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PROPORÇÃO ÁUREA

“O poder do segmento áureo de criar harmonia advém de sua capacidade singular de unir as diferentes partes de um todo, de tal forma que cada uma continua mantendo sua identidade, ao mesmo tempo que se integra ao padrão maior de um todo único.

Gyorgy Doczi, O poder dos limites: harmonia e proporções na natureza, arte e arquitetura, 1986

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...

Seqüência de Fibonacci

0+0=0

0+1=1

1+1=2

1+2=3

2+3=5

3+5=8

5+8=13

8+13=21

13+21=34

21+34=55

Ao examinar o Triângulo Chinês (Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Sequência de Fibonacci e o número de ouroDe que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Se considerarmos a sequência de Fibonacci como um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra sequência:1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666..., 8/5=1.6, ...

É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci:

As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra grega Phi

Quando n tende a infinito, o limite é exatamente Phi, o número de ouro.

21.282 : 13.153 = 1,61803

Segmento Áureo

1 2 3

654

7 8 Temos então a proporção:

= 1.61803

Retângulo Áureo

1 2 3

654

Espiral logarítmica

Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendoo lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamosagora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) eteremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com ladosiguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passoanterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... queé a sequência de Fibonacci.

Usando um compasso, trace um quarto de círculo noquadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado.De acordo com o desenho ao lado, trace quartos de círculosnos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

Espiral logarítmica

Proporções áureas

Este método pode resultar

em uma série de círculos e

quadrados que mantém

entre si a proporção áurea.

Retângulo áureo, método de

construção com triangulo

Proporções áureas em círculos e quadrados

O método de construção

de seção áurea por meio

do triangulo também

produz uma série de

círculos ou quadrados

áureos.

Triângulos e elipses áureos

Construção do triangulo áureo

a partir do pentágono

Construção do triangulo áureo

secundário a partir do pentágono

Construção do triangulo áureo

a partir do decágono

Proporções áureas do pentagramaA estrela de cinco pontas criada a

partir das diagonais de um pentágono

regular é um pentagrama, cuja parte

central é um outro pentágono.

Criação de espiral áurea a partir do triangulo áureoTraçando um novo ângulo de 36° a partir

de um ângulo da base. Para criar a espiral

usa-se o comprimento dos lados dos triângulos

das subdivisões como raio de um círculo.

Triângulos e elipses áureos

Retângulos áureos dinâmicos

Retângulo de Raiz de 2

Prolongue os dois lados opostos

do quadrado de modo que

tangenciem o círculo.

Espiral decrescente de Raiz de 2Traça-se e conecta-se as diagonais

nos retângulos recíprocos de raiz de 2

Relações proporcionais de raiz de 2A subdivisão contínua de

um retângulo raiz de 2

resulta em retângulos

similares proporcionalmente

menores.

Construção da Logomarca da Apple

Cadeira Barcelona, Mies van der Rohe, 1929

A cadeira se encaixa

perfeitamente num cubo.

As curvas principais tem o

mesmo raio do quadrado.

O outro circulo tem

metade do raio dos

maiores.

Cadeira Brno, Mies van der Rohe, 1929

Vista de cima a

cadeira encaixa-se

num quadrado.

Na vista frontal e lateral a

cadeira coincide com um

retângulo áureo.

O ângulo das pernas

dianteiras e o do encosto

da cadeira são simétricos,

e os raios das curvas

estão em proporção 1:3

Cadeira Plywood, Charles Eames, 1946

EncostoEnquadra-se perfeitamente

em um retângulo áureo

ProporçõesNa cadeira para sala

de jantar as proporções

são bem próximas da

seção áurea.Os raios dos

cantos do

encosto e

das pernas

tubulares são

proporcionais

entre si, nas

razões 1:4:6:8

A=1

B=4

C=6

D=8

Cadeira Tulipa, Eero Saarinen, 1957

Elipse áurea

Vista lateral e frontal encaixam-se

nas proporções áureas.

As curvas principais

do pedestal conformam-se

às proporções da elipse áurea.

O limite frontal

da cadeira fica

no ponto central

do retângulo.

Processador de alimentos Braun, 1987

O comprimento do eixo

longo do processador

é de 1/3 da altura total.

Os detalhes dos raios

do botão e das superfícies

se adéquam uns aos outros.

Há simetria geral e até

a posição da marca é

rigidamente definida

em função dos outros

elementos.

Cafeteira Aromaster Braun

A superfície da cafeteira

pode ser divida em uma

série de elementos

regulares.

A marca fica ligeiramente

acima do centro.

A trave diagonal da alça

está alinhada com a ponta

superior da cafeteira.

A simetria dos elementos

pode ser notada no botão

inferior, alinhado com as

marcas de medida e as

aberturas de ventilação.

Chaleira II Conico, Aldo Rossi, 1980-1983

A chaleira pode

ser analisada

com um grid de 3x3.

O terço superior

compõe-se da tampa

e da esfera no vértice,

a porção intermediária

abrange o bico e a alça

e o terço inferior, a base.

A forma dominante é o cone derivado

de um triangulo equilátero.

A alça é um triangulo reto invertido,

metade de um triangulo equilátero

A frente do carro é quase

um quadrado com a marca

no centro.

New Beatle, Volkswagem 1997A carroceria encaixa-se na parte superior da

elipse áurea.

Outra elipse áurea abrange as janelas laterais.

Uma elipse tangencia o contorno do paralama

dianteiro e da roda traseira. O eixo principal

da elipse tangencia

os contornos

dos paralamas

dianteiro e

traseiro.

Bibliografia

ELAM, Kimberly. Geometria do design: estudos

sobre proporção e composição. São Paulo:

Cosac Naify, 2010

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/

alegria/fibonacci/seqfib2.htm