programa temático - · pdf fileanálise de circuitos eléctricos -...
Post on 05-Feb-2018
229 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 1
PROGRAMA TEMÁTICO
CURSO: Licenciatura em Engenharia Informática
DISCIPLINA: Análise de Circuitos DISCIPLINA DE FORMAÇÃO
ANO: 1º
PESO: 3 GERAL
BÁSICO-
ESPECÍFICA x
SEMESTRE: 2º CRÉDITOS: 6 BÁSICA ESPECÍFICA
OBJECTIVOS GERAIS:
No fim desta disciplina os estudantes devem ser capazes de:
Analisar os circuitos eléctricos lineares de corrente contínua e corrente alternada;
Analisar e calcular os circuitos trifásicos;
Analisar e calcular os processos transitórios nos circuitos eléctricos;
Analisar e calcular circuitos com quadrípolos.
TEMAS
HORAS
TEOR. PRÁT. SEMIN. LAB. TOTAL
1 Conceitos básicos 2 4 0 0 6
2 Comportamento dos elementos dos circuitos
eléctricos: Fontes de energia; Resistência,
Capacitaria e Indutância
4 6 0 0 10
3 Análise de Circuitos lineares de corrente
contínua
8 10 0 4 22
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 2
4 Análise de Circuitos lineares de corrente
alternada sinusoidal
10 12 0 4 26
5 Circuitos Acoplados e Transformadores
monofásicos
4 6 0 4 14
6 Fenómenos transitórios 6 8 0 4 18
TOTAL DE HORAS 34 46 0 16 96
1. BIBLIOGRAFIA:
1. Notas do docente
2. Bartkowiak, Robert A. Circuitos eléctricos, Makron Books, 1994, São Paulo, Brasil.
3. Edminister, Joseph A. Circuitos eléctricos (350 probl. resolvidos), 2ª edição, Macron, McGraw-
Hill, 1991, São Paulo, Brasil.—(Coleção Schaum).
4. Edminister, Joseph A. Circuitos eléctricos (280 probl. resolvidos), 2ª edição, McGraw-Hill,
1985, São Paulo, Brasil.
5. Bessonov L. Electricidade aplicada para engenheiros, 1ª edição , Edições Lopes da Silva, 1975,
Porto/Portugal.
2. LECCIONAÇÃO:
1 REGENTE: Prof. engº Afonso Lobo : alobo@uem.mz
→→ Aulas Teóricas e Teórico-Práticas
1 ASSISTENTE Engº Gerson Zango
→→ AULAS PRÁTICAS E LABORATORIAIS
3. AVALIAÇÃO:
3 TESTES
4 LABORATÓRIOS
4 TPCS:
TPCSMÉDIAx10LABSxMÉDIA20TESTESMÉDIAx70Frequência ,,,
DISCIPLINAS PRECEDENTES: DISCIPLINAS SUBSEQUENTES:
Física Electrónica Básica
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 3
AVALIAÇÃO SEMANA CAPÍTULOS
TESTE 1
5ª
Conceitos básicos
Resistência, capacitaria e indutância
Análise de Circuitos Lineares de corrente contínua
TESTE 2
9ª
Circuitos Lineares de corrente alternada sinusoidal
TESTE 3 15ª Circuitos acoplados e Transformadores monofásicos
Fenómenos transitórios
LABS A PARTIR DA 8ª
SEMANA
TODOS CAPÍTULOS
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 4
TEMA 1- CONCEITOS BÁSICOS
1. Definições:
Newton :
È a força produzida por uma aceleração de 1 m/s2 sobre uma massa de 1 kg, isto é:
2s
maxkgmNF
Joule:
É o trabalho realizado por uma força de 1 N para deslocar uma massa de 1 kg numa distância de 1
m, isto é:
mdxNFJW
watt:
É a energia transferida durante o intervalo de tempo de 1 s, isto é:
sdt
JdWwp
Carga Eléctrica
Existem 2 tipos de carga eléctrica carregada por partículas elementares chamadas de portadores
de carga: positiva e negativa. Os portadores de carga positiva são protões e os de carga negativa,
electrões. Todas as demais cargas são múltipos inteiram destas cargas elementares. Repelem-se
se forem do mesmo sinal e atraem-se se forem de sinais contrarios.
A unidade da carga é o Coulomb (C).
A carga Transportada por um electrão(-e) e um protão (+e) é 1,602x10-19
C .
Submúltiplos usuais do Coulomb:
Submúltiplo Símbolo Factor de Multiplicação
Micro-Coulomb μC 10-6
Nano-Coulomb ηC 10-9
Pico-Coulomb pC 10-12
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 5
Lei de Coulomb
A lei de Coulomb governa a força de interacção de duas cargas num determinado meio
homogéneo.
Força entre duas cargas no vácuo
221
0 r
4
1F
Onde:
Q1 e Q2→ são duas cargas puntiformes;
r→ a distância entre as duas cargas;
ε0→ Permissividade do vácuo que depende das unidades usadas para Q1 , Q2 , r e F.
Se F[N]; r[ m]; Q1 [C] e Q2 [C], Então: ε0=8,85x10-12
[ C2/N.m
2 ]
Entretanto, se definir-se:
04
1k
Então:
2
21
r
QQkF
onde
k→ É uma constante de proporcionalidade que depende também das unidades usadas
para Q1 , Q2 , r e F.
Se F[N]; r[ m]; Q1 [C] e Q2 [C] k=9x109[ N.m
2/C
2]
Força entre duas cargas em meio diferente do vácuo:
Para um meio diferente do vácuo as forças causadas pelas cargas induzidas no meio reduzem a
força resultante entre as cargas livres mergulhadas no meio. A força resultante é dada por:
221
r
4
1F
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 6
Onde ε é a permissividade de qualquer meio circundante. Em geral, para um meio circundante
arbitrário diferente do ar, ε>ε0. Para o ar, ε é apenas ligeiramente maior que ε0 e para a maioria
dos propósitos é considerado igual a ε0 . Para os demais materiais,
0r
Onde εr é uma constante adimensional, chamada de constante dieléctrica relativa ou capacidade
indutiva específica do material entre as cargas.
Diferença de Potencial (d.d.p.) V ou Tensão Eléctrica
A diferença de potencial entre dois pontos V, é a medida do trabalho necessário para transferir
uma carga unitária de um ponto para o outro. A d.d.p. entre dois pontos é medida em [ Volts ]. O
volt é a diferença de potencial entre dois pontos quando é necessário o trabalho de um Joule para
a transferência de 1 Coulomb de um ponto para o outro. Portanto,
C
J1V1
Corrente i
O material que contém electrões livres, capazes de se deslocarem de um átomo para o seguinte, é
um condutor. Aplicando-se nele uma d.d.p., os electrões ganham energia cinética e se deslocam.
Quando uma carga Q está sendo transferida de um ponto para o outro de um condutor, existe nele
uma corrente eléctrica. Se a carga é transferida na razão constante de 1 C/s, a corrente constante
existente é 1 Ampère. Portanto,
s
C1A1
Em geral, a corrente eléctrica instantânea i num condutor é dada por:
sdt
CdQAi
O sentido da corrente positivo é, por convenção, oposto àquele em que se deslocam os electrões.
Sentido da Corrente
Movimento de Electrões
Figura Corrente eléctrica num condutor
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 7
Potência, p
A potência eléctrica p é por definição a taxa de transferência de energia em função de tempo.
Num circuito eléctrico ela é dada pelo produto da tensão aplicada v pela corrente resultante i, isto
é:
AixVvWp
Por definição, a corrente positiva sai do terminal positivo da fonte, como mostrado na figura a
seguir. Assim, quando p é positiva, a fonte transfere energia para o circuito e quando é negativa,
recebe energia do circuito.
i
v
Figura - Sentido da corrente
Se a potência p é uma função periódica de tempo t, de Período T, a potência média é dada por :
T
0
dtpT
1P
Energia , W
Sendo a potência a taxa de transferência de energia em função de tempo,
2
1
t
t
dtpWdt
wdp
Onde W é a energia transferida durante o intervalo de tempo considerado.
Circuito e elementos de um circuito eléctrico
Um circuito eléctrico é um caminho fechado por onde circula uma corrente eléctrica e o seu
objectivo é fornecer energia eléctrica a um consumidor de energia eléctrica. A corrente eléctrica
circula partindo da fonte, passando pelos elos de ligação que ligam a fonte ao consumidor
retornando finalmente à fonte. Qualquer circuito eléctrico é composto de elementos activos e
passivos.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 8
Elementos activos ou fontes de energia
Os elementos activos são aqueles que podem fornecer energia eléctrica ao circuito.
Fontes de energia independentes
Bateria ou PilhaGerador de
tensão Contínua
ou Dínamo
Gerador de
tensão alternada
ou alternador
Fonte de corrente
Figura. Fontes de energia independentes
Elementos passivos e comportamento
São aqueles que absorvem a energia fornecida pelas fontes ou elementos activos. Estão neste
grupo os resistores, os indutores ou bobinas e os capacitores ou condensadores.
Um elemento de circuito eléctrico recebendo energia eléctrica pode comportar-se de cada uma
das seguintes formas:
Consumir energia: O elemento de circuito é um elemento resistivo, ou simplesmente
resistor puro;
Armazenar energia num campo magnético: O elemento de circuito é um elemento
indutivo, ou apenas, Indutor puro;
Armazenar energia num campo eléctrico: O elemento de circuito é um elemento
capacitivo ou em outras palavras, um Capacitor puro.
Resistor e Resistência, R
Aplicando-se uma diferença de potencia v(t) entre os terminais de um resistor puro, uma corrente
i(t) proporcional àquela irá circular no elemento resistivo. A constante de proporcionalidade R é
designada de resistência eléctrica sendo expressa em volts/ampère ou Ohms [Ω]. Efectivamente
ela representa a oposição que o elemento oferece ao estabelecimento de uma corrente eléctrica. A
relação entre a diferença de potencial e a corrente eléctrica é conhecida por Lei de Ohm que no
caso do resistor é dada por:
)t(iR)t(v
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 9
i(t)
v(t)
+
-
R
Figura - Elemento Resistivo
Resistividade, condutividade e condutância
A resistência eléctrica de um condutor depende do material de que o mesmo é feito. A resistência
do condutor é dada pela seguinte expressão:
A
lR
Onde:
é uma constante de proporcionalidade e designa-se resistividade. Na verdade é
uma característica que mede a dificuldade com que o material de que é feito o condutor deixa
passar a corrente eléctrica.
l é o comprimento do condutor e
A a secção transversal do condutor.
O recíproco da resistividade se chama condutividade do material e representa-se por . Assim,
a resistência do condutor pode ser calculada a partir da fórmula:
A
l
A
l1R
.
.
onde é a condutividade do material que mede a facilidade com
que o material deixa passar a corrente eléctrica.
Por outro lado, define-se como condutância de um condutor ao inverso da sua resistência
eléctrica e representa-se por "" g . Assim,:
l
A
Rg .
1
A tabela a seguir mostra a resistividade de diferentes materiais
Tabela 1.4 Resistividade de diferentes materiais
Material Resistividade a 20ºC
m.
Prata 1,64.10-8
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 10
Cobre recozido 1,72.10-8
Alumínio 2,83.10-8
Ferro 12,3.10-8
Constantan 49.10-8
Nicromo 100.10-8
Silício 2500
Papel 1010
Mica 5.1011
Quartzo 1017
Influência da temperatura na resistência
Conhecendo-se a resistência do material a uma determinada temperatura a resistência em
qualquer outra temperatura é dada por:
101
022 R
TT
TTR .
,
onde:
1R É a resistência à temperatura 1T e 2R é a resistência à temperatura 2T
0T á temperatura em que teoricamente a resistência eléctrica do material é nula.
Naturalmente esta temperatura é uma característica do material condutor. A tabela 1.5
mostra os valores de 0T para diferentes materiais.
Tabela 1.6 Temperatura absoluta para diferentes materiais :
Material Temperatura absoluta 0T
Cº
Tungsténio -202
Cobre -234,5
Alumínio -236
Prata -243
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 11
Constantan -125.000
A resistência em função da temperatura também pode ser calculada a partir da expressão:
121T12 TT1RR
Onde 1T é o coeficiente de temperatura do material à temperatura 1T . Normalmente 1T é
tomado igual a 20ºC. A tabela 1.7 a seguir mostra coeficientes de temperatura para diferentes
materiais.
Tabela 1.7 Coeficientes de temperatura para diferentes materiais :
Material Coeficiente de Temperatura 1T a 20ºC
C
1
º
Tungsténio 0,0045
Cobre 0,00393
Alumínio 0,00391
Prata 0,0038
Constantan 0,000008
Carbono -0,0005
O coeficiente de temperatura de um material a qualquer temperatura pode ser também
determinado através da expressão:
011
TT
1
Consumo de potência no resistor
Uma característica muito importante de um resistor é a sua capacidade de dissipação de potência
eléctrica ou potência máxima. Esta depende da sua capacidade de isolamento, isto é, voltagem
máxima suportada e corrente máxima permissível. O consumo real de potência depende da
voltagem aplicada aos seus terminais e da corrente que o atravessa e é dada pela expressão:
R
V
R
VVRIIIRIVP
22
....
Circuito aberto e curto-circuito
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 12
Por definição, um circuito aberto é aquele que possui uma resistência infinita. Portanto, não
circula corrente nele quando aplicada uma voltagem finita aos seus terminais. Diagramaticamente
ele é representado por dois terminais não ligados.
Pelo contrário, um curto-circuito possui uma queda de tensão nula, qualquer que seja a corrente
finita nele circulando. Diagramaticamente é representado por um condutor ideal, isto é, com
resistência nula. Os terminais ficam conectados sem resistência alguma.
Nem o curto-circuito, nem o circuito aberto são desejáveis. A sua ocorrência indica um defeito ou
mau funcionamento do circuito.
Resistência interna de uma fonte
Qualquer fonte de energia real possui uma determinada resistência correspondente aos processos
intrínsecos de funcionamento. A esta resistência intrínseca se chama de resistência interna da
fonte. Ela interfere no funcionamento da fonte. A fonte de corrente possui uma resistência interna
que tende ao infinito.
Fonte de
corrente ideal
Resistência
interna TerminaisFonte de tensão
ideal
Resistência
interna
Terminais
Fonte de
corrente real
Fonte de tensão
real
Figura. Representação de fontes de energia reais.
Indutor (Bobina) e Indutância (L)
À constante de proporcionalidade è chamada de coeficiente de auto-indução, auto-indutância,
indutância - própria ou simplesmente indutância do elemento indutivo ou indutor. Fisicamente
ela representa a oposição que o elemento oferece à variação do fluxo. A relação entre a tensão
induzida e a taxa de variação da corrente que a provoca é dada por:
dt
idL)t(v
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 13
Ou ainda,
dtvL
1)t(i
i(t)
v(t)
+
-
L
Figura - Elemento Indutor
Sendo v expresso em volts; di/dt em àmperes/segundo; L será expresso em Volt-segundo/àmpere,
ou Henry (H).
Capacitor (Condensador) e Capacitância (C)
Foi já referido que um capacitor é um elemento que armazena energia eléctrica num campo
eléctrico. Esta energia apresenta-se na forma de uma carga entre dois pontos com potenciais
diferentes, sendo que a diferença de potencial, v, entre os terminais do capacitor é proporcional à
carga eléctrica, q, armazenada. A constante de proporcionalidade C é designada de capacitância
do capacitor. A relação entre a carga e a tensão é:
)t(vC)t(q
Sendo,
dt
)t(dq)t(i
Vem,
dt
tdvCti
)(
)( =
Ou ainda,
dtiC
1)t(v
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 14
i(t)
v(t)
+
-
C
Figura - Elemento Capacitivo
Com Coulomb; v em volts, C é expresso em Coulomb/volt ou Farads [ F ].
F10microfarad1F16
F10picofarad1pF112
Topologia dos circuitos eléctricos
No que concerne à topologia ou configuração um circuito eléctrico é uma combinação de
elementos activos e passivos de modo a formarem um ou mais caminhos fechados. Quando é
constituído por vários caminhos, cada um deles chama-se malha ou laço. O ramo é uma
combinação de um ou mais elementos que são atravessados pela mesma corrente. Os pontos de
convergência ou junção de 2 ou mais ramos chamam-se nós.
Nós
MalhaFonte
de
corrente
Ramo
RamoFonte
de
tensäo
Circuito eléctrico
Malha
Leis de Kirchhoff
1a Lei:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 15
1a Formulação - A soma das correntes que chegam a um nó é igual a soma das correntes que dele
saem, esta regra é também conhecida como lei dos nós.
2a Formulação - O somatório das correntes que chegam e saem de um nó é nula.
Resumidamente,
i1
i2 i
3
i4
i5
saindocorrentes
entrandocorrentes
054321
54231
iiiii
Ou
iiiii
2a Lei:
1a Formulação - A soma das elevações de potencial ao longo de qualquer circuito fechado é igual
à soma das quedas de potencial nesse mesmo circuito.
2a Formulação - A soma algébrica das diferenças de potencial, ao longo de um circuito fechado,
é nula. Se existir mais de uma fonte e os sentidos não forem iguais, será considerada positiva a
tensão da fonte cujo sentido coincidir com o admitido para a corrente. Esta regra é conhecida por
Lei de Malhas.
vA
vB
R L
i
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 16
potencialdequedas
potencialdeelevações
0
dt
diLiRVV
Ou
dt
diLiRVV
BA
BA
Associação dos elementos num circuito
Ligação de resistores em série
R1
R2
R3
Rn
V1
V2
V3 V
n
VT
I I I I
Figura. resistores associados em série
Com efeito, vem::
nn RIV
RIV
RIV
RIV
...
33
22
11
Por outro lado,
eqsnnT RIRRRRIVVVVV ......
321321
Onde Req é o valor da resistência do resistor que substitui o conjunto de todos os resistores da
associação.
Pela lei de Ohm, vem:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 17
n
Teqs RRRR
I
VR ...
321
Generalizando, a resistência equivalente de uma associação de n resistores associados em série é
dada pela seguinte fórmula:
N
n
neqs RR1
Divisor de tensão:
A queda de tensão sobre cada elemento do grupo pode ser encontrada a partir de:
T
n
n
T
eqs
nn
eqs
Tnn V
RRRR
RV
R
RR
R
VRIV
...321
À relação entre a queda de tensão sobre cada elemento e a tensão total aplicada ao conjunto
TN
n
n
nn V
R
RV
1
é conhecida como Lei ou Regra do Divisor de Tensão.
Ligação de resistores em Paralelo
R1
R2
R3
Rn
I1
I2
I3
In
IT
V
V
Figura. Associação de resistores em paralelo
Com efeito, partindo da figura ( ) vem:
n
nR
VI
R
VI
R
VI
R
VI ....
3
3
2
2
1
1
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 18
Por outro lado,
n
nTR
V
R
V
R
V
R
VIIIII ......
321
321
Ou,
eqPn
TR
V
RRRRVI
1
...
111
321
Onde Req p é o valor da resistência do resistor que substitui o conjunto de todos os resistores da
associação.
Pela lei de Ohm, vem:
nPeq RRRRR
1
...
1111
321
No caso particular de dois resistores em paralelo a respectiva resistência equivalente será dada
por:
21
21
2
RR
RRR
eqp
Divisor de corrente
A corrente transportada por cada elemento do grupo de resistores em paralelo pode ser encontrada
a partir de:
TN
n
nRexcepton
nRexcepton
Tn
eqPn I
RΠ
RΠI
R
RI
1
À esta relação entre a corrente total do combinado paralelo e a corrente que atravessa cada
elemento da associação é conhecida como Lei ou Regra do Divisor de Corrente.
Transformação Delta (∆) - Estrela (Y)
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 19
312312
3112 *
RRR
RRRa
312312
23*12
RRR
RRRb
312312
3123 *
RRR
RRRc
Transformação Estrela (Y) - Delta (∆)
b
acac
a
cbcb
c
baba
R
RRRRR
R
RRRRR
R
RRRRR
*
*
*
31
23
12
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 20
Exercícios.
1. Encontre a carga em Coulomb de:
a) 5.31*1020
electrões;
b) 2.9*1022
protões.
Sabendo que a carga de um electrão e de um protão é igual a 1.602*10-19
C, isto é,
1(-e) = -1.602*10-19
C
1(e) = +1.602*10-19
C.
a)
CQ 066.8510*31.5*10*602.1 2019
b)
CQ 8.464510*9.2*10*602.1 2219
2. Qual é o valor da energia Química gasta para bateria do carro de 12V, para mover 8.93*1020
electrões
do terminal positivo para o terminal negativo?
KjVneW
VQW
717.112*10*602.1*10*3.9.8**
*
1920
3. Encontre o valor da corrente através do bulbo de uma lâmpada causado pelo movimento constante de:
a) 60C em 4segundos;
b) 15C em 2minutos;
c) 1022
electrões em 1h.
Resolução:
a)
AsCt
QI 15/15
4
60
b)
AsCt
QI 125.0/125.0
2*60
15
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 21
c)
AsCt
QI 45.4/45.4
1*3600
10*602.1*10 1922
4. Qual é o trabalho necessário para erguer um elevador vertical de 4500Kg a uma distância de 50m?
MJdgmdFW 21.250*8.9*4500***
5. Se o deslocamento de uma carga positiva de 9.9875*1019
electrões de um ponto "B" para um ponto "A"
requer a energia de 0.8J, encontre a queda de potencial.
VCJQ
WVVQW oaEnt 05.0/05.0
10*9875.9*10*602.1
8.0*
1919
~
6. Encontre a energia armazenada em uma bateria de carro de 12V/650Ah
ChshAAhtIQ 2340000/3600*1*650650*
MJVQW 08.2812*2340000*
7. Uma bateria de 6V/20Ah, é usada para deslocar uma carga de 2000Kg.
a) Qual será a velocidade constante da carga se deslocarmos a horizontalmente?
b) Quanto tempo irá a bateria permanecer carregada se tiver que deslocar a carga a uma
velocidade constante de 10m/s fornecendo 15A?
c) Consegue esta bateria deslocar a mesma carga para uma altura de 150 metros em menos de 5
minutos, fornecendo 10A?
Resolução:
a)
smm
VQvVQ
vmWW
VQW
vmW
oaEnt/785.20
2000
6*3600*20*2**2*
2
*
*
2
*
~2
2
b)
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 22
hsVI
vmtVtIVQ
vm oaEnt31.0min52.18111.1111
6*15*2
10*2000
**2
****
2
* 22~
2
c)
hsVI
hgmtVtIVQhgmW oaEnt 6.13min7.81649000
6*10
150*8.9*2000
*
*******
~
* Esta bateria não irá conseguir deslocar a carga a uma altura de 150 metros em menos de
5minutos.
7. Dado o circuito da figura, encontre a tensão aos terminais da resistência de 2Ω usando divisor de
tensão.
Resolução:
667.4
25410
)25(*)410(equR
VUequ 066.1816667.4
667.4*80
VU 162.552
2*066.182
8. Dado o circuito da figura a seguir, encontre a corrente I1 e I2 usando o divisor de corrente.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 23
Resolução:
667.021
2*1equR
AI 6.21667.0425
25*361
AI 4.1425667.04
667.04*362
9.
10.
11.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 24
12.
Determina a resistência equivalente vista dos terminais AB do circuito resistivo mostrado
na figura a seguir.
A
B
a
b
d
c
4,5 Ω
3 Ω6 Ω
9 Ω
3 Ω
13.
Determina a potência fornecida à rede da figura a seguir.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 25
100 V
a
bc
6 Ω
6 Ω
3 Ω9 Ω
3 Ω
9 Ω
TPC - 1
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 26
TEMA 2 - ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE CONTÍNUA
Neste capítulo vamos apresentar e discutir algumas Leis, Teoremas e procedimentos que
governam a análise dos circuitos eléctricos de corrente contínua. Juntamente com as leis de Ohm
e Kirchoff para Correntes e Tensões estes procedimentos são também válidas para a análise de
circuitos de corrente alternada contendo indutâncias e Capacitância. Também são válidas para a
análise de circuitos no domínio de frequência
De que maneira marcamos o sentido da corrente e da tensão em um ramo?
A corrente em um ramo é marcado através de uma seta, do potencial mais alto ao potencial mais
baixo.
A tensão em um ramo é marcado também através de uma seta, do potencial mais alto ao potência
mais baixo.
Análises de quedas de tensão e correntes em um ramo
Caso a) Ramo sem fonte de tensão e de corrente:
IRba
Sendo que a condutância é: SR
g ,1
, então:
gUR
U
RI ab
abba *
Caso b) Ramo com fonte de tensão geradora
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 27
gEUgEIIRE abba
oaEnt
ba *)(*)(~
Caso c) Ramo com fonte de tensão consumidora
gEUgEIIRE abba
oaEnt
ba *)(*)(~
Caso d) Ramo com fonte de corrente
Para estes ramos, a corrente que neles circulam é a corrente gerada pela fonte de corrente.
A análise de queda de potencial que se realiza é aos terminais da própria fonte:
Substituição da fonte de corrente real pela fonte de tensão real e vice-versa
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 28
Métodos de cálculos de circuitos complexos de Corrente Contínua (CC)
Calcular um circuito eléctrico significa determinar todas as correntes em todos os seus
ramos.
Método das equações de Kirchoff para circuitos complexos de CC.
Passos principais deste método:
1. Determinar o número de nós do circuito (N), o número de ramos do circuitos (r) e o
número de ramos contendo fontes de corrente (rc);
2. Marcar arbitrariamente os sentidos das correntes em todos os ramos;
3. Construir as equações pela 1a Lei de Kirchoff, sendo o número de equações igual a:
110 NN Leiequ a
4. Determinar o número de equações pela 2a Lei de Kirchoff, sendo o número de
equações igual a:
)1()(20 NrrN cLeiequ a
5. Escolher as malhas respectivas, marcar nelas os percursos pelas malhas escolhidas e
construir as equações de acordo com a 2a Lei de Kirchoff para todas as malhas.
Nota A: Cada malha deve conter no mínimo um ramo o qual nenhuma outra malha
contem.
Nota B: Qualquer malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de corrente
6. Resolver o sistema de equações obtidas;
7. Se a corrente em um ramo for negativa, significa que na realidade o sentido da corrente
é o oposto.
8. Fazer a prova das resoluções pela equação do balanço de potência.
Exemplo:
Para o circuito da figura a seguir, determine as expressões para o cálculo das correntes
usando o método de Kirchoff.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 29
N = 4; r = 6; rc = 1
equNN Leieq a 314110
452
531
21
:3
:2
:1
IIINo
IIINo
IIJNo
equNrrN cLeiequ a 2)14()16()1()(20
0:2
:1
554433
552211
RIRIRIM
ERIRIRIM
Equações do equilíbrio de potencia
Quando a corrente passa através de uma resistência liberta-se energia sob a forma de
calor.
Com base na Lei de Conservação de energia, a quantidade de energia fornecida a um
circuito eléctrico deve ser igual a quantidade de energia dissipada.
n
K
m
i
iesconsumidorKfontes PP1 1
,,
Para as fontes:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 30
n
K
L
l
llab
N
j
jjKfontes JUIEP1 1
,
1
,
Para os consumidores:
m
i
m
i
iiiesconsumidor RIP1 1
,
Exemplo:
Para o circuito da figura a seguir:
foram calculadas e encontradas as seguintes correntes:
AI
AI
4
1
3
2
Faça a prova do balanço de potência.
Resolução:
Para as fontes:
Para a fonte de tensão:
Esta fonte é geradora pois a corrente I3 entra nela a partir do terminal negativo (-) e sai a
partir do terminal positivo (+), por isso na equação do balanço, a sua potência vem com o
sinal positivo.
WEIPE 804*203
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 31
Para a fonte de corrente:
É necessário encontrar a tensão aos terminais "ab" desta fonte.
Seguindo a malha "Uab", temos:
VJIUJIU ab
oaEnt
ab 142*54*12*4*02*4* 2
~
2
Logo:
WJUP abJ 705*14*
Fazendo a soma das potências das duas fontes existentes no circuito:
WPPP JEfontes 1507080
Para os consumidores:
WIP
WIP
WJP
966*46*
44*14*
502*52*
22
36
22
24
22
2
Fazendo a soma das potências dos três consumidores existentes no circuito:
WPPPP esconsumidor 15096450642
Logo vemos que satisfaz a condição:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 32
WWPPn
K
m
i
iesconsumidorKfontes 1501501 1
,,
Método de sobreposição
Baseia-se no principio de sobreposição. A corrente em qualquer ramo de uma rede é a
soma algébrica das correntes devido a cada uma das fontes consideradas separadamente,
mas deixando no circuito as resistências internas respectivas. Este teorema é valido para
todos os circuitos eléctricos lineares.
Exemplo:
Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de sobreposição.
Resolução:
Caso 1) Sem a fonte de tensão
Retiramos a fonte de tensão, mais deixando no circuito a sua resistência interna:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 33
AJI
AJI
36.0*564
6*
24.0*564
4*
'
2
'
3
Caso 2) Sem a fonte de corrente
Retiramos a fonte de corrente no circuito mas deixamos a sua resistência interna. A
resistência interna de uma fonte de corrente tende a infinito, logo este ramo pode ser
desprezado pois a corrente que flui nele é próxima a zero.
AI
AII
2
246
20
"
2
"
2
"
3
Caso 3) Com a fonte de tensão e a fonte de corrente
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 34
Finalmente, fazemos a soma algébrica para ter a corrente devido as duas fontes nos
ramos:
AIII
AIII
422
1)2(3
"
3
'
33
"
2
'
22
Método das malhas independentes
a) Neste método supõe-se que em cada malha flui a corrente própria chamada corrente de
malha;
b) As incógnitas deste método são as correntes de malha;
c) Neste caso as equações constituem-se relativamente a estas correntes de malha de
acordo com a 2a Lei de Kirchoff;
d) Como resultado desta imaginação não se constituem as equações de acordo com a 1a
Lei de Kirchoff.
Passos principais deste método:
1. Determinar o número de equações necessárias que o constituem pela expressão:
)1()(0 NrrN cequ
2. Escolher as malhas independentes de acordo com o número determinado no ponto 1 e
marcar arbitrariamente os sentidos das correntes de malha em cada malha;
Nota A: Qualquer malha escolhida não deve conter fonte de corrente;
Nota B: Para levar em conta as influencias das fontes de correntes sobre a distribuição de
potenciais e correntes no circuito eléctrico, é preciso marcar também as correntes de
malha conhecidas;
Nota C: Uma malha com corrente de malha conhecida deve conter só uma fonte de
corrente.
3. Constituir as equações pela 2a Lei de Kirchoff para cada malha escolhida;
4. Resolver o sistema das equações obtidas, isto e, determinar todas as correntes de
malhas incógnitas. Se a corrente de malha é negativa, significa que na realidade o seu
sentido é contrario;
5. Determinar as correntes reais nos ramo escolhendo aleatoriamente os seus sentidos;
Nota A: Nos ramos comuns a corrente real é a soma algébrica das correntes de malha que
passam através destes ramos;
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 35
Nota B: Nos ramos comuns a corrente real é a soma algébrica das correntes de malha que
passam através destes ramos.
6. Fazer a prova das resoluções pela equação do balanço de potência.
Exemplo:
Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de malhas independentes.
Resolução:
N = 2; r = 3; rc = 1
equNrrN cequ 1)12()13()1()(0
Para a malha de corrente de malha "Ia":
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 36
AIEJI a
oaEnt
a 464
4*520)4()64(
~
Finalmente as correntes nos ramos:
AII
AJII
a
a
4
154
3
2
Método de análise nodal
a) Este método tem vantagens para circuitos eléctricos com muitos ramos e poucos nós;
b) Neste método as incógnitas são os potenciais dos nós.
Passos principais deste método:
1. O potencial de um nó deve ser igualado a zero;
2. Determinar o número das equações a resolver pela expressão:
10 NN equ
Nota A: Quando em alguns ramos contém a fonte de tensão ideal, o número das equações
necessárias determina-se pela expressão:
itfrnNN equ ....10
itrn ... - Número de ramos com fonte de tensão ideal.
3. Constituir as equações de acordo com o método de análise nodal;
Nota A: Para cada nó de potencial incógnito, escrever uma equação que consiste em:
Na parte esquerda: O produto do potencial do nó em questão e condutância própria deste
nó com o sinal positivo (+) e a soma dos produtos entre potenciais de nós vizinhos e
condutâncias mútuas respectivas com o sinal negativo (-).
Na parte direita: A soma algébrica dos produtos ( KK gE * ) ligadas com o nó em
questão, e a soma algébrica das fontes de correntes (J) ligadas com o mesmo nó.
4. Resolver o sistema das equações obtidas, isto é, determinar os potenciais do esquema;
5. Marcar arbitrariamente os sentidos das correntes em todos os ramos e depois calcula-
las conhecendo os potenciais.
6. Fazer a prova das resoluções pela equação do balanço de potência.
Exemplo:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 37
Para o circuito da figura a seguir, resolva-o usando o método de análise nodal.
Resolução:
N = 3; n.r.f.t.i = 1
equitfrnNN equ 1113....10
O potencial aterrado foi o potencial do nó 3, então:
V
V
4040040
0
32
3
Ficamos somente com o nó 1 como incógnita.
Cálculo das condutâncias
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 38
Sg
Sg
Sg
Sg
Sg
010
1
1667.06
1
25.04
1
5.02
1
1.046
1
10
6
4
2
)64(
Cálculo do potencial incógnito
Jgggggg )()()()( 103)64(222102)64(1
Sabendo que g10Ω = 0,S e que V03 , a equação acima fica ainda mais reduzida
Jgggg )()()( )64(2222)64(1
Calculando o potencial
V333.48
5)1.0(*40)5.0(*40)5.01.0(
1
1
Cálculo das correntes nos ramos
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 39
AIIIIIINo
AIIIIIIIIIINo
AgII
AgII
AgII
AgII
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
002.1555:3
002.15:2
002.10)20(6
)20()6(20
10)(4
)()4(
167.4)(2
)()2(
833.0)(46
)()46(
326
~
632
54326
~
32654
63232
3
~
332
43232
2
~
232
22121
4
~
421
)64(2121
5
~
521
Prova pelo balanço de potencias
Para as fontes:
Primeiro é necessário encontrar a tensão aos terminais da fonte de corrente
Seguindo a malha do Uab
VU
IIUIIU
ab
ab
oaEnt
ab
334.9810*54*102*167.4
)10(5)4()2(0)10(5)4()2( 24
~
24
WPfontes 79.1291002.15*40002.10*205*334.98
Para os consumidores:
WPcons 91.129110*56*002.104*102*167.4)64(*833.0 22222
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 40
Verifica-se:
WWPPn
K
m
i
iesconsumidorKfontes 91.129179.12911 1
,,
%009.0%100*79.1291
79.129191.1291%
Erro
Erro aceitável pois é menor a 3%.
Método do gerador equivalente ou teorema de Thévenin
Este teorema estabelece que qualquer rede linear activa contendo resistências e fontes de
energia com terminais de saída 1 e 2 como mostra a figura pode ser substituído por um
circuito contendo uma fonte de tensão de valor Uth em série com uma resistência de valor
Rth como mostra a figura
Rede
Linear A
com
Fontes de
Tensão e
Corrente
Rede B
1
2
a
Rede B
1
2
b
Rth
Vth
Redes A e B originais Rede B original e A reduzida a Thévenin
Figura – Redução de circuito pelo Teorema de Thévenin
A tensão equivalente de Thévenin, Vth , é a tensão em circuito aberto medida aos
terminais 1-2 e a resistência equivalente, Rth, é a resistência da rede, vista dos terminais
1-2, quando todas as fontes internas independentes são anuladas, isto é, substituídas pelas
respectivas impedâncias internas. Havendo fontes de tensão dependentes, estas são
mantidas activas no circuito. O Teorema de Thévenin é importante na simplificação de
circuitos, particularmente na determinação da corrente num ramo de uma rede complexa.
Passos principais deste método:
1. Determinar a tensão Uab de marcha em vazio que aparece aos terminais "ab" quando o
respectivo ramo é removido;
2. Determinar a resistência Requ que o bípolo apresenta quando vista entre 2 terminais;
Nota A: Neste caso para as fontes de tensão é necessário curto circuita-las deixando
somente no esquema as suas resistências internas. As fontes de corrente devem ser
desligadas pois as suas resistências internas tendem ao infinito.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 41
3. Calcular a corrente no ramo que se removeu pela formula:
nequ
mvab
nRR
UI
,
Exemplo:
Para o circuito da figura a seguir, encontre a corrente pela resistência de 4Ω usando o
método de Thévenin.
Resolução:
Primeiro encontramos a resistência equivalente vista dos terminais da resistência de 4Ω.
Para tal curto circuitamos as fontes deixando somente as suas resistências internas.
Para a fonte de corrente, removemos o ramo, pois a sua resistência interna tende ao
infinito.
75.3106
10*6equR
Calculamos a tensão de marcha em vazio
Esta é a tensão que aparece entre os terminais da resistência ou ramo removido.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 42
Vamos usar o método de malhas independentes para retirar as correntes nos ramos neste
regime de funcionamento
N = 2; r = 3; rc = 1
equNrrN cequ 1)12()13()1()(0
AIJI a
oaEnt
a 625.10106
10*152020)10()106(
~
As correntes nos ramos
AIJI
AII
a
a
375.4)625.10(15
625.10)625.10(
2
1
Calculamos a tensão Uab,mv seguindo a sua malha apresentada no esquema
VUIU mvab
oaEnt
mvab 75.4310*375.40)10( ,
~
2,
Calculamos a corrente pretendida
ARR
UI
equ
mvab645.5
475.3
75.43
4
,
4
Potência transferida de um bípolo activo a uma carga
Determina a potência máxima realizada na resistência R
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 43
RIP RR
2
RR
UI
equ
mvab
R
,
RRR
UP
equ
mvab
R *)( 2
2
,
Vamos derivar a potência em função da resistência:
4
,
22
,
)(
)(2)(
RR
RRRURRU
dR
dP
equ
equmvabequmvab
Pelo domínio da expressão:
RRRRRR equ
oaEnt
equ
aotEn
equ ~~
0 para que a potencia dissipada seja
a máxima.
Se RRequ então Tende
dR
dP
Logo:
equ
mvab
R
equ
equequ
mvab
R
R
UP
RRR
UP
4
*)(
2
,
max
2
2
,
max
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 44
Exemplo:
Determinar o valor da resistência R5 para que a potência dissipada nela seja a máxima
R1 = 1Ω; R2 = 2Ω; R3 = 3Ω; R4 = 5Ω; R6 = 5Ω; J = 10A; E = 10V
Resolução:
Cálculo da resistência equivalente vista dos terminais da R5
Para tal curto circuitamos as fontes deixando somente as suas resistências internas.
Para a fonte de corrente, removemos o ramo, pois a sua resistência interna tende ao
infinito.
308.2
)(*)(2
346
346 RRRR
RRRRequ
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 45
Calculamos a tensão de marcha em vazio
Esta é a tensão que aparece entre os terminais da resistência ou ramo removido.
Antes de escolher um método alternativo de resolução, vamos analisar certas correntes e
nós no circuito.
O ramo da corrente IE está aberto, logo por definição de ramos abertos não circula
corrente por este ramo. Logo:
AIE 0
Como o IE = 0A, os pontos "T" e "H", deixam de ser nós, pois não existem repartições de
correntes nestes pontos, ficamos somente com o nó 1 e o nó 2.
Consequentemente como o IE = 0A, pela 1a Lei de Kirchoff, faz com que( I3 = I4).
Consequentemente como o IE = 0A, pela 1a Lei de Kirchoff, faz com que (I2 = J).
Agora usamos o método de malhas independentes para encontrar o valor das correntes
nos ramos neste regime de funcionamento.
N = 2; r = 3; rc = 1
equNrrN cequ 1)12()13()1()(0
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 46
AIRJRRRI a
oaEnt
a 846.3553
5*100)()(
~
6643
Calculo das correntes pelos ramos
AJII
AIII
AJI
a
a
154.610846.3
846.3
10
6
43
2
Calculo do Uab,mv
VUERIRIU mvab
oaEnt
mvab 538.412*103*846.310,
~
2233,
O sinal negativo da tensão quer dizer que na realidade o seu sentido é o contrario ao
sentido escolhido no esquema.
WR
UP
equ
mvab
R 894.186308.2*4
)538.41(
4
22
,
max
Exercícios.
FICHA DADA PELO DOCENTE.
TPC - 2
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 47
TEMA 3 - ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE ALTERNADA
No capítulo anterior, as tensões e correntes de alimentação dos circuitos eram grandezas
contínuas ou unidireccionais. Em contraste, a maior parte das redes de utilidade prática são
alimentadas por fontes de tensão e corrente alternada. O exemplo mais comum são as redes
eléctricas de energia que contêm centrais eléctricas, linhas de transmissão, subestações, etc.
Apesar de o termo tensão e corrente alternada se referir a uma série de grandezas com variação
periódica a análise neste capítulo restringe-se a grandezas variando sinusoidalmente.
Expressões de corrente e tensão alternada na forma sinusoidal
A corrente na forma sinusoidal:
AtIi t ),sin(*max)( Onde:
maxI é a corrente máxima;
é a frequência angular;
t é o tempo;
é o ângulo da corrente.
A tensão na forma sinusoidal:
VtUu t ),sin(*max)( Onde:
VUmax é a tensão máxima;
srad / é a frequência angular;
st é o tempo;
0 é o ângulo da tensão.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 48
0o
T
2
2
T
mV
t
v
2
3
Figura... Representação de uma tensão sinusoidal e valores característicos
Alguns dos valores característicos das tensões sinusoidais são:
O Período, T , definido como o intervalo de tempo em que a função se repete. Em geral,
o período de qualquer função periódica sinusoidal é dado por ω
π2
T .
A frequência f , medida em ciclos por segundo ou Hertz, sendo que: π2
ω1
T
f .
Ângulo de fase ( )
Definido como o desfasamento entre duas grandezas sinusoidais, por exemplo entre a tensão e a
corrente quando representadas sobre a mesma escala de tempo como mostrado na figura a seguir.
Na verdade este ângulo representa o passo ou afastamento entre as duas grandezas no tempo, ela
tem a fórmula:
v
i
θ ω t
Figura .... Ângulo de fase
Valor instantâneo
Valor instantâneo de uma grandeza qualquer ,v, variável no domínio do tempo, t, é o valor dessa
grandeza num dado instante de tempo, t.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 49
Valor médio
Valor médio de uma grandeza variável no tempo, periódica, é por definição:
Tt
t
médio dttuT
U0
0
)(1
Obviamente, o valor médio de uma função sinusoidal num período é nulo. Por isso, um novo
conceito, o valor médio quadrático ou eficaz é mais útil.
Valor médio quadrático ou Eficaz
O valor médio quadrático de uma função qualquer variável no tempo, periódica, é dado por:
2
sin2
1)(
1 max2
2
0
220
0
UdttUdttu
TU m
Tt
t
eficaz
Elementos R,L e C em circuitos de corrente alternada
Resistência (R)
R
UI
R
A corrente e a tensão estão em fase
Indutância (L)
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 50
LL jX
UI
Onde ,LX L
A corrente está atrasada 900 em relação a tensão
Capacidade (C)
CC jX
UI
Onde ,
1
CX C
A corrente adiantada 900 em relação a tensão
Impedância Complexa
Consideremos o circuito R-L-C série a seguir.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 51
tωsenV)t(v m
θtωsenI)t(i m R
L
C
Figura...Circuito R-L-C-série para Impedância Complexa
Escrevendo a equação de malha obtêm-se:
tj
mm eVtVdttiCdt
tdiLtiR sin)(
1)()(
Esta equação diferencial tem uma solução particular da forma tjKeti )( .
Substituindo esta solução na equação geral vem:
tj
m
tjtj
tj eVdtKeCdt
KedLKeR
1
Ou,
tj
m
tjtjtj eVKeCj
KeLjKeR
1
Donde
CjLjR
V
eCj
eLjeR
eVK m
tjtjtj
tj
m
11
E portanto,
tjm e
CjLjR
Vti
1)(
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 52
À relação entre a tensão e a corrente, isto é:
CL
tjm
tj
m
XXjRC
jLjR
CjLjR
e
CjLjR
V
eV
ti
tv
1
1
1
)(
)(
Então:
),( CL XXjRZ
,)(
arctan()(( 22
R
XXXXRZ CL
CL
Se:
oaEntCL
R
XX ~
0)arctan( Impedância com característica capacitiva
oaEntCL
R
XX ~
0)arctan( Impedância com característica indutiva.
Se designa Impedância, e sendo esta número complexo. Daí designar-se de Impedância
Complexa. Na verdade, ela representa a reacção dos elementos R-L-C do circuito face à
excitação por uma tensão sinusoidal. A representação da impedância no plano complexo é
mostrada na figura a seguir.
Z
Z
R
X
j
0 Zθ
Figura....... Representação de Impedância no Plano Complexo
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 53
Impedância com característica indutiva:
CL XX Então
,LjXRZ
Impedância com característica capacitiva:
CL XX Então
,CjXRZ
Impedância com característica resistiva:
,0LX
,0CX Então
,RZ
Admitância complexa
A admitância complexa será dada pela seguinte expressão:
SXXjRZ
YCL
,)(
11
Susceptância
A susceptância será dada pela expressão:
SXXj
bCL
,)(
1
Fasores
Sabemos já, que uma tensão ou corrente sinusoidais com uma frequência constante podem ser
caracterizados por dois parâmetros: O valor da amplitude máxima (crista ou pico) e o ângulo de
fase. Isto é, uma tensão dada por:
VtUu t ),sin(max)(
tem a amplitude máxima Umax e o ângulo de fase referido a ωt igual a δ . O valor
médio quadrático, também chamado valor eficaz, será:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 54
VU
U eficaz ,2
max
Usando a equação de Euler, sincos je j
A corrente ou tensão sinusoidal podem ser representadas sob a forma de fasores, isto é, um vector
rotativo representado por uma amplitude constante U, igual ao seu valor eficaz e um ângulo de
fase, δ . No caso dado,
2
maxUU
Forma Forma polar;
FormaUj
UU sin*
2cos*
2
maxmax Forma rectangular
FormajeU
U
2
max Forma exponencial.
Operações com números complexos
Sejam dados os números complexos:
0
1204
A e 43
2jA
a) Represente A1 na forma rectangular
368.1759.3)20sin20(cos41
jjA
b) Determine A2 na forma polar
022
213.535)
3
4tan(43
acA
c) Determine a soma entre A1 e A2
36.576.6)436.1()376.3(213
jjAAA
d) Multiplique A1 e A2
0
21413.7320)13.5320()5*4(13.535*204*
AAA
e) Determine o conjugado de A1
0*
1204
A
f) Determine a divisão entre A1 e A2*
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 55
0
*
2
1
513.738.0)13.53(20
5
4
13.535
204
A
AA
Potência Real e Reactiva
Seja :
VtUu
AtIi
t
t
),sin(
),sin(
max)(
max)(
Então a potência instantânea será:
)()()()()()()(
)()()()( )(
tCtLtRtCtLtRt
tCLRttt
pppiuiuiup
iuuuuip
)2sin(
)2sin()2sin(*)2
sin(
)2cos1(
max)()(
)(
tIUp
tIUtItUiup
tIUp
LL
CCtCtC
RtR
Somando a potência da indutância e capacidade:
)2sin(*)sin()2sin()2sin()()( tUItIUtIUpp CLtCtL Então:
)2cos()cos()( tUIUIp t
Potência Activa:
WgURIUIP ,)cos( 22
Potência Reactiva:
VARbUXIUIUIQ X ,)sin( 22
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 56
como se sabe, o ângulo pode ser positivo (+) ou negativo (-), para:
LogooaEnt Q 00
~
Potência Reactiva com característica indutiva
LogooaEnt Q 00
~
Potência Reactiva com característica capacitiva.
Potência aparente:
VAUIS ,
Factor de Potência (f.p)
O termo )cos( chama-se factor de potência (f.p). O ângulo de fase )( que é o ângulo
entre a tensão e a corrente, é chamado de ângulo do factor de potência. Para circuitos de corrente
continua, a potência absorvida pela carga é o produto da tensão contínua pela corrente. Para
circuitos em corrente alternada, a potência média absorvida pela carga é o produto dos valores
eficazes da tensão e corrente e o factor de potência (f.p) )cos( . Para cargas capacitivas, a
corrente está adiantada em relação a tensão o que significa que é maior do que e o factor de
potência diz-se adiantado.
Triângulo de potências
É comum representar as três formas de potência envolvidas num circuito, nomeadamente
aparente, activa e reactiva num mesmo diagrama de potências. A este diagrama dá-se o nome de
triângulo de potências. A figura a seguir mostra um diagrama deste tipo.
θ
P=VIcosθ [ W ]
Q=VI senθ [ VAR ]
S=VI [ VA ]
22
22
cos..tan
arctan
QP
P
S
PpfPQ
P
QQPS
Potência Complexa
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 57
Para circuitos operando com tensão alternada sinusoidal estacionária, as potências activa e
reactiva podem ser facilmente calculadas a partir da potência complexa a partir dos fasores
tensão e corrente.
A potência complexa S , é por definição, o produto da tensão pelo conjugado da corrente, isto é:
VAjQPsenIjVIVIVIVIVS o ,cos0*
Ou seja:
SIsenIVQ
SRIVP
m
e
cos
As relações entre a tensão, corrente, potência complexa e as potências activa e reactiva são
apresentadas na figura a seguir.
I
V
-θ
θ
*IVS
P=VIcosθ
S=VI
Q=VI senθ
jQ ( eixo imaginário )
P ( eixo real )
Figura--- Potência Complexa
Equilíbrio ou balanço de potência em circuitos de corrente alternada
O equilíbrio de potências em circuitos trifásicos deve obedecer também a Lei de
conservação de energia:
m
i
M
k
Kesconsumidorifontes PP1 1
,,
J
j
L
l
lesconsumidorjfontes QQ1 1
,,
As fórmulas são:
Para as fontes:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 58
S
s
C
c
G
g
m
i
J
j
jfontesifontesggabccsfontes
VAjalQjPJUIES1 1 1 1 1
,,
*
,
*
,Im,Re
S
ssfontes
ifontes
m
i
WSalP1
,,1
),(Re
J
j
S
s
sfontesfontes VARSQ1 1
, ),Im(
Para os consumidores:
M
k
M
k
kkkesconsumidor WRIP1 1
2
, ,
L
l
L
l
lllesconsumidor VARXIQ1 1
2
, ,
Exemplo de resoluções de circuitos complexos de corrente alternada:
Exemplo 1: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo método de Kirchoff
DADOS:
AJ ,01 0
; VE ,010 0
; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R
Nota A: Por ser um circuito de corrente alternada a simbologia das fontes vêem com o sinal de um
número complexo;
Nota B: As impedâncias indutivas em qualquer circuito de corrente alternada vêem sempre com um
ângulo de +900 que está simbolizado pela letra "j" no esquema. É o caso de (X2 e X4);
Nota C: As impedâncias capacitivas em qualquer circuito de corrente alternada vêem sempre com um
ângulo de -900 que está simbolizado pela letra "-j" no esquema. É o caso de (X1 e X3).
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 59
Resolução:
N = 4; r = 6; rc = 1
equNN Leiequ a 314110
43
21
31
:4
:2
:1
IIINo
IIINo
IIJNo
E
E
equNrrN cLeiequ a 2)14()16()1()(20
EjXIjXIM
EjXIRIM
)()(:2
)(:1
44
22
33
11
Resolvendo todas as equações em um único sistema de equações:
0
42
0
31
43
21
0
31
010105
01055
0
0
01
IjIj
IjI
III
III
II
E
E
A solução do sistema de equações na formas polar é:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 60
AI
AI
AI
AI
AI
E,309.11849.0
,435.63745.0
,135707.0
,135943.0
,435.18581.1
0
0
4
0
3
0
2
0
1
Exemplo 2: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo malhas independentes
DADOS:
AJ ,01 0
; VE ,010 0
; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R
Resolução:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 61
N = 4; r = 6; rc = 1
equNrrN cequ 2)14()16()1()(0
EjXJjXjXI
ERJjXRI
b
a
)()(
)()(
242
131
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas acima escrita:
)5(*01010)105(
5*01010)55(
00
00
jjjI
jI
b
a
As correntes de malha são:
AI
AI
b
a
,435.63745.0
,135707.0
0
0
Cálculo das correntes pelos ramos na forma polar:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 62
AIIIIIINo
AII
AII
AJII
AIJI
E
oaEnt
E
b
a
b
a
,297.11849.0135707.0435.63745.0:2
,435.63745.0
,135707.0
,021.135943.001435.63745.0
,433.18581.1135707.001
000
34
~
43
0
4
0
3
000
2
000
1
Exemplo 3: Dado o circuito da figura a seguir, resolva-o pelo método de analise nodal
Aterre o nó 2.
DADOS:
AJ ,01 0
; VE ,010 0
; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R
Resolução
N = 4; n.r.f.t.i = 1
equitfrnNN equ 2114....10
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 63
VE
V
10100
0
24
2
Calculo das admitâncias
SjX
Y
SjjX
Y
SjjX
Y
SjjX
Y
SR
Y
J,0
1
,1.01
,2.01
,2.01
,2.01
1
44
33
22
11
Calculo do sistema de equações
JYYY
JYYY
44423
34311
)(
)(
Vj
Vj
,45714.4333.3333.3
,43.18906.75.25.7
0
3
0
1
Cálculo das correntes pelos ramos
AIIINo
AjYIjXI
AjYIjXI
AjYIjXI
AjYIRI
E
oaEnt
oaEnt
oaEnt
oaEnt
,30.11849.0:4
,135707.05.05.0)()(
,44.63745.0667.0333.0)()(
,135943.0666.0666.0)()(
,43.18581.15.05.1)(
0
34
0
3413
~
3341
0
4344
~
4443
0
2232
~
2223
0
1211
~
1121
Exemplo 4: Dado o circuito da figura a seguir, determine a corrente pela resistência R1 pelo método de
Thévenin
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 64
DADOS:
AJ ,01 0
; VE ,010 0
; 31X ; 52X ; 53X ; 104X ; 51R
Resolução
Cálculo da impedância equivalente
5
0
0*)(33
42
42 jjXjXjXjX
jXjXZ
equ
Cálculo da tensão Uab,mv
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 65
Vamos usar malhas independentes para as correntes nos ramos
N = 2; r = 3; rc = 1
equNrrN cequ 1)12()13()1()(0
AjIJI
AjII
AjIEjXJjXjXI
a
a
a
oaEnt
a
,45943.0667.0667.0
,43.63745.0666.0333.0
,43.63745.0666.0333.0)()(
0
2
0
4
0~
242
Então
VUEjXJUmvab
oaEnt
mvab,57.2680.11)( 0
,
~
3,
Cálculo da corrente pretendida
AjjZZ
UI
equ
mvab,43.18581.150.050.1
55
57.2680.11 00
1
,
1
Exemplo 5: O circuito da figura a seguir foi resolvido pelo método de análise nodal, e obtiveram-se os
seguintes valores de correntes pelos ramos
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 66
AI
AI
AI
AI
AI
E,30.11849.0
,135707.0
,44.63745.0
,135943.0
,43.18581.1
0
0
3
0
4
0
2
0
1
Faça a prova pelas equações do balanço de potência
Resolução
Para as fontes
Cálculo da tensão Uab aos terminais da fonte de corrente
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 67
VjURIjXIjXJUab
oaEnt
ab,22.34038.5833.2166.40)()( 0~
11
22
1
VAjIEJUSEabfontes
,497.449.12)30.11849.0)(010()01)(22.34038.5(**
WPfontes 49.12
VARQfontes
497.4
Para os consumidores
WRIP esconsumidor 49.125*581.1 2
1
2
1
VARXJXIXIXIQ fontes 497.43*15*707.010*745.05*943.0 2222
1
2
3
2
34
2
42
2
2
Logo verifica-se o equilíbrio
WPWP esconsumidorfontes 49.1249.12
VARQVARQ esconsumidorfontes497.4497.4
Sobreposição fica para os estudantes
A Ficha dos métodos deve ser dada pelo docente
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 68
Exercícios
1. A tensão e corrente instantânea num circuito de corrente alternada são:
Vt377sen6155v , A8736t377sen077i 0,,
Determina:
a) A frequência em HZ;
b) O período;
c) O ângulo de fase entre a tensão e a corrente em radianos.
Resolução
a) srad /377
00
087.36
Hzff oaEnt 602
377
22
~
b) sf
T 0167.060
11
c) 087.36)87.36(0
209.0180
*87.360
0
2. Determina a potência média P em uma resistência pura de 10 Ohms, onde circula uma corrente
tωcos,)t(i 1414 amperes.
Resolução
WR
U
R
UP
ef
media 1010
)2
14.14()
2( 22max
2
3. A onda de tensão mostrada na figura a seguir é aplicada sobre um Resistor de 20 Ω. Se a tarifa de
energia for de USD 0,06 por kWh, quanto custará operar a fonte durante 24 horas?
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 69
v [ V ]
t [ s ]0,01 0,02
100
Figura... Forma de Onda
Resolução
VU 100max
VUeficaz 711.702
100
WP 25020
711.70 2
KwhWhhorasWtPE 6600024*250*
Custo de operação USDKwh
USDKwh36.0
1
06.0*6
3. A corrente no circuito R-L da figura a seguir é tsen,i 50002 . Calcular a tensão total aplicada.
)t(vT
)t(i
Ω10
mH20
Resolução
HmHL
R
srad
3
0
10*2020
10
0
/500
AI
Ieficaz
,0414.102
2
2
00max
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 70
,LjXRZ
1010*20*500 3LX L
,1010 jZ
VjjZIUeficazeficaz
,452014.1414.14)1010(*)0414.1(* 00
Vttu t ),45500sin(284.28)45500sin(*20*2 00
)(
4. Num circuito R-L série com ΩR 20 e HL 06,0 a corrente está atrasada de 80º em relação à
tensão. Determina a frequência ângulo ω.
Resolução
0
0
80
0
06.0
20
HX
R
L
080)80(0
R
XXRZ L
L arctan(22
425.1130603.0
877.775877.7750603.0
40080sin*80cos*80sin*80cos*
80sin80sin*80cos*80cos*400
)80sin*(()80cos*(()()20(
)80sin80(cos)(
~2
222222222
222222222
22222222
22
L
oaEnt
L
LLL
LLL
LLL
LL
XX
RRXXX
XRXRX
XRjXRjX
jXRjXR
sradL
XLX LoaEnt
L /417.189006.0
425.113~
5. No circuito R-C série mostrado na figura a seguir, tsco)t(i 50002 . Determinar a
tensão total aplicada VT(t) assim como o ângulo de desfasamento entre a tensão
aplicada e a corrente pelo circuito. Esboçar também )t(vT
e )t(i no mesmo gráfico.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 71
)t(VT
Ω5
)t(i
Fμ20
6. Dois elementos puros de circuito estão associados em série, possuindo a corrente
A,tsen,i 04535004213 para uma tensão aplicada de Vtsenv 010500150 .
Determina o tipo e os valores característicos dos elementos do circuito.
Resolução
0
0
0
4.63)4.53(10
4.53
10
/500
srad
é positivo (+), então o circuito tem característica indutiva
AI
Ief
,4.53489.94.532
42.13
2
0max
VU
Uef
,10066.106102
150
2
00max
0
0
0
4.63178.111054.53489.9
10066.106j
I
U
Z
ef
ef
10
5
LX
R
HX
LLX LoaEnt
L 02.0500
10~
7. Um circuito série constituído de 2 elementos puros tem as seguintes corrente e tensão
aplicadas: Vtsenv 0502000200 A,tcosi 021320004 . Achar os
elementos que constituem o circuito.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 72
8. Dados V45t5000sen150v º e A15t5000sen150i º , construir os
diagramas de fasores da tensão e corrente, e da impedância complexa e determinar os
valores das constantes (R, L, C) do circuito.
Nota: Na prática, na representação de fasores são usados valores eficazes para as grandezas
tensão e corrente no lugar de valores máximos.
9. Dados V170t2500sen311v º e A145t2500sen515i º, , construir os
diagramas de fasores da tensão e corrente, e da impedância complexa e determinar os
valores das constantes do circuito.
10. Um circuito série R-L de 20R e H020L , tem uma impedância 40Z .
Determinar o ângulo e a frequência hertziana f.
11. Em um circuito série R-C de 10R e F50C , a tensão aplicada e a frequência
são tais que a corrente está adiantada de 30º em relação à tensão. Qual a mudança
de frequência necessária para que a corrente fique avançada de 70º?
12. Sendo Hz500f , determinar o elemento puro que, em série com uma resistência
25R , produz um atraso de 20º da corrente em relação à tensão aplicada ao
conjunto. Repetir para um avanço de 20º.
13. Pretende-se utilizar um circuito em série de 25R e H010L , nas frequências de
100 Hz, 500 Hz e 1000 Hz. Achar a impedância Z em cada uma das frequências.
14. Uma tensão V20t2500500tv ºcos)( é aplicada a um circuito em série com
10R e F40C . Achar as correntes I e )(ti
15. Um circuito em série R-L com 8R e H020L , tem uma tensão aplicada de
V90t300sen283tv º)( . Achar as correntes I e )(ti .
16. Num circuito em série R-L com 5R e H030L , a corrente está atrasada de 80º
em relação à tensão. Determinar as frequências angular e hertziana da fonte.
17. Um Capacitor de F25 está em série com um resistor R na frequência de 60 Hz. A
corrente resultante está avançada de 45º em relação à tensão. Determinar o valor de
R.
18. A tensão V30t200sen770tv1 º,)( é aplicada a um circuito em série de
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 73
8R e H060L , . Posteriormente, uma segunda tensão
V30t300sen770tv2 º,)( é aplicada no lugar da primeira. Achar I e )(ti e
Desenhar os diagramas de fasores correspondentes às duas fontes.
19. Determinar a soma das correntes A213tsen1414ti1 º,,)( e
A6121tsen858ti2 º,,)( Usando fasores.
20. Determinar a diferença )()( titi 21 sendo A75t50ti1 ºcos)( e
A120t435ti2 ºcos,)( Usando fasores.
21. Determinar a soma das 3 correntes seguintes: A145t632ti1 ºcos,)( e
A25t632ti2 ºcos,)( e A95t632ti3 ºcos,)( usando fasores.
22. Determinar a soma das duas tensões: V463tsen5126tv1 º,,)( e
V5161t744tv2 º,cos,)( Usando fasores.
23. Exprimir cada uma das tensões a seguir em notação de fasores e representar cada
Uma delas no mesmo diagrama de fasores: V45tsen212tv1 º)( ,
V90tsen4141tv2 º,)( , V30t3127tv3 ºcos,)( ,
V45t85tv4 ºcos)( e V180tsen4141tv5 º,)( .
24. As duas impedâncias 1Z e 2Z do circuito da figura a seguir estão em série com uma Fonte de tensão
V0100V º . Achar a tensão nos terminais de cada impedância e Traçar o diagrama dos
fasores tensão.
V0100 º
I 1Z
2Z
10
º,, 463474
Resolução
AZ
U
Iequ
ef,419.18905.7
4.6347.410
0100
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 74
VZIU
VZIU
Z
Z
,98.44335.35)4.6347.4(*)419.18905.7(*
,419.1805.7910*419.18905.7*
000
22
00
11
25. Calcular a impedância 2Z do circuito em série da figura a seguir.
V4550 º
A1552I º,
1Z
2Z
6
8j
26. No circuito da figura a seguir a corrente está avançada de 63,4º em relação à tensão na
frequência srad400 / . Determinar R e o valor da tensão em cada elemento do
circuito. Traçar também o diagrama fasorial das tensões.
V0120 º
IR
F50
mH25
Resolução
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 75
0
0
0
4.634.630
4.63
0
srad /400
1010*25*400
5010*50*400
11
3
6
LX
CX
L
C
))4.63sin()4.63(cos())(()(()( 2222
jXXRXXRXXjRZ CLCLCL
)4.63(sin*))5010(()4.63(cos*))5010(()5010( 22222222 RRR
024.206.1
562.641562.6416.1
562.6411600219.1279781.3208.02.0
~2
222
RR
RRR
oaEnt
AjXXjR
U
Z
UI
CL
,407.63683.2)5010(024.20
0120
)(
0
VRIUR
,407.63724.53)024.20)(407.63683.2( 0
Logo
Nota-se que a corrente e a
tensão pela resistência tem o mesmo ângulo, logo estão em fase, comprovando-se a teoria.
Logo
LL
VjjXIU ,407.15383.26)10)(407.63683.2()( 0 Nota-se que a corrente pela
indutância tem um atraso de 900 em relação, comprovando-se a teoria.
Logo
CC
VjjXIU ,593.2615.134)50)(407.63683.2()( 0 Nota-se que a corrente
pela Capacitância tem um avanço de 900 em relação, comprovando-se a teoria.
27. Calcular as correntes nos ramos e a corrente total do circuito paralelo da figura a seguir. Traçar o
diagrama de fasores. Achar eqZ a partir da relação I
V, e comparar
com 21
21
ZZ
ZZ
.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 76
1I 2I
Ω10
Ω3
Ωj4
Vº050
TI
28. Determinar a corrente em cada elemento do circuito série - paralelo dado na figura a
Seguir.
Vº0100
Ω10
Ωj10 Ω5
29. Os valores eficazes das correntes 1I , 2I e TI do circuito apresentado na figura a seguir são
respectivamente 18 A, 15 A e 30 A. Determinar as impedâncias desconhecidas (módulo e argumento) R e
jXL.
Ω4LXj R
1I 2ITI
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 77
30. O valor eficaz da corrente no circuito série da figura a seguir é 5 A. Qual é a leitura de um voltímetro
ligado, primeiro nos terminais do circuito e, depois, nos terminais de cada elemento?
A
Ω2 Ωj4 Ωj6
31. A leitura do voltímetro nos terminais do resistor de 3 Ohms do circuito paralelo da figura a seguir é de
45 V. Qual é a indicação do amperímetro?
Ω5
Ωj2 Ωj3
A
Ω3 V
V
1I 2I
32. No circuito série paralelo da figura a seguir o valor eficaz da tensão, no trecho paralelo do circuito, é
50 V. Calcular o valor correspondente de V .
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 78
Ωj6
Ω20
Ωj60
Ωº, 3058
V
33. Para o circuito mostrado na figura a seguir:
+
-
1I
I
2I
20 Ω
10 Ω
V02173 o,
1V1
-j11,55 Ω
0
a) Determina a corrente I , 1I e 2I através dos ramos;
b) Determina a tensão sobre cada elemento do circuito;
c) Desenha os correspondentes diagramas fasoriais.
34. Calcular a impedância equivalente e a corrente em cada ramo do circuito em paralelo da figura a
seguir.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 79
Vº6050
Aº,IT 24531
1Z Ω10
Ω4
Ωj3
35. Dado o circuito da figura a seguir determina:
a) A corrente total dada pela fonte de tensão;
b) As correntes em cada um dos ramos de impedância;
c) As potências activa e reactiva absorvidas em cada ramo paralelo;
d) O triângulo de potências da fonte.
Vº6020
ΩºZ 3041
ΩºZ 6052
1I 2I
36. Determinar a potência activa total de uma associação de três cargas individuais, assim especificadas:
carga 1: 250 VA, factor de potência 0,5 atrasado; carga 2: 180 W, factor de potência 0,8 adiantado; carga
3: 300 VAR ; factor de potência 0,5 atrasado.
A FICHA DOS MÉTODOS DEVE SER DADA PELO DOCENTE.
TPC - 2
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 80
Circuitos trifásico
A maioria dos sistemas eléctricos de potência são trifásicos, isto é, envolvem três fontes de tensão
com a mesma amplitude e frequência, mas desfasadas de 120º entre si no eixo frequência tempo.
Assim, resultam para cada uma das fontes as seguintes expressões de tensão:
No domínio de tempo No domínio de frequência
o
mo
ma
omb
ma
120tsenV240tsenVv
120tsenVv
tsenVv
o
c
ob
oa
120VV
120VV
0VV
Onde 2
VV m é o valor eficaz da tensão. Estas relações são representadas na figura a seguir.
v
ωt
va
vb v
c
Figura ... Representação de tensões trifásicas no domínio de tempo
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 81
0120
anV
bnV
cnV
Figura.... Representação fasorial de um sistema de tensões trifásico
Os enrolamentos das três fontes de tensão podem ser ligados entre si em estrela ou triângulo. A
figura a seguir apresenta sistemas de tensões trifásicas ligadas em estrela ou triângulo e os
respectivos diagramas fasoriais.
bV
aV
cV
bcI
a
b
ccaI
abI
aI
bI
cI
aV
cV
bV
Ligação de Fontes em Triângulo Diagrama de Fasores
Figura……Ligação de Fontes em Triângulo
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 82
anV
bnV
cnV
a
b
c
aI
bI
cI
n
anV
cnV
bnV
aIbI
cI
θ
Figura ... Ligação de Fontes em Estrela Diagrama Fasorial de Tensões e Correntes
Ligações entre fontes e cargas nos sistemas trifásicos
Figura….Ligação de uma fonte a uma carga em estrela
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 83
Figura….Ligação de uma fonte a uma carga em triângulo
Tensões de Fase
Define-se como tensões de fase, fV , às tensões entre os dois terminais de cada fonte ou carga.
Nos circuitos em estrela a tensão de fase pode também ser definida como a existente entre cada
condutor de linha e o ponto ou condutor neutro. São representadas pelos fasores aV , bV e cV ,
respectivamente para a fase a, fase b e fase c.
Tensões de Linha
LV , são as tensões entre dois condutores de linha quaisquer dum sistema trifásico. São
representadas por abV , bcV e caV , respectivamente as tensões entre os condutores de linha das
fases a e b; b e c; c e a. A figura … apresenta estes conceitos.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 84
bnV
a
b
c
n Tensão de
LinhaTensão de
Fase
Condutor de
Linha
abV
Figura…..Ligação em estrela
bV
aV
cV
a
b
c
Tensão de
Fase
Tensão de
LinhacaV
caV
Figura …..Ligação em triângulo
Correntes de Fase e Linha
Define-se como correntes de fase, fI , às correntes que circulam entre os dois terminais de cada
fonte ou carga dum sistema trifásico. São representadas pelos fasores aI , bI e cI ,
respectivamente para a fase a, fase b e fase c.
Correntes de Linha, LI , são as correntes transportadas pelos condutores de linha que ligam as
fontes de tensão às cargas num sistema trifásico. São representadas por LaI , LbI e LaI ,
respectivamente as correntes nos condutores de linha das fases a, b e c.. A figura … apresenta
estes conceitos.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 85
a
b
c
LaI
LbI
LcI
n
Corrente de Linha
Corrente de Linha
Corrente de
Fase
nI
Corrente pelo
condutor neutro
bI
Figura…..Ligação em estrela
bcI
a
b
ccaI
abI
Corrente de
FaseCorrente de
Linha
LcI
LaI
LbI
Figura …..Ligação em triângulo
Relações entre as Tensões de Fase e Linha
As relações dependem do modo de ligação dos elementos do circuito:
Ligação em Estrela
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 86
bnV
a
b
c
n Tensão de
LinhaTensão de
Fase
Condutor de
Linha
abV
Figura…..Ligação em estrela
Como pode ser visto da figura:
ancnca
cnbnbc
bnanab
VVV
VVV
VVV
Cujo diagrama fasorial dá:
030
anV
bnVcnV
abV
anV
caV
bnV
cnV
bcV
Figura …… Diagrama Fasorial
Portanto, fL
cnca
bnbc
anab
V.3V
º30V.3V
º30V.3V
º30V.3V
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 87
Ligação em Triângulo
bV
aV
cV
a
b
c
Tensão de
Fase
Tensão de
LinhacaV
caV
Figura …..Ligação em triângulo
Da figura: fL
cca
bbc
aab
VV
VV
VV
VV
Relações entre as Correntes de Fase e Linha
As relações também dependem do modo de ligação dos elementos do circuito:
Ligação em Estrela
YZ YZ
YZ
a
b
c A
B
CnI
n N
Corrente de
Linha
Corrente de
Fase
cnV
anV
bnVCorrente de
Neutro
LcI
LaI
LbI
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 88
Figura…..Ligação em estrela
Como pode ser visto da figura: fL
cLC
bLb
aLa
II
II
II
II
Ligação em Triângulo
anV
bnVcnV
a
b
cA
B
C
nZ
CAI
ABIBCI
Z Z
Corrente de
Linha
Corrente de
Fase
LcI
LaI
LbI
Figura …..Ligação em triângulo
Da figura:
BCCALc
ABBCLb
CAABLa
iII
III
III
Cujo diagrama fasorial dá:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 89
030
ABI
AIBCI
BI
CAI
CI
CAI
BCI
ABI
Figura …… Diagrama Fasorial
Donde: fL I.3I
o
CALc
o
BCLb
o
ABLa
30I3I
30I3I
30I3I
Potência em Sistemas trifásicos
Potência Instantânea
De acordo com a figura ( ), é dada pela soma das potências instantâneas de cada fase. Isto é:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 90
a
b
c
n
GZ
cnE
anE
bnE
(t)cnv
(t)anv
(t)vbn
(t)ci
(t)ai
(t)bi
GZ
GZ
Considerando para cada fase:
δ)tsin(ωV2 an )t(va β)t.sin(ω.I2 La )t(ia
)120º-δtsin(ωV2 bn )t(vb )120º-βt.sin(ω.I2 Lb )t(ib
)120ºδtsin(ωV2 cn )t(vc )120ºβt.sin(ω.I2 Lc )(tic
Onde
δ e β são respectivamente os ângulos de fase de corrente e tensão e
β-δ é o ângulo de desfasamento entre a corrente e a tensão.
A potência instantânea total será:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 91
º120t2coscos2
1..2
º120t2coscos2
1..2t2coscos
2
1..2
vvv
Lf
LfLf
Lccn
LbbnLaan
ccnbbnaancba3
.IV
.IV.IV
)120ºβt).sin(ω120ºδtsin(ω.I2V2
)120º-βt).sin(ω120º-δtsin(ω.I2V2β)tδ).sin(ωtsin(ω.I2V2
(t)(t).i(t)(t)i(t)(t)ipppp
β)cos(δIU
.IV.IVp
Lf
LfLf3
.3
º120t2cos
º120t2cost2cos.
2
1..2cos..3
Portanto, a potência instantânea total fornecida por um gerador trifásico sob condições normais de
serviço equilibrado não varia com o tempo, isto é, ela é praticamente constante. Um gerador
trifásico (construído com os seus enrolamentos de campo num mesmo veio e com os seus 3
enrolamentos estatóricos no núcleo deslocados entre si de 120º), terá também uma potência
mecânica de entrada aproximadamente constante sob condições normais de operação, uma vez
que a potência mecânica de entrada é igual à potência de saída eléctrica mais as pequenas perdas
no gerador. Assim, o torque mecânico do veio, que é igual à potência mecânica de entrada,
dividida pela frequência angular (n
mecmec
ω
PT ) será também aproximadamente constante.
Por outro lado, a equação para a potência instantânea fornecida por um gerador monofásico sob
condições estacionárias de funcionamento é a mesma que a equação para a potência instantânea
fornecida por uma fase de um gerador trifásico. Como pode ser demonstrado em cursos mais
avançados, p(t) tem duas componentes: uma constante e outra sinusoidal com uma frequência
dupla da rede. Assim, tanto a potência mecânica de entrada como o torque mecânico do veio de
um gerador monofásico terão uma componente oscilatória com o dobro da frequência da rede a
qual cria uma vibração do veio e ruído, que poderia criar grandes falhas nas máquinas de elevada
potência.
Por causa disso, a maioria das máquinas eléctricas rotativas (geradores e motores) de potência
igual ou superior a 5 kVA são construídas como trifásicas, com a finalidade de produzir torques
aproximadamente constantes e, portanto, minimizar as vibrações dos veios e o ruído.
Potência Complexa
Usando a representação complexa das tensões e correntes num sistema trifásico vem:
δVfan V βII La
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 92
A potência complexa S fornecida pela fase a do gerador será então:
β)sin(δIVjβ)cos(δIV
β)(δ)I(Vβ)()I(δVIVS
LfLf
LfLf*
aana
Para um sistema trifásico equilibrado, a potência complexa entregue pelas fases b e c do gerador é
idêntica a da fase a . Portanto, a potência total da fonte será:
β)sin(δIj3Vβ)cos(δIV
β)(δI3V
S3SSSS
LfLf
Lf
acba3φ
3
Em termos de potência activa e reactiva:
ΦΦΦ 333 jQPS
onde:
β)cos(δIV3β)cos(δI3V)SRe(P LLLf3Φ3Φ
β)cos(δIV3β)sin(δI3V)SIm(Q LLLf3Φ3Φ
E a potência aparente total:
LLLL3φ3φ IV3I3VSS
Vantagens do Sistema Trifásico Sobre o Monofásico
A figura a seguir apresenta três sistemas monofásicos separados. Cada sistema
monofásico compreende os seguintes componentes idênticos:
1. Um gerador representado por uma fonte de tensão e uma impedância interna gZ ;
2. Um condutor activo e outro de retorno, representados por duas impedâncias de linha série LZ ;
3. Uma carga representada por uma impedância de valor YZ . Embora completamente separados
entre si, os 3 sistemas monofásicos são apresentados numa configuração idêntica à estrela, para
melhor ilustração das vantagens do sistema trifásico sobre o monofásico.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 93
n1
n2 n3
N1
N2N3
LZ
LωjRLLZ
GZYZ
YZ
YZ
LZGZ
GZ
Figura Três sistemas monofásicos separados
Da análise da figura pode-se concluir a seguintes Principais Vantagens Comparativas:
1. Cada sistema monofásico separado requer que os dois condutores, nomeadamente o activo e o de
retorno, tenham a mesma capacidade de carga (amperagem), igual ou maior que a corrente de
carga. Contudo, se as fontes da figura anterior forem ligadas por forma a constituir um sistema
trifásico, e se as fontes de tensão forem balanceadas com igual amplitude e desfasamento entre
fases consecutivas de ± 120º , então, a corrente pelo condutor neutro será nula e os 3 condutores
de neutro podem ser removidos. Portanto, apesar de estar a entregar a mesma potência à carga, o
sistema trifásico requer apenas metade do número de condutores necessários para 3
sistemas monofásicos separados fornecendo mesma potência.
2. Também, em virtude da diminuição da impedância de fase, as perdas totais de potência I2R no
sistema trifásico são também metade que em 3 sistemas monofásicos separados fornecendo a
mesma potência.
3. Igualmente, a queda de tensão entre a fonte e a carga no sistema trifásico será metade da
queda nos sistemas monofásicos.
Portanto, uma primeira vantagem do sistema trifásico equilibrado relativamente ao monofásico é
o baixo capital e custos de operacionais dos subsistemas de transporte e distribuição de energia
eléctrica, para além de uma melhor regulação de tensão.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 94
Exercícios
1. Um fonte de tensão trifásica tem uma tensão de fase de 120 V e alimenta uma carga trifásica ligada em
estrela com uma impedância de fase
jZLΩ
4836 . Calcula:
a) A tensão de linha;
b) A corrente de linha;
c) O factor de potência;
d) A potência total trifásica fornecida à carga.
Resolução
Redução a um circuito monofásico
a)
VU fase 120
Tensões de fase
VU
VU
VU
cn
bn
an
,120120)1200(120
,120120)1200(120
,0120
0
0
0
Tensões de Linha
VUU anab
,30846.20730120*33003 000
VUbc
,90846.207)12030(846.207 0
VUca
,150846.207)12030(846.207 0
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 95
b) Seguindo a malha M1:
AjZ
UIZIU
Y
an
a
oaEnt
Yaan,13.532
4836
0120 0~
c) O factor de potência
6.0)13.53cos(cos.
13.53)13.53(0 0
pf
d) A potência total trifásica
VAjIUSaan
,57643213.53720)13.532)(0120(33 0*
3
2.Considera agora que as três impedância de fase do problema anterior estão ligada em delta e
alimentadas por uma fonte de tensão trifásica de linha de 207,8 V. Calcula:
a) A corrente de fase;
b) A corrente de linha;
c) O factor de potência;
d) A potência total trifásica fornecida à carga.
Resolução
Redução da carga em Delta para a carga em Estrela
,1612
3
4836
3j
jZZ
Y
Redução a um circuito monofásico
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 96
VU linha 8.207
Tensões de Linha
VU
VU
VU
ca
bc
ab
,1208.207)1200(8.207
,1208.207)1200(8.207
,08.207
0
0
0
Tensões de fase
VU
VU
VU
U
cn
bn
ab
an
,90120)12030(120
,150120)12030(120
,30120303
8.207)300(
3
0
0
0
a) Seguindo a malha M1
AI
I
AjZ
UI
a
AB
Y
an
a
,13.53464.313.533
6)3013.83(
3
,13.8361612
30120
00
0
b)
AIa
,13.836 0
c)
6.0)13.53cos(cos.
13.5313.8330)13.83(30 0
pf
d)
VAjIUSaan
,1728129613.532160)13.836)(30120(33*
3
3. Uma fonte de tensão trifásica equilibrada de 208-V alimenta uma carga trifásica também equilibrada.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 97
Se a corrente de linha LaI medida for de 10 A e em fase com a tensão linha - linha bcV , calcula a
impedância por fase da carga se:
a) A carga for ligada em Y;
b) A carga for ligada em Δ.
4. Um alternador trifásico, 480 V, 50 kVA, 50 Hz, fornece uma corrente de linha de 20 A com um factor
de potência 0.8 em atraso com a tensão de operação nominal. Determina o triângulo de potências para
esta condição de funcionamento.
5. Uma impedância de carga trifásica ligada em triângulo com um valor de 9j12 por fase é
alimentada por uma fonte de tensão trifásica 50 Hz, 208 V.
a) Calcula as correntes de linha, a potência total activa e reactiva absorvidas pela carga, o
factor de potência e a potência aparente;
b) Esboça um diagrama fasorial mostrando as correntes de linha, as tensões linha da fonte
de alimentação e as correntes pela carga.
6. Duas cargas trifásicas ligadas em estrela, uma absorvendo 10 kW com um factor de potência de 0.8
indutivo e a outra 15 kW com um factor de potência 0.9 capacitivo, estão ligadas em paralelo e
alimentadas por uma fonte de tensão trifásica de 480 V também ligada em estrela. Calcula o valor da
corrente pela fonte de alimentação;
7. Três impedâncias idênticas o3030Z estão ligadas em triângulo a uma fonte de tensão
trifásica equilibrada de 500 V através de 3 condutores idênticos com uma impedância de valor
),,( 60j80ZL Ω por condutor. Calcula a tensão de linha nos terminais da carga.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 98
TEMA 4 - TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS
Um circuito magnético é um caminho fechado para a circulação o fluxo magnético, tal como um circuito
eléctrico propicia um caminho para a circulação da corrente eléctrica. Os transformadores, as máquinas
eléctricas rotativas e muitos outros dispositivos de conversão electromecânica usam circuitos magnéticos.
Os circuitos magnéticos são constituídos por materiais ferromagnéticos (núcleo) capazes de se magnetizar
com a circulação de fluxo magnético e fontes de excitação ou força magneto motriz. No caso de máquinas
eléctricas como por exemplo o transformador, o núcleo é normalmente feito de material ferromagnéticos
(aço electrotécnico). Existem entretanto casos especiais em que para além de material ferromagnéticos o
caminho do fluxo contém interrupções com caminhos de ar a que se chama entre ferro.
Transformado ideal
1E
1I2I
2E
Enrolamento 1 Enrolamento 2
1N 2N
+
-
+
-
+
-
1V 2V
c - Permeabilidade do núcleo;
cH - Intensidade do campo magnético;
CB - Indução do campo magnético;
c - Fluxo magnético;
cA - Área do núcleo;
cl - Comprimento médio;
N - Número de espiras.
1. Resistência do enrolamento = 0. Sem perdas
2. Tende
c ; *mmm RF ; c
c
cm A
lR *
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 99
3. Não existem fluxo de fugas;
4. Não existem perdas no núcleo.
cCc
ccC
AB
HB
*
*
Consoante
constIHdl Lei de Ampere
22112211
2211
**
* ININlA
ININlB
ININlH
c
cc
cc
c
C
cc
Como Tende
c
2211 ININ
dt
tdNte
)()( 11
dt
tdNte
)()( 22
2
1
2
1
N
N
E
E
Para um transformador ideal, e1=v1 e e2=v2. Portanto,
dtvN
dtvN
2
2
1
1
11
Assim, se o fluxo variar sinusoidalmente, isto é:
tsenm
Resultando para a tensão induzida num enrolamento de N - espiras :
tNdt
tsendN
dt
dNe m
m
cos
Cujo valor médio eficaz é:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 100
mmm Nf
NfNE
44,4
2
2
2
Esta é conhecida como a equação da força electromotriz (f.e.m.)
Onde,
2f é a frequência do fluxo magnético ou da fonte de excitação magnética em Hz
Representação de um transformador ideal
1I
2U
2I
N1 N
2
+ + +
-- -
1E 2E1U
2211 ININ
2
1
2
1
N
N
E
E
Potência de um transformador ideal
A potência fornecida pelos enrolamentos do transformador será
*
111 IES Para o enrolamento primário
E
*
222 IES Para o enrolamento secundário
2
*
22
*
21
2
22
1*
111)(
SIEI
N
NE
N
NIES
Impedância do secundário vista do primário
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 101
2
22
I
EZ
Seja 2
1
N
Na
2
2
2
12
2
2
22
2
2
1
121 Z
N
NZa
I
Ea
a
I
Ea
I
EZ
Exemplo:
Um transformador ideal monofásico de dois enrolamentos tem uma potência nominal de 20 KVA; tensões
nominais 480V/120V e frequência nominal 60Hz.
Uma fonte ligada ao enrolamento de 480V alimenta uma impedância de carga ligada ao enrolamento de
120V. A carga absorve 15 KVA com um f.p. 0,8 atrasado, quando a tensão pela carga é de 118 V.
Calcula:
a) A tensão pelo enrolamento de 480V;
b) A impedância de carga;
c) A impedância da carga vista do enrolamento de 480V;
d) A potência activa e reactiva fornecida ao enrolamento de 480V.
Solução:
1I
2U
2I
N1 N
2
+ + +
-- -
1E 2E1U
a) Das relações de tensão primária e secundária vem para a relação de transformação:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 102
4V120
V480
E
E
N
Na
n2
n1
2
1
e a tensão através do enrolamento 1 será:
V0472V0118x4EaE oo21
b) A potência complexa absorvida pela carga Z será:
*
2o*
222 Ix0118IES
A87,3612,1278,0cosarV118
VA15000
E
SI o
2
2*
2
A impedância de carga será:
o
o
o
2
22 87,369283,0
A87,3612,127
V0118
I
EZ
c) A impedância de carga referida ao primário será:
oo22
221 87,3685,1487,369283,0x4ZaZ
d) A potência complexa pelos enrolamentos é dada por:
VA9000j12000VAº87,3615000SS 21 ∠
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 103
Donde:
kVAR9VAR9000SIQ
kW12W12000SRP
1m
1e1
Transformadores Reais e Circuito Equivalente
Na prática os transformadores não são ideais pois:
1) Os enrolamentos tem resistência;
2) A permeabilidade magnética do núcleo μc é finita;
3) O fluxo magnético não é completamente confinado ao núcleo, havendo dispersão;
4) Existem perdas de potência activa e reactiva no núcleo.
Sob estas condições, resulta:
ΦRININ m2211 -
Ou
m1
2
1
m
1
1
1
m
1
m21
1
m2
1
21 Ij
E
N
Rj
jN
E
N
R
j
E
N
R
a
II
N
RI
N
NI
-
Donde, considerando as perdas activas no núcleo do transformador:
cm
2
1II
a
II
Representação de um transformador real
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 104
1V
1I
2V
a 1
+ +
_ _
2I
1E
jX2jX
1R
2R1
+
_ _
+
2E
CRmXj
mICI
0I
a
I2
:
Considerando que a permeabilidade magnética do núcleo é finita, a relutância magnética e a fmm total
não são nulos. Deste modo, obtemos os seguintes esquemas equivalentes.
1V
1I
2V
2IjX1R
1
CR mjX
mICI
0I
a : 1
a) Transformador real
1E
2E
jX2
R2
1V
1Ia
I2jX
1R1
CR mj X
mICI
0I
b) Transformabor real com X2 e R
2 referidos ao
enrolamento primário
22Ra
2Va
22Xaj
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 105
2V
2I2
1
a
R
jX2
R2
2
C
a
R
2a
Xmj
mIaCIa0Ia
c) Transformabor real com X1 e R
1 referidos ao
enrolamento secundário
a
1V
1Ia2
1
a
Xj
121
121
XXX
RRR
equ
equ
12
2
2
1
12
2
2
1
*)(
*)(
XXN
NX
RRN
NR
equ
equ
Ensaios em Transformadores
As características de funcionamento dos transformadores podem ser obtidos a partir dos esquemas
equivalentes desenvolvidos na secção anterior. Os parâmetros do circuito podem ser determinados quer
pelos dados dos projectos das máquinas quer por ensaios. Os ensaios mais comuns são o ensaio em vazio
e o ensaio de curto-circuito que são descritos a seguir.
Ensaio em Vazio
Aqui, um dos enrolamentos é aberto e uma tensão, normalmente a nominal, também com frequência
nominal, é aplicada ao outro enrolamento, medindo-se a tensão, corrente e potência deste enrolamento,
como mostrado na figura a seguir.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 106
+
_
+
_
AW
P0 I
0
U10 V V
U20
Figura.... Esquema do ensaio em vazio
Medindo-se a tensão em vazio do outro enrolamento pode-se também determinar a razão de
transformação do transformador. É conveniente aplicar-se a tensão ao enrolamento com a tensão nominal
próxima da tensão da fonte disponível. Isto significa que para transformadores elevadores, a tensão em
vazio do segundo enrolamento há-se ser maior que a tensão aplicada. Assim, cuidados especiais devem
ser tomados para resguardar os terminais desses enrolamentos por forma a assegura a segurança do
pessoal de teste e evitar que esses terminais estejam próximos de outros circuitos, instrumentos, terras,
etc.
Na apresentação dos parâmetros do ensaio em vazio assume-se que a tensão é aplicada ao enrolamento
primário e que o enrolamento secundário fica aberto. A potência de perdas em vazio é igual à potência
medida pelo wattímetro do ensaio; as perdas no ferro são obtidas por subtracção das perdas Óhmicas no
enrolamento primário, que em muitos casos são muito pequenas e desprezáveis. Assim, se 0P , 0I e
10U forem os valores medidos, a perdas no cobre serão dadas por:
1200 RIPPC
A tensão induzida no primário é dada por:
1100o
101 XjRI0UE
Onde 0 é o ângulo de potência em vazio dado por:
00
00
IV
Pcosarθ .
Outras grandezas são determinadas a partir das seguintes fórmulas :
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 107
C
21
CP
ER
1E
PI CC
220 Cm III
mm
I
EX 1
2
10
E
Ua
Como teremos oportunidade de verificar nos exemplos numéricos pode-se aceitar as seguintes
simplificações:
0C1200 PPRIP » o
1011100o
10 0UEXjRI0U »
Assim, pode-se usar as seguintes expressões aproximadas para o cálculo dos parâmetros do circuito de
excitação dos transformadores reais com erros relativos menores do que 10% :
0
210
CP
VR
0
0C
V
PI
220 Cm III
m
10m
I
VX
20
10
V
Ua
Ensaio de Curto-Circuito
Neste teste um enrolamento é curto-circuitado sobre os seus terminais e uma tensão reduzida aplicada
ao outro enrolamento, como mostrado na figura a seguir.
+
_
+
_
AW
Pcc I
cc
Ucc V
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 108
Figura.... Esquema do ensaio em curto-circuito
O valor da tensão reduzida é tal que deve produzir uma determinada corrente, normalmente a corrente
nominal, no enrolamento curto-circuitado. Também aqui, a escolha do enrolamento a curto-circuitar
depende do equipamento de teste disponível. Entretanto, cuidado deve ser tomado para notar o
enrolamento curto-circuitado pois ele vai servir de referência para exprimir os componentes da
impedância obtidos no teste. Aqui vai-se considerar que o enrolamento curto-circuitado é o
secundário e que a tensão reduzida é aplicada ao enrolamento primário. Com uma tensão muito
reduzida aplicada ao enrolamento primário, as correntes de perdas no ferro e de magnetização
tornam-se muito pequenas e o circuito equivalente reduz-se ao apresentado na figura a seguir.
ccU
ccIa2R
2R1
+
-
a2X2X
1
Xeq
Req
Figura. 13.8.... Esquema equivalente do transformador simplificado do ensaio de curto-circuito
Assim, se ccP , ccI e ccV forem as grandezas medidas durante o ensaio de curto-circuito, então, os
parâmetros do transformador referidos ao primário serão dados por:
cc
cceq
I
UZ
2cc
cceq2
21
I
PRRaR
22
22
1 eqeqeq RZXXaX
Dados R1 e a, R2 pode ser determinado a partir das equações anteriores. Por outro lado, é comummente
assumido que a reactância de dispersão equivalente vista de um lado do transformador é igualmente
dividida pelos dois enrolamentos, isto é:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 109
eqXXaX2
12
21
Exemplo
Um transformador monofásico de dois enrolamentos tem os seguintes dados nominais: Potência: 20 kVA;
Tensão: 480 V/120V; Frequência: 60Hz. Durante um ensaio de curto circuito com aplicação de corrente
nominal no enrolamento primário com enrolamento secundário curto-circuitado, foram obtidos os
seguintes valores: U1=35 V; P1=300 W. No ensaio em vazio, com aplicação de tensão nominal no
enrolamento secundário e enrolamento primário aberto, foram obtidos os seguintes valores: I2=12 A;
P2=200 W.
a) A partir dos dados do ensaio de curto circuito, calcula a impedância série equivalente, referida ao
enrolamento primário 111 eqeqeq
jXRZ . Despreza a admitância paralela.
b) A partir dos dados do ensaio em vazio, determina os dados da admitância paralela, referida ao
enrolamento primário, nomeadamente a resistência de ferro e reactância de magnetização cR e
mX . Despreza a impedância série.
Solução:
a) O esquema equivalente para o ensaio de curto circuito é mostrado na figura a
seguir:
1ccU
1n1cc I =I Req1
480: 120
jXeq1
a) ensaio de curo circuito (desprezando acorrente de excitação)
+
_
+
_
Da figura,
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 110
A66741480
10x20
U
SII
3
n1
nn1cc ,
1728066741
300
I
PR
2cc
cc1eq
,
).(
8400066741
35
I
UZ
cc
cc1eq
,
,
8220017280840RZX 222
1eq
2
1eq1eq,,, --
º,,,, 1378840008220j17280jXRZ1eq1eq1eq
∠
b) O esquema equivalente para o ensaio em vazio é mostrado na figura a seguir:
1V
21
2 IN
N
2E
2I
CR mj X
480: 120
b) ensaio em vazio ( desprezando aimpedância série)
+
_
+
_
V 1201E
Da figura,
V480V120x120
480V
N
NEaEV n2
2
1211
21997802002
17280x
4
12200R
a
IPRIPP
2
12
220
01200C ,,
,
Portanto, 0C PP
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 111
º
.
coscos 823480
200ar
IV
Par
00
00
º,,
,,
ºº
0107478
2
8220j
2
172808230480XjRI0UE 1100
o101
Assim,
411502199
7478
P
ER
2
C
21
c ,
,
,
A416107478
2199
E
PI
1
CC ,
,
,
A9712416103III 222C
20m ,,
121619712
7478
I
EX
m
1m ,
,
,
Usando as expressões simplificadas:
Portanto, 101 UE
1152200
480
P
V
P
ER
2
0
102
C
21
c
A41670480
200
V
P
E
PI
10
0
1
CC ,
A972416703III 222C
20m ,,
Comparação dos valores exactos e aproximados:
7161972
480
I
EX
m
1m ,
,
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 112
Valores [Ω]
Erro [%] Exactos Aproximados
Rc 1150,4 1152 0,139
Xm 161,12 161,7 0,36
Auto transformadores
Auto-transformadores são transformadores de um único enrolamento muito usual para algumas aplicações
devido à sua simplicidade e custo baixo comparado com os transformadores multi enrolamentos. O
esquema equivalente de um auto-transformador pode ser desenvolvido a partir de um transformador
comum ligando os enrolamentos em série, como mostrado na figura a seguir, para um auto-transformador
abaixador. Considera agora que tal ligação foi efectuada para o transformador comum mostrado na
mesma figura em que o enrolamento primário é AB e o enrolamento secundário é BC. O primário do
transformador fica então formado pela soma dos dois enrolamentos do transformador comum, isto é, AC.
O secundário do auto-transformador fica constituído pelo enrolamento BC.
a) Transformador de 2 enrolamentos normal
+
-
+
-
Ientrada I
saída
Ventrada
Vsaída
A
B
B
C
b) Auto-transformadorAbaixador
Ventrada
Ientrada
A
B
C
H1
H2
X1
X2
ICB
Vsaída
Isaída
Terminal
de Alta
Tensão
Terminal
de Baixa
Tensão
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 113
A relação de transformação deste dispositivo será então:
1a1N
N
N
NN
E
EE
E
Ea
BC
AB
BC
BCAB
BC
BCAB
X
H
'
Onde a é a razão de transformação do transformador comum.
Para além de fornecer uma maior relação de tensões a ligação como auto-transformador pode também
proporcionar uma maior potência aparente que na ligação como transformador comum. A razão principal
é que a potência no auto-transformador é transferida por duas vias: por via da ligação eléctrica e por via
da ligação magnética entre os dois enrolamentos.
O auto-transformador apresenta também valores menores de impedância de curto circuito que os do
transformador comum, resultando valores inferiores de quedas de tensão (vantagem) e valores superiores
de corrente de curto circuito (desvantagem).
O auto-transformador tem ainda menores valores por unidade de perdas de potência (maior eficiência),
valores menores de corrente de magnetização e menores custos para uma razão de transformação não
muito grande. Contudo, o acoplamento eléctrico dos dois enrolamentos facilita a propagação de sobre
tensões transitórias (desvantagem) o que limita a sua aplicação em ambientes onde se requeira um
isolamento eléctrico entre o primário e o secundário.
Exemplo
O transformador monofásico de dois enrolamentos 20 kVA, 480V/120V do exemplo anterior é ligado
como um auto-transformador, sendo o enrolamento 1 o de 120V. Determina para a ligação como auto-
transformador:
a) As tensões nominais xE e HE dos terminais de baixa e alta tensão respectivamente;
b) A razão de transformação do auto-transformador;
c) A potência nominal do auto-transformador.
Solução:
a) Uma vez que o enrolamento de 480V é o enrolamento de entrada, estando ligado ao terminal de
alta tensão, tem-se:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 114
Portanto:
V600V120V480EEE BCABH
b) A razão de transformação para o auto-transformador será então:
5141V120
V4801
E
Ea
BC
AB ' Ou
5V120
V600
E
Ea
X
H '
c) A corrente nominal pelo secundário do transformador monofásico comum será:
A66741V480
VA20000II H2 ,
No funcionamento como auto-transformador o enrolamento de 480V deverá suportar esta mesma
corrente. Portanto,
VA25000V600Ax66741IES HHH ,
Repara também que quando A66741II 2H , , será induzida no enrolamento de 120 V, uma
corrente dada igual a:
A716666741x4IaI 21 ,,
Assim, a corrente total de saída será:
A3208A66741A7166III 21x ,,,
V120EV480E BCAB
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 115
Portanto, desprezando a corrente de magnetização, vem para a potência aparente:
VA25000VA3208Vx120IES xxx ,
Isto é, VA25000SSS NHX
Do presente exemplo pode-se concluir que na ligação como auto- transformador, o
transformador pode fornecer uma potência maior de até 25 kVA contra 20 kVA na ligação como
transformador comum. Contudo, a maior tensão de saída bem como as ligações peculiares
dos enrolamentos poderão requer um maior nível de isolamento para ambos enrolamentos.
Exercícios
1. O fluxo máximo no núcleo de um transformador operando a 110 V, 60 Hz é de 4,13 mWb. Determina o
número de espiras necessário no enrolamento primário.
2. Um transformador tem um enrolamento de 500 espiras acoplado por um fluxo que varia a uma taxa de
0,4 Wb/s. Determinar o valor eficaz da tensão induzida nesse enrolamento.
3. Um transformador com núcleo de ferro tem 400 espiras no primário e 100 espiras no secundário. Se
uma tensão de 220 V (valor eficaz), 50 Hz, é aplicada ao primário, determinar o valor eficaz da tensão do
secundário e o valor máximo (de pico) do fluxo magnético.
4. Se um enrolamento de 50 espiras de um transformador monofásico tem uma tensão de 120 V e o valor
de pico de fluxo de acoplamento é 20 mWb, determina a frequência da tensão aplicada.
5. Um transformador com núcleo de ferro tem 1500 espiras no primário e 500 no secundário. Um resistor
de 12 Ohms é ligado no enrolamento secundário. Determina a tensão sobre o resistor quando a corrente
no primário é de 5 A.
6. O estágio de saída de um sistema de audio tem uma resistência de saída de 2 kΩ. Um transformador de
saída faz o casamento de resistência com um microfone de 6Ω. Se este transformador tem 400 espiras no
primário determina o número de espiras do secundário.
7. Determina os valores nominais de corrente dos enrolamentos primário e secundário de um
transformador abaixador de 25000 V/240 V , 50 kVA.
8. Um transformador em vazio operando com 50 Hz, drena da fonte uma potência de 75 W ao se aplicar
uma tensão de 120 V e uma corrente de 1,5 A. Se a resistência do enrolamento primário for de 0,4 Ω,
calcula:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 116
d) As perdas de ferro do núcleo;
e) O factor de potência do transformador operando em vazio
9. Os parâmetros do circuito equivalente de um transformador com uma razão de transformação 5, são:
R1=0,5 Ω; R2=0,021 Ω; X1=3,2 Ω; X2=0,12 Ω; Rc=350 e Xm = 98Ω referidos ao primário. Desenha o
esquema equivalente do transformador com os valores numéricos dos parâmetros, com:
a) Valores referidos ao primário;
b) Valores referidos 10. Os resultados dos testes em vazio e curto-circuito de um transformador
monofásico de 25 kVA; 440 V/220 V, 60 Hz são apresentados a seguir:
Ensaio Tensão entrada [
V ]
Corrente entrada [
A ]
Potência entrada [
W ]
Primário aberto 220 9,6 710
Secundário em curto-circuito 42 57 1030
a) Determina os valores dos parâmetros do circuito equivalente exacto referidos ao enrolamento de
alta tensão assumindo que R1=a2R2 e X1=a
2X2;
b) Desenha o correspondente esquema equivalente.
11. A partir dos dados de ensaio do transformador do exercício anterior determina os valores dos
parâmetros do circuito equivalente referidos ao enrolamento de baixa tensão.
12. Um transformador com os dados de chapa 25 Hz; 120 V/30 V; 500 VA deve ser ligado a uma fonte de
tensão de 60 Hz. Considerando que a densidade de fluxo no núcleo de ferro mantêm-se constante,
determina:
a) A tensão máxima permitida no enrolamento primário;
b) Os novos valores de tensão e corrente máximas (valores nominais) no enrolamento secundário
para o transformador operando com 60 Hz.
13. Qual a relação de transformação de um transformador monofásico de dois enrolamentos que pode ser
conectado como um auto transformador de 500/350 kV?
14. Compara as correntes dos enrolamentos de um transformador de dois enrolamentos, 277 V/ 120 V, 50
kVA, com carga nominal, e um auto transformador de mesma potência.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 117
TEMA 5 - FENOMENOS TRANSITÓRIOS
As leis de comutação
1a Lei de comutação
A corrente através de uma indutância imediatamente antes da comutação é igual a corrente imediatamente
depois da comutação.
A corrente através de uma indutância não pode variar bruscamente.
dt
diLu L
L
di
diLRiU
UUU
LL
LR
2a Lei de comutação
A tensão aos terminais de uma capacidade imediatamente antes da comutação é igual a tensão nos
terminais da mesma capacidade imediatamente após a comutação
A tensão através de uma capacidade não pode variar bruscamente.
dt
duCi C
C
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 118
dt
duCRiU
UUU
CC
CR
Métodos de cálculos de fenómenos transitórios
1. Método Clássico (Método das equações diferenciais)
2. Método Operacional (Operador Laplace ou Karson);
3. Método Integral de Duhamel (Utilizados nos circuitos discretos)
Passos principais do uso do Método Clássico
1. Constituir as equações diferenciais para o circuito obtido depois da comutação;
2. Escrever a solução geral como a soma de duas componentes, a estacionária ou forçada e a
livre;
Nota A: Para a indutância é uma equação de correntes:
AAeii
Aiii
Pt
forestLtL
livreLforestLtL
,
,
)/()(
)()/()(
Nota B: Para a capacidade é uma equação de tensões:
VAeuu
Vuuu
Pt
forestCtC
LivreCforestCtC
,
,
)/()(
)()/()(
Nota C: A parte estacionária é a resolução particular da equação diferencial não homogénea quando o
tempo tende ao infinito;
Nota D: A parte livre é a resolução geral da equação homogénea, isto é, com a parte esquerda igual a
zero.
3. Determinar as raízes da equação característica;
4. Determinar as constantes de integração usando as condições iniciais;
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 119
Nota A: Para isso, calcula-se o circuito antes da comutação e depois das leis da comutação.
Nota B: Determinam-se as condições iniciais, isto é, as condições no instante de tempo "t=0".
Processos transitórios em circuito R-L
1.
LR UUU
De acordo com a 1a Lei de comutação:
dt
diLu L
L , Então:
dt
diLRiU L
L
Derivando ambos os membros da equação acima em função da Li e fazendo Pdt
diL teremos:
1,
0
SL
R
L
RP
LPR
P - Equação característica ou constante de tempo.
2.
AAeiAeii
iii
tL
R
estL
Pt
estLtL
LivreLforestLtL
,)()()(
)()/()(
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 120
Caso a) Fontes de Corrente Contínua (CC)
Cálculo da corrente estacionária
AIi TendetLest ,
)( A corrente após a comutação. Após a comutação o circuito fica:
Então:
R
UIi R
Lest
E a solução geral muda para:
AAeR
Ui
tL
R
RtL ,)(
Cálculo da constante A
Esta constante retira-se antes da comutação, ou quando o tempo é igual a zero
Ai sulta
tL
Re
)0(
Para t=0, que é antes da comutação, no circuito a chave "S" ainda se encontra aberta, sendo que no
circuito não existe a passagem de corrente
AIi LtL ,0)0(
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 121
Então a solução geral:
AAeR
Ui
tL
R
RtL ,)(
Para t=0 temos:
AR
UA
AR
UAe
R
U
R
RL
R
R
,
000*
A solução geral final é:
AeR
Ue
R
U
R
Ui
tL
R
Rt
L
R
RRtL ),1()(
A solução geral da tensão é:
VUeeR
UL
dt
diLu
tL
Rt
L
R
RLL ,))1((
Gráficos
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 122
Caso b) Fonte de corrente alternada (CA)
VtUu t ),sin(max)(
Cálculo da corrente estacionária
AIiTende
tLest ,
)( A corrente após a comutação. Após a comutação o circuito fica:
AZ
U
Z
UIi
Lest ),(maxmax
,arctan)( 022 ZR
XXRjXRZ L
LL
,LX L
AtIi
AII
est
estest
),sin(
),(
max)(
max,max,
E a solução geral muda para:
AAetIit
L
R
tL ,)sin(max)(
Cálculo da constante A
Esta constante retira-se antes da comutação, ou quando o tempo é igual a zero
Ai sulta
tL
Re
)0(
Para t=0, que é antes da comutação, no circuito a chave "S" ainda se encontra aberta, sendo que no
circuito não existe a passagem de corrente
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 123
AIiL
tL ,0)0(
Então a solução geral:
AAetIit
L
R
tL ,)sin(max)(
Para t=0 temos:
AIA
AIAeI L
R
),sin(
0)sin()0*sin(0
max
max
0*
max
A solução geral final é:
AeItIit
L
R
tL ,)sin()sin( maxmax)(
A solução geral da tensão é:
VeUtUu
VeRItLIu
etILdt
diLu
tL
R
RLtL
tL
R
tL
tL
R
LtL
,)sin()cos(
,)sin()cos(
)))sin()(sin((
(max)(max))(
maxmax)(
max)(
Gráficos
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 124
Processos transitórios em circuito R-C
1.
CR UUU
De acordo com a 2a Lei de comutação:
dt
duCi C
C , Então:
CC
CC
Udt
duRCU
URiU
Derivando ambos os membros da equação acima em função da CU e fazendo Pdt
duC teremos:
1,11
10
SRCRC
P
RCP
P - Equação característica ou constante de tempo.
2.
VAeuAeuu
uuu
tRC
estC
Pt
estCtC
LivreCforestCtC
,
1
)()()(
)()/()(
Caso a) Fontes de Corrente Contínua (CC)
Cálculo da tensão estacionária
VUu TendetCestC ,
)( A tensão após a comutação. Após a comutação o circuito fica:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 125
Então:
VUUUu RCestC ,
E a solução geral muda para:
VAeUUut
RCRtC ,)(
1
)(
Cálculo da constante A
Esta constante retira-se antes da comutação, ou quando o tempo é igual a zero
Au sulta
tC
Re
)0(
Para t=0, que é antes da comutação, no circuito a chave "S" ainda se encontra aberta, sendo que no
circuito não existe a passagem de corrente, mas existe tensão aos terminais da resistência uma tensão
inicial, esta tensão pode ser igual a zero, dependendo do instante em que o circuito começa a ser
analisado.
AIC ,0
VUUu RCtC ,0)0(
Então a solução geral:
VAeUUut
RCRtC ,)(
1
)(
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 126
Para t=0 temos:
VUUUUUUA
AeUUU
RRRR
RCRR
,)(
)(
00
0*1
0
A solução geral final é:
VeUUUUUut
RCRRRtC ,)()(
1
0)(
A solução geral da corrente é:
AeR
UUU
dt
duCi
tRCRRC
C ,)(
1
0
Gráficos
Caso b) Fonte de corrente alternada (CA)
VtUu t ),sin(max)(
Cálculo da tensão estacionária
AUuTende
tCest ,
)( A tensão após a comutação. Após a comutação o circuito fica:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 127
VjXIUUUu CCRC
est ),(*
,arctan)( 022 ZR
XXRjXRZ C
CC
,1
CX C
AZ
UI
C,
VtXIu
VXIU
CCest
CC
),sin(**2
,)(* 0
E a solução geral muda para:
VAetXIut
RCCCtC ,)sin(**2
1
)(
Cálculo da constante A
Esta constante retira-se antes da comutação, ou quando o tempo é igual a zero
Au sulta
tC
Re
)0(
Para t=0, que é antes da comutação, no circuito a chave "S" ainda se encontra aberta, sendo que no
circuito não existe a passagem de corrente. AIC
,0
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 128
AUuC
tC ,0)0(
Então a solução geral:
VAetXIut
RCCCtC ,)sin(**2
1
)(
Para t=0 temos:
VXIAAXI
AeXI
CC
oaEnt
CC
RCCC
),sin(**2)sin(**20
)0*sin(**20~
0*1
A solução geral final é:
VeXItXIut
RCCCCCtC ,)sin(**2)sin(**2
1
)(
VetXIut
RCCCtC ),)sin()(sin(**2
1
)(
A solução geral da corrente é:
AR
eUtUCi
ARC
etXICi
RC
eXItXIC
dt
diCi
tRC
CCtC
tRC
CCtC
tRC
CCCC
CtC
),)sin(
)cos(*(2
),)sin(
)cos((**2
))sin(**2
)cos(**2*(
1
)(
1
)(
1
)(
Gráficos
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 129
Exemplos:
Exemplo1:
Processos transitórios em circuito R-C de corrente continua (CC)
Dado o circuito de corrente contínua da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0
segundos) na posição aberta, determina as expressões da tensão e corrente em função do tempo, através
da capacidade, tomando em conta os processos transitórios.
NOTA: O estudante deve usar o método clássico.
R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; C = 10*10-6
F ; E = 120V.
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO CLÁSSICO
10 Constituir as equações de Kirchoff para o circuito depois da comutação.
Nota-se que depois da comutação a resistência R1 fica curto-circuitado.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 130
3
333
22
3
22322
32
0:2
:1
R
UiRiUM
EURiRR
UEURiRiEURiM
iii
CEntao
C
ccCEntao
Cc
Entao
C
c
Vamos optar pela equação da malha 1 porque possui somente correntes e tensões relacionados
com a capacidade, e usando a segunda lei da comutação dt
duci c
c , ficamos:
Edt
ducR
R
RUE
dt
ducRU
R
RU c
c
Entaoccc 2
3
22
3
2 )1(
Derivando ambos os membros em relação a Uc:
1
6
2
3
2
2
3
2 ,800250*10*10
)1250
250()1(
01
ScR
R
R
PPcRR
R Entao
20 Escrever a solução geral como a soma de duas componentes, a estacionária e a livre:
Uc (t) = Uc (est) + Uc (livre) = Uc (est) + AePt
= Uc (est) + Ae-800t
,V
30 Procurar o valor da tensão estacionária:
Esta tensão retira-se no regime estacionário ou quando Tende
t , e escreve-se Uc (est) = Uc
(0+), e diz-se tensão imediatamente após a comutação.
No ramo da capacidade não irá atravessar corrente contínua imediatamente após a comutação mas
existindo entre os seus terminais uma tensão.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 131
VRIU
ARR
EIIM
AI
c
c
60250*24.0
24.0250250
120:1
0
32
32
21
Logo Uc (est) = Uc (0+) = 60V
40 Procurar o valor da constante A.
Para tal, procuramos o valor da tensão no instante 0t , escreve-se Uc (t=0) = Uc (0-), e diz-se
tensão imediatamente antes da comutação
Antes da comutação, a resistência R1 não está curto-circuitada, e pelo ramo da capacidade
imediatamente antes da comutação não irá atravessar a corrente continua, então o circuito fica:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 132
VRIuU
ARRR
EIIM
AI
tcc
c
30250*12.0
,12.0250250500
120:1
,0
32)0(
321
21
Este é o valor da tensão para o instante t=0segundos.
Então, para t=0, a nossa equação vista no passo 2 fica:
VA
AAAe
AeUU Pt
esttc
,306030
601*606030 0*800
)()0(
Finalmente a expressão da tensão pela capacidade em função do tempo fica:
Veu t
tc ,3060 800
)(
E a expressão da corrente fica:
Aei
eececdt
duci
t
tc
tttctc
,24.0
2400*10*10)2400())800(*300(
800
)(
8006800800
)(
Graficos:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 133
Exemplo2:
Processos transitórios em circuito R-C de corrente alternada (CA)
Dado o circuito de corrente alternada da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0
segundos) na posição aberta, determina as expressões da tensão e corrente em função do tempo, através
da capacidade, tomando em conta os processos transitórios.
NOTA: O estudante deve usar o método clássico.
R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; C = 10*10-6
F ; Vte t ),30500sin(120 0
)(
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO CLÁSSICO
Dados:
20010*10*500
11
,30853.84302
120
6
00
CX
VE
C
10 Constituir as equações de Kirchoff para o circuito depois da comutação.
Nota-se que depois da comutação a resistência R1 fica curto-circuitado.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 134
3
333
22
3
22322
32
0:2
:1
R
UiRiUM
EURiRR
UEURiRiEURiM
iii
CEntao
C
ccCEntao
Cc
Entao
C
c
Vamos optar pela equação da malha 1 porque possui somente correntes e tensões relacionados
com a capacidade, e usando a segunda lei da comutação dt
duci c
c , ficamos:
Edt
ducR
R
RUE
dt
ducRU
R
RU c
c
Entaoccc 2
3
22
3
2 )1(
Derivando ambos os membros em relação a Uc:
1
6
2
3
2
2
3
2 ,800250*10*10
)1250
250()1(
01
ScR
R
R
PPcRR
R Entao
20 Escrever a solução geral como a soma de duas componentes, a estacionária e a livre:
Uc (t) = Uc (est) + Uc (livre) = Uc (est) + AePt
= Uc (est) + Ae-800t
,V
30 Procurar o valor da tensão estacionária:
Esta tensão retira-se no regime estacionário ou quando Tende
t , e escreve-se Uc (est) = Uc
(0+), e diz-se tensão imediatamente após a comutação.
No ramo da capacidade irá atravessar corrente alternada imediatamente após a comutação e existe
entre os seus terminais uma tensão.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 135
Vamos usar malhas independentes para encontrar as correntes nos ramos.
N = 2; r = 3; rc = 0
equNrrN cequ 2)12()03()1()(0
0)()(
)()(
33
332
RIjXRI
ERIRRI
aC
b
ba
AI
AI
b
a
,995.87179.0
,335.4923.0
0
0
AII
AIII
AII
bC
ba
a
,995.87179.0
,766.1144.0995.87179.0335.4923.0
,335.4923.0
0
000
3
0
2
Vttu
VjjXIUu
test
CCC
est
),005.2500sin(629.50)005.2500sin(*8.35*2
,005.28.35)200(*)995.87179.0()(
00
)(
0
40 Procurar o valor da constante A.
Para tal, procuramos o valor da tensão no instante 0t , escreve-se Uc (t=0) = Uc (0-), e diz-se
tensão imediatamente antes da comutação
Antes da comutação, a resistência R1 não está curto-circuitada, e pelo ramo da capacidade
imediatamente antes da comutação irá atravessar a corrente alternada, então o circuito fica:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 136
Vamos usar malhas independentes para encontrar as correntes nos ramos.
N = 2; r = 3; rc = 0
equNrrN cequ 2)12()03()1()(0
0)()(
)()(
33
3321
RIjXRI
ERIRRRI
aC
b
ba
AI
AI
b
a
,848.76077.0
,188.38099.0
0
0
AII
AIII
AII
bC
ba
a
,848.76077.0
,869.120618.0
,188.38099.0
0
0
3
0
2
VjjXIUu CCC
t ,152.134.15)200(*)848.76077.0()( 00
)0(
Vttu t ),152.13500sin(779.21)152.13500sin(4.15*2 00
)0(
Então, substituindo na solução geral, e fazendo para t=0, temos:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 137
VA
A
Ae
Aeuu Pt
esttc
,224.3771.1995.4
771.1955.4
)005.20*500sin(629.50)152.130*500sin(779.21 0*800
)()0(
Finalmente a expressão da tensão pela capacidade em função do tempo fica:
Vetu t
tc ,224.3)005.2500sin(629.50 800
)(
E a expressão da corrente fica:
Aeti
etCdt
duCi
t
tC
tctc
,025.0)005.2500cos(25.0
))224.3*800()005.2500cos(629.50*500(
800
)(
800
)(
Gráficos
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 138
Exemplo3:
Processos transitórios em circuito R-L de corrente continua (CC)
Dado o circuito de corrente contínua da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0
segundos) na posição aberta, determina as expressões da tensão e corrente em função do tempo, através
da capacidade, tomando em conta os processos transitórios.
NOTA: O estudante deve usar o método clássico.
R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; L = 1H ; E = 120V.
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO CLÁSSICO
10 Constituir as equações de Kirchoff para o circuito depois da comutação.
Nota-se que depois da comutação a resistência R1 fica curto-circuitado.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 139
ERiR
RuEuRiR
R
uEuRiM
R
uiuRiM
iiiNo
LLLLLoaEnt
L
LoaEnt
L
L
2
3
222
3
~
22
3
3
~
33
32
)1(:2
0:1
:1
De acordo com a 1a Lei de comutação:
dt
diLu L
L , Então:
ERidt
diL
R
RL
L 2
3
2 )1(
Derivando ambos membros e fazendo Pdt
diL
1
3
2
2~
2
3
2 ,125
1*)1250
250(
250
)1(
0)1(
S
LR
R
RPRLP
R
R oaEnt
20 Escrever a solução geral como a soma de duas componentes, a estacionária e a livre:
iL (t) = iL (est) + iL (livre) = iL (est) + AePt
= iL (est) + Ae-125t
,A
30 Procurar o valor da corrente estacionária:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 140
N = 2; r = 3; rc = 0
equNrrN cequ 2)12()03()1()(0
AI
AI
ERI
RI
b
a
b
a
,48.0
,0
)(
0)(
2
3
AIIIi baLestL ,48.048.00)(
40 Procurar o valor da constante A.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 141
N = 2; r = 3; rc = 0
equNrrN cequ 2)12()03()1()(0
AI
AI
ERRI
RI
b
a
b
a
,24.0
,0
)(
0)(
21
3
AIIIi baLtL ,24.024.00)0(
Então, substituindo na solução geral, e fazendo para t=0, temos:
AA
AAe
Aeii Pt
estLtL
,24.048.024.0
48.048.024.0
,
0*125
)()0(
Finalmente a expressão da corrente pela bobina em função do tempo fica:
Aei t
tL ,24.048.0 125
)(
E a expressão para a tensão:
VeeLdt
diLu ttL
L ,30))24.0*125(( 125125
Gráficos:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 142
Exemplo4:
Processos transitórios em circuito R-L de corrente alternada (CA)
Dado o circuito de corrente alternada da figura a seguir, a chave ‘S’ encontra-se no instante inicial (t = 0
segundos) na posição aberta, determina as expressões da tensão e corrente em função do tempo, através
da capacidade, tomando em conta os processos transitórios.
NOTA: O estudante deve usar o método clássico.
R1 = 500Ω; R2 = R3 = 250Ω; L = 1H ; Vte t ),30500sin(120 0
)( .
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO CLÁSSICO
Dados
5001*500
,30853.84302
120 00
LX
VE
L
10 Constituir as equações de Kirchoff para o circuito depois da comutação.
Nota-se que depois da comutação a resistência R1 fica curto-circuitado.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 143
ERiR
RuEuRiR
R
uEuRiM
R
uiuRiM
iiiNo
LLLLLoaEnt
L
LoaEnt
L
L
2
3
222
3
~
22
3
3
~
33
32
)1(:2
0:1
:1
De acordo com a 1a Lei de comutação:
dt
diLu L
L , Então:
ERidt
diL
R
RL
L 2
3
2 )1(
Derivando ambos membros e fazendo Pdt
diL
1
3
2
2~
2
3
2 ,125
1*)1250
250(
250
)1(
0)1(
S
LR
R
RPRLP
R
R oaEnt
20 Escrever a solução geral como a soma de duas componentes, a estacionária e a livre:
iL (t) = iL (est) + iL (livre) = iL (est) + AePt
= iL (est) + Ae-125t
,A
30 Procurar o valor da corrente estacionária:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 144
N = 2; r = 3; rc = 0
equNrrN cequ 2)12()03()1()(0
EjXIjXRI
jXIjXRI
La
Lb
Lb
La
)()(
0)()(
2
3
AI
AI
b
a
,471.17184.0
,964.135165.0
0
0
AIIIibaL
estL ,26.46082.0 0
)(
Atti estL ),26.46500sin(12.0)26.46500sin(082.0*2 00
)(
40 Procurar o valor da constante A.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 145
N = 2; r = 3; rc = 0
equNrrN cequ 2)12()03()1()(0
EjXIjXRRI
jXIjXRI
La
Lb
Lb
La
)()(
0)()(
21
3
AI
AI
b
a
,991.23089.0
,444.129079.0
0
0
AIIIibaL
tL ,575.38039.0 0
)0(
Atti tL ),575.38500sin(055.0)575.38500sin(039.0*2 00
)0(
Então, substituindo na solução geral, e fazendo para t=0, temos:
AA
A
Ae
Aeii Pt
estLtL
,053.0087.0034.0
087.0034.0
)26.460*500sin(12.0)575.380*500sin(055.0
,
0*1250
)()0(
Finalmente a expressão da corrente pela bobina em função do tempo fica:
Aeti t
tL ,053.0)26.46500sin(12.0 1250
)(
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 146
E a expressão para a tensão:
Vetu
etLdt
diLu
t
tL
tLtL
,625.6)26.46500sin(60
))125*053.0()26.46500sin(500*12.0(
125
)(
1250
)(
Gráficos:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 147
TEMA 6 - QUADRÍPOLOS
Um quadrípolo é um circuito eléctrico com dois terminais de entrada e dois de saída.
Onde:
m,n - São terminais de entrada do quadrípolo. Eles são também terminais de alimentação;
p,q - São terminais de saída do quadrípolo.
Nos quadrípolos em geral, determinam-se as correntes e tensões nos terminais , e não no interior do
quadrípolo.
Classificação dos quadrípolos
Podem ser classificados como:
1. Quadrípolos lineares - Todos os elementos no seu interior são lineares;
Quadrípolos não lineares - Possuem pelo menos 1 elemento não linear no interior;
2. Quadrípolos activos - Aqueles que possuem fontes de tensão ou de corrente;
Quadrípolos passivos - Não possuem nem fonte de tensão , nem fonte de corrente;
3. Quadrípolos simétrico - Se com a alimentação e a carga trocadas as respectivas correntes e
tensões permanecem as mesmas.
quadrípolos não simétrico - Se com a alimentação e a carga trocadas as respectivas correntes e
tensões não permanecem as mesmas.
Descrição matemática de quadrípolos
Um quadrípolo caracteriza-se pelas duas tensões (U1 e U2) e pelas duas correspondentes correntes (I1 e I2).
Qualquer duas grandezas de quatro grandezas pode-se determinar por meio das restantes. Tendo em conta
que a combinação de quatro elementos por dois é igual a seis, então são possíveis os seguintes modelos de
um quadrípolo:
r
KC
onde:
r - Número dos elementos que constituem uma variável;
K - Número dos elementos totais.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 148
)!(!
!
rKr
KC r
K
O nosso caso: K = 4 e r = 2. Então
62*2
1*2*3*2*2
)!24(1*2
1*2*3*4
r
KC
Logo nota-se que são possíveis 6 combinações.
Combinação do modelo Y
2221212
2121111
UYUYI
UYUYI
Combinação do modelo Z
2221212
2121111
IZIZU
IZIZU
Combinação do modelo H
2221212
221111
UHIHI
UHIHU
Combinação do modelo G
2221212
2121111
IGUGU
IGUGI
Combinação do modelo B
2211212
1121112
IBUBI
IBUBU
Combinação do modelo A
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 149
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
Nestes modelos as constantes Y;Z;H;G;B e A, são os parâmetros complexos gerais de um quadrípolo, e
dependem das ligações internas dos mesmos, dos valores da impedância respectiva e frequências. Para
qualquer quadrípolo estes coeficientes podem ser calculados ou determinados experimentalmente.
Pressupõem-se que tanto a carga como as tensões de entrada podem variar, enquanto que as configurações
das ligações internas permanecem inalteradas, e as impedâncias do quadrípolo permanecem fixas.
Usaremos como modelo principal o MODELO A, isto é:
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
Particularidades do modelo A
a) Todos os coeficientes do A - modelo estão interligados entre si pela equação:
121122211
AAAA
b) Para um quadrípolo simétrico 2211
AA
c) Para um quadrípolo invertível, isto é, para quadrípolos com terminais de entrada e saída trocados
o modelo A fica:
2112211
2122221
IAUAI
IAUAU
A particularidade importante para um quadrípolo é a particularidade que o regime de trabalho de um
quadrípolo pode ser representado como a soma de dois regimes:
Regime de marcha em vazio;
Regime de curto-circuito.
Regime de marcha em vazio
Tende
acZ
arg
AI ,02
, Então:
22210
21110
UAI
UAU
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 150
Regime de curto-circuito
,0arg ac
Z
VU ,02
, então:
2221
2121
IAI
IAU
CC
CC
Fazendo a soma dos regimes:
2222211101
2122111101
IAUAIII
IAUAUUU
CC
CC
Determinação de coeficientes de quadrípolos
Podem ser determinados usando os métodos:
1) Método Analítico - Sabendo a configuração do esquema eléctrico no interior do quadrípolo e
parâmetros das impedâncias, e usando os métodos visto nos capítulos 2 e 3 da cadeira de Análise
de Circuitos;
2) Método de consideração - Consideramos os regimes de marcha em vazio e curto-circuito:
a) Analiticamente - Sabendo a configuração do esquema eléctrico e do valor das
impedâncias;
b) Experimentalmente.
3) Método de representação de um quadrípolo em ∏ e Т esquemas.
4) Representação de um quadrípolo complexo por meio de um quadrípolo simples.
1. Método analítico
Este método deve ser visto nas aulas praticas, pois envolve os métodos estudados (Kirchoff,
Sobreposição, Analise de malhas).
2. Métodos de consideração
A - Modelo:
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 151
1a Experiencia: Regime de marcha em vazio dos terminais p e q (I2=0)
202110
201110
UAI
UAU
21
11
2021
2011
10
10
10
A
A
UA
UA
I
UZ
2a Experiencia: Regime de curto-circuito dos terminais p e q (U2 = 0)
CCCC
CCCC
IAI
IAU
2221
2121
22
12
222
212
1
1
1
A
A
IA
IA
I
UZ
CC
CC
CC
CC
CC
3a Experiencia: Regime de curto circuito dos terminais m e n (U1 = 0)
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 152
KK
KK
IAI
IAU
2111
2121
11
12
211
212
1
1
2
A
A
IA
IA
I
UZ
K
K
K
K
K
4a Experiencia: Vemos a particularidade de quadrípolos simétricos
121122211
AAAA
Resolvendo estas 4 equações das 4 experiencias, temos a matriz 2x2:
CC
K
CCK
CC
Z
AA
Z
AA
ZAAZZZ
ZZA
1
12
22
10
11
21
21112
1102
110
11 )(
Impedância característica de um quadrípolo
Em um quadrípolo o coeficiente da tensão de entrada pela corrente de entrada chama-se impedância de
entrada e designa-se através da letra Zen.
222221
212211
1
1
1
IAUA
IAUA
I
UZ
en
Como ac
ZIUarg22
, Então
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 153
22221
12211
22arg212
12arg112
1 )(
)(
AZA
AZA
AZAI
AZAI
Z
ac
ac
en
Agora para a ligação inversa
211221
212222
1
1
2
IAUA
IAUA
I
UZ
en
Como 122
ZIU , Então
11121
12122
111212
121222
2 )(
)(
AZA
AZA
AZAI
AZAIZ
en
As formulas para Zen mostra que:
)(
)(
12
21
ZfZ
ZfZ
en
en
Então estabelece-se que para um quadrípolo não simétrico existem tais valores das impedâncias de carga
acZZ
arg22 e
acZZ
arg11 que
acZZ
arg22 quando aos terminais p e q esta ligada a impedância
acZ
arg2, e também
acZZ
arg22 quando aos terminais m e n, esta ligada a impedância
acZ
arg1.
Estas impedâncias designam-se também por impedâncias características de um quadrípolo e designa-se:
22212
12211
1arg11
AZA
AZAZZZ
caract
caract
caractac
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 154
11121
12122
2arg22
AZA
AZAZZZ
caract
caract
caractac
Resolvendo estas duas equações obtemos:
1121
1222
2
2221
1211
1
AA
AAZ
AA
AAZ
caract
caract
Mas para um quadrípolo simétrico 2211
AA Então
21
12
21
A
AZZ
caractcaract
Método de representação de um quadrípolo em ∏ e Т esquemas
Um quadrípolo passivo pode ser substituído por um circuito equivalente em ∏ ou Т configurações.
Т - Esquema:
∏ - Esquema:
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 155
Esquemas equivalente em Т configuração
De acordo com o método de Kirchoff
221121
~
2211122
3
222
3
~
223321
3
2
3
2
22321
0:
0:
1
ZIZIUUZIZIUUM
Z
ZIUIZIZIUM
ZU
Z
ZIIIII
oaEnt
oaEnt
Substituindo na equação da malha dois (M2) a corrente I1 pela expressão obtida pela primeira Lei,
obtemos:
)()1(:
:
3
21
122
3
1
212
22
3
21
212
3
1
2212
Z
ZZZZI
Z
ZUUM
ZIZ
ZZIZI
Z
ZUUUM
Então vemos nas equações de Kirchoff que temos expressão para I1 e para U1:
)()1(
)1()1
(
3
21
122
3
1
21
3
2
2
3
21
Z
ZZZZI
Z
ZUU
Z
ZI
ZUI
Fazendo a analogia com o A - modelo:
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 156
Notamos que:
3
2
22
3
21
3
21
1212
3
1
11
1
1
1
Z
ZA
ZA
Z
ZZZZA
Z
ZA
E ainda que:
21
3
21
22
2
21
11
1
1
1
1
AZ
A
AZ
A
AZ
Esquema equivalente em ∏ configuração
3
2
21'
Z
UII
)1()('
2
1
2
32
321
2
2
1
3
2
2
2
11
1
Z
ZI
ZZ
ZZZU
Z
U
Z
UI
Z
UII
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 157
12
3
1
211
3
1
212211
21
~
11
121
)1(:
'0':
ZIZ
ZUUM
Z
ZUZIUZIUUZIUUM oaEnt
Então vemos nas equações de Kirchoff que temos expressão para I1 e para U1:
12
3
1
21
2
1
2
32
321
21
)1(
)1()(
ZIZ
ZUU
Z
ZI
ZZ
ZZZUI
Fazendo a analogia com o A - modelo:
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
Notamos que:
3
1
22
32
321
21
112
3
1
11
1
1
Z
ZA
ZZ
ZZZA
ZA
Z
ZA
E ainda que:
121 AZ
122
12
2
A
AZ
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 158
111
12
3
A
AZ
Representação de um quadrípolo complexo por meio de um quadrípolo simples
Ligação em cascata
Neste tipo de ligação os terminais de entrada de cada quadrípolo posterior estão ligados aos terminais de
saída do quadrípolo precedente.
Para o A - modelo
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
Representando na forma matricial, temos:
aaaaa
aaaaa
IAUAI
IAUAU
2222211
2122111
oaEnt~
a
a
a
I
U
AI
U
2
2
1
1*
b
b
b
I
U
AI
U
2
2
1
1*
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 159
Particularidades da ligação em cascata
ba
ba
II
UU
12
12
oaEnt~
ba
I
U
I
U
1
1
2
2
a
a
II
UU
11
11
b
b
II
UU
22
22
oaEnt~
2
2
1
1**
I
U
AAI
U
ba
bateresul
AAA
*tan
Ligação em série
Ligar dois quadrípolos em série significa que é necessário ligar em serie os terminais de entrada de dois
quadrípolos e terminais de saída respectivamente.
Análise de Circuitos Eléctricos - Engenharia Informática - Engo. Gerson Zango Página 160
top related