )x x seja o inverso da
outra.
14) Calcule o valor de h na equação 23 2 1 10 0(h )x (h )x h , de modo que a soma dos
inversos das raízes seja 1
3.
Exercícios
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