EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Equações algébricas

• Equação polinomial ou algébrica é toda equação que pode ser escrita na forma:

• Onde:

– Os coeficientes an,an-1,an-2,..., a2, a1, a0 C

– n N*

– an diferente de zero!

0... 0

1

1

2

2

2

2

1

1

axaxaxaxaxa n

n

n

n

n

n

Equações algébricas

0)x.(x...).x).(xx-a.(x

:fatorada Forma

grau. primeiro de fatores em

ãodecomposiç e resolução:Importante

0623

03

:

n21

23

23

xxx

xxx

Exemplos

Multiplicidade da raiz

• Prove que 1 é raiz dupla da equação

algébrica abaixo:

Multiplicidade da raiz

• A equação abaixo possui 1 e 2 como raízes.

Função polinomial

PESQUISA DE RAÍZES

Pesquisa de raízes

• Teorema das raízes inteiras

Se r é raiz inteira de uma equação algébrica de

grau n (an0), de coeficientes inteiros:

Com a00, então r é um divisor (inteiro) de a0

011222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn

Exemplo

Pesquisa de raízes

• Teorema das raízes racionais

Se , com p e q primos entre si, é raiz racional de uma equação algébrica de grau n, de coeficientes inteiros:

Com a00, então p é divisor (inteiro) de a0 e q é

um divisor (inteiro) de an

q

pr

011222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn

Exemplo

Pesquisa de raízes

• Teorema das raízes complexas

Se uma equação algébrica de coeficientes reais

admitir a raiz x1=a+bi, admitirá também a raiz

x2=a-bi, conjugada da primeira, com o mesmo

grau de multiplicidade.

Exemplo

Verifique que o número complexo i é raiz da equação.

Exemplo

• Verifique que o número complexo 2+i é raiz da equação.

Pesquisa de raízes

• Teorema das raízes irracionais

Se uma equação algébrica de coeficientes racionais admitir a raiz irracional admitirá também a raiz conjugada da primeira, com o mesmo grau de multiplicidade.

bax 1

bax 2

RELAÇÕES DE GIRARD

Relações de Girard

• Albert Girard (1590-1633)

– Wikipedia: “no seu livro L'invention nouvelle

en l'Algèbre (publicado in 1629), afirmou que

uma equação polinomial de grau n tem n

soluções, mas não disse que tais soluções eram

necessariamente números complexos”

Relações de Girard

a

cxx

a

bxx

xxxxxxa

cx

a

bx

xxxxa

cx

a

bx

xxxxacbxax

cbxax

2121

2121

22

21

2

21

2

2

.

.).(

)).((

)).(.(

0

• No caso de uma equação do 2o. Grau:

Relações de Girard

• Da mesma forma, para uma equação do 3o.

Grau:

a

dxxx

a

cxxxxxx

a

bxxx

dcxbxax

321

323121

321

23 0

Relações de Girard

a

exxxx

a

dxxxxxxxxx

a

cxxxxxxxxxxxx

a

bxxxx

edxcxbxax

4321

431421321

434232413121

4321

234

...

0

Relações de Girard

• A soma das raízes é sempre –b/a e o

produto de todas as n raízes está sempre

relacionado ao termo independente.

TEOREMA DE BOLZANO

Teorema de Bolzano

• Se P(x)=0 uma equação polinomial, com

coeficientes reais e (a; b) um intervalo

aberto: – Se P(a) e P(b) têm mesmo

sinal, então existe um

número par de raízes reais

da equação no intervalo

(a;b). Caso não existam

raízes reais no intervalo,

o número será zero raízes!

Teorema de Bolzano

• Se P(x)=0 uma equação polinomial, com

coeficientes reais e (a; b) um intervalo

aberto: – Se P(a) e P(b) têm sinais

diferentes, então existe um

número ímpar de raízes

reais da equação no

intervalo (a;b). Em particular,

podemos dizer que existe

pelo menos uma raiz real

no intervalo