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Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)Instituto de Matemática e Estatística (IME)

Departamento de Matemática Pura e Aplicada (DMPA)

Plano de trabalho desenvolvido para as datas:Professores: Leonardo Freitas

Resumo da atividade a ser desenvolvida● A atividade tem como objetivo visualizar uma das aplicações da equação quadrática e será

realizada em um encontro de 90 minutos.● A partir da construção de um retângulo áureo exploraremos conceitos matemáticos construídos

em aula.

Objetivo geral da(s) atividade(s) ● Compreender as propriedades do retângulo áureo e utilizá

Conceitos de matemática presentes na atividade● Razão Áurea ● Equação do 2º grau ● Proporção

Público alvo ● Alunos da Turma 102 (1º Ano Ensino Médio)

Justificativa / Relevância ● A atividade foi inspirada a partir do material exposto em “Explorando a Matemática do Número

Φ, o Número de Ouro” de Gilberto Vieira dos Santos (2013), utilizoumaterial como base para o desenvolvimento dessa atividade. Este materapresentar uma didática aplicável e maleável para alcançar os objetivos traçados. O tema escolhido também remete a uma ideia mais histórica da matemática, segundo a BNCC (2018 p. 547), o ensino médio “define competências e habilidadesistematização das aprendizagens essenciais desenvolvidas no Ensino Fundamental no que se refere: aos conhecimentos conceituais da área; à contextualização social, cultural, ambiental e histórica desses conhecimentos.”

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Instituto de Matemática e Estatística (IME) Departamento de Matemática Pura e Aplicada (DMPA)

Plano de trabalho desenvolvido para as datas: 26/08/2019 e 01/09/2019.

Resumo da atividade a ser desenvolvida tem como objetivo visualizar uma das aplicações da equação quadrática e será

realizada em um encontro de 90 minutos. A partir da construção de um retângulo áureo exploraremos conceitos matemáticos construídos

Compreender as propriedades do retângulo áureo e utilizá-las na sua construção.

Conceitos de matemática presentes na atividade

Alunos da Turma 102 (1º Ano Ensino Médio).

A atividade foi inspirada a partir do material exposto em “Explorando a Matemática do Número úmero de Ouro” de Gilberto Vieira dos Santos (2013), utilizou-se a teoria explicada no

material como base para o desenvolvimento dessa atividade. Este materapresentar uma didática aplicável e maleável para alcançar os objetivos traçados. O tema escolhido também remete a uma ideia mais histórica da matemática, segundo a BNCC (2018 p. 547), o ensino médio “define competências e habilidades que permitem a ampliação e a sistematização das aprendizagens essenciais desenvolvidas no Ensino Fundamental no que se refere: aos conhecimentos conceituais da área; à contextualização social, cultural, ambiental e histórica desses conhecimentos.”

Departamento de Matemática Pura e Aplicada (DMPA)

tem como objetivo visualizar uma das aplicações da equação quadrática e será

A partir da construção de um retângulo áureo exploraremos conceitos matemáticos construídos

las na sua construção.

A atividade foi inspirada a partir do material exposto em “Explorando a Matemática do Número se a teoria explicada no

material como base para o desenvolvimento dessa atividade. Este material foi escolhido por apresentar uma didática aplicável e maleável para alcançar os objetivos traçados. O tema escolhido também remete a uma ideia mais histórica da matemática, segundo a BNCC (2018 p.

s que permitem a ampliação e a sistematização das aprendizagens essenciais desenvolvidas no Ensino Fundamental no que se refere: aos conhecimentos conceituais da área; à contextualização social, cultural, ambiental e

Materiais Necessários ● Folhas A4, compasso, régua e esquadro.

Descrição das atividades: Aula 1: Razão Áurea Tempo: 1 hora e 30 minutos Atividade: Construção do Retângulo Áureo e da Razão Áurea

Através da construção do retângulo Áureo será criado, serão aprofundados seus possíveis usos 1º momento: Questionamento sobre a aplicação de matemática na arte

O primeiro momento será uma breve conversa sobre as possíveis aplicações da matemática na arte. Serão mostradas imagens que foram criadas com o uso da proporção áurea (figura 1), questionando se eles conseguem ver alguma matemática envolvida na pintura.

2º Momento: Desafio do Retângulo

Será entregue uma folha A4 para cada aluno, assim como régua, esquadro e compasso.Neste momento será questionado como eles constroem um retângulo, e em seguida será dito

para construírem um retângulo, porém de acordo com os seguintes passos:No primeiro passo será pedido para escolherem um valor para a altura do retângulo

8 e 16 centímetros. No segundo passo será pedido que eles descubram o valor da largura(x) utilizando a seguint

equação: x² - xy - (y²) = 0. Ao encontrarem o valor positivo de x, será pedido para que desenhem o comprimento do retângulo com este valor.

Seguem abaixo os resultados de x positivo para os possíveis y:y = 8, x = 12,9442719 y = 9, x = 14,5623059 y = 10, x = 16,1803399 y = 11, x = 17,7983739 y = 12, x = 19,4164079 y = 13, x = 21,0344419

Folhas A4, compasso, régua e esquadro.

Atividade: Construção do Retângulo Áureo e da Razão Áurea Através da construção do retângulo Áureo será desenvolvido a razão áurea. Com o retângulo

aprofundados seus possíveis usos assim como do número dourado.

Questionamento sobre a aplicação de matemática na arte uma breve conversa sobre as possíveis aplicações da matemática na

arte. Serão mostradas imagens que foram criadas com o uso da proporção áurea (figura 1), questionando se eles conseguem ver alguma matemática envolvida na pintura.

Figura 1: Mona Lisa

Fonte: Leonardo da Vinci

Será entregue uma folha A4 para cada aluno, assim como régua, esquadro e compasso.Neste momento será questionado como eles constroem um retângulo, e em seguida será dito

o, porém de acordo com os seguintes passos: No primeiro passo será pedido para escolherem um valor para a altura do retângulo

No segundo passo será pedido que eles descubram o valor da largura(x) utilizando a seguint(y²) = 0. Ao encontrarem o valor positivo de x, será pedido para que desenhem o

comprimento do retângulo com este valor. Seguem abaixo os resultados de x positivo para os possíveis y:

a razão áurea. Com o retângulo

uma breve conversa sobre as possíveis aplicações da matemática na arte. Serão mostradas imagens que foram criadas com o uso da proporção áurea (figura 1), questionando

Será entregue uma folha A4 para cada aluno, assim como régua, esquadro e compasso. Neste momento será questionado como eles constroem um retângulo, e em seguida será dito

No primeiro passo será pedido para escolherem um valor para a altura do retângulo, sendo entre

No segundo passo será pedido que eles descubram o valor da largura(x) utilizando a seguinte (y²) = 0. Ao encontrarem o valor positivo de x, será pedido para que desenhem o

y = 14, x = 22,6524759 y = 15, x = 24,2765099 y = 16, x = 25,8885438

Figura 2: Construção de x de acordo com seu y

Fonte: Print do programa GeoGebra

3º Momento: Razão Áurea

Após desenhar o retângulo, começaremos dando letras aos segmentos. A altura será o Segmento AB e o comprimento será o segmento BC. Então será pedido para que com um compasso o segmento AB seja transferido para o segmento BC, construindo assim o ponto D no segmento BC.

Após esta construção será apresentada a igualdade da razão áurea, onde = . Será pedido

para então todos calcularem substituindo os valores de acordo com os seus cálculos. Com este cálculo todos encontrarão a razão áurea, indiferente do valor que escolheram para a sua base. 4º Momento: Explicação Razão Áurea

Para a explicação da razão Áurea será utilizado o material encontrado na página 14 de “Funções de Fibonacci: Um estudo sobre a razão áurea e a sequência de Fibonacci” de Fábio Honorato dos Santos (2018), sendo a razão áurea como o resultado positivo da equação x² - x - 1 = 0.

A partir desta explicação será feita a relação desta equação com o que foi usado para a criação do retângulo, buscando entender que quando y é definido como 1 para a equação x² - xy - (y²) = 0 resulta na equação quadrática x² - x -1 = 0.

Aula 2: A arte na Razão Áurea Tempo: 1 hora e 30 minutos Atividade: Construção de infinitos retângulos áureos e a arte da Razão Áurea 1º Momento: Relembrando Conceitos

A partir da revisão sobre a construção realizada na primeira aula, o raciocínio construído no quarto momento será a base para prosseguir com o restante da atividade. Para isso o material elaborado por cada aluno na aula anterior será entregue para continuarem o desenvolvimento a partir do mesmo.

2º Momento: Construção de infinitos retângulos áureos

Para o prosseguimento da atividade será orientado para que com a régua e o compasso sejam construídos novos retângulos inseridos no primeiro retângulo.

O ponto do retângulo ainda não nomeado será chamado de E. Novamente as orientações serão passadas no quadro para os alunos acompanharem.

Os alunos serão orientados a criar, com o auxílio do esquadro, um segmento perpendicular à AE partindo do ponto D, criando o segmento DF, com F sobre AE, construindo retângulo DFEC inserido em ABCE.

Figura 3: Construção que deve ser encontrada pelos alunos

Fonte: Print do programa GeoGebra

Novamente será traçado o segmento perpendicular a CE passando por G. Este processo será

repetido mais uma vez para construir um retângulo inserido em DFEB, este será o retângulo EFHG. Com o auxílio do compasso será marcado o segmento CG projetando a medida do segmento DC

para sobre o lado CE. Novamente será traçado o segmento perpendicular a CE passando por G. Este processo dará origem ao retângulo EFHG. O mesmo processo será repetido mais duas vezes dando origem a novos retângulos.

Figura 4: Construção do Retângulo EFHG, com marcação de G através do uso de compasso

Fonte: Print do programa GeoGebra

3º Momento: Cálculo da razão áurea nos diferentes retângulos construídos

Neste momento será pedido que com os valores de y e x, já obtidos, se faça o calculo para descobrir os valores de DC e EG, com estes valores então a razão áurea deve ser verificada em cada um

dos retângulos, realizando as seguintes divisões e . Com isso será desenvolvido o conhecimento de

que “O Retângulo Áureo é o único retângulo com a propriedade de que, ao se cortar um quadrado, forma-se outro retângulo similar” (FRANCISCO,2017, p. 38).

4º Momento: Desenho a partir da seção áurea O conhecimento construído no terceiro momento será a base para que possa ser dado o exemplo

de uso da razão áurea na arte. Este exemplo será exibido com o vídeo encontrado em https://www.youtube.com/watch?v=6NWR8-HEWKo e com a reexibição das imagens utilizadas no primeiro momento (figura 2).

A partir destes exemplos será pedido para que os alunos elaborem um desenho aplicando os conhecimentos sobre a razão áurea desenvolvidos em aula.

Figura 5: Mona Lisa com Retângulo Áureo

Fonte: Francisco (2017).

Bibliografia: ● BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Base nacional comum curricular.

Acesso em: 20 de ago. de 2019. ● SANTOS, Gilberto. Explorando a Matemática do Número Φ, o Número de Ouro. Dissertação de

mestrado. Universidade Estadual Paulista, Brasil, 2013. ● SANTOS, Fábio. Funções de Fibonacci: Um estudo sobre a razão áurea e a sequência de

Fibonacci. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de Alagoas, 2018. ● FRANCISCO, Samuel. ENTRE O FASCÍNIO E A REALIDADE DA RAZÃO ÁUREA. Dissertação de

Mestrado. Universidade Estadual Paulista, Brasil, 2017