quantificadores lÓgicos são proposições categóricas que transformam sentenças abertas em...

QUANTIFICADORES LÓGICOS

São proposições categóricas que transformam sentenças abertas em proposições lógicas, pela quantificação das variáveis.Exemplo: P(x) = x + 3 > 5 não é proposição por ser sentença aberta.

Quantificação:Existe x, x + 3 > 5, é verdadeira sePara todo x, x + 3 > 5, é falsa se

}4,2,0{x}4,2,0{x

QUANTIFICADORES LÓGICOS

a) Universal afirmativo: TODO A É B.Exemplo: Todo policial é honesto.

b) Existencial negativo: ALGUM A NÃO É B.Exemplo: Algum policial não é honesto.

c) Existencial afirmativo: ALGUM A É B.Exemplo: Algum policial é honesto.

d) Universal negativo: NENHUM A É B.Exemplo: Nenhum policial é honesto.

QUANTIFICADOR UNIVERSAL AFIRMATIVOTODO A É B

Utilizaremos diagramas de conjuntos (diagramas lógicos) para justificarmos a natureza lógica dos quantificadores.

Todo A é B: Indica que todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B.Forma lógica: Será associado à condicional lógica.

DIAGRAMA LÓGICO

)()(, xBxAx

A

B

EXEMPLO

Todo policial é honesto.Forma:

H

P

)()(, xHxPx

QUANTIFICADOR EXISTENCIAL NEGATIVOALGUM A NÃO É B

Algum A é não é B: Indica que pelo menos um elemento de A não é elemento de B.

É a negação do quantificador “todo A é B.”Forma lógica:

DIAGRAMA LÓGICO

)()(, xBxAx

A B

EXEMPLO

Algum policial não é honesto.Forma:É a negação de “todo policial é honesto” HP

)()(, xHxPx

QUANTIFICADOR EXISTENCIAL AFIRMATIVO ALGUM A É B

Algum A é B: Indica que pelo menos um elemento de A é elemento de B. Os conjuntos A e B possuem pelo menos um elemento comum.

Forma lógica:

DIAGRAMA LÓGICO

)()(, xBxAx

A B

EXEMPLO

Algum policial é honesto.Forma:

HP

)()(, xHxPx

QUANTIFICADOR UNIVERSAL NEGATIVONENHUM A É B

Nenhum A é B: Indica que os conjuntos A e B não possuem elementos comuns, A e B são disjuntos.É a negação do quantificador “Algum A é B.”

Forma lógica:DIAGRAMA LÓGICO

)()(, xBxAx

A B

BA

QUADRO RESUMO

QUANTIFICADOR NEGAÇÃOTODO A É B ALGUM A NÃO É B

ALGUM A É B NENHUM A É B

BA

A B

A B

EXEMPLOS

1) Qual a negação de toda pessoa saudável pratica esportes.Respostas:

• alguma pessoa saudável não pratica esportes.

• Pelo menos uma pessoa saudável não pratica esportes.

• Ao menos uma pessoa saudável não pratica esportes.

EXEMPLOS

2) Qual a negação de todo homem é bom motorista.

Resposta: algum homem não é bom motorista.

EXEMPLOS

3) Qual a negação de toda mulher é complicada.Resposta: Essa é a única proposição que não tem negação.Brincadeirinha meninas.

Resposta: Alguma mulher não é complicada

EXEMPLOS

4) Qual a negação de Algum engenheiro de software é médicoResposta: Nenhum engenheiro de software é médico.

Obs: Algum A é B equivale a Algum B é A.(Comutativa)

EXEMPLOS

4) Qual a negação de Nenhuma pessoa rica é feliz.Resposta: alguma pessoa rica é feliz.

Obs: Nenhum A é B equivale a Nenhum B é A (comutativa)

EXERCÍCIOS

14) (Esaf) Todos os alunos de matemática são, também, aluno de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então: a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.b) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.e) todos os alunos de informática são alunos de português.

14) Resolução

vmat

Ing Hist

Port

Info

15) (FCC/TRF) Algum A é B. Todo A é C. Logo (A) algum D é A.(B) todo B é C.(C) todo C é A.(D) todo B é A.(E) algum B é C.

Poderia ser assim?

A BC

Poderia ser assim também!

A BC

16) (FCC) Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira, é correto inferir que a) "nenhum livro é instrutivo" é uma proposição

necessariamente verdadeira.b) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou

falsa.c) "algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou

falsa.d) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente

verdadeira.e) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição

necessariamente verdadeira.

17) (FCC/2011 - BB) Um jornal publicou a seguinte manchete:“Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.” Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de

funcionários.b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários.d) Existem Agências com deficit de funcionários que não pertencem

ao Banco do Brasil.e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo.

18) (FCC) Se "Alguns poetas são nefelibatas" e "Todos os nefelibatas são melancólicos", então, necessariamente: (A) Todo melancólico é nefelibata.(B) Todo nefelibata é poeta.(C) Algum poeta é melancólico.(D) Nenhum melancólico é poeta.(E) Nenhum poeta não é melancólico.

Poderia ser assim?

P NM

Poderia ser assim também!

P NM

19) (Cespe) Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas áreas de direito, administração e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais. Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura.Com base nas informações acima, é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha 1) encontrado um livro de administração de capa dura.2) Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.3) Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa

dura.4) Comprado um livro importado de direito de capa flexível.

Alguns livros de direito (D) são nacionais(N).Todos os livros de administraçao(A) são nacionais(N).Todo livro nacional(N) é de capa flexível(F).

DN F

A

Alguns livros de direito (D) são nacionais(N).Todos os livros de administraçao(A) são nacionais(N).Todo livro nacional(N) é de capa flexível(F).

DN F

A

20) (Esaf) A negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta a escola” é

a) “Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola”.

b) “Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola”.

c) “Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola”.

d) “Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola”.

e) “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.”

21) (Esaf) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas” é: a) “Todas as mulheres são boas motoristas”b) “algumas mulheres são boas motoristas”.c) “Nenhum homem é bom motorista”.d) “Todos os homens são maus motoristas”.e) “Ao menos um homem é mau motorista.”

22) (FCC/2010 – TCE/SP) Considere as seguintes afirmações: − Todo escriturário deve ter noções de Matemática.− Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo são escriturários. Se as duas afirmações são verdadeiras, então é correto afirmar que: a) Todo funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo deve ter

noções de Matemática.b) Se Joaquim tem noções de Matemática, então ele é escriturário.c) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo,

então ele é escriturário.d) Se Joaquim é escriturário, então ele é funcionário do Tribunal de Contas do

Estado de São Paulo.e) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo podem

não ter noções de Matemática.

Todo escriturário (E) tem noção de matemática(M)Alguns funcionários(F) do TCE/SP são escriturários(E).

M

FE

Todo escriturário (E) tem noção de matemática(M)Alguns funcionários(F) do TCE/SP são escriturários(E).

M

F

E

23) (Esaf) Em uma comunidade todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente: a) Todo responsável é artista.b) Todo responsável é filósofo ou poeta.c) Todo artista é responsável.d) Algum filósofo é poeta.e) Algum trabalhador é filósofo.

Todo trabalhador(T) é responsável(R). Todo artista(A), se não for filósofo(F), ou é trabalhador(T) ou é poeta(P). Todo filósofo(F) e todo poeta(P) é responsável.

T F

P

A A

A

24) (Esaf) Em uma pequena comunidade, sabe-se que: “nenhum filósofo é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade a) alguns filósofos são professoresb) alguns professores são filósofosc) nenhum filósofo é professord) alguns professores não são filósofose) nenhum professor é filósofo

25) Qual é a negação da proposição “Alguma lâmpada está acesa e todas as portas estão fechadas”? a) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma porta está

aberta.b) Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está

aberta.c) Alguma lâmpada está apagada e nenhuma porta está aberta.d) Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma porta está

aberta.e) Alguma lâmpada está apagada e todas as portas estão

abertas.

25) Negação de A e B = não A ou não B

I) negação de “Alguma lâmpada está acesa”resposta: nenhuma lâmpada está acesa(equivale a “todas as lâmpadas estão apagadas”)

II) negação de “todas as portas estão fechadas”resposta: alguma porta não está fechada.(equivale a “alguma porta está aberta”)

Finalmente: Todas as lâmpadas estão apagadas OU alguma porta está aberta.

Letra B

26) (Esaf) Todas as amigas de Beto são, também, amigas de Berenice, mas nenhuma amiga de Berenice é amiga de Bruna. Todas as amigas de Bia são também amigas de Bela, e algumas amigas de Bela são também amigas de Bruna. Como nenhuma amiga de Bela é amiga de Berenice, e como Bela, Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum, então: a) Pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna.b) Pelo menos uma amiga de Beto é amiga de Bruna.c) Todas as amigas de Bela são amigas de Beto.d) Todas as amigas de Bela são amigas de Bia.e) Nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto.

26) Resolução

vBeto

BereBruna

Bia

Bela

27) (FCC/Auditor SP)Considerando os Auditores-Fiscais que, certo mês, estiveram envolvidos no planejamento das atividades de fiscalização de contribuintes, arrecadação e cobrança de impostos, observou-se que: todos os que planejaram a arrecadação de impostos também planejaram a fiscalização de contribuintes;alguns, que planejaram a cobrança de impostos, também planejaram a fiscalização de contribuintes. Com base nas observações feitas, é correto afirmar que, com certeza,

a) todo Auditor-fiscal que planejou a fiscalização de contribuintes esteve envolvido no planejamento da arrecadação de impostos.

b) se algum Auditor-fiscal esteve envolvido nos planejamentos da arrecadação e da cobrança de impostos, então ele também planejou a fiscalização de contribuintes.

c) existe um Auditor-fiscal que esteve envolvido tanto no planejamento da arrecadação de impostos como no da cobrança dos mesmos.

d) existem Auditores-fiscais que estiveram envolvidos no planejamento da arrecadação de impostos e não no da fiscalização de contribuintes.

e) pelo menos um Auditor-fiscal que esteve envolvido no planejamento da cobrança de impostos também planejou a arrecadação dos mesmos.

(FCC/2010-TRT) Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que

a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves.b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves.c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves.d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves.e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não

ser Cleves.

Todos os Aleves são Bleves.Todos os Cleves são Bleves.Todos os Dleves são Aleves.Todos os Cleves são Dleves.

C

D

A

B