prof.: josé eustáquio rangel de queiroz rangel@dsc.ufcg.br rangeldequeiroz@gmail
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rangel@dsc.ufcg.edu.br
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CEEICEEICEEI DSCDSC
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Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz
rangel@dsc.ufcg.edu.brrangeldequeiroz@gmail.com
Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz
rangel@dsc.ufcg.edu.brrangeldequeiroz@gmail.com
2{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC Considerações Iniciais IConsiderações Iniciais IConsiderações Iniciais IConsiderações Iniciais I Sistemas Lineares - Forma GeralSistemas Lineares - Forma Geral
na qual:na qual:aaijij coeficientescoeficientes
xxii incógnitasincógnitas
Sistemas Lineares - Forma GeralSistemas Lineares - Forma Geral
na qual:na qual:aaijij coeficientescoeficientes
xxii incógnitasincógnitas
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
3{jose
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares - Exemplo 01Sistemas Lineares - Exemplo 01
22,, 44,, -5-5,, 44,, 11,, -5-5,, 22,, 44 ee 55
coeficientescoeficientesxx11,, xx22 ee xx33 incógnitasincógnitas
Sistemas Lineares - Exemplo 01Sistemas Lineares - Exemplo 01
22,, 44,, -5-5,, 44,, 11,, -5-5,, 22,, 44 ee 55
coeficientescoeficientesxx11,, xx22 ee xx33 incógnitasincógnitas
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
Considerações Iniciais IIConsiderações Iniciais IIConsiderações Iniciais IIConsiderações Iniciais II
4{jose
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ran
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Forma MatricialForma Matricial
na qual:na qual:
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Forma MatricialForma Matricial
na qual:na qual:
Ax = Ax = bb
Ax = Ax = bb
Considerações Iniciais Considerações Iniciais IIIIII
Considerações Iniciais Considerações Iniciais IIIIII
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaaaaa
A
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaaaaa
A
n
2
1
b
bb
b
n
2
1
b
bb
b
n
2
1
x
xx
x
n
2
1
x
xx
x
Matriz de coeficientesMatriz de coeficientesMatriz de coeficientesMatriz de coeficientes
Vetor de variáveis (incógnitas)Vetor de variáveis (incógnitas)Vetor de variáveis (incógnitas)Vetor de variáveis (incógnitas)
Vetor de termos independentesVetor de termos independentesVetor de termos independentesVetor de termos independentes
5{jose
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.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares - Exemplo 02Sistemas Lineares - Exemplo 02
Forma Forma GeralGeral
Forma Forma MatricialMatricial
Sistemas Lineares - Exemplo 02Sistemas Lineares - Exemplo 02
Forma Forma GeralGeral
Forma Forma MatricialMatricial
125
xxx
.542514542
3
2
1
Considerações Iniciais Considerações Iniciais IVIV
Considerações Iniciais Considerações Iniciais IVIV
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
6{jose
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.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IClassificação I
ImpossívelImpossível NãoNão possui solução possui solução
Exemplo 03Exemplo 03
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IClassificação I
ImpossívelImpossível NãoNão possui solução possui solução
Exemplo 03Exemplo 03
Considerações Iniciais VConsiderações Iniciais VConsiderações Iniciais VConsiderações Iniciais V
9x2x2
3xx
21
21
9x2x2
3xx
21
21
9x2x2
3xx
21
21
9x2x2
3xx
21
21
7{jose
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.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIClassificação II
PossívelPossível Possui Possui 11 ou ou maismais soluções soluções
DeterminadoDeterminado Solução Solução únicaúnica
Exemplo 04Exemplo 04
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIClassificação II
PossívelPossível Possui Possui 11 ou ou maismais soluções soluções
DeterminadoDeterminado Solução Solução únicaúnica
Exemplo 04Exemplo 04
8xx
4xx
21
21
8xx
4xx
21
21
Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIVI
Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIVI
8{jose
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ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIIClassificação III
PossívelPossível Possui Possui 11 ou ou maismais soluções soluções
IndeterminadoIndeterminado Mais de umaMais de uma solução solução
Exemplo 05Exemplo 05
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIIClassificação III
PossívelPossível Possui Possui 11 ou ou maismais soluções soluções
IndeterminadoIndeterminado Mais de umaMais de uma solução solução
Exemplo 05Exemplo 05
Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIVII
Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIVII
8x2x2
4xx
21
21
8x2x2
4xx
21
21
9{jose
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.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IVClassificação IV
PossívelPossível Possui Possui 11 ou ou maismais soluções soluções
HomogêneoHomogêneo Termos independentes Termos independentes de todas as equações de todas as equações nulosnulos
Vetor Vetor b=0b=0 (admite (admite pelo menospelo menos a solução a solução conhecida como conhecida como trivialtrivial x xii=0)=0)
Exemplo 06Exemplo 06
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IVClassificação IV
PossívelPossível Possui Possui 11 ou ou maismais soluções soluções
HomogêneoHomogêneo Termos independentes Termos independentes de todas as equações de todas as equações nulosnulos
Vetor Vetor b=0b=0 (admite (admite pelo menospelo menos a solução a solução conhecida como conhecida como trivialtrivial x xii=0)=0)
Exemplo 06Exemplo 06
Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIIVIII
Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIIVIII
0x3x2
0xx
21
21
0x3x2
0xx
21
21
10{jose
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CEEICEEI
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nn3n2n1n
333231
2221
11
aaaa
0aaa00aa000a
A
nn3n2n1n
333231
2221
11
aaaa
0aaa00aa000a
A
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Sistemas Sistemas TriangularesTriangulares
Possibilidade de resolução de forma Possibilidade de resolução de forma RetroativaRetroativa
SuperiorSuperior
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Sistemas Sistemas TriangularesTriangulares
Possibilidade de resolução de forma Possibilidade de resolução de forma RetroativaRetroativa
SuperiorSuperior
Considerações Iniciais Considerações Iniciais IXIX
Considerações Iniciais Considerações Iniciais IXIX
11{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Sistemas Sistemas TriangularesTriangulares
Possibilidade de resolução de forma Possibilidade de resolução de forma RetroativaRetroativa
InferiorInferior
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Sistemas Sistemas TriangularesTriangulares
Possibilidade de resolução de forma Possibilidade de resolução de forma RetroativaRetroativa
InferiorInferior
Considerações Iniciais XConsiderações Iniciais XConsiderações Iniciais XConsiderações Iniciais X
nn
n333
n22322
n1131211
a000
aa00aaa0aaaa
A
nn
n333
n22322
n1131211
a000
aa00aaa0aaaa
A
12{jose
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC Solução Retroativa ISolução Retroativa ISolução Retroativa ISolução Retroativa I Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IExemplo 07 I
Dado o Dado o sistemasistema::
Primeiro passo para sua resolução:Primeiro passo para sua resolução:
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IExemplo 07 I
Dado o Dado o sistemasistema::
Primeiro passo para sua resolução:Primeiro passo para sua resolução:
2x23x5x41x2xx10xx5x4x3
4
43
432
4321
2x23x5x41x2xx10xx5x4x3
4
43
432
4321
122
x4 122
x4
13{jose
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.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC Solução Retroativa IISolução Retroativa IISolução Retroativa IISolução Retroativa II Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIExemplo 07 II
Segundo passo:Segundo passo:
Terceiro passo:Terceiro passo:
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIExemplo 07 II
Segundo passo:Segundo passo:
Terceiro passo:Terceiro passo:
2x
315x4
3x5x4
3
3
43
2x
315x4
3x5x4
3
3
43
1x
1122x
1x2xx
2
2
432
1x
1122x
1x2xx
2
2
432
14{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC Solução Retroativa IIISolução Retroativa IIISolução Retroativa IIISolução Retroativa III Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIIExemplo 07 III
Último passo:Último passo:
Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIIExemplo 07 III
Último passo:Último passo:
1x
10125)1(4x3
10xx5x4x3
1
1
4321
1x
10125)1(4x3
10xx5x4x3
1
1
4321
15{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC Métodos Numéricos IMétodos Numéricos IMétodos Numéricos IMétodos Numéricos I DiretosDiretos
Solução pode ser encontrada através de Solução pode ser encontrada através de um número finito de passosum número finito de passos
Método de Método de GaussGauss
Método da Método da Eliminação de JordanEliminação de Jordan
Fatoração LUFatoração LU
DiretosDiretos
Solução pode ser encontrada através de Solução pode ser encontrada através de um número finito de passosum número finito de passos
Método de Método de GaussGauss
Método da Método da Eliminação de JordanEliminação de Jordan
Fatoração LUFatoração LU
16{jose
ana,
ran
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC Métodos Numéricos IIMétodos Numéricos IIMétodos Numéricos IIMétodos Numéricos II IterativosIterativos
Solução a partir de uma Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximaçõesaproximações para o valor do vetor para o valor do vetor solução solução xx , até que seja obtido um valor , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-que satisfaça à precisão pré-estabelecidaestabelecida
Método de Método de Gauss–JacobiGauss–Jacobi
Método de Método de Gauss–SiedelGauss–Siedel
IterativosIterativos
Solução a partir de uma Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximaçõesaproximações para o valor do vetor para o valor do vetor solução solução xx , até que seja obtido um valor , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-que satisfaça à precisão pré-estabelecidaestabelecida
Método de Método de Gauss–JacobiGauss–Jacobi
Método de Método de Gauss–SiedelGauss–Siedel
17{jose
ana,
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss II
PropósitoPropósito
Transformação do sistema linear a ser Transformação do sistema linear a ser resolvido em um resolvido em um sistema linear sistema linear triangulartriangular; e; e
Resolução do sistema linear triangular de Resolução do sistema linear triangular de forma forma retroativaretroativa..
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss II
PropósitoPropósito
Transformação do sistema linear a ser Transformação do sistema linear a ser resolvido em um resolvido em um sistema linear sistema linear triangulartriangular; e; e
Resolução do sistema linear triangular de Resolução do sistema linear triangular de forma forma retroativaretroativa..
Métodos Numéricos IIIMétodos Numéricos IIIMétodos Numéricos IIIMétodos Numéricos III
18{jose
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ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIII
Transformação do Sistema LinearTransformação do Sistema Linear
Troca da ordem das linhas;Troca da ordem das linhas;
Multiplicação de uma das equações Multiplicação de uma das equações por um número real por um número real não nulonão nulo;;
Substituição de uma das equações por Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela própria uma combinação linear dela própria com outra equação.com outra equação.
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIII
Transformação do Sistema LinearTransformação do Sistema Linear
Troca da ordem das linhas;Troca da ordem das linhas;
Multiplicação de uma das equações Multiplicação de uma das equações por um número real por um número real não nulonão nulo;;
Substituição de uma das equações por Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela própria uma combinação linear dela própria com outra equação.com outra equação.
Métodos Numéricos IVMétodos Numéricos IVMétodos Numéricos IVMétodos Numéricos IV
19{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIIIII
Passos do Método de Gauss IPassos do Método de Gauss I
Passo 0Passo 0
Construção da matriz aumentada Construção da matriz aumentada AbAb
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIIIII
Passos do Método de Gauss IPassos do Método de Gauss I
Passo 0Passo 0
Construção da matriz aumentada Construção da matriz aumentada AbAb
Métodos Numéricos VMétodos Numéricos VMétodos Numéricos VMétodos Numéricos V
nnn3n2n1n
2n22221
1n11211
baaaa
baaabaaa
Ab
nnn3n2n1n
2n22221
1n11211
baaaa
baaabaaa
Ab
20{jose
ana,
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IVIV
Passos do Método de Gauss IIPassos do Método de Gauss II
Passo 1Passo 1
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22, , 33, ..., , ..., nn da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = ... = = ... = aan1n1 = = 00
aa1111 pivô pivô da colunada coluna
Substituição da linha Substituição da linha 22,, LL22, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IVIV
Passos do Método de Gauss IIPassos do Método de Gauss II
Passo 1Passo 1
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22, , 33, ..., , ..., nn da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = ... = = ... = aan1n1 = = 00
aa1111 pivô pivô da colunada coluna
Substituição da linha Substituição da linha 22,, LL22, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
Métodos Numéricos VIMétodos Numéricos VIMétodos Numéricos VIMétodos Numéricos VI
21{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VV
Passos do Método de Gauss IIIPassos do Método de Gauss III
Passo 1Passo 1
Substituição da linha Substituição da linha 33,, LL33, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
Repetição do processo de substituição até Repetição do processo de substituição até a linha a linha nn
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VV
Passos do Método de Gauss IIIPassos do Método de Gauss III
Passo 1Passo 1
Substituição da linha Substituição da linha 33,, LL33, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
Repetição do processo de substituição até Repetição do processo de substituição até a linha a linha nn
Métodos Numéricos VIIMétodos Numéricos VIIMétodos Numéricos VIIMétodos Numéricos VII
22{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIVI
Passos do Método de Gauss IVPassos do Método de Gauss IV
Passo 1Passo 1
Observação Observação ImportanteImportante
Se algum elemento Se algum elemento aapppp= 0 = 0 Troca da linha Troca da linha
p p por outra linha por outra linha kk na qual na qual aakpkp≠ 0≠ 0
InexistênciaInexistência de uma linha de uma linha kk que satisfaça a que satisfaça a condição da troca condição da troca InexistênciaInexistência de solução de solução para o sistema linearpara o sistema linear
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIVI
Passos do Método de Gauss IVPassos do Método de Gauss IV
Passo 1Passo 1
Observação Observação ImportanteImportante
Se algum elemento Se algum elemento aapppp= 0 = 0 Troca da linha Troca da linha
p p por outra linha por outra linha kk na qual na qual aakpkp≠ 0≠ 0
InexistênciaInexistência de uma linha de uma linha kk que satisfaça a que satisfaça a condição da troca condição da troca InexistênciaInexistência de solução de solução para o sistema linearpara o sistema linear
Métodos Numéricos VIIIMétodos Numéricos VIIIMétodos Numéricos VIIIMétodos Numéricos VIII
23{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIVII
Passos do Método de Gauss VPassos do Método de Gauss V
Passo 2Passo 2
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx22 presentes nas linhas presentes nas linhas 33, , 44, ..., , ..., nn da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa3232 = = aa4242 = ... = = ... = aan2n2 = = 00
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx22 presentes nas linhas presentes nas linhas 44, , 55, ..., , ..., nn da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa4343 = = aa5353 = ... = = ... = aan3n3 = = 00
Repetição do processo até a eliminação Repetição do processo até a eliminação dos coeficientes de dos coeficientes de xxnn
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIVII
Passos do Método de Gauss VPassos do Método de Gauss V
Passo 2Passo 2
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx22 presentes nas linhas presentes nas linhas 33, , 44, ..., , ..., nn da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa3232 = = aa4242 = ... = = ... = aan2n2 = = 00
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx22 presentes nas linhas presentes nas linhas 44, , 55, ..., , ..., nn da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa4343 = = aa5353 = ... = = ... = aan3n3 = = 00
Repetição do processo até a eliminação Repetição do processo até a eliminação dos coeficientes de dos coeficientes de xxnn
Métodos Numéricos IXMétodos Numéricos IXMétodos Numéricos IXMétodos Numéricos IX
24{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIIVIII
Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas Irecursivas I
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIIVIII
Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas Irecursivas I
Métodos Numéricos XMétodos Numéricos XMétodos Numéricos XMétodos Numéricos X
25{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IXIX
Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas IIrecursivas II GeneralizaçãoGeneralização
Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IXIX
Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas IIrecursivas II GeneralizaçãoGeneralização
Métodos Numéricos XIMétodos Numéricos XIMétodos Numéricos XIMétodos Numéricos XI
1n,...,2,1i,xaba1
ni,ab
xn
1ijjiji
ii
ii
i
i
1n,...,2,1i,xaba1
ni,ab
xn
1ijjiji
ii
ii
i
i
26{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 I - Exemplo 08 I
Resolver o sistema:Resolver o sistema:
Construção da matriz aumentada Construção da matriz aumentada AbAb
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 I - Exemplo 08 I
Resolver o sistema:Resolver o sistema:
Construção da matriz aumentada Construção da matriz aumentada AbAb
1xx3x2
3x3x4x4
5xx3x2
321
321
321
1xx3x2
3x3x4x4
5xx3x2
321
321
321
1132
33445132
Ab
Métodos Numéricos XIIMétodos Numéricos XIIMétodos Numéricos XIIMétodos Numéricos XII
27{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 II - Exemplo 08 II
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22 e e 3 3 da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = = 00
aa1111 = = 22 pivô pivô da colunada coluna
Substituição da linha Substituição da linha 22,, LL22, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
ee
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 II - Exemplo 08 II
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22 e e 3 3 da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = = 00
aa1111 = = 22 pivô pivô da colunada coluna
Substituição da linha Substituição da linha 22,, LL22, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
ee
Métodos Numéricos XIIIMétodos Numéricos XIIIMétodos Numéricos XIIIMétodos Numéricos XIII
28{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 III - Exemplo 08 III
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22 e e 3 3 da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = = 00
aa1111 = = 22 pivô pivô da colunada coluna
Substituição da linha Substituição da linha 33,, LL33, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
ee
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 III - Exemplo 08 III
Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22 e e 3 3 da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = = 00
aa1111 = = 22 pivô pivô da colunada coluna
Substituição da linha Substituição da linha 33,, LL33, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
ee
Métodos Numéricos XIVMétodos Numéricos XIVMétodos Numéricos XIVMétodos Numéricos XIV
29{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 IV - Exemplo 08 IV
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Eliminação do coeficiente deEliminação do coeficiente de xx22 presente presente na linha na linha 3 3 da matriz, i.e., da matriz, i.e., aa3232 = = 00
Substituição da linha Substituição da linha 33,, LL33, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 IV - Exemplo 08 IV
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Eliminação do coeficiente deEliminação do coeficiente de xx22 presente presente na linha na linha 3 3 da matriz, i.e., da matriz, i.e., aa3232 = = 00
Substituição da linha Substituição da linha 33,, LL33, pela , pela combinação linearcombinação linear
, sendo, sendo
Métodos Numéricos XVMétodos Numéricos XVMétodos Numéricos XVMétodos Numéricos XV
626071205132
Ab
30{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 V - Exemplo 08 V
Eliminação do coeficiente deEliminação do coeficiente de xx22 presente presente na linha na linha 3 3 da matriz, i.e., da matriz, i.e., aa3232 = = 00
SendoSendo
,,
tem-setem-se
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 V - Exemplo 08 V
Eliminação do coeficiente deEliminação do coeficiente de xx22 presente presente na linha na linha 3 3 da matriz, i.e., da matriz, i.e., aa3232 = = 00
SendoSendo
,,
tem-setem-se
Métodos Numéricos XVIMétodos Numéricos XVIMétodos Numéricos XVIMétodos Numéricos XVI
31{jose
ana,
ran
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.br
CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VI - Exemplo 08 VI
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Uso da solução retroativaUso da solução retroativa
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VI - Exemplo 08 VI
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Uso da solução retroativaUso da solução retroativa
Métodos Numéricos XVIIMétodos Numéricos XVIIMétodos Numéricos XVIIMétodos Numéricos XVII
1550071205132
Ab
32{jose
ana,
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dsc.
ufcg
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.br
CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VII - Exemplo 08 VII
Ou, a partir da generalização (slideOu, a partir da generalização (slide 2525))
Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VII - Exemplo 08 VII
Ou, a partir da generalização (slideOu, a partir da generalização (slide 2525))
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XVIIIXVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XVIIIXVIII
3515
a
bx
33
3
3 3515
a
bx
33
3
3
23)1(7)2(
1xab
a1
x 3232
22
2
23)1(7)2(
1xab
a1
x 3232
22
2
13).1(2.3521
xaba1
x3
2jjj11
11
1
13).1(2.3521
xaba1
x3
2jjj11
11
1
33{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss - Exercício 01 - Exercício 01
Determinar uma solução para o sistemaDeterminar uma solução para o sistema
Método de Método de GaussGauss - Exercício 01 - Exercício 01
Determinar uma solução para o sistemaDeterminar uma solução para o sistema
Métodos Numéricos XIXMétodos Numéricos XIXMétodos Numéricos XIXMétodos Numéricos XIX
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x
321
321
321
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x
321
321
321
34{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss – Considerações I – Considerações I
Casos ParticularesCasos Particulares
Diagonal da matriz de coeficientes com Diagonal da matriz de coeficientes com umum dos elementos dos elementos nulosnulos Sistema admite Sistema admite infinitasinfinitas soluções soluções
Quando a equação for Quando a equação for 0x0xii = 0 = 0
Sistema Sistema nãonão admite soluções admite soluções Quando a Quando a equação for equação for 0xi = b0xi = bii, , bbii 0 0).).
Método de Método de GaussGauss – Considerações I – Considerações I
Casos ParticularesCasos Particulares
Diagonal da matriz de coeficientes com Diagonal da matriz de coeficientes com umum dos elementos dos elementos nulosnulos Sistema admite Sistema admite infinitasinfinitas soluções soluções
Quando a equação for Quando a equação for 0x0xii = 0 = 0
Sistema Sistema nãonão admite soluções admite soluções Quando a Quando a equação for equação for 0xi = b0xi = bii, , bbii 0 0).).
Métodos Numéricos XXMétodos Numéricos XXMétodos Numéricos XXMétodos Numéricos XX
35{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss – Considerações II – Considerações II
Custo computacional do algoritmoCusto computacional do algoritmo
Número de divisões Número de divisões
NNDD = n = n Número de somasNúmero de somas
Número de multiplicações Número de multiplicações
Método de Método de GaussGauss – Considerações II – Considerações II
Custo computacional do algoritmoCusto computacional do algoritmo
Número de divisões Número de divisões
NNDD = n = n Número de somasNúmero de somas
Número de multiplicações Número de multiplicações
Métodos Numéricos XXIMétodos Numéricos XXIMétodos Numéricos XXIMétodos Numéricos XXI
n
1iS 2/)1n(n)1i(N
n
1iS 2/)1n(n)1i(N
n
1iM 2/)1n(n)1i(N
n
1iM 2/)1n(n)1i(N
36{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss – Considerações III – Considerações III
SínteseSíntese
Resolução em 2 etapasResolução em 2 etapas
TriangularizaçãoTriangularização
Uso das três operações básicas que não Uso das três operações básicas que não alteram um sistema de equações linearesalteram um sistema de equações lineares
Substituição ReversaSubstituição Reversa
Determinação dos valores de Determinação dos valores de xx11 a a xxnn em em
ordem ordem inversainversa
Método de Método de GaussGauss – Considerações III – Considerações III
SínteseSíntese
Resolução em 2 etapasResolução em 2 etapas
TriangularizaçãoTriangularização
Uso das três operações básicas que não Uso das três operações básicas que não alteram um sistema de equações linearesalteram um sistema de equações lineares
Substituição ReversaSubstituição Reversa
Determinação dos valores de Determinação dos valores de xx11 a a xxnn em em
ordem ordem inversainversa
Métodos Numéricos XXIIMétodos Numéricos XXIIMétodos Numéricos XXIIMétodos Numéricos XXII
37{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss – Considerações III – Considerações III
Algoritmo para Algoritmo para Substituição RetroativaSubstituição Retroativa
procedimentoprocedimento SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x); SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x);1 x1 xnn b bnn=a=annnn;;2 2 parapara i de n-1 i de n-1 atéaté 1 1 passopasso -1 -1 façafaça3 3 SOMA SOMA 0; 0;4 4 para j j dede i+1 i+1 atéaté n n façafaça5 5 SOMA SOMA SOMA + a SOMA + aijij xx xj ; xj ;6 6 fim-parafim-para;;7 7 xxii (b (bii - SOMA)=a - SOMA)=aiiii;;8 8 fim-parafim-para;;9 retorne x; {Retorne o vetor solução}9 retorne x; {Retorne o vetor solução}fimfim SubstituicaoRetroativa; SubstituicaoRetroativa;
Método de Método de GaussGauss – Considerações III – Considerações III
Algoritmo para Algoritmo para Substituição RetroativaSubstituição Retroativa
procedimentoprocedimento SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x); SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x);1 x1 xnn b bnn=a=annnn;;2 2 parapara i de n-1 i de n-1 atéaté 1 1 passopasso -1 -1 façafaça3 3 SOMA SOMA 0; 0;4 4 para j j dede i+1 i+1 atéaté n n façafaça5 5 SOMA SOMA SOMA + a SOMA + aijij xx xj ; xj ;6 6 fim-parafim-para;;7 7 xxii (b (bii - SOMA)=a - SOMA)=aiiii;;8 8 fim-parafim-para;;9 retorne x; {Retorne o vetor solução}9 retorne x; {Retorne o vetor solução}fimfim SubstituicaoRetroativa; SubstituicaoRetroativa;
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIIIXXIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIIIXXIII
38{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento ParcialParcial – Introdução – Introdução
Semelhante ao Semelhante ao Método Método da Eliminação de da Eliminação de Gauss Gauss
Minimização da amplificação de erros de Minimização da amplificação de erros de arredondamento durante as eliminaçõesarredondamento durante as eliminações
Escolha de um pivô Escolha de um pivô Elemento de maior Elemento de maior módulo em cada colunamódulo em cada coluna
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento ParcialParcial – Introdução – Introdução
Semelhante ao Semelhante ao Método Método da Eliminação de da Eliminação de Gauss Gauss
Minimização da amplificação de erros de Minimização da amplificação de erros de arredondamento durante as eliminaçõesarredondamento durante as eliminações
Escolha de um pivô Escolha de um pivô Elemento de maior Elemento de maior módulo em cada colunamódulo em cada coluna
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIVXXIV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIVXXIV
39{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 I– Exemplo 09 I
Resolver o sistemaResolver o sistema
com uma precisão de 3 casas decimaiscom uma precisão de 3 casas decimais
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 I– Exemplo 09 I
Resolver o sistemaResolver o sistema
com uma precisão de 3 casas decimaiscom uma precisão de 3 casas decimais
Métodos Numéricos XXVMétodos Numéricos XXVMétodos Numéricos XXVMétodos Numéricos XXV
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x
321
321
321
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x
321
321
321
40{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 II– Exemplo 09 II
Matriz aumentada Matriz aumentada originaloriginal
Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do primeiro pivô)do primeiro pivô)
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 II– Exemplo 09 II
Matriz aumentada Matriz aumentada originaloriginal
Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do primeiro pivô)do primeiro pivô)
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIXXVI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIXXVI
3814222134311027575241
3814222134311027575241
3814222575241134311027
3814222575241134311027
41{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 III– Exemplo 09 III
Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô 2727
Determinação das novas linhas Determinação das novas linhas LL22 e e LL33
LL22 = L= L2 2 - m- m2121.L.L11 = [1 4 52 57] – = [1 4 52 57] – ( (11//2727).[27 110 -3 134]).[27 110 -3 134]
LL22 = [0 -0,07 52,1 52] = [0 -0,07 52,1 52]
LL33 = L= L3 3 - m- m3131.L.L11 = [22 = [22 22 1414 38] –38] – ((2222//2727).[27).[27 110110 -3-3 134]134]
LL33 = [0 -87,6 16,5 -71] = [0 -87,6 16,5 -71]
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 III– Exemplo 09 III
Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô 2727
Determinação das novas linhas Determinação das novas linhas LL22 e e LL33
LL22 = L= L2 2 - m- m2121.L.L11 = [1 4 52 57] – = [1 4 52 57] – ( (11//2727).[27 110 -3 134]).[27 110 -3 134]
LL22 = [0 -0,07 52,1 52] = [0 -0,07 52,1 52]
LL33 = L= L3 3 - m- m3131.L.L11 = [22 = [22 22 1414 38] –38] – ((2222//2727).[27).[27 110110 -3-3 134]134]
LL33 = [0 -87,6 16,5 -71] = [0 -87,6 16,5 -71]
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIXXVII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIXXVII
42{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 IV– Exemplo 09 IV
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do segundo pivô)do segundo pivô)
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 IV– Exemplo 09 IV
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do segundo pivô)do segundo pivô)
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIIXXVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIIXXVIII
715,166,870521,5207,00134311027
715,166,870521,5207,00134311027
521,5207,00715,166,870
134311027
521,5207,00715,166,870
134311027
43{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 V– Exemplo 09 V
Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô -87,6-87,6
Determinação da nova linha Determinação da nova linha LL33
LL33 = L= L3 3 - m- m3333.L.L22 = [0 = [0 -0,07-0,07 52,152,1 52] –52] – ( (0,070,07//87,687,6).[0).[0 - -87,687,6 16,516,5 -71]-71]
LL33 = [0 0 52,087 52,057] = [0 0 52,087 52,057]
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 V– Exemplo 09 V
Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô -87,6-87,6
Determinação da nova linha Determinação da nova linha LL33
LL33 = L= L3 3 - m- m3333.L.L22 = [0 = [0 -0,07-0,07 52,152,1 52] –52] – ( (0,070,07//87,687,6).[0).[0 - -87,687,6 16,516,5 -71]-71]
LL33 = [0 0 52,087 52,057] = [0 0 52,087 52,057]
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIXXXIX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIXXXIX
44{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VI– Exemplo 09 VI
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Novo sistemaNovo sistema
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VI– Exemplo 09 VI
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Novo sistemaNovo sistema
Métodos Numéricos XXXMétodos Numéricos XXXMétodos Numéricos XXXMétodos Numéricos XXX
057,52x087,52
71x5,16x6,87
134x3x110x27
3
32
321
057,52x087,52
71x5,16x6,87
134x3x110x27
3
32
321
057,52087,5200715,166,870
134311027
057,52087,5200715,166,870
134311027
45{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VII– Exemplo 09 VII
Valores das incógnitasValores das incógnitas
xx33 = 52,057/52.087 == 52,057/52.087 = 0,999 0,999
xx22 = [-71 – 16,5= [-71 – 16,51,0]/(-87,6) =1,0]/(-87,6) = 0,999 0,999
xx11 = [134 – (-3)= [134 – (-3)0,999 – 110.0,999]/270,999 – 110.0,999]/27 = = 1,0041,004
Solução Solução muito próximamuito próxima da solução exata da solução exata
((xx11=1=1,, x x22=1 =1 ee x x33=1=1))
Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VII– Exemplo 09 VII
Valores das incógnitasValores das incógnitas
xx33 = 52,057/52.087 == 52,057/52.087 = 0,999 0,999
xx22 = [-71 – 16,5= [-71 – 16,51,0]/(-87,6) =1,0]/(-87,6) = 0,999 0,999
xx11 = [134 – (-3)= [134 – (-3)0,999 – 110.0,999]/270,999 – 110.0,999]/27 = = 1,0041,004
Solução Solução muito próximamuito próxima da solução exata da solução exata
((xx11=1=1,, x x22=1 =1 ee x x33=1=1))
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXI
46{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução I – Introdução I
Complementação ao Complementação ao Método Método da da Eliminação de GaussEliminação de Gauss
Manipulação das equações do sistema, Manipulação das equações do sistema, visando à obtenção de um sistema visando à obtenção de um sistema diagonaldiagonal equivalente equivalente Sistema Sistema diagonaldiagonal Sistema no qual os Sistema no qual os
elementos elementos ijij da matriz de coeficientes da matriz de coeficientes
[[]] nulosnulos, para , para ii≠j≠j,, i, j = 1,2,...,ni, j = 1,2,...,n..
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução I – Introdução I
Complementação ao Complementação ao Método Método da da Eliminação de GaussEliminação de Gauss
Manipulação das equações do sistema, Manipulação das equações do sistema, visando à obtenção de um sistema visando à obtenção de um sistema diagonaldiagonal equivalente equivalente Sistema Sistema diagonaldiagonal Sistema no qual os Sistema no qual os
elementos elementos ijij da matriz de coeficientes da matriz de coeficientes
[[]] nulosnulos, para , para ii≠j≠j,, i, j = 1,2,...,ni, j = 1,2,...,n..
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIXXXII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIXXXII
47{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-Jordan Gauss-Jordan – Introdução II– Introdução II
Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema diagonal diagonal II
Método de Método de Gauss-Jordan Gauss-Jordan – Introdução II– Introdução II
Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema diagonal diagonal II
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIIXXXIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIIXXXIII
n
3
2
1
nn
33
22
11
b
bbb
a000
0a0000a0000a
n
3
2
1
nn
33
22
11
b
bbb
a000
0a0000a0000a
bAx bAx x x
n
3
2
1
nn
33
22
11
000
000000000
n
3
2
1
nn
33
22
11
000
000000000
48{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução III – Introdução III Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema
diagonal diagonal IIII
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução III – Introdução III Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema
diagonal diagonal IIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIVXXXIV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIVXXXIV
x x
n
3
2
1
nn
33
22
11
000
000000000
n
3
2
1
nn
33
22
11
000
000000000
Formal e genericamente:Formal e genericamente:
xxii = = ii//iiii
Formal e genericamente:Formal e genericamente:
xxii = = ii//iiii
Solução Solução imediataimediata do sistema do sistemaSolução Solução imediataimediata do sistema do sistema
49{jose
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CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 I – Exemplo 10 I
Resolver o sistemaResolver o sistema
Matriz aumentadaMatriz aumentada
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 I – Exemplo 10 I
Resolver o sistemaResolver o sistema
Matriz aumentadaMatriz aumentada
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVXXXV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVXXXV
7x3x2x2
5xx3x
6xx2x3
321
321
321
7x3x2x2
5xx3x
6xx2x3
321
321
321
7|3225|1316|123
Ab
7|3225|1316|123
Ab
50{jose
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.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 II – Exemplo 10 II
Passo 1Passo 1
Definição do Definição do 11ºº pivô pivô Elemento Elemento aa1111 = 3 = 3
Substituição da linha Substituição da linha 22 por por
, com, com
LL22 = L= L2 2 - m- m2121. L. L1 1 = = [0 [0 77//33 22//33 | 3] | 3]
Substituição da linha Substituição da linha 33 por por
, com, com
LL33 = L= L3 3 - m- m3131. L. L1 1 = = [0 [0 22//33 77//33 | 3] | 3]
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 II – Exemplo 10 II
Passo 1Passo 1
Definição do Definição do 11ºº pivô pivô Elemento Elemento aa1111 = 3 = 3
Substituição da linha Substituição da linha 22 por por
, com, com
LL22 = L= L2 2 - m- m2121. L. L1 1 = = [0 [0 77//33 22//33 | 3] | 3]
Substituição da linha Substituição da linha 33 por por
, com, com
LL33 = L= L3 3 - m- m3131. L. L1 1 = = [0 [0 22//33 77//33 | 3] | 3]
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIXXXVI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIXXXVI
51{jose
ana,
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CEEICEEI
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MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 10 III10 III
Passo 1Passo 1
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 10 III10 III
Passo 1Passo 1
Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIXXXVII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIXXXVII
3|0
3|0
6|123
Ab
37
32
32
37
3|0
3|0
6|123
Ab
37
32
32
37
52{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 IV – Exemplo 10 IV
Passo 2Passo 2
Definição do Definição do 22ºº pivô pivô Elemento Elemento aa2222 = = 77//33 Substituição da linha Substituição da linha 11 por por
, com, com
LL11 = L= L1 1 - m- m1212. L. L2 2 = = [3 0 [3 0 33//77 | | 2424//77]]
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 IV – Exemplo 10 IV
Passo 2Passo 2
Definição do Definição do 22ºº pivô pivô Elemento Elemento aa2222 = = 77//33 Substituição da linha Substituição da linha 11 por por
, com, com
LL11 = L= L1 1 - m- m1212. L. L2 2 = = [3 0 [3 0 33//77 | | 2424//77]]
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIIXXXVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIIXXXVIII
53{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 V – Exemplo 10 V
Passo 2Passo 2
Substituição da linha Substituição da linha 33 por por
, com , com
LL33 = L= L3 3 - m- m3232. L. L2 2 = = [0 0 [0 0 1515//77 | | 1515//77]]
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 V – Exemplo 10 V
Passo 2Passo 2
Substituição da linha Substituição da linha 33 por por
, com , com
LL33 = L= L3 3 - m- m3232. L. L2 2 = = [0 0 [0 0 1515//77 | | 1515//77]]
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXXIX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXXIX
54{jose
ana,
ran
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VI – Exemplo 10 VI
Passo 2Passo 2 Nova matriz aumentada Nova matriz aumentada
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VI – Exemplo 10 VI
Passo 2Passo 2 Nova matriz aumentada Nova matriz aumentada
Métodos Numéricos XLMétodos Numéricos XLMétodos Numéricos XLMétodos Numéricos XL
715
715
32
37
724
73
|00
3|0
|03
Ab
715
715
32
37
724
73
|00
3|0
|03
Ab
55{jose
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.br
CEEICEEI
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MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 VIIVII
Passo 3Passo 3
DefiniçãoDefinição dodo 33ºº pivôpivô ElementoElemento aa3333 = = 1515//77
Substituição da linha Substituição da linha 11 por por
, com , com
LL11 = L= L1 1 – m– m1313. L. L3 3 = = [3 0 0 | 3 ][3 0 0 | 3 ]
MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 VIIVII
Passo 3Passo 3
DefiniçãoDefinição dodo 33ºº pivôpivô ElementoElemento aa3333 = = 1515//77
Substituição da linha Substituição da linha 11 por por
, com , com
LL11 = L= L1 1 – m– m1313. L. L3 3 = = [3 0 0 | 3 ][3 0 0 | 3 ]
Métodos Numéricos XLIMétodos Numéricos XLIMétodos Numéricos XLIMétodos Numéricos XLI
56{jose
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VIII – Exemplo 10 VIII
Passo 3Passo 3 Substituição da linha Substituição da linha 22 por por
, com, com
LL22 = L= L2 2 – m– m2323. L. L3 3 = = [0 [0 77//33 0 | 0 | 77//33]]
Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VIII – Exemplo 10 VIII
Passo 3Passo 3 Substituição da linha Substituição da linha 22 por por
, com, com
LL22 = L= L2 2 – m– m2323. L. L3 3 = = [0 [0 77//33 0 | 0 | 77//33]]
Métodos Numéricos XLIIMétodos Numéricos XLIIMétodos Numéricos XLIIMétodos Numéricos XLII
57{jose
ana,
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 IXIX
Passo 3Passo 3 Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 IXIX
Passo 3Passo 3 Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIIIXLIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIIIXLIII
2145
2145
37
37
|00
|00
3|003
Ab
2145
2145
37
37
|00
|00
3|003
Ab
58{jose
ana,
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.edu
.br
CEEICEEI
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MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 X – Exemplo 10 X
Passo 4Passo 4 Determinação das incógnitas do sistema Determinação das incógnitas do sistema
de equações, após a obtenção da matriz de equações, após a obtenção da matriz de coeficientes com de coeficientes com todostodos os elementos os elementos ijij,, iijj, , nulosnulos, a partir da expressão , a partir da expressão
genéricagenérica
xxii = = ii//iiii
MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 X – Exemplo 10 X
Passo 4Passo 4 Determinação das incógnitas do sistema Determinação das incógnitas do sistema
de equações, após a obtenção da matriz de equações, após a obtenção da matriz de coeficientes com de coeficientes com todostodos os elementos os elementos ijij,, iijj, , nulosnulos, a partir da expressão , a partir da expressão
genéricagenérica
xxii = = ii//iiii
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIVXLIV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIVXLIV
59{jose
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.edu
.br
CEEICEEI
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MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 XI – Exemplo 10 XI
Passo 4Passo 4
xxii = = ii//iiii
MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 XI – Exemplo 10 XI
Passo 4Passo 4
xxii = = ii//iiii
Métodos Numéricos XLVMétodos Numéricos XLVMétodos Numéricos XLVMétodos Numéricos XLV
60{jose
ana,
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método (Compacto) de Método (Compacto) de BanachieviczBanachievicz ou ou de de DoolittleDoolittle ( (Decomposição LUDecomposição LU)) – – Introdução IIntrodução I
Fatoração direta da matriz Fatoração direta da matriz AA no produto no produto L.UL.U, no qual , no qual LL é a matriz triangular é a matriz triangular inferior e inferior e UU a matriz triangular superior, a matriz triangular superior, i.e., i.e.,
A = L.UA = L.U
Método (Compacto) de Método (Compacto) de BanachieviczBanachievicz ou ou de de DoolittleDoolittle ( (Decomposição LUDecomposição LU)) – – Introdução IIntrodução I
Fatoração direta da matriz Fatoração direta da matriz AA no produto no produto L.UL.U, no qual , no qual LL é a matriz triangular é a matriz triangular inferior e inferior e UU a matriz triangular superior, a matriz triangular superior, i.e., i.e.,
A = L.UA = L.U
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIXLVI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIXLVI
61{jose
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.edu
.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – – Introdução IIIntrodução II Propósito da obtenção do produto Propósito da obtenção do produto LU LU II
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – – Introdução IIIntrodução II Propósito da obtenção do produto Propósito da obtenção do produto LU LU II
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIXLVII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIXLVII
bAx bAx bLUx bLUx
1lll
01ll001l0001
LU
3n2n1n
3231
21
1lll
01ll001l0001
LU
3n2n1n
3231
21
nn
n333
n22322
n1131211
u000
uu00uuu0uuuu
nn
n333
n22322
n1131211
u000
uu00uuu0uuuu
bLUx bLUx Uxy Uxy
bLy bLy
62{jose
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.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Ide Fatoração I
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U II Elementos da matriz-produto (Elementos da matriz-produto (AA) )
Somatório dos produtos de cada Somatório dos produtos de cada elemento das linhas da matriz elemento das linhas da matriz LL pelo pelo elemento correspondente das colunas da elemento correspondente das colunas da matriz matriz UU
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Ide Fatoração I
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U II Elementos da matriz-produto (Elementos da matriz-produto (AA) )
Somatório dos produtos de cada Somatório dos produtos de cada elemento das linhas da matriz elemento das linhas da matriz LL pelo pelo elemento correspondente das colunas da elemento correspondente das colunas da matriz matriz UU
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIIXLVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIIXLVIII
63{jose
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIde Fatoração II
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIII
1.1.
2.2.
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIde Fatoração II
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIII
1.1.
2.2.
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIXXLIX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIXXLIX
64{jose
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.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIIde Fatoração III
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIIIII
3.3.
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIIde Fatoração III
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIIIII
3.3.
Métodos Numéricos LMétodos Numéricos LMétodos Numéricos LMétodos Numéricos L
65{jose
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dsc.
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.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IVde Fatoração IV
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IVIV
4.4.
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IVde Fatoração IV
Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IVIV
4.4.
Métodos Numéricos LIMétodos Numéricos LIMétodos Numéricos LIMétodos Numéricos LI
66{jose
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Vde Fatoração V
GeneralizaçãoGeneralização
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Vde Fatoração V
GeneralizaçãoGeneralização
Métodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LII).....,.........1,(
1
1
nppiullap
kkpikipip
npjulal
u kj
p
k pjpjpp
pj ,..11 1
1
ji,u/)ula(l
ji,ulau
jj
1i
1kkjikijij
1i
1kkjikijij
ji,u/)ula(l
ji,ulau
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1i
1kkjikijij
1i
1kkjikijij
67{jose
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.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Vde Fatoração V
SínteseSíntese
Obtenção da fatoração LU da matriz A;
Execução da transformação Ux = y;
Resolução do sistema triangular inferior Ly = b;
Obtenção da solução ŷ do sistema Ly = b;
Resolução do sistema triangular superior Ux = ŷ.
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Vde Fatoração V
SínteseSíntese
Obtenção da fatoração LU da matriz A;
Execução da transformação Ux = y;
Resolução do sistema triangular inferior Ly = b;
Obtenção da solução ŷ do sistema Ly = b;
Resolução do sistema triangular superior Ux = ŷ.
Métodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LII).....,.........1,(
1
1
nppiullap
kkpikipip
npjulal
u kj
p
k pjpjpp
pj ,..11 1
1
68{jose
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ufcg
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.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 I11 I
Determinar uma solução para o sistemaDeterminar uma solução para o sistema
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 I11 I
Determinar uma solução para o sistemaDeterminar uma solução para o sistema
Métodos Numéricos LIIIMétodos Numéricos LIIIMétodos Numéricos LIIIMétodos Numéricos LIII
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x
321
321
321
38x14x2x22
134x3x110x27
57x52x4x
321
321
321
69{jose
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dsc.
ufcg
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.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 II11 II
Matriz de Coeficientes Matriz de Coeficientes AA
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 II11 II
Matriz de Coeficientes Matriz de Coeficientes AA
Métodos Numéricos LIVMétodos Numéricos LIVMétodos Numéricos LIVMétodos Numéricos LIV
14222311027
5241A
14222311027
5241A
70{jose
ana,
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gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 III11 III Fatoração LU da matriz do sistemaFatoração LU da matriz do sistema
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 III11 III Fatoração LU da matriz do sistemaFatoração LU da matriz do sistema
Métodos Numéricos LVMétodos Numéricos LVMétodos Numéricos LVMétodos Numéricos LV
LL mmCoeficientesCoeficientes
das incógnitasdas incógnitasTransformações Transformações
elementares elementares
LL11(0)(0)
LL22(0)(0)
LL33(0)(0)
mm2121= 27= 27
mm3131= 22= 22
LL22(1)(1)
LL33(1)(1) mm3232= -43= -43
LL22(1) (1) L L22
(0) (0) - - mm2121LL11(0)(0)
LL33(1) (1) L L33
(0) (0) - - mm3131LL11(0)(0)
LL33(2)(2) LL33
(2) (2) L L33(1) (1) - - mm3232LL22
(1)(1)
14222311027
5241
14222311027
5241
11308601407205241
11308601407205241
61631001407205241
61631001407205241
71{jose
ana,
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 IV11 IV Resultado da Fatoração LUResultado da Fatoração LU
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 IV11 IV Resultado da Fatoração LUResultado da Fatoração LU
Métodos Numéricos LVIMétodos Numéricos LVIMétodos Numéricos LVIMétodos Numéricos LVI
AA(2)(2) LL UU
11 44 5252 11 00 00 11 44 5252
2727 22 - 1407- 1407 2727 11 00 00 22 -1407-1407
2222 -43-43 -61631-61631 2222 -43-43 11 00 00 -61631-61631
72{jose
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dsc.
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.edu
.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 V11 V
Resolução do sistema Resolução do sistema Ly = b
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 V11 V
Resolução do sistema Resolução do sistema Ly = b
Métodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVII
LyLy == bb
yy11 == 5757
27y27y11 + y+ y22 == 134134
22y22y11 − − 43y43y22 + y+ y33 == 3838
yy11 == 5757
yy22 == -1405-1405
yy33 ==--6163161631
73{jose
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 VI11 VI
Resolução do sistema Resolução do sistema Ux = y
Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 VI11 VI
Resolução do sistema Resolução do sistema Ux = y
Métodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVII
Ux == y
xx11 + 4x+ 4x22 + 52x+ 52x33 == 5757
+ 2x+ 2x22 - 1407 x- 1407 x33 == -1405-1405
- 61631 - 61631 xx33
== -61631-61631
xx11 == 11
xx22 == 11
xx33 == 11
74{jose
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros I I
No sistemaNo sistema AAx = bx = b , no qual:, no qual:
oo erro da soluçãoerro da solução éé x – x’x – x’ ..
Avaliação de Avaliação de Erros Erros I I
No sistemaNo sistema AAx = bx = b , no qual:, no qual:
oo erro da soluçãoerro da solução éé x – x’x – x’ ..
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LVIIILVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LVIIILVIII
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaaaaa
A
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaaaaa
A
n
2
1
b
bb
b
n
2
1
b
bb
b
n
2
1
x
xx
x
n
2
1
x
xx
x
Valor Valor REALREALValor Valor REALREALValor Valor OBTIDOOBTIDOValor Valor OBTIDOOBTIDO
75{jose
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dsc.
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.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Avaliação de Avaliação de Erros Erros II II
Multiplicação matricial de Multiplicação matricial de AA pela pela aproximação aproximação x’x’ Vetor Vetor b’b’ b b Diferença de representações em ponto Diferença de representações em ponto
flutuante de flutuante de b’ b’ ee b b
Avaliação de Avaliação de Erros Erros II II
Multiplicação matricial de Multiplicação matricial de AA pela pela aproximação aproximação x’x’ Vetor Vetor b’b’ b b Diferença de representações em ponto Diferença de representações em ponto
flutuante de flutuante de b’ b’ ee b b
Métodos Numéricos LIXMétodos Numéricos LIXMétodos Numéricos LIXMétodos Numéricos LIX
76{jose
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dsc.
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.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Avaliação de Avaliação de Erros Erros IIIIII
Determinação de uma representação mais próxima à exata Necessidade de obtenção de um vetor tal que:
x = x’ + = x − x’
assim:
AA = Ax − Ax’= b − b’= r’ = Ax − Ax’= b − b’= r’
Vetor solução do sistema AA = r’ = r’
Avaliação de Avaliação de Erros Erros IIIIII
Determinação de uma representação mais próxima à exata Necessidade de obtenção de um vetor tal que:
x = x’ + = x − x’
assim:
AA = Ax − Ax’= b − b’= r’ = Ax − Ax’= b − b’= r’
Vetor solução do sistema AA = r’ = r’
Métodos Numéricos LXMétodos Numéricos LXMétodos Numéricos LXMétodos Numéricos LX
Resíduo da soluçãoResíduo da soluçãoaproximadaaproximada x’
Resíduo da soluçãoResíduo da soluçãoaproximadaaproximada x’
77{jose
ana,
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Avaliação de Avaliação de Erros Erros IV IV
Resíduo de uma solução Resíduo de uma solução aproximada aproximada Estimativa do erro, Estimativa do erro, nãonão o erro!!! o erro!!!
Quanto Quanto menormenor o resíduo, o resíduo, menormenor o erro o erro da solução aproximadada solução aproximada
Avaliação de Avaliação de Erros Erros IV IV
Resíduo de uma solução Resíduo de uma solução aproximada aproximada Estimativa do erro, Estimativa do erro, nãonão o erro!!! o erro!!!
Quanto Quanto menormenor o resíduo, o resíduo, menormenor o erro o erro da solução aproximadada solução aproximada
Métodos Numéricos LXIMétodos Numéricos LXIMétodos Numéricos LXIMétodos Numéricos LXI
78{jose
ana,
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.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Avaliação de Avaliação de Erros Erros V - Exemplo 12 IV - Exemplo 12 I
Refinar a solução do sistemaRefinar a solução do sistema
obtida pelo método de eliminação de obtida pelo método de eliminação de GaussGauss..
Avaliação de Avaliação de Erros Erros V - Exemplo 12 IV - Exemplo 12 I
Refinar a solução do sistemaRefinar a solução do sistema
obtida pelo método de eliminação de obtida pelo método de eliminação de GaussGauss..
Métodos Numéricos LXIIMétodos Numéricos LXIIMétodos Numéricos LXIIMétodos Numéricos LXII
3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24
4,16x0,11x3,9x0,3x7,8
4321
4321
4321
4321
3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24
4,16x0,11x3,9x0,3x7,8
4321
4321
4321
4321
79{jose
ana,
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.br
CEEICEEI
DSCDSC
Avaliação de Avaliação de Erros Erros VI - Exemplo 12 IIVI - Exemplo 12 II
Refinar a soluçãoRefinar a solução
do sistemado sistema
obtida pelo método de eliminação de obtida pelo método de eliminação de GaussGauss..
Avaliação de Avaliação de Erros Erros VI - Exemplo 12 IIVI - Exemplo 12 II
Refinar a soluçãoRefinar a solução
do sistemado sistema
obtida pelo método de eliminação de obtida pelo método de eliminação de GaussGauss..
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIIILXIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIIILXIII
3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24
4,16x0,11x3,9x0,3x7,8
4321
4321
4321
4321
3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24
4,16x0,11x3,9x0,3x7,8
4321
4321
4321
4321
00,197,0
98,197,0
x )0(
00,197,0
98,197,0
x )0(
80{jose
ana,
ran
gel}@
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros VII - Exemplo 12 IIIVII - Exemplo 12 III
Resíduo calculadoResíduo calculado
Precisão obtida do primeiro Precisão obtida do primeiro vetor vetor soluçãosolução InsatisfatóriaInsatisfatória Refinamento da solução Refinamento da solução Novo vetor Novo vetor
solução refinadasolução refinada xx(1)(1)
Avaliação de Avaliação de Erros Erros VII - Exemplo 12 IIIVII - Exemplo 12 III
Resíduo calculadoResíduo calculado
Precisão obtida do primeiro Precisão obtida do primeiro vetor vetor soluçãosolução InsatisfatóriaInsatisfatória Refinamento da solução Refinamento da solução Novo vetor Novo vetor
solução refinadasolução refinada xx(1)(1)
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIVLXIV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIVLXIV
594,0594,0214,0042,0
Axbr )0()0(
594,0594,0214,0042,0
Axbr )0()0(
81{jose
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.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros VIII - Exemplo 12 VVIII - Exemplo 12 V
xx(1) = (1) = xx(0) + (0) + ΔΔ(0)(0), , ΔΔ(0)(0) vetor de correçãovetor de correção ee
Avaliação de Avaliação de Erros Erros VIII - Exemplo 12 VVIII - Exemplo 12 V
xx(1) = (1) = xx(0) + (0) + ΔΔ(0)(0), , ΔΔ(0)(0) vetor de correçãovetor de correção ee
Métodos Numéricos LXVMétodos Numéricos LXVMétodos Numéricos LXVMétodos Numéricos LXV
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1(
rAAxbA
bAAxb)x(A
bAx
)0()0(
)0()0(
)0()0(
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rAAxbA
bAAxb)x(A
bAx
82{jose
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.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros IX - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VI
Avaliação de Avaliação de Erros Erros IX - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVILXVI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVILXVI
)0()0( rA )0()0( rA
594,0594,0214,0042,0
5,212,130,810,214,115,238,83,531,455,118,85,24
0,113,90,37,8
4
3
2
1
594,0594,0214,0042,0
5,212,130,810,214,115,238,83,531,455,118,85,24
0,113,90,37,8
4
3
2
1
0000,00294,00195,00295,0
)0(
0000,00294,00195,00295,0
)0(
83{jose
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.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros X - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VII
O O vetor de correçãovetor de correção
tem como segundo tem como segundo vetor soluçãovetor solução
Avaliação de Avaliação de Erros Erros X - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VII
O O vetor de correçãovetor de correção
tem como segundo tem como segundo vetor soluçãovetor solução
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIILXVII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIILXVII
0000,00294,00195,00295,0
)0(
0000,00294,00195,00295,0
)0(
0000,19999,0
0000,20000,1
xx )0()0()1(
0000,19999,0
0000,20000,1
xx )0()0()1(
84{jose
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.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros XI - Exemplo 12 VIIIXI - Exemplo 12 VIII Se a precisão do primeiro Se a precisão do primeiro vetor de vetor de
correçãocorreção
cujo novo cujo novo resíduo resíduo é é
Avaliação de Avaliação de Erros Erros XI - Exemplo 12 VIIIXI - Exemplo 12 VIII Se a precisão do primeiro Se a precisão do primeiro vetor de vetor de
correçãocorreção
cujo novo cujo novo resíduo resíduo é é
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIIILXVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIIILXVIII
0000,00294,00195,00295,0
)0(
0000,00294,00195,00295,0
)0(
013,0024,0011,0009,0
Axbr )1()1(
013,0024,0011,0009,0
Axbr )1()1(
85{jose
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.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 IXXII - Exemplo 12 IX
ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1)
Novo Novo vetor de correçãovetor de correção
Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 IXXII - Exemplo 12 IX
ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1)
Novo Novo vetor de correçãovetor de correção
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIXLXIX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIXLXIX
0000,00007,00002,00002,0
)1(
0000,00007,00002,00002,0
)1(
86{jose
ana,
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.br
CEEICEEI
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Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 XXII - Exemplo 12 X
ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1), o novo , o novo vetor de vetor de correçãocorreção
Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 XXII - Exemplo 12 X
ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1), o novo , o novo vetor de vetor de correçãocorreção
Métodos Numéricos LXXMétodos Numéricos LXXMétodos Numéricos LXXMétodos Numéricos LXX
0000,00007,00002,00002,0
)1(
0000,00007,00002,00002,0
)1(
0000
r )2(
0000
r )2(
87{jose
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.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIniciais I
Sistemas Sistemas esparsosesparsos Existência de um Existência de um grande percentual de coeficientes nulos grande percentual de coeficientes nulos
Freqüentes em problemas da EngenhariaFreqüentes em problemas da Engenharia
Inadequação do método de Eliminação Inadequação do método de Eliminação de Gauss e métodos afins para a de Gauss e métodos afins para a resolução de sistemas desta naturezaresolução de sistemas desta natureza
Não preservação da conformação do Não preservação da conformação do sistemasistema
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIniciais I
Sistemas Sistemas esparsosesparsos Existência de um Existência de um grande percentual de coeficientes nulos grande percentual de coeficientes nulos
Freqüentes em problemas da EngenhariaFreqüentes em problemas da Engenharia
Inadequação do método de Eliminação Inadequação do método de Eliminação de Gauss e métodos afins para a de Gauss e métodos afins para a resolução de sistemas desta naturezaresolução de sistemas desta natureza
Não preservação da conformação do Não preservação da conformação do sistemasistema
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXILXXI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXILXXI
88{jose
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIniciais II
Métodos mais apropriados Métodos mais apropriados Métodos Métodos iterativositerativos Redução do número de operações em Redução do número de operações em
relação aos métodos relação aos métodos diretosdiretos Obtenção da solução do problema via Obtenção da solução do problema via
aproximação seqüencial de uma aproximação seqüencial de uma estimativa inicial, cujo refinamento é estimativa inicial, cujo refinamento é controlado por um controlado por um critério de paradacritério de parada
Grau de exatidão do resultadoGrau de exatidão do resultado Número de iteraçõesNúmero de iterações
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIniciais II
Métodos mais apropriados Métodos mais apropriados Métodos Métodos iterativositerativos Redução do número de operações em Redução do número de operações em
relação aos métodos relação aos métodos diretosdiretos Obtenção da solução do problema via Obtenção da solução do problema via
aproximação seqüencial de uma aproximação seqüencial de uma estimativa inicial, cujo refinamento é estimativa inicial, cujo refinamento é controlado por um controlado por um critério de paradacritério de parada
Grau de exatidão do resultadoGrau de exatidão do resultado Número de iteraçõesNúmero de iterações
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIILXXII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIILXXII
89{jose
ana,
ran
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIIniciais III
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIIniciais III
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIIILXXIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIIILXXIII
n
2
n
1
n
0
n
4
2
4
1
4
0
4
3
2
3
1
3
0
3
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
1
1
0
1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
n
2
n
1
n
0
n
4
2
4
1
4
0
4
3
2
3
1
3
0
3
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
1
1
0
1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
90{jose
ana,
ran
gel}@
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.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IVIniciais IV
Aspectos importantesAspectos importantes
Obtenção de resultado Obtenção de resultado aproximadoaproximado, tão , tão próximo do resultado real quanto próximo do resultado real quanto maior o número de iterações realizadasmaior o número de iterações realizadas
Atenção à Atenção à convergênciaconvergência Necessidade de um método prático de Necessidade de um método prático de
verificação da convergência (ou não) verificação da convergência (ou não) do sistema de equações consideradodo sistema de equações considerado
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IVIniciais IV
Aspectos importantesAspectos importantes
Obtenção de resultado Obtenção de resultado aproximadoaproximado, tão , tão próximo do resultado real quanto próximo do resultado real quanto maior o número de iterações realizadasmaior o número de iterações realizadas
Atenção à Atenção à convergênciaconvergência Necessidade de um método prático de Necessidade de um método prático de
verificação da convergência (ou não) verificação da convergência (ou não) do sistema de equações consideradodo sistema de equações considerado
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIVLXXIV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIVLXXIV
91{jose
ana,
ran
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIniciais V
Fundamentação IFundamentação I Decomposição da a matriz de Decomposição da a matriz de
coeficientes coeficientes A A em 3 matrizes: em 3 matrizes: LL, , DD e e UU
na qual:na qual:
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIniciais V
Fundamentação IFundamentação I Decomposição da a matriz de Decomposição da a matriz de
coeficientes coeficientes A A em 3 matrizes: em 3 matrizes: LL, , DD e e UU
na qual:na qual:
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVLXXV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVLXXV
L Matriz Triangular InferiorD Matriz DiagonalU Matriz Triangular Superior
L Matriz Triangular InferiorD Matriz DiagonalU Matriz Triangular Superior
92{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIniciais VI
Fundamentação II - Forma Fundamentação II - Forma matricial matricial II
Ax = bse: A = D – E – F (D – E – F )x = b
logo:
D x = ( E + F ) x + b x = D-1( E + F ) x + D-1b
C ge
x(k+1) = C x(k) + g
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIniciais VI
Fundamentação II - Forma Fundamentação II - Forma matricial matricial II
Ax = bse: A = D – E – F (D – E – F )x = b
logo:
D x = ( E + F ) x + b x = D-1( E + F ) x + D-1b
C ge
x(k+1) = C x(k) + g
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVILXXVI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVILXXVI
93{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIniciais VII
Fundamentação III - Forma Fundamentação III - Forma matricial matricial IIII
Assim, para x(k+1) = C x(k) + g :
e
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIniciais VII
Fundamentação III - Forma Fundamentação III - Forma matricial matricial IIII
Assim, para x(k+1) = C x(k) + g :
e
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIILXXVII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIILXXVII
0/aa -/aa -
/aa -0/aa -/aa - /aa -0
C
nnn2nnn1
222n2221
111n1112
0/aa -/aa -
/aa -0/aa -/aa - /aa -0
C
nnn2nnn1
222n2221
111n1112
nnn
222
111
/ab
/ab/ab
g
nnn
222
111
/ab
/ab/ab
g
94{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIIniciais VIII
Fundamentação IV – Forma Fundamentação IV – Forma geralgeral Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor
correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor demais coordenadas do vetor aproximação da iteração anterior aproximação da iteração anterior
Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIIniciais VIII
Fundamentação IV – Forma Fundamentação IV – Forma geralgeral Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor
correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor demais coordenadas do vetor aproximação da iteração anterior aproximação da iteração anterior
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIIILXXVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIIILXXVIII
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
95{jose
ana,
ran
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi II
Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas demais sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor aproximação coordenadas do vetor aproximação completocompleto da iteração anterior da iteração anterior
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi II
Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas demais sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor aproximação coordenadas do vetor aproximação completocompleto da iteração anterior da iteração anterior
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIXLXXIX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIXLXXIX
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
96{jose
ana,
ran
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dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi IIII
Distância entre duas iteraçõesDistância entre duas iterações
Critério de ParadaCritério de Parada
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi IIII
Distância entre duas iteraçõesDistância entre duas iterações
Critério de ParadaCritério de Parada
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXLXXX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXLXXX
x -x maxd )1k(
i
)k(
i
)k( x -x maxd )1k(
i
)k(
i
)k(
x max
dd
)k(
i
)k(
r
)k(
x max
dd
)k(
i
)k(
r
)k(
97{jose
ana,
ran
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.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 I– Exemplo 13 I
Resolver o sistemaResolver o sistema
a partir do método de a partir do método de Gauss-JacobiGauss-Jacobi, , considerando como solução inicialconsiderando como solução inicial
e e < 0,05< 0,05
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 I– Exemplo 13 I
Resolver o sistemaResolver o sistema
a partir do método de a partir do método de Gauss-JacobiGauss-Jacobi, , considerando como solução inicialconsiderando como solução inicial
e e < 0,05< 0,05
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXILXXXI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXILXXXI
5x5x24x2x4x7xxx3
32
321
321
5x5x24x2x4x7xxx3
32
321
321
000
x )0(
k
000
x )0(
k
98{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 II– Exemplo 13 II
Aplicando a forma geralAplicando a forma geral
obtém-se como equações de recorrência:obtém-se como equações de recorrência:
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 II– Exemplo 13 II
Aplicando a forma geralAplicando a forma geral
obtém-se como equações de recorrência:obtém-se como equações de recorrência:
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIILXXXII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIILXXXII
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
5x2x.05
x
4
x2x4x
3
xx7x
)k(
2
)k(
1)1k(
3
)k(
3
)k(
1)1k(
2
)k(
3
)k(
2)1k(
1
5x2x.05
x
4
x2x4x
3
xx7x
)k(
2
)k(
1)1k(
3
)k(
3
)k(
1)1k(
2
)k(
3
)k(
2)1k(
1
99{jose
ana,
ran
gel}@
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 III– Exemplo 13 III
Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os vetores solução gerados a cada iteração, obtém-sevetores solução gerados a cada iteração, obtém-se
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 III– Exemplo 13 III
Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os vetores solução gerados a cada iteração, obtém-sevetores solução gerados a cada iteração, obtém-se
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIIILXXXIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIIILXXXIII
100{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IV– Exemplo 13 IV
Aplicando a forma matricial, obtém-seAplicando a forma matricial, obtém-se
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IV– Exemplo 13 IV
Aplicando a forma matricial, obtém-seAplicando a forma matricial, obtém-se
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIVLXXXIV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIVLXXXIV
0 -0 -0 - - -0
C2/5
1/21/4
1/31/3
0 -0 -0 - - -0
C2/5
1/21/4
1/31/3
11g
7/3
11g
7/3
5x5x24x2x4x7xxx3
32
321
321
5x5x24x2x4x7xxx3
32
321
321
000
x )0(
k
000
x )0(
k 05,0 05,0
101{jose
ana,
ran
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 V– Exemplo 13 V
Considerando que:Considerando que:
então:então:
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 V– Exemplo 13 V
Considerando que:Considerando que:
então:então:
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVLXXXV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVLXXXV
11
11
000
0 -0 -0 - - -0
x/37/37
2/5
1/21/4
1/3 1/3)1(
k
11
11
000
0 -0 -0 - - -0
x/37/37
2/5
1/21/4
1/3 1/3)1(
k
0 -0 -0 - - -0
C2/5
1/21/4
1/31/3
0 -0 -0 - - -0
C2/5
1/21/4
1/31/3
11g
7/3
11g
7/3
g Cx x (0)
k
(1)
k g Cx x (0)
k
(1)
k
102{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VI– Exemplo 13 VI
Assim:Assim:
ee
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VI– Exemplo 13 VI
Assim:Assim:
ee
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVILXXXVI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVILXXXVI
3/5
1/12
/35
2/5
7/121/2
/32/37/37
2/5./37
1/2/3.1/47
1/31/3./37
111
0.1 1.-0.1 -0.1 -.1 - .1 -0
x )2(
k
3/5
1/12
/35
2/5
7/121/2
/32/37/37
2/5./37
1/2/3.1/47
1/31/3./37
111
0.1 1.-0.1 -0.1 -.1 - .1 -0
x )2(
k
37 x -x maxd )0(
i
)1(
i
)1( 37 x -x maxd )0(
i
)1(
i
)1(
05,01x max
dd
37
37
)1(
i
)1(
r
)1(
05,01x max
dd
37
37
)1(
i
)1(
r
)1(
103{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VII– Exemplo 13 VII
Assim:Assim:
ee
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VII– Exemplo 13 VII
Assim:Assim:
ee
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIILXXXVII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIILXXXVII
1213 x -x maxd )1(
i
)2(
i
)2( 1213 x -x maxd )1(
i
)2(
i
)2(
05,065,0x max
dd 20
13
35
1213
)2(
i
)2(
r
)2(
05,065,0x max
dd 20
13
35
1213
)2(
i
)2(
r
)2(
03,128,016,2
11
0..0. -0. -. - . 0
x/37
3/52/51/12./35
1/23/51/12-/3.1/45
1/33/51/31/12./35)3(
k
03,128,016,2
11
0..0. -0. -. - . 0
x/37
3/52/51/12./35
1/23/51/12-/3.1/45
1/33/51/31/12./35)3(
k
104{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VIII– Exemplo 13 VIII
Assim:Assim:
ee
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VIII– Exemplo 13 VIII
Assim:Assim:
ee
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIIILXXXVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIIILXXXVIII
49,0 x -x maxd )2(
i
)3(
i
)3( 49,0 x -x maxd )2(
i
)3(
i
)3(
05,023,016,249,0
x maxd
d)3(
i
)3(
r
)3(
05,023,016,249,0
x maxd
d)3(
i
)3(
r
)3(
89,006,0
88,1
1133,2
0.03,1.28,0 -016,2.03,1 -0.28,0 -,162 -.03,1 - .28,0 -016,2
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)4(
k
89,006,0
88,1
1133,2
0.03,1.28,0 -016,2.03,1 -0.28,0 -,162 -.03,1 - .28,0 -016,2
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)4(
k
105{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IX– Exemplo 13 IX
Assim:Assim:
ee
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IX– Exemplo 13 IX
Assim:Assim:
ee
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIXLXXXIX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIXLXXXIX
34,0 x -x maxd )3(
i
)4(
i
)4( 34,0 x -x maxd )3(
i
)4(
i
)4(
05,018,088,134,0
x maxd
d)4(
i
)4(
r
)4(
05,018,088,134,0
x maxd
d)4(
i
)4(
r
)4(
02,108,005,2
1133,2
0.,890 ,06.0 088,1.,890 -0.,060 88,1 -.,890 - .,060 088,1
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)5(
k
02,108,005,2
1133,2
0.,890 ,06.0 088,1.,890 -0.,060 88,1 -.,890 - .,060 088,1
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)5(
k
106{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 X– Exemplo 13 X
Assim:Assim:
ee
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 X– Exemplo 13 X
Assim:Assim:
ee
Métodos Numéricos XCMétodos Numéricos XCMétodos Numéricos XCMétodos Numéricos XC
17,0 x -x maxd )4(
i
)5(
i
)5( 17,0 x -x maxd )4(
i
)5(
i
)5(
05,008,005,217,0
x maxd
d)5(
i
)5(
r
)5(
05,008,005,217,0
x maxd
d)5(
i
)5(
r
)5(
97,002,0
96,1
1133,2
0.,021 ,08.0 005,2.,021 -0.,080 05,2 -.,021 - .,080 005,2
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)6(
k
97,002,0
96,1
1133,2
0.,021 ,08.0 005,2.,021 -0.,080 05,2 -.,021 - .,080 005,2
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)6(
k
107{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XI– Exemplo 13 XI
Assim:Assim:
ee
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XI– Exemplo 13 XI
Assim:Assim:
ee
Métodos Numéricos XCIMétodos Numéricos XCIMétodos Numéricos XCIMétodos Numéricos XCI
1,0 x -x maxd )5(
i
)6(
i
)6( 1,0 x -x maxd )5(
i
)6(
i
)6(
05,005,096,11,0
x maxd
d)6(
i
)6(
r
)6(
05,005,096,11,0
x maxd
d)6(
i
)6(
r
)6(
99,002,000,2
1133,2
0.97,0 ,02.0 096,1.97,0 -0.,020 96,1 -.97,0 - .02,0 096,1
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)7(
k
99,002,000,2
1133,2
0.97,0 ,02.0 096,1.97,0 -0.,020 96,1 -.97,0 - .02,0 096,1
x2/5.
1/2.1/4
1/31/3.)7(
k
108{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XII– Exemplo 13 XII
Assim:Assim:
ee
Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XII– Exemplo 13 XII
Assim:Assim:
ee
Métodos Numéricos XCIIMétodos Numéricos XCIIMétodos Numéricos XCIIMétodos Numéricos XCII
04,0 x -x maxd )6(
i
)7(
i
)7( 04,0 x -x maxd )6(
i
)7(
i
)7(
05,002,000,204,0
x maxd
d)7(
i
)7(
r
)7(
05,002,000,204,0
x maxd
d)7(
i
)7(
r
)7(
99,002,000,2
xk
99,002,000,2
xk
109{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel II
Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se em todos sistema, fundamentando-se em todos os valores que já foram os valores que já foram calculados calculados e e nos nos valores valores
restantes restantes
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel II
Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se em todos sistema, fundamentando-se em todos os valores que já foram os valores que já foram calculados calculados e e nos nos valores valores
restantes restantes
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIIIXCIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIIIXCIII
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
n,...,2,1i,a
xabx
ii
)k(
j
n
ij,1jiji
)1k(
i
1k
jx 1k
jx
1k
1j
1k
1 x,...,x
1k
1j
1k
1 x,...,x
k
n
k
1j x,...,x
k
n
k
1j x,...,x
110{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIII
Dado o seguinte sistema de equaçõesDado o seguinte sistema de equações
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIII
Dado o seguinte sistema de equaçõesDado o seguinte sistema de equações
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIVXCIV
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIVXCIV
nnnn1n1nn3n2n1n
3n1n31n1n3333232131
2n1n21n1n2323222121
1n1n11n1n1313212111
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
1321
nnnn1n1nn3n2n1n
3n1n31n1n3333232131
2n1n21n1n2323222121
1n1n11n1n1313212111
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
b x.a x.a ... x.a x.a x.a
1321
111{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIIIII
O isolamento de O isolamento de xxii a partir da linha a partir da linha ii resulta emresulta em
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIIIII
O isolamento de O isolamento de xxii a partir da linha a partir da linha ii resulta emresulta em
Métodos Numéricos XCVMétodos Numéricos XCVMétodos Numéricos XCVMétodos Numéricos XCV
1n1n,n2n1nn
nn
n
nn31n1n,32322313
33
3
nn21n1n,23231212
22
2
nn11n1n,13132121
11
1
x.a...x.ax.aba1
x
x.ax.ax.ax.aba1
x
x.ax.ax.ax.aba1
x
x.ax.ax.ax.aba1
x
21
1n1n,n2n1nn
nn
n
nn31n1n,32322313
33
3
nn21n1n,23231212
22
2
nn11n1n,13132121
11
1
x.a...x.ax.aba1
x
x.ax.ax.ax.aba1
x
x.ax.ax.ax.aba1
x
x.ax.ax.ax.aba1
x
21
112{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IVIV
O processo iterativo é obtido a partir O processo iterativo é obtido a partir das equações, considerando-se:das equações, considerando-se:
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IVIV
O processo iterativo é obtido a partir O processo iterativo é obtido a partir das equações, considerando-se:das equações, considerando-se:
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIXCVI
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIXCVI
1k
1n1n,n
1k
22n
1k
11nn
nn
1k
n
k
nn3
k
1n1n,3
1k
232
1k
1313
33
1k
3
k
nn2
k
1n1n,2
k
323
1k
1212
22
1k
2
k
nn1
k
1n1n,1
k
313
k
2121
11
1k
1
x.a...x.ax.aba1
x
x.ax.a...x.ax.aba1
x
x.ax.a...x.ax.aba1
x
x.ax.a...x.ax.aba1
x
1k
1n1n,n
1k
22n
1k
11nn
nn
1k
n
k
nn3
k
1n1n,3
1k
232
1k
1313
33
1k
3
k
nn2
k
1n1n,2
k
323
1k
1212
22
1k
2
k
nn1
k
1n1n,1
k
313
k
2121
11
1k
1
x.a...x.ax.aba1
x
x.ax.a...x.ax.aba1
x
x.ax.a...x.ax.aba1
x
x.ax.a...x.ax.aba1
x
113{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel VV
Critério de ParadaCritério de Parada Diferença relativa entre duas iterações Diferença relativa entre duas iterações
consecutivasconsecutivas
Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel VV
Critério de ParadaCritério de Parada Diferença relativa entre duas iterações Diferença relativa entre duas iterações
consecutivasconsecutivas
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIXCVII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIXCVII
0 x ,0 x se, 1
0 x x se ,0
0 x se , x
xx
M
)k(
i )1k(
i
)k(
i )1k(
i
)1k(
i )1k(
i
)k(
i
)1k(
i
ni1
r
.Máx
)1k(
0 x ,0 x se, 1
0 x x se ,0
0 x se , x
xx
M
)k(
i )1k(
i
)k(
i )1k(
i
)1k(
i )1k(
i
)k(
i
)1k(
i
ni1
r
.Máx
)1k(
114{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VI – Exemplo 14 IVI – Exemplo 14 I
Resolver:Resolver:
Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VI – Exemplo 14 IVI – Exemplo 14 I
Resolver:Resolver:
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIIXCVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIIXCVIII
0z6y3x36zy4x3
5zyx5
0z6y3x36zy4x3
5zyx5
2k
r 10.5 M com
115{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIXXCIX
Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIXXCIX
Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VII – Exemplo 14 IIVII – Exemplo 14 II Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VII – Exemplo 14 IIVII – Exemplo 14 II
116{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC Métodos Numéricos CMétodos Numéricos CMétodos Numéricos CMétodos Numéricos C Método de Método de Gauss-SeidelGauss-Seidel VIII – Exemplo 14 VIII – Exemplo 14
IIIIII
x = 1,002; y = 0,998 e z = -1
Verificação (substituição no sistema):
5.(1,002)+(0,998)+(-1) = 5,008 5
3.(1,002)+4.(0,998)+(-1) = 5,998 6
3.(1,002)+3.(0,998)+6.(-1) = 0
Método de Método de Gauss-SeidelGauss-Seidel VIII – Exemplo 14 VIII – Exemplo 14 IIIIII
x = 1,002; y = 0,998 e z = -1
Verificação (substituição no sistema):
5.(1,002)+(0,998)+(-1) = 5,008 5
3.(1,002)+4.(0,998)+(-1) = 5,998 6
3.(1,002)+3.(0,998)+6.(-1) = 0
117{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Critérios de ConvergênciaCritérios de Convergência
Processo iterativo Processo iterativo Inexistência de Inexistência de garantia de convergência para a garantia de convergência para a solução exata para qualquer sistema solução exata para qualquer sistema
Existência de condições a serem Existência de condições a serem satisfeitas por um sistema de equações satisfeitas por um sistema de equações lineares para a garantia da lineares para a garantia da convergência do método convergência do método
Critérios para a determinação das Critérios para a determinação das condiçõescondições Critério de SaCritério de Sassssenfeldenfeld Critério das LinhasCritério das Linhas
Critérios de ConvergênciaCritérios de Convergência
Processo iterativo Processo iterativo Inexistência de Inexistência de garantia de convergência para a garantia de convergência para a solução exata para qualquer sistema solução exata para qualquer sistema
Existência de condições a serem Existência de condições a serem satisfeitas por um sistema de equações satisfeitas por um sistema de equações lineares para a garantia da lineares para a garantia da convergência do método convergência do método
Critérios para a determinação das Critérios para a determinação das condiçõescondições Critério de SaCritério de Sassssenfeldenfeld Critério das LinhasCritério das Linhas
Métodos Numéricos CIMétodos Numéricos CIMétodos Numéricos CIMétodos Numéricos CI
118{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld II
Sejam as quantidades Sejam as quantidades ii dadas por dadas por
ee
para para i = 2, 3, ..., ni = 2, 3, ..., n, nas quais:, nas quais:
nn Ordem do sistema linear cuja Ordem do sistema linear cuja solução se desejasolução se deseja
aaijij Coeficientes das equações que Coeficientes das equações que
compõem o sistemacompõem o sistema
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld II
Sejam as quantidades Sejam as quantidades ii dadas por dadas por
ee
para para i = 2, 3, ..., ni = 2, 3, ..., n, nas quais:, nas quais:
nn Ordem do sistema linear cuja Ordem do sistema linear cuja solução se desejasolução se deseja
aaijij Coeficientes das equações que Coeficientes das equações que
compõem o sistemacompõem o sistema
n
2jj1
11
1 aa1
n
1ijij
1i
1jjij
ii
i aaa1
Métodos Numéricos CIIMétodos Numéricos CIIMétodos Numéricos CIIMétodos Numéricos CII
119{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IIII
Garantia de que o método de Garantia de que o método de Gauss-Gauss-SeidelSeidel convergirá para um dado convergirá para um dado sistema linear se a quantidade sistema linear se a quantidade MM, , definida pordefinida por
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IIII
Garantia de que o método de Garantia de que o método de Gauss-Gauss-SeidelSeidel convergirá para um dado convergirá para um dado sistema linear se a quantidade sistema linear se a quantidade MM, , definida pordefinida por
Métodos Numéricos CIIIMétodos Numéricos CIIIMétodos Numéricos CIIIMétodos Numéricos CIII
1maxM ini1
1maxM ini1
120{jose
ana,
ran
gel}@
dsc.
ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
DSCDSC
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld III - Exemplo 15 IIIII - Exemplo 15 II
Dada a matriz dos coeficientes Dada a matriz dos coeficientes AA e vetor e vetor dos termos constantes dos termos constantes bb
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld III - Exemplo 15 IIIII - Exemplo 15 II
Dada a matriz dos coeficientes Dada a matriz dos coeficientes AA e vetor e vetor dos termos constantes dos termos constantes bb
Métodos Numéricos CIVMétodos Numéricos CIVMétodos Numéricos CIVMétodos Numéricos CIV
444434241
334333231
224232221
114131211
b a a a a
b a a a a
b a a a a
b a a a a
444434241
334333231
224232221
114131211
b a a a a
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34324214144
4
3423213133
3
242312122
2
14131211
1
1
1
1
1
aaaa
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121{jose
ana,
ran
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ufcg
.edu
.br
CEEICEEI
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Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IV - Exemplo 15 IIIIV - Exemplo 15 III
Mostrar que a solução do sistema linear Mostrar que a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações
convergirá pelo método de convergirá pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel..
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IV - Exemplo 15 IIIIV - Exemplo 15 III
Mostrar que a solução do sistema linear Mostrar que a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações
convergirá pelo método de convergirá pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel..
Métodos Numéricos CVMétodos Numéricos CVMétodos Numéricos CVMétodos Numéricos CV
0104802140
01202010
873060360
4020202
4321
4321
4321
4321
,xx,x,x,
,x,xx,x,
,x,x,xx,
,x,x,xx
0104802140
01202010
873060360
4020202
4321
4321
4321
4321
,xx,x,x,
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,x,x,xx
122{jose
ana,
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CEEICEEI
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Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld V - Exemplo 15 IVV - Exemplo 15 IV
Cálculo dos valores das quantidades Cálculo dos valores das quantidades ii
Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld V - Exemplo 15 IVV - Exemplo 15 IV
Cálculo dos valores das quantidades Cálculo dos valores das quantidades ii
Métodos Numéricos CVIMétodos Numéricos CVIMétodos Numéricos CVIMétodos Numéricos CVI
27360358080440217040
358020440207010
44030607060
7020201
4
14
1
13
3
12
2
11
,,,,,,,
,,,,,,
,,,,,
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7041
,maxM ii
7041
,maxM ii
M < 1M < 1 Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a partir do método de a partir do método de Gauss-Seidel.Gauss-Seidel.
M < 1M < 1 Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a partir do método de a partir do método de Gauss-Seidel.Gauss-Seidel.
10,04,0 - 0,8 1,20,4
1,0 0,21,0 0,2 -0,1-
7,8 -0,3 -0,6 - 3,0 0,6
0,4 0,2 0,21,0 - 2,0
10,04,0 - 0,8 1,20,4
1,0 0,21,0 0,2 -0,1-
7,8 -0,3 -0,6 - 3,0 0,6
0,4 0,2 0,21,0 - 2,0
AA bb
123{jose
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CEEICEEI
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Critério das Critério das Linhas Linhas II
Condição de convergência de um dado Condição de convergência de um dado sistemasistema
Critério das Critério das Linhas Linhas II
Condição de convergência de um dado Condição de convergência de um dado sistemasistema
Métodos Numéricos CVIIMétodos Numéricos CVIIMétodos Numéricos CVIIMétodos Numéricos CVII
n ..., 3, 2,1,i,aa ii
n
ijj
ij 1
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n
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124{jose
ana,
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CEEICEEI
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Critério das Critério das Linhas Linhas II - Exemplo 16 III - Exemplo 16 I
Verificar se a solução do sistema linear Verificar se a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações
convergirá pelo método de convergirá pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel..
Critério das Critério das Linhas Linhas II - Exemplo 16 III - Exemplo 16 I
Verificar se a solução do sistema linear Verificar se a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações
convergirá pelo método de convergirá pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel..
Métodos Numéricos Métodos Numéricos CVIIICVIII
Métodos Numéricos Métodos Numéricos CVIIICVIII
0104802140
01202010
873060360
4020202
4321
4321
4321
4321
,xx,x,x,
,x,xx,x,
,x,x,xx,
,x,x,xx
0104802140
01202010
873060360
4020202
4321
4321
4321
4321
,xx,x,x,
,x,xx,x,
,x,x,xx,
,x,x,xx
125{jose
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CEEICEEI
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Critério das Critério das Linhas Linhas III - Exemplo 16 IIIII - Exemplo 16 II Critério das Critério das Linhas Linhas III - Exemplo 16 IIIII - Exemplo 16 II
Métodos Numéricos CIXMétodos Numéricos CIXMétodos Numéricos CIXMétodos Numéricos CIX
428021404
502020101
513060603
41202012
43424144
34323133
24232122
14131211
,,,,aaaa
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428021404
502020101
513060603
41202012
43424144
34323133
24232122
14131211
,,,,aaaa
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4 3, 2,1,i,aa ii
n
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ij 1
4 3, 2,1,i,aa ii
n
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ij 1
Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a a partir do método de Gauss-Seidel.partir do método de Gauss-Seidel. Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a a partir do método de Gauss-Seidel.partir do método de Gauss-Seidel.
126{jose
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CEEICEEI
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Considerações Finais IConsiderações Finais I
Critérios de convergência são condições Critérios de convergência são condições suficientessuficientes, embora , embora não necessáriasnão necessárias, para a , para a convergência do método de convergência do método de Gauss-SeidelGauss-Seidel para um dado sistema linearpara um dado sistema linear
Sistema de interesse pode Sistema de interesse pode nãonão satisfazer satisfazer os critérios e, os critérios e, mesmo assimmesmo assim, convergir, convergir
Garantia de convergência de um sistema que Garantia de convergência de um sistema que nãonão satisfaça o critério das satisfaça o critério das linhaslinhas, mas , mas satisfaça o critério de satisfaça o critério de SassenfeldSassenfeld
Considerações Finais IConsiderações Finais I
Critérios de convergência são condições Critérios de convergência são condições suficientessuficientes, embora , embora não necessáriasnão necessárias, para a , para a convergência do método de convergência do método de Gauss-SeidelGauss-Seidel para um dado sistema linearpara um dado sistema linear
Sistema de interesse pode Sistema de interesse pode nãonão satisfazer satisfazer os critérios e, os critérios e, mesmo assimmesmo assim, convergir, convergir
Garantia de convergência de um sistema que Garantia de convergência de um sistema que nãonão satisfaça o critério das satisfaça o critério das linhaslinhas, mas , mas satisfaça o critério de satisfaça o critério de SassenfeldSassenfeld
Métodos Numéricos CXMétodos Numéricos CXMétodos Numéricos CXMétodos Numéricos CX
127{jose
ana,
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.edu
.br
CEEICEEI
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Considerações Finais IIConsiderações Finais II
Ordem de aparecimento das equações Ordem de aparecimento das equações aparecem no sistema aparecem no sistema Relevante para a Relevante para a convergência do sistema convergência do sistema
Apesar da ordem das equações não alterar a Apesar da ordem das equações não alterar a solução do sistema, sua alteração pode solução do sistema, sua alteração pode implicar a alteração da convergência do implicar a alteração da convergência do sistema pelo método da sistema pelo método da Gauss-SeidelGauss-Seidel
Considerações Finais IIConsiderações Finais II
Ordem de aparecimento das equações Ordem de aparecimento das equações aparecem no sistema aparecem no sistema Relevante para a Relevante para a convergência do sistema convergência do sistema
Apesar da ordem das equações não alterar a Apesar da ordem das equações não alterar a solução do sistema, sua alteração pode solução do sistema, sua alteração pode implicar a alteração da convergência do implicar a alteração da convergência do sistema pelo método da sistema pelo método da Gauss-SeidelGauss-Seidel
Métodos Numéricos CXIMétodos Numéricos CXIMétodos Numéricos CXIMétodos Numéricos CXI
128{jose
ana,
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dsc.
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.edu
.br
CEEICEEI
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Considerações FinaisConsiderações Finais III – ExercíciosIII – Exercícios
1.1. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel
2.2. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel e, em caso e, em caso negativonegativo, se há algum modo de garantir sua , se há algum modo de garantir sua convergênciaconvergência
Considerações FinaisConsiderações Finais III – ExercíciosIII – Exercícios
1.1. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel
2.2. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel e, em caso e, em caso negativonegativo, se há algum modo de garantir sua , se há algum modo de garantir sua convergênciaconvergência
Métodos Numéricos CXIIMétodos Numéricos CXIIMétodos Numéricos CXIIMétodos Numéricos CXII
1826
2310
21
21
xx
xx
1826
2310
21
21
xx
xx
1535
19104
21
21
xx
xx
1535
19104
21
21
xx
xx
rangel@dsc.ufcg.edu.br
rangel@dsc.ufcg.edu.br
CEEICEEICEEI DSCDSC 129
José Eustáquio Rangel de José Eustáquio Rangel de QueirozQueiroz
rangel@dsc.ufcg.edu.br
rangeldequeiroz@gmail.com
José Eustáquio Rangel de José Eustáquio Rangel de QueirozQueiroz
rangel@dsc.ufcg.edu.br
rangeldequeiroz@gmail.com
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃOCOMPUTAÇÃO
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃOCOMPUTAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E
INFORMÁTICAINFORMÁTICACENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E
INFORMÁTICAINFORMÁTICA
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