progressão geométrica (soma dos termos, produto e aplicações)

Progressão Geométrica• Soma dos Termos• Produto• Aplicações

UM POUCO DA HISTÓRIA

As progressões tiveram seus primeiros estudos através do babilônicos.

Pelos egípcios a progressão era usada para verificar os períodos de enchentes do rio Nilo, pois eles precisavam saber quando haveria inundação, e deste modo eles poderiam plantar na época certa garantindo seus alimentos.

No Papiro de Rhind também aparece uma progressão geométrica muitointeressante formada pelas frações ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 do Hekat,(unidade comum do volume usada para medir quantidade de grãos). Os termos dessa sequência são conhecidos como frações dos olhos do deus Hórus.

Os egípcios estavam aptos a somar progressões geométricas com 6 elementos, usando multiplicação por um fator comum:

Os egípcios multiplicariam todos os elementos por 64 ( o ultimo denominador) e encontrariam :

Soma dos termos da P.G. finita

Dada a P.G.() , a soma dos n primeiros termos da P.G. é dada por:

Multiplicando a igualdade por q, onde é a razão da P.G dada:

Fazendo - , temos:

II

I

I

II I

𝑆𝑛=𝑎1(𝑞

𝑛−1)𝑞−1

Em uma pequena cidade, 5 pessoas ficam sabendo em certo dia, que Mirin e Jorge começaram a namorar. No dia seguinte, cada uma delas contou essa “fofoca” para outras duas pessoas. Cada uma dessas pessoas repassou, no dia seguinte, essa “fofoca” para outras duas pessoas e, assim, sucessivamente. Passados oito dias, quantas pessoas já estarão sabendo da “fofoca”?

Resposta: 1275 pessoas estarão sabendo.“Eita povo fofoqueiro”

Resolução

Produto dos termos de uma P.G. limitada

Em uma P.G. de razão , o produto de seus termos , é dado por:

Multiplicando as igualdades, temos:

...

...

Somando os expoentes de “”:

𝑃𝑛=𝑎1𝑛 .𝑞

𝑛(𝑛− 1)2

Qual o produto dos 5 primeiros termos de uma PG, cuja razão é 2 e o primeiro termo vale 1 e o 5° termo 16?

Resposta: O produto será 1024.

Resolução 1