prof.: josé eustáquio rangel de queiroz [email protected] rangeldequeiroz@gmail

[email protected]

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CEEICEEICEEI DSCDSC

Carga Horária: 60 horasCarga Horária: 60 horas

Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz

[email protected]@gmail.com

Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz

[email protected]@gmail.com

2{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC Considerações Iniciais IConsiderações Iniciais IConsiderações Iniciais IConsiderações Iniciais I Sistemas Lineares - Forma GeralSistemas Lineares - Forma Geral

na qual:na qual:aaijij coeficientescoeficientes

xxii incógnitasincógnitas

Sistemas Lineares - Forma GeralSistemas Lineares - Forma Geral

na qual:na qual:aaijij coeficientescoeficientes

xxii incógnitasincógnitas

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

3{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Sistemas Lineares - Exemplo 01Sistemas Lineares - Exemplo 01

22,, 44,, -5-5,, 44,, 11,, -5-5,, 22,, 44 ee 55

coeficientescoeficientesxx11,, xx22 ee xx33 incógnitasincógnitas


22,, 44,, -5-5,, 44,, 11,, -5-5,, 22,, 44 ee 55

coeficientescoeficientesxx11,, xx22 ee xx33 incógnitasincógnitas

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

Considerações Iniciais IIConsiderações Iniciais IIConsiderações Iniciais IIConsiderações Iniciais II

4{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Forma MatricialForma Matricial

na qual:na qual:

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Forma MatricialForma Matricial

na qual:na qual:

Ax = Ax = bb

Ax = Ax = bb

Considerações Iniciais Considerações Iniciais IIIIII

Considerações Iniciais Considerações Iniciais IIIIII

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaaaaa

A

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaaaaa

A

n

2

1

b

bb

b

n

2

1

b

bb

b

n

2

1

x

xx

x

n

2

1

x

xx

x

Matriz de coeficientesMatriz de coeficientesMatriz de coeficientesMatriz de coeficientes

Vetor de variáveis (incógnitas)Vetor de variáveis (incógnitas)Vetor de variáveis (incógnitas)Vetor de variáveis (incógnitas)

Vetor de termos independentesVetor de termos independentesVetor de termos independentesVetor de termos independentes

5{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC


Forma Forma GeralGeral

Forma Forma MatricialMatricial


Forma Forma GeralGeral

Forma Forma MatricialMatricial

125

xxx

.542514542

3

2

1

Considerações Iniciais Considerações Iniciais IVIV

Considerações Iniciais Considerações Iniciais IVIV

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

6{jose

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IClassificação I

ImpossívelImpossível NãoNão possui solução possui solução

Exemplo 03Exemplo 03

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IClassificação I

ImpossívelImpossível NãoNão possui solução possui solução


Considerações Iniciais VConsiderações Iniciais VConsiderações Iniciais VConsiderações Iniciais V

9x2x2

3xx

21

21

9x2x2

3xx

21

21

9x2x2

3xx

21

21

9x2x2

3xx

21

21

7{jose

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIClassificação II

PossívelPossível Possui Possui 11 ou ou maismais soluções soluções

DeterminadoDeterminado Solução Solução únicaúnica


Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIClassificação II


DeterminadoDeterminado Solução Solução únicaúnica


8xx

4xx

21

21

8xx

4xx

21

21

Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIVI

Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIVI

8{jose

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIIClassificação III


IndeterminadoIndeterminado Mais de umaMais de uma solução solução


Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IIIClassificação III


IndeterminadoIndeterminado Mais de umaMais de uma solução solução


Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIVII

Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIVII

8x2x2

4xx

21

21

8x2x2

4xx

21

21

9{jose

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IVClassificação IV


HomogêneoHomogêneo Termos independentes Termos independentes de todas as equações de todas as equações nulosnulos

Vetor Vetor b=0b=0 (admite (admite pelo menospelo menos a solução a solução conhecida como conhecida como trivialtrivial x xii=0)=0)


Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Classificação IVClassificação IV


HomogêneoHomogêneo Termos independentes Termos independentes de todas as equações de todas as equações nulosnulos

Vetor Vetor b=0b=0 (admite (admite pelo menospelo menos a solução a solução conhecida como conhecida como trivialtrivial x xii=0)=0)


Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIIVIII

Considerações Iniciais Considerações Iniciais VIIIVIII

0x3x2

0xx

21

21

0x3x2

0xx

21

21

10{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

nn3n2n1n

333231

2221

11

aaaa

0aaa00aa000a

A

nn3n2n1n

333231

2221

11

aaaa

0aaa00aa000a

A

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Sistemas Sistemas TriangularesTriangulares

Possibilidade de resolução de forma Possibilidade de resolução de forma RetroativaRetroativa

SuperiorSuperior



SuperiorSuperior

Considerações Iniciais Considerações Iniciais IXIX

Considerações Iniciais Considerações Iniciais IXIX

11{jose

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ran

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC



InferiorInferior



InferiorInferior

Considerações Iniciais XConsiderações Iniciais XConsiderações Iniciais XConsiderações Iniciais X

nn

n333

n22322

n1131211

a000

aa00aaa0aaaa

A

nn

n333

n22322

n1131211

a000

aa00aaa0aaaa

A

12{jose

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC Solução Retroativa ISolução Retroativa ISolução Retroativa ISolução Retroativa I Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IExemplo 07 I

Dado o Dado o sistemasistema::

Primeiro passo para sua resolução:Primeiro passo para sua resolução:

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IExemplo 07 I

Dado o Dado o sistemasistema::

Primeiro passo para sua resolução:Primeiro passo para sua resolução:

2x23x5x41x2xx10xx5x4x3

4

43

432

4321

2x23x5x41x2xx10xx5x4x3

4

43

432

4321

122

x4 122

x4

13{jose

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ran

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC Solução Retroativa IISolução Retroativa IISolução Retroativa IISolução Retroativa II Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIExemplo 07 II

Segundo passo:Segundo passo:

Terceiro passo:Terceiro passo:

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIExemplo 07 II

Segundo passo:Segundo passo:

Terceiro passo:Terceiro passo:

2x

315x4

3x5x4

3

3

43

2x

315x4

3x5x4

3

3

43

1x

1122x

1x2xx

2

2

432

1x

1122x

1x2xx

2

2

432

14{jose

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ran

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC Solução Retroativa IIISolução Retroativa IIISolução Retroativa IIISolução Retroativa III Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIIExemplo 07 III

Último passo:Último passo:

Sistemas Lineares -Sistemas Lineares - Exemplo 07 IIIExemplo 07 III

Último passo:Último passo:

1x

10125)1(4x3

10xx5x4x3

1

1

4321

1x

10125)1(4x3

10xx5x4x3

1

1

4321

15{jose

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC Métodos Numéricos IMétodos Numéricos IMétodos Numéricos IMétodos Numéricos I DiretosDiretos

Solução pode ser encontrada através de Solução pode ser encontrada através de um número finito de passosum número finito de passos

Método de Método de GaussGauss

Método da Método da Eliminação de JordanEliminação de Jordan

Fatoração LUFatoração LU

DiretosDiretos

Solução pode ser encontrada através de Solução pode ser encontrada através de um número finito de passosum número finito de passos

Método de Método de GaussGauss

Método da Método da Eliminação de JordanEliminação de Jordan

Fatoração LUFatoração LU

16{jose

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC Métodos Numéricos IIMétodos Numéricos IIMétodos Numéricos IIMétodos Numéricos II IterativosIterativos

Solução a partir de uma Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximaçõesaproximações para o valor do vetor para o valor do vetor solução solução xx , até que seja obtido um valor , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-que satisfaça à precisão pré-estabelecidaestabelecida

Método de Método de Gauss–JacobiGauss–Jacobi

Método de Método de Gauss–SiedelGauss–Siedel

IterativosIterativos

Solução a partir de uma Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximaçõesaproximações para o valor do vetor para o valor do vetor solução solução xx , até que seja obtido um valor , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-que satisfaça à precisão pré-estabelecidaestabelecida

Método de Método de Gauss–JacobiGauss–Jacobi

Método de Método de Gauss–SiedelGauss–Siedel

17{jose

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss II

PropósitoPropósito

Transformação do sistema linear a ser Transformação do sistema linear a ser resolvido em um resolvido em um sistema linear sistema linear triangulartriangular; e; e

Resolução do sistema linear triangular de Resolução do sistema linear triangular de forma forma retroativaretroativa..

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss II

PropósitoPropósito

Transformação do sistema linear a ser Transformação do sistema linear a ser resolvido em um resolvido em um sistema linear sistema linear triangulartriangular; e; e

Resolução do sistema linear triangular de Resolução do sistema linear triangular de forma forma retroativaretroativa..

Métodos Numéricos IIIMétodos Numéricos IIIMétodos Numéricos IIIMétodos Numéricos III

18{jose

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIII

Transformação do Sistema LinearTransformação do Sistema Linear

Troca da ordem das linhas;Troca da ordem das linhas;

Multiplicação de uma das equações Multiplicação de uma das equações por um número real por um número real não nulonão nulo;;

Substituição de uma das equações por Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela própria uma combinação linear dela própria com outra equação.com outra equação.

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIII

Transformação do Sistema LinearTransformação do Sistema Linear

Troca da ordem das linhas;Troca da ordem das linhas;

Multiplicação de uma das equações Multiplicação de uma das equações por um número real por um número real não nulonão nulo;;

Substituição de uma das equações por Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela própria uma combinação linear dela própria com outra equação.com outra equação.

Métodos Numéricos IVMétodos Numéricos IVMétodos Numéricos IVMétodos Numéricos IV

19{jose

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIIIII

Passos do Método de Gauss IPassos do Método de Gauss I

Passo 0Passo 0

Construção da matriz aumentada Construção da matriz aumentada AbAb

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IIIIII

Passos do Método de Gauss IPassos do Método de Gauss I

Passo 0Passo 0


Métodos Numéricos VMétodos Numéricos VMétodos Numéricos VMétodos Numéricos V

nnn3n2n1n

2n22221

1n11211

baaaa

baaabaaa

Ab

nnn3n2n1n

2n22221

1n11211

baaaa

baaabaaa

Ab

20{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IVIV

Passos do Método de Gauss IIPassos do Método de Gauss II

Passo 1Passo 1

Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22, , 33, ..., , ..., nn da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = ... = = ... = aan1n1 = = 00

aa1111 pivô pivô da colunada coluna

Substituição da linha Substituição da linha 22,, LL22, pela , pela combinação linearcombinação linear

, sendo, sendo

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IVIV

Passos do Método de Gauss IIPassos do Método de Gauss II

Passo 1Passo 1


aa1111 pivô pivô da colunada coluna


, sendo, sendo

Métodos Numéricos VIMétodos Numéricos VIMétodos Numéricos VIMétodos Numéricos VI

21{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VV

Passos do Método de Gauss IIIPassos do Método de Gauss III

Passo 1Passo 1


, sendo, sendo

Repetição do processo de substituição até Repetição do processo de substituição até a linha a linha nn

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VV

Passos do Método de Gauss IIIPassos do Método de Gauss III

Passo 1Passo 1


, sendo, sendo

Repetição do processo de substituição até Repetição do processo de substituição até a linha a linha nn

Métodos Numéricos VIIMétodos Numéricos VIIMétodos Numéricos VIIMétodos Numéricos VII

22{jose

ana,

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIVI

Passos do Método de Gauss IVPassos do Método de Gauss IV

Passo 1Passo 1

Observação Observação ImportanteImportante

Se algum elemento Se algum elemento aapppp= 0 = 0 Troca da linha Troca da linha

p p por outra linha por outra linha kk na qual na qual aakpkp≠ 0≠ 0

InexistênciaInexistência de uma linha de uma linha kk que satisfaça a que satisfaça a condição da troca condição da troca InexistênciaInexistência de solução de solução para o sistema linearpara o sistema linear

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIVI

Passos do Método de Gauss IVPassos do Método de Gauss IV

Passo 1Passo 1

Observação Observação ImportanteImportante

Se algum elemento Se algum elemento aapppp= 0 = 0 Troca da linha Troca da linha

p p por outra linha por outra linha kk na qual na qual aakpkp≠ 0≠ 0

InexistênciaInexistência de uma linha de uma linha kk que satisfaça a que satisfaça a condição da troca condição da troca InexistênciaInexistência de solução de solução para o sistema linearpara o sistema linear

Métodos Numéricos VIIIMétodos Numéricos VIIIMétodos Numéricos VIIIMétodos Numéricos VIII

23{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIVII

Passos do Método de Gauss VPassos do Método de Gauss V

Passo 2Passo 2



Repetição do processo até a eliminação Repetição do processo até a eliminação dos coeficientes de dos coeficientes de xxnn

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIVII

Passos do Método de Gauss VPassos do Método de Gauss V

Passo 2Passo 2



Repetição do processo até a eliminação Repetição do processo até a eliminação dos coeficientes de dos coeficientes de xxnn

Métodos Numéricos IXMétodos Numéricos IXMétodos Numéricos IXMétodos Numéricos IX

24{jose

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIIVIII

Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas Irecursivas I

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss VIIIVIII

Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas Irecursivas I

Métodos Numéricos XMétodos Numéricos XMétodos Numéricos XMétodos Numéricos X

25{jose

ana,

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IXIX

Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas IIrecursivas II GeneralizaçãoGeneralização

Diretos – Diretos – Método de Método de Gauss Gauss IXIX

Resolução a partir de substituições Resolução a partir de substituições recursivas IIrecursivas II GeneralizaçãoGeneralização

Métodos Numéricos XIMétodos Numéricos XIMétodos Numéricos XIMétodos Numéricos XI

1n,...,2,1i,xaba1

ni,ab

xn

1ijjiji

ii

ii

i

i

1n,...,2,1i,xaba1

ni,ab

xn

1ijjiji

ii

ii

i

i

26{jose

ana,

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 I - Exemplo 08 I

Resolver o sistema:Resolver o sistema:


Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 I - Exemplo 08 I

Resolver o sistema:Resolver o sistema:


1xx3x2

3x3x4x4

5xx3x2

321

321

321

1xx3x2

3x3x4x4

5xx3x2

321

321

321

1132

33445132

Ab

Métodos Numéricos XIIMétodos Numéricos XIIMétodos Numéricos XIIMétodos Numéricos XII

27{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 II - Exemplo 08 II

Eliminação dos coeficientes deEliminação dos coeficientes de xx11 presentes nas linhas presentes nas linhas 22 e e 3 3 da matriz, da matriz, i.e., i.e., aa2121 = = aa3131 = = 00

aa1111 = = 22 pivô pivô da colunada coluna


, sendo, sendo

ee

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 II - Exemplo 08 II




, sendo, sendo

ee

Métodos Numéricos XIIIMétodos Numéricos XIIIMétodos Numéricos XIIIMétodos Numéricos XIII

28{jose

ana,

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 III - Exemplo 08 III




, sendo, sendo

ee

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 III - Exemplo 08 III




, sendo, sendo

ee

Métodos Numéricos XIVMétodos Numéricos XIVMétodos Numéricos XIVMétodos Numéricos XIV

29{jose

ana,

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 IV - Exemplo 08 IV

Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada

Eliminação do coeficiente deEliminação do coeficiente de xx22 presente presente na linha na linha 3 3 da matriz, i.e., da matriz, i.e., aa3232 = = 00


, sendo, sendo

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 IV - Exemplo 08 IV




, sendo, sendo

Métodos Numéricos XVMétodos Numéricos XVMétodos Numéricos XVMétodos Numéricos XV

626071205132

Ab

30{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 V - Exemplo 08 V


SendoSendo

,,

tem-setem-se

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 V - Exemplo 08 V


SendoSendo

,,

tem-setem-se

Métodos Numéricos XVIMétodos Numéricos XVIMétodos Numéricos XVIMétodos Numéricos XVI

31{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VI - Exemplo 08 VI


Uso da solução retroativaUso da solução retroativa

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VI - Exemplo 08 VI


Uso da solução retroativaUso da solução retroativa

Métodos Numéricos XVIIMétodos Numéricos XVIIMétodos Numéricos XVIIMétodos Numéricos XVII

1550071205132

Ab

32{jose

ana,

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dsc.

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VII - Exemplo 08 VII

Ou, a partir da generalização (slideOu, a partir da generalização (slide 2525))

Método de Método de GaussGauss - Exemplo 08 VII - Exemplo 08 VII

Ou, a partir da generalização (slideOu, a partir da generalização (slide 2525))

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XVIIIXVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XVIIIXVIII

3515

a

bx

33

3

3 3515

a

bx

33

3

3

23)1(7)2(

1xab

a1

x 3232

22

2

23)1(7)2(

1xab

a1

x 3232

22

2

13).1(2.3521

xaba1

x3

2jjj11

11

1

13).1(2.3521

xaba1

x3

2jjj11

11

1

33{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss - Exercício 01 - Exercício 01

Determinar uma solução para o sistemaDeterminar uma solução para o sistema

Método de Método de GaussGauss - Exercício 01 - Exercício 01


Métodos Numéricos XIXMétodos Numéricos XIXMétodos Numéricos XIXMétodos Numéricos XIX

38x14x2x22

134x3x110x27

57x52x4x

321

321

321

38x14x2x22

134x3x110x27

57x52x4x

321

321

321

34{jose

ana,

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss – Considerações I – Considerações I

Casos ParticularesCasos Particulares

Diagonal da matriz de coeficientes com Diagonal da matriz de coeficientes com umum dos elementos dos elementos nulosnulos Sistema admite Sistema admite infinitasinfinitas soluções soluções

Quando a equação for Quando a equação for 0x0xii = 0 = 0

Sistema Sistema nãonão admite soluções admite soluções Quando a Quando a equação for equação for 0xi = b0xi = bii, , bbii 0 0).).

Método de Método de GaussGauss – Considerações I – Considerações I

Casos ParticularesCasos Particulares

Diagonal da matriz de coeficientes com Diagonal da matriz de coeficientes com umum dos elementos dos elementos nulosnulos Sistema admite Sistema admite infinitasinfinitas soluções soluções

Quando a equação for Quando a equação for 0x0xii = 0 = 0

Sistema Sistema nãonão admite soluções admite soluções Quando a Quando a equação for equação for 0xi = b0xi = bii, , bbii 0 0).).

Métodos Numéricos XXMétodos Numéricos XXMétodos Numéricos XXMétodos Numéricos XX

35{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss – Considerações II – Considerações II

Custo computacional do algoritmoCusto computacional do algoritmo

Número de divisões Número de divisões

NNDD = n = n Número de somasNúmero de somas

Número de multiplicações Número de multiplicações

Método de Método de GaussGauss – Considerações II – Considerações II

Custo computacional do algoritmoCusto computacional do algoritmo

Número de divisões Número de divisões

NNDD = n = n Número de somasNúmero de somas

Número de multiplicações Número de multiplicações

Métodos Numéricos XXIMétodos Numéricos XXIMétodos Numéricos XXIMétodos Numéricos XXI

n

1iS 2/)1n(n)1i(N

n

1iS 2/)1n(n)1i(N

n

1iM 2/)1n(n)1i(N

n

1iM 2/)1n(n)1i(N

36{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss – Considerações III – Considerações III

SínteseSíntese

Resolução em 2 etapasResolução em 2 etapas

TriangularizaçãoTriangularização

Uso das três operações básicas que não Uso das três operações básicas que não alteram um sistema de equações linearesalteram um sistema de equações lineares

Substituição ReversaSubstituição Reversa

Determinação dos valores de Determinação dos valores de xx11 a a xxnn em em

ordem ordem inversainversa


SínteseSíntese

Resolução em 2 etapasResolução em 2 etapas

TriangularizaçãoTriangularização

Uso das três operações básicas que não Uso das três operações básicas que não alteram um sistema de equações linearesalteram um sistema de equações lineares

Substituição ReversaSubstituição Reversa

Determinação dos valores de Determinação dos valores de xx11 a a xxnn em em

ordem ordem inversainversa

Métodos Numéricos XXIIMétodos Numéricos XXIIMétodos Numéricos XXIIMétodos Numéricos XXII

37{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC


Algoritmo para Algoritmo para Substituição RetroativaSubstituição Retroativa

procedimentoprocedimento SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x); SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x);1 x1 xnn b bnn=a=annnn;;2 2 parapara i de n-1 i de n-1 atéaté 1 1 passopasso -1 -1 façafaça3 3 SOMA SOMA 0; 0;4 4 para j j dede i+1 i+1 atéaté n n façafaça5 5 SOMA SOMA SOMA + a SOMA + aijij xx xj ; xj ;6 6 fim-parafim-para;;7 7 xxii (b (bii - SOMA)=a - SOMA)=aiiii;;8 8 fim-parafim-para;;9 retorne x; {Retorne o vetor solução}9 retorne x; {Retorne o vetor solução}fimfim SubstituicaoRetroativa; SubstituicaoRetroativa;


Algoritmo para Algoritmo para Substituição RetroativaSubstituição Retroativa

procedimentoprocedimento SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x); SubstituicaoRetroativa(n,A,b,x);1 x1 xnn b bnn=a=annnn;;2 2 parapara i de n-1 i de n-1 atéaté 1 1 passopasso -1 -1 façafaça3 3 SOMA SOMA 0; 0;4 4 para j j dede i+1 i+1 atéaté n n façafaça5 5 SOMA SOMA SOMA + a SOMA + aijij xx xj ; xj ;6 6 fim-parafim-para;;7 7 xxii (b (bii - SOMA)=a - SOMA)=aiiii;;8 8 fim-parafim-para;;9 retorne x; {Retorne o vetor solução}9 retorne x; {Retorne o vetor solução}fimfim SubstituicaoRetroativa; SubstituicaoRetroativa;

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIIIXXIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIIIXXIII

38{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento ParcialParcial – Introdução – Introdução

Semelhante ao Semelhante ao Método Método da Eliminação de da Eliminação de Gauss Gauss

Minimização da amplificação de erros de Minimização da amplificação de erros de arredondamento durante as eliminaçõesarredondamento durante as eliminações

Escolha de um pivô Escolha de um pivô Elemento de maior Elemento de maior módulo em cada colunamódulo em cada coluna

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento ParcialParcial – Introdução – Introdução

Semelhante ao Semelhante ao Método Método da Eliminação de da Eliminação de Gauss Gauss

Minimização da amplificação de erros de Minimização da amplificação de erros de arredondamento durante as eliminaçõesarredondamento durante as eliminações

Escolha de um pivô Escolha de um pivô Elemento de maior Elemento de maior módulo em cada colunamódulo em cada coluna

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIVXXIV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIVXXIV

39{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 I– Exemplo 09 I

Resolver o sistemaResolver o sistema

com uma precisão de 3 casas decimaiscom uma precisão de 3 casas decimais

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 I– Exemplo 09 I


com uma precisão de 3 casas decimaiscom uma precisão de 3 casas decimais

Métodos Numéricos XXVMétodos Numéricos XXVMétodos Numéricos XXVMétodos Numéricos XXV

38x14x2x22

134x3x110x27

57x52x4x

321

321

321

38x14x2x22

134x3x110x27

57x52x4x

321

321

321

40{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 II– Exemplo 09 II

Matriz aumentada Matriz aumentada originaloriginal

Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do primeiro pivô)do primeiro pivô)

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 II– Exemplo 09 II

Matriz aumentada Matriz aumentada originaloriginal

Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do primeiro pivô)do primeiro pivô)

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIXXVI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIXXVI

3814222134311027575241

3814222134311027575241

3814222575241134311027

3814222575241134311027

41{jose

ana,

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.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 III– Exemplo 09 III

Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô 2727

Determinação das novas linhas Determinação das novas linhas LL22 e e LL33

LL22 = L= L2 2 - m- m2121.L.L11 = [1 4 52 57] – = [1 4 52 57] – ( (11//2727).[27 110 -3 134]).[27 110 -3 134]

LL22 = [0 -0,07 52,1 52] = [0 -0,07 52,1 52]

LL33 = L= L3 3 - m- m3131.L.L11 = [22 = [22 22 1414 38] –38] – ((2222//2727).[27).[27 110110 -3-3 134]134]

LL33 = [0 -87,6 16,5 -71] = [0 -87,6 16,5 -71]

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 III– Exemplo 09 III

Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô 2727

Determinação das novas linhas Determinação das novas linhas LL22 e e LL33

LL22 = L= L2 2 - m- m2121.L.L11 = [1 4 52 57] – = [1 4 52 57] – ( (11//2727).[27 110 -3 134]).[27 110 -3 134]

LL22 = [0 -0,07 52,1 52] = [0 -0,07 52,1 52]

LL33 = L= L3 3 - m- m3131.L.L11 = [22 = [22 22 1414 38] –38] – ((2222//2727).[27).[27 110110 -3-3 134]134]

LL33 = [0 -87,6 16,5 -71] = [0 -87,6 16,5 -71]

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIXXVII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIXXVII

42{jose

ana,

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dsc.

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 IV– Exemplo 09 IV


Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do segundo pivô)do segundo pivô)

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 IV– Exemplo 09 IV


Matriz aumentada Matriz aumentada ajustadaajustada (maximização (maximização do segundo pivô)do segundo pivô)

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIIXXVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXVIIIXXVIII

715,166,870521,5207,00134311027

715,166,870521,5207,00134311027

521,5207,00715,166,870

134311027

521,5207,00715,166,870

134311027

43{jose

ana,

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dsc.

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 V– Exemplo 09 V

Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô -87,6-87,6

Determinação da nova linha Determinação da nova linha LL33

LL33 = L= L3 3 - m- m3333.L.L22 = [0 = [0 -0,07-0,07 52,152,1 52] –52] – ( (0,070,07//87,687,6).[0).[0 - -87,687,6 16,516,5 -71]-71]

LL33 = [0 0 52,087 52,057] = [0 0 52,087 52,057]

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 V– Exemplo 09 V

Sistema Sistema inalteradoinalterado, elemento pivô , elemento pivô -87,6-87,6

Determinação da nova linha Determinação da nova linha LL33

LL33 = L= L3 3 - m- m3333.L.L22 = [0 = [0 -0,07-0,07 52,152,1 52] –52] – ( (0,070,07//87,687,6).[0).[0 - -87,687,6 16,516,5 -71]-71]

LL33 = [0 0 52,087 52,057] = [0 0 52,087 52,057]

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIXXXIX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXIXXXIX

44{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VI– Exemplo 09 VI


Novo sistemaNovo sistema

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VI– Exemplo 09 VI


Novo sistemaNovo sistema

Métodos Numéricos XXXMétodos Numéricos XXXMétodos Numéricos XXXMétodos Numéricos XXX

057,52x087,52

71x5,16x6,87

134x3x110x27

3

32

321

057,52x087,52

71x5,16x6,87

134x3x110x27

3

32

321

057,52087,5200715,166,870

134311027

057,52087,5200715,166,870

134311027

45{jose

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.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VII– Exemplo 09 VII

Valores das incógnitasValores das incógnitas

xx33 = 52,057/52.087 == 52,057/52.087 = 0,999 0,999

xx22 = [-71 – 16,5= [-71 – 16,51,0]/(-87,6) =1,0]/(-87,6) = 0,999 0,999

xx11 = [134 – (-3)= [134 – (-3)0,999 – 110.0,999]/270,999 – 110.0,999]/27 = = 1,0041,004

Solução Solução muito próximamuito próxima da solução exata da solução exata

((xx11=1=1,, x x22=1 =1 ee x x33=1=1))

Método de Método de GaussGauss com com Pivoteamento Pivoteamento Parcial Parcial – Exemplo 09 VII– Exemplo 09 VII

Valores das incógnitasValores das incógnitas

xx33 = 52,057/52.087 == 52,057/52.087 = 0,999 0,999

xx22 = [-71 – 16,5= [-71 – 16,51,0]/(-87,6) =1,0]/(-87,6) = 0,999 0,999

xx11 = [134 – (-3)= [134 – (-3)0,999 – 110.0,999]/270,999 – 110.0,999]/27 = = 1,0041,004

Solução Solução muito próximamuito próxima da solução exata da solução exata

((xx11=1=1,, x x22=1 =1 ee x x33=1=1))

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXI

46{jose

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CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução I – Introdução I

Complementação ao Complementação ao Método Método da da Eliminação de GaussEliminação de Gauss

Manipulação das equações do sistema, Manipulação das equações do sistema, visando à obtenção de um sistema visando à obtenção de um sistema diagonaldiagonal equivalente equivalente Sistema Sistema diagonaldiagonal Sistema no qual os Sistema no qual os

elementos elementos ijij da matriz de coeficientes da matriz de coeficientes

[[]] nulosnulos, para , para ii≠j≠j,, i, j = 1,2,...,ni, j = 1,2,...,n..

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução I – Introdução I

Complementação ao Complementação ao Método Método da da Eliminação de GaussEliminação de Gauss

Manipulação das equações do sistema, Manipulação das equações do sistema, visando à obtenção de um sistema visando à obtenção de um sistema diagonaldiagonal equivalente equivalente Sistema Sistema diagonaldiagonal Sistema no qual os Sistema no qual os

elementos elementos ijij da matriz de coeficientes da matriz de coeficientes

[[]] nulosnulos, para , para ii≠j≠j,, i, j = 1,2,...,ni, j = 1,2,...,n..

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIXXXII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIXXXII

47{jose

ana,

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dsc.

ufcg

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.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jordan Gauss-Jordan – Introdução II– Introdução II

Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema diagonal diagonal II

Método de Método de Gauss-Jordan Gauss-Jordan – Introdução II– Introdução II

Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema diagonal diagonal II

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIIXXXIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIIIXXXIII

n

3

2

1

nn

33

22

11

b

bbb

a000

0a0000a0000a

n

3

2

1

nn

33

22

11

b

bbb

a000

0a0000a0000a

bAx bAx x x

n

3

2

1

nn

33

22

11

000

000000000

n

3

2

1

nn

33

22

11

000

000000000

48{jose

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ran

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.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução III – Introdução III Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema

diagonal diagonal IIII

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Introdução III – Introdução III Propósito da obtenção do sistema Propósito da obtenção do sistema

diagonal diagonal IIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIVXXXIV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIVXXXIV

x x

n

3

2

1

nn

33

22

11

000

000000000

n

3

2

1

nn

33

22

11

000

000000000

Formal e genericamente:Formal e genericamente:

xxii = = ii//iiii

Formal e genericamente:Formal e genericamente:

xxii = = ii//iiii

Solução Solução imediataimediata do sistema do sistemaSolução Solução imediataimediata do sistema do sistema

49{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 I – Exemplo 10 I


Matriz aumentadaMatriz aumentada

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 I – Exemplo 10 I


Matriz aumentadaMatriz aumentada

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVXXXV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVXXXV

7x3x2x2

5xx3x

6xx2x3

321

321

321

7x3x2x2

5xx3x

6xx2x3

321

321

321

7|3225|1316|123

Ab

7|3225|1316|123

Ab

50{jose

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.br

CEEICEEI

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Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 II – Exemplo 10 II

Passo 1Passo 1

Definição do Definição do 11ºº pivô pivô Elemento Elemento aa1111 = 3 = 3

Substituição da linha Substituição da linha 22 por por

, com, com

LL22 = L= L2 2 - m- m2121. L. L1 1 = = [0 [0 77//33 22//33 | 3] | 3]


, com, com

LL33 = L= L3 3 - m- m3131. L. L1 1 = = [0 [0 22//33 77//33 | 3] | 3]

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 II – Exemplo 10 II

Passo 1Passo 1

Definição do Definição do 11ºº pivô pivô Elemento Elemento aa1111 = 3 = 3


, com, com

LL22 = L= L2 2 - m- m2121. L. L1 1 = = [0 [0 77//33 22//33 | 3] | 3]


, com, com

LL33 = L= L3 3 - m- m3131. L. L1 1 = = [0 [0 22//33 77//33 | 3] | 3]

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIXXXVI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIXXXVI

51{jose

ana,

ran

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.br

CEEICEEI

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MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 10 III10 III

Passo 1Passo 1


MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 10 III10 III

Passo 1Passo 1


Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIXXXVII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIXXXVII

3|0

3|0

6|123

Ab

37

32

32

37

3|0

3|0

6|123

Ab

37

32

32

37

52{jose

ana,

ran

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dsc.

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 IV – Exemplo 10 IV

Passo 2Passo 2

Definição do Definição do 22ºº pivô pivô Elemento Elemento aa2222 = = 77//33 Substituição da linha Substituição da linha 11 por por

, com, com

LL11 = L= L1 1 - m- m1212. L. L2 2 = = [3 0 [3 0 33//77 | | 2424//77]]

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 IV – Exemplo 10 IV

Passo 2Passo 2

Definição do Definição do 22ºº pivô pivô Elemento Elemento aa2222 = = 77//33 Substituição da linha Substituição da linha 11 por por

, com, com

LL11 = L= L1 1 - m- m1212. L. L2 2 = = [3 0 [3 0 33//77 | | 2424//77]]

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIIXXXVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXVIIIXXXVIII

53{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 V – Exemplo 10 V

Passo 2Passo 2


, com , com

LL33 = L= L3 3 - m- m3232. L. L2 2 = = [0 0 [0 0 1515//77 | | 1515//77]]

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 V – Exemplo 10 V

Passo 2Passo 2


, com , com

LL33 = L= L3 3 - m- m3232. L. L2 2 = = [0 0 [0 0 1515//77 | | 1515//77]]

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXXIX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XXXIXXXXIX

54{jose

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ran

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.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VI – Exemplo 10 VI

Passo 2Passo 2 Nova matriz aumentada Nova matriz aumentada

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VI – Exemplo 10 VI

Passo 2Passo 2 Nova matriz aumentada Nova matriz aumentada

Métodos Numéricos XLMétodos Numéricos XLMétodos Numéricos XLMétodos Numéricos XL

715

715

32

37

724

73

|00

3|0

|03

Ab

715

715

32

37

724

73

|00

3|0

|03

Ab

55{jose

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.br

CEEICEEI

DSCDSC

MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 VIIVII

Passo 3Passo 3

DefiniçãoDefinição dodo 33ºº pivôpivô ElementoElemento aa3333 = = 1515//77


, com , com

LL11 = L= L1 1 – m– m1313. L. L3 3 = = [3 0 0 | 3 ][3 0 0 | 3 ]

MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 VIIVII

Passo 3Passo 3

DefiniçãoDefinição dodo 33ºº pivôpivô ElementoElemento aa3333 = = 1515//77


, com , com

LL11 = L= L1 1 – m– m1313. L. L3 3 = = [3 0 0 | 3 ][3 0 0 | 3 ]

Métodos Numéricos XLIMétodos Numéricos XLIMétodos Numéricos XLIMétodos Numéricos XLI

56{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VIII – Exemplo 10 VIII

Passo 3Passo 3 Substituição da linha Substituição da linha 22 por por

, com, com

LL22 = L= L2 2 – m– m2323. L. L3 3 = = [0 [0 77//33 0 | 0 | 77//33]]

Método de Método de Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 VIII – Exemplo 10 VIII

Passo 3Passo 3 Substituição da linha Substituição da linha 22 por por

, com, com

LL22 = L= L2 2 – m– m2323. L. L3 3 = = [0 [0 77//33 0 | 0 | 77//33]]

Métodos Numéricos XLIIMétodos Numéricos XLIIMétodos Numéricos XLIIMétodos Numéricos XLII

57{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 IXIX

Passo 3Passo 3 Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada

MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan –– ExemploExemplo 1010 IXIX

Passo 3Passo 3 Nova matriz aumentadaNova matriz aumentada

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIIIXLIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIIIXLIII

2145

2145

37

37

|00

|00

3|003

Ab

2145

2145

37

37

|00

|00

3|003

Ab

58{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 X – Exemplo 10 X

Passo 4Passo 4 Determinação das incógnitas do sistema Determinação das incógnitas do sistema

de equações, após a obtenção da matriz de equações, após a obtenção da matriz de coeficientes com de coeficientes com todostodos os elementos os elementos ijij,, iijj, , nulosnulos, a partir da expressão , a partir da expressão

genéricagenérica

xxii = = ii//iiii

MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 X – Exemplo 10 X

Passo 4Passo 4 Determinação das incógnitas do sistema Determinação das incógnitas do sistema

de equações, após a obtenção da matriz de equações, após a obtenção da matriz de coeficientes com de coeficientes com todostodos os elementos os elementos ijij,, iijj, , nulosnulos, a partir da expressão , a partir da expressão

genéricagenérica

xxii = = ii//iiii

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIVXLIV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIVXLIV

59{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 XI – Exemplo 10 XI

Passo 4Passo 4

xxii = = ii//iiii

MétodoMétodo dede Gauss-JordanGauss-Jordan – Exemplo 10 XI – Exemplo 10 XI

Passo 4Passo 4

xxii = = ii//iiii

Métodos Numéricos XLVMétodos Numéricos XLVMétodos Numéricos XLVMétodos Numéricos XLV

60{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Método (Compacto) de Método (Compacto) de BanachieviczBanachievicz ou ou de de DoolittleDoolittle ( (Decomposição LUDecomposição LU)) – – Introdução IIntrodução I

Fatoração direta da matriz Fatoração direta da matriz AA no produto no produto L.UL.U, no qual , no qual LL é a matriz triangular é a matriz triangular inferior e inferior e UU a matriz triangular superior, a matriz triangular superior, i.e., i.e.,

A = L.UA = L.U

Método (Compacto) de Método (Compacto) de BanachieviczBanachievicz ou ou de de DoolittleDoolittle ( (Decomposição LUDecomposição LU)) – – Introdução IIntrodução I

Fatoração direta da matriz Fatoração direta da matriz AA no produto no produto L.UL.U, no qual , no qual LL é a matriz triangular é a matriz triangular inferior e inferior e UU a matriz triangular superior, a matriz triangular superior, i.e., i.e.,

A = L.UA = L.U

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIXLVI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIXLVI

61{jose

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ran

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – – Introdução IIIntrodução II Propósito da obtenção do produto Propósito da obtenção do produto LU LU II

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – – Introdução IIIntrodução II Propósito da obtenção do produto Propósito da obtenção do produto LU LU II

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIXLVII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIXLVII

bAx bAx bLUx bLUx

1lll

01ll001l0001

LU

3n2n1n

3231

21

1lll

01ll001l0001

LU

3n2n1n

3231

21

nn

n333

n22322

n1131211

u000

uu00uuu0uuuu

nn

n333

n22322

n1131211

u000

uu00uuu0uuuu

bLUx bLUx Uxy Uxy

bLy bLy

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.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Ide Fatoração I

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U II Elementos da matriz-produto (Elementos da matriz-produto (AA) )

Somatório dos produtos de cada Somatório dos produtos de cada elemento das linhas da matriz elemento das linhas da matriz LL pelo pelo elemento correspondente das colunas da elemento correspondente das colunas da matriz matriz UU

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Ide Fatoração I

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U II Elementos da matriz-produto (Elementos da matriz-produto (AA) )

Somatório dos produtos de cada Somatório dos produtos de cada elemento das linhas da matriz elemento das linhas da matriz LL pelo pelo elemento correspondente das colunas da elemento correspondente das colunas da matriz matriz UU

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIIXLVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLVIIIXLVIII

63{jose

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIde Fatoração II

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIII

1.1.

2.2.

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIde Fatoração II

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIII

1.1.

2.2.

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIXXLIX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XLIXXLIX

64{jose

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.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIIde Fatoração III

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIIIII

3.3.

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IIIde Fatoração III

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IIIIII

3.3.

Métodos Numéricos LMétodos Numéricos LMétodos Numéricos LMétodos Numéricos L

65{jose

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ufcg

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.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IVde Fatoração IV

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IVIV

4.4.

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração IVde Fatoração IV

Obtenção dos elementos das matrizes Obtenção dos elementos das matrizes triangulares triangulares LL e e U U IVIV

4.4.

Métodos Numéricos LIMétodos Numéricos LIMétodos Numéricos LIMétodos Numéricos LI

66{jose

ana,

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU – Processo – Processo de Fatoração Vde Fatoração V

GeneralizaçãoGeneralização


GeneralizaçãoGeneralização

Métodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LII).....,.........1,(

1

1

nppiullap

kkpikipip

npjulal

u kj

p

k pjpjpp

pj ,..11 1

1

ji,u/)ula(l

ji,ulau

jj

1i

1kkjikijij

1i

1kkjikijij

ji,u/)ula(l

ji,ulau

jj

1i

1kkjikijij

1i

1kkjikijij

67{jose

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.br

CEEICEEI

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SínteseSíntese

Obtenção da fatoração LU da matriz A;

Execução da transformação Ux = y;

Resolução do sistema triangular inferior Ly = b;

Obtenção da solução ŷ do sistema Ly = b;

Resolução do sistema triangular superior Ux = ŷ.


SínteseSíntese

Obtenção da fatoração LU da matriz A;

Execução da transformação Ux = y;

Resolução do sistema triangular inferior Ly = b;

Obtenção da solução ŷ do sistema Ly = b;

Resolução do sistema triangular superior Ux = ŷ.

Métodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LIIMétodos Numéricos LII).....,.........1,(

1

1

nppiullap

kkpikipip

npjulal

u kj

p

k pjpjpp

pj ,..11 1

1

68{jose

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CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 I11 I


Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 I11 I


Métodos Numéricos LIIIMétodos Numéricos LIIIMétodos Numéricos LIIIMétodos Numéricos LIII

38x14x2x22

134x3x110x27

57x52x4x

321

321

321

38x14x2x22

134x3x110x27

57x52x4x

321

321

321

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.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 II11 II

Matriz de Coeficientes Matriz de Coeficientes AA

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 II11 II

Matriz de Coeficientes Matriz de Coeficientes AA

Métodos Numéricos LIVMétodos Numéricos LIVMétodos Numéricos LIVMétodos Numéricos LIV

14222311027

5241A

14222311027

5241A

70{jose

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CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 III11 III Fatoração LU da matriz do sistemaFatoração LU da matriz do sistema

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 III11 III Fatoração LU da matriz do sistemaFatoração LU da matriz do sistema

Métodos Numéricos LVMétodos Numéricos LVMétodos Numéricos LVMétodos Numéricos LV

LL mmCoeficientesCoeficientes

das incógnitasdas incógnitasTransformações Transformações

elementares elementares

LL11(0)(0)

LL22(0)(0)

LL33(0)(0)

mm2121= 27= 27

mm3131= 22= 22

LL22(1)(1)

LL33(1)(1) mm3232= -43= -43

LL22(1) (1) L L22

(0) (0) - - mm2121LL11(0)(0)

LL33(1) (1) L L33

(0) (0) - - mm3131LL11(0)(0)

LL33(2)(2) LL33

(2) (2) L L33(1) (1) - - mm3232LL22

(1)(1)

14222311027

5241

14222311027

5241

11308601407205241

11308601407205241

61631001407205241

61631001407205241

71{jose

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.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 IV11 IV Resultado da Fatoração LUResultado da Fatoração LU

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 IV11 IV Resultado da Fatoração LUResultado da Fatoração LU

Métodos Numéricos LVIMétodos Numéricos LVIMétodos Numéricos LVIMétodos Numéricos LVI

AA(2)(2) LL UU

11 44 5252 11 00 00 11 44 5252

2727 22 - 1407- 1407 2727 11 00 00 22 -1407-1407

2222 -43-43 -61631-61631 2222 -43-43 11 00 00 -61631-61631

72{jose

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.br

CEEICEEI

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Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 V11 V

Resolução do sistema Resolução do sistema Ly = b

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 V11 V

Resolução do sistema Resolução do sistema Ly = b

Métodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVII

LyLy == bb

yy11 == 5757

27y27y11 + y+ y22 == 134134

22y22y11 − − 43y43y22 + y+ y33 == 3838

yy11 == 5757

yy22 == -1405-1405

yy33 ==--6163161631

73{jose

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 VI11 VI

Resolução do sistema Resolução do sistema Ux = y

Método da Método da Decomposição LUDecomposição LU - Exemplo - Exemplo 11 VI11 VI

Resolução do sistema Resolução do sistema Ux = y

Métodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVIIMétodos Numéricos LVII

Ux == y

xx11 + 4x+ 4x22 + 52x+ 52x33 == 5757

+ 2x+ 2x22 - 1407 x- 1407 x33 == -1405-1405

- 61631 - 61631 xx33

== -61631-61631

xx11 == 11

xx22 == 11

xx33 == 11

74{jose

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ufcg

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.br

CEEICEEI

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Avaliação de Avaliação de Erros Erros I I

No sistemaNo sistema AAx = bx = b , no qual:, no qual:

oo erro da soluçãoerro da solução éé x – x’x – x’ ..

Avaliação de Avaliação de Erros Erros I I

No sistemaNo sistema AAx = bx = b , no qual:, no qual:

oo erro da soluçãoerro da solução éé x – x’x – x’ ..

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LVIIILVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LVIIILVIII

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaaaaa

A

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaaaaa

A

n

2

1

b

bb

b

n

2

1

b

bb

b

n

2

1

x

xx

x

n

2

1

x

xx

x

Valor Valor REALREALValor Valor REALREALValor Valor OBTIDOOBTIDOValor Valor OBTIDOOBTIDO

75{jose

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dsc.

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.edu

.br

CEEICEEI

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Avaliação de Avaliação de Erros Erros II II

Multiplicação matricial de Multiplicação matricial de AA pela pela aproximação aproximação x’x’ Vetor Vetor b’b’ b b Diferença de representações em ponto Diferença de representações em ponto

flutuante de flutuante de b’ b’ ee b b

Avaliação de Avaliação de Erros Erros II II

Multiplicação matricial de Multiplicação matricial de AA pela pela aproximação aproximação x’x’ Vetor Vetor b’b’ b b Diferença de representações em ponto Diferença de representações em ponto

flutuante de flutuante de b’ b’ ee b b

Métodos Numéricos LIXMétodos Numéricos LIXMétodos Numéricos LIXMétodos Numéricos LIX

76{jose

ana,

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dsc.

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.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros IIIIII

Determinação de uma representação mais próxima à exata Necessidade de obtenção de um vetor tal que:

x = x’ + = x − x’

assim:

AA = Ax − Ax’= b − b’= r’ = Ax − Ax’= b − b’= r’

Vetor solução do sistema AA = r’ = r’

Avaliação de Avaliação de Erros Erros IIIIII

Determinação de uma representação mais próxima à exata Necessidade de obtenção de um vetor tal que:

x = x’ + = x − x’

assim:

AA = Ax − Ax’= b − b’= r’ = Ax − Ax’= b − b’= r’

Vetor solução do sistema AA = r’ = r’

Métodos Numéricos LXMétodos Numéricos LXMétodos Numéricos LXMétodos Numéricos LX

Resíduo da soluçãoResíduo da soluçãoaproximadaaproximada x’

Resíduo da soluçãoResíduo da soluçãoaproximadaaproximada x’

77{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros IV IV

Resíduo de uma solução Resíduo de uma solução aproximada aproximada Estimativa do erro, Estimativa do erro, nãonão o erro!!! o erro!!!

Quanto Quanto menormenor o resíduo, o resíduo, menormenor o erro o erro da solução aproximadada solução aproximada

Avaliação de Avaliação de Erros Erros IV IV

Resíduo de uma solução Resíduo de uma solução aproximada aproximada Estimativa do erro, Estimativa do erro, nãonão o erro!!! o erro!!!

Quanto Quanto menormenor o resíduo, o resíduo, menormenor o erro o erro da solução aproximadada solução aproximada

Métodos Numéricos LXIMétodos Numéricos LXIMétodos Numéricos LXIMétodos Numéricos LXI

78{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros V - Exemplo 12 IV - Exemplo 12 I

Refinar a solução do sistemaRefinar a solução do sistema

obtida pelo método de eliminação de obtida pelo método de eliminação de GaussGauss..

Avaliação de Avaliação de Erros Erros V - Exemplo 12 IV - Exemplo 12 I

Refinar a solução do sistemaRefinar a solução do sistema


Métodos Numéricos LXIIMétodos Numéricos LXIIMétodos Numéricos LXIIMétodos Numéricos LXII

3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24

4,16x0,11x3,9x0,3x7,8

4321

4321

4321

4321

3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24

4,16x0,11x3,9x0,3x7,8

4321

4321

4321

4321

79{jose

ana,

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros VI - Exemplo 12 IIVI - Exemplo 12 II

Refinar a soluçãoRefinar a solução

do sistemado sistema


Avaliação de Avaliação de Erros Erros VI - Exemplo 12 IIVI - Exemplo 12 II

Refinar a soluçãoRefinar a solução

do sistemado sistema


Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIIILXIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIIILXIII

3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24

4,16x0,11x3,9x0,3x7,8

4321

4321

4321

4321

3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24

4,16x0,11x3,9x0,3x7,8

4321

4321

4321

4321

00,197,0

98,197,0

x )0(

00,197,0

98,197,0

x )0(

80{jose

ana,

ran

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros VII - Exemplo 12 IIIVII - Exemplo 12 III

Resíduo calculadoResíduo calculado

Precisão obtida do primeiro Precisão obtida do primeiro vetor vetor soluçãosolução InsatisfatóriaInsatisfatória Refinamento da solução Refinamento da solução Novo vetor Novo vetor

solução refinadasolução refinada xx(1)(1)

Avaliação de Avaliação de Erros Erros VII - Exemplo 12 IIIVII - Exemplo 12 III

Resíduo calculadoResíduo calculado

Precisão obtida do primeiro Precisão obtida do primeiro vetor vetor soluçãosolução InsatisfatóriaInsatisfatória Refinamento da solução Refinamento da solução Novo vetor Novo vetor

solução refinadasolução refinada xx(1)(1)

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIVLXIV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIVLXIV

594,0594,0214,0042,0

Axbr )0()0(

594,0594,0214,0042,0

Axbr )0()0(

81{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros VIII - Exemplo 12 VVIII - Exemplo 12 V

xx(1) = (1) = xx(0) + (0) + ΔΔ(0)(0), , ΔΔ(0)(0) vetor de correçãovetor de correção ee

Avaliação de Avaliação de Erros Erros VIII - Exemplo 12 VVIII - Exemplo 12 V

xx(1) = (1) = xx(0) + (0) + ΔΔ(0)(0), , ΔΔ(0)(0) vetor de correçãovetor de correção ee

Métodos Numéricos LXVMétodos Numéricos LXVMétodos Numéricos LXVMétodos Numéricos LXV

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)1(

rAAxbA

bAAxb)x(A

bAx

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)1(

rAAxbA

bAAxb)x(A

bAx

82{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros IX - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VI

Avaliação de Avaliação de Erros Erros IX - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVILXVI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVILXVI

)0()0( rA )0()0( rA

594,0594,0214,0042,0

5,212,130,810,214,115,238,83,531,455,118,85,24

0,113,90,37,8

4

3

2

1

594,0594,0214,0042,0

5,212,130,810,214,115,238,83,531,455,118,85,24

0,113,90,37,8

4

3

2

1

0000,00294,00195,00295,0

)0(

0000,00294,00195,00295,0

)0(

83{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros X - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VII

O O vetor de correçãovetor de correção

tem como segundo tem como segundo vetor soluçãovetor solução

Avaliação de Avaliação de Erros Erros X - Exemplo 12 VIIX - Exemplo 12 VII

O O vetor de correçãovetor de correção

tem como segundo tem como segundo vetor soluçãovetor solução

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIILXVII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIILXVII

0000,00294,00195,00295,0

)0(

0000,00294,00195,00295,0

)0(

0000,19999,0

0000,20000,1

xx )0()0()1(

0000,19999,0

0000,20000,1

xx )0()0()1(

84{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros XI - Exemplo 12 VIIIXI - Exemplo 12 VIII Se a precisão do primeiro Se a precisão do primeiro vetor de vetor de

correçãocorreção

cujo novo cujo novo resíduo resíduo é é

Avaliação de Avaliação de Erros Erros XI - Exemplo 12 VIIIXI - Exemplo 12 VIII Se a precisão do primeiro Se a precisão do primeiro vetor de vetor de

correçãocorreção

cujo novo cujo novo resíduo resíduo é é

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIIILXVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXVIIILXVIII

0000,00294,00195,00295,0

)0(

0000,00294,00195,00295,0

)0(

013,0024,0011,0009,0

Axbr )1()1(

013,0024,0011,0009,0

Axbr )1()1(

85{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 IXXII - Exemplo 12 IX

ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1)

Novo Novo vetor de correçãovetor de correção

Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 IXXII - Exemplo 12 IX

ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1)

Novo Novo vetor de correçãovetor de correção

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIXLXIX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXIXLXIX

0000,00007,00002,00002,0

)1(

0000,00007,00002,00002,0

)1(

86{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 XXII - Exemplo 12 X

ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1), o novo , o novo vetor de vetor de correçãocorreção

Avaliação de Avaliação de Erros Erros XII - Exemplo 12 XXII - Exemplo 12 X

ainda for ainda for insatisfatória insatisfatória Utilização do Utilização do mesmo procedimento para a obtenção mesmo procedimento para a obtenção de de xx(2)(2)=x=x(1)(1)++ΔΔ(1)(1), o novo , o novo vetor de vetor de correçãocorreção

Métodos Numéricos LXXMétodos Numéricos LXXMétodos Numéricos LXXMétodos Numéricos LXX

0000,00007,00002,00002,0

)1(

0000,00007,00002,00002,0

)1(

0000

r )2(

0000

r )2(

87{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIniciais I

Sistemas Sistemas esparsosesparsos Existência de um Existência de um grande percentual de coeficientes nulos grande percentual de coeficientes nulos

Freqüentes em problemas da EngenhariaFreqüentes em problemas da Engenharia

Inadequação do método de Eliminação Inadequação do método de Eliminação de Gauss e métodos afins para a de Gauss e métodos afins para a resolução de sistemas desta naturezaresolução de sistemas desta natureza

Não preservação da conformação do Não preservação da conformação do sistemasistema

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIniciais I

Sistemas Sistemas esparsosesparsos Existência de um Existência de um grande percentual de coeficientes nulos grande percentual de coeficientes nulos

Freqüentes em problemas da EngenhariaFreqüentes em problemas da Engenharia

Inadequação do método de Eliminação Inadequação do método de Eliminação de Gauss e métodos afins para a de Gauss e métodos afins para a resolução de sistemas desta naturezaresolução de sistemas desta natureza

Não preservação da conformação do Não preservação da conformação do sistemasistema

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXILXXI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXILXXI

88{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIniciais II

Métodos mais apropriados Métodos mais apropriados Métodos Métodos iterativositerativos Redução do número de operações em Redução do número de operações em

relação aos métodos relação aos métodos diretosdiretos Obtenção da solução do problema via Obtenção da solução do problema via

aproximação seqüencial de uma aproximação seqüencial de uma estimativa inicial, cujo refinamento é estimativa inicial, cujo refinamento é controlado por um controlado por um critério de paradacritério de parada

Grau de exatidão do resultadoGrau de exatidão do resultado Número de iteraçõesNúmero de iterações

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIniciais II

Métodos mais apropriados Métodos mais apropriados Métodos Métodos iterativositerativos Redução do número de operações em Redução do número de operações em

relação aos métodos relação aos métodos diretosdiretos Obtenção da solução do problema via Obtenção da solução do problema via

aproximação seqüencial de uma aproximação seqüencial de uma estimativa inicial, cujo refinamento é estimativa inicial, cujo refinamento é controlado por um controlado por um critério de paradacritério de parada

Grau de exatidão do resultadoGrau de exatidão do resultado Número de iteraçõesNúmero de iterações

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIILXXII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIILXXII

89{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIIniciais III

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IIIIniciais III

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIIILXXIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIIILXXIII

n

2

n

1

n

0

n

4

2

4

1

4

0

4

3

2

3

1

3

0

3

2

2

2

1

2

0

2

1

2

1

1

1

0

1

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

n

2

n

1

n

0

n

4

2

4

1

4

0

4

3

2

3

1

3

0

3

2

2

2

1

2

0

2

1

2

1

1

1

0

1

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

90{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IVIniciais IV

Aspectos importantesAspectos importantes

Obtenção de resultado Obtenção de resultado aproximadoaproximado, tão , tão próximo do resultado real quanto próximo do resultado real quanto maior o número de iterações realizadasmaior o número de iterações realizadas

Atenção à Atenção à convergênciaconvergência Necessidade de um método prático de Necessidade de um método prático de

verificação da convergência (ou não) verificação da convergência (ou não) do sistema de equações consideradodo sistema de equações considerado

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais IVIniciais IV

Aspectos importantesAspectos importantes

Obtenção de resultado Obtenção de resultado aproximadoaproximado, tão , tão próximo do resultado real quanto próximo do resultado real quanto maior o número de iterações realizadasmaior o número de iterações realizadas

Atenção à Atenção à convergênciaconvergência Necessidade de um método prático de Necessidade de um método prático de

verificação da convergência (ou não) verificação da convergência (ou não) do sistema de equações consideradodo sistema de equações considerado

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIVLXXIV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIVLXXIV

91{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIniciais V

Fundamentação IFundamentação I Decomposição da a matriz de Decomposição da a matriz de

coeficientes coeficientes A A em 3 matrizes: em 3 matrizes: LL, , DD e e UU

na qual:na qual:

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIniciais V

Fundamentação IFundamentação I Decomposição da a matriz de Decomposição da a matriz de

coeficientes coeficientes A A em 3 matrizes: em 3 matrizes: LL, , DD e e UU

na qual:na qual:

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVLXXV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVLXXV

L Matriz Triangular InferiorD Matriz DiagonalU Matriz Triangular Superior

L Matriz Triangular InferiorD Matriz DiagonalU Matriz Triangular Superior

92{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIniciais VI

Fundamentação II - Forma Fundamentação II - Forma matricial matricial II

Ax = bse: A = D – E – F (D – E – F )x = b

logo:

D x = ( E + F ) x + b x = D-1( E + F ) x + D-1b

C ge

x(k+1) = C x(k) + g

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIniciais VI

Fundamentação II - Forma Fundamentação II - Forma matricial matricial II

Ax = bse: A = D – E – F (D – E – F )x = b

logo:

D x = ( E + F ) x + b x = D-1( E + F ) x + D-1b

C ge

x(k+1) = C x(k) + g

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVILXXVI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVILXXVI

93{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIniciais VII

Fundamentação III - Forma Fundamentação III - Forma matricial matricial IIII

Assim, para x(k+1) = C x(k) + g :

e

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIniciais VII

Fundamentação III - Forma Fundamentação III - Forma matricial matricial IIII

Assim, para x(k+1) = C x(k) + g :

e

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIILXXVII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIILXXVII

0/aa -/aa -

/aa -0/aa -/aa - /aa -0

C

nnn2nnn1

222n2221

111n1112

0/aa -/aa -

/aa -0/aa -/aa - /aa -0

C

nnn2nnn1

222n2221

111n1112

nnn

222

111

/ab

/ab/ab

g

nnn

222

111

/ab

/ab/ab

g

94{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIIniciais VIII

Fundamentação IV – Forma Fundamentação IV – Forma geralgeral Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor

correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor demais coordenadas do vetor aproximação da iteração anterior aproximação da iteração anterior

Métodos Iterativos – Considerações Métodos Iterativos – Considerações Iniciais VIIIIniciais VIII

Fundamentação IV – Forma Fundamentação IV – Forma geralgeral Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor

correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor demais coordenadas do vetor aproximação da iteração anterior aproximação da iteração anterior

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIIILXXVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXVIIILXXVIII

n,...,2,1i,a

xabx

ii

)k(

j

n

ij,1jiji

)1k(

i

n,...,2,1i,a

xabx

ii

)k(

j

n

ij,1jiji

)1k(

i

95{jose

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.edu

.br

CEEICEEI

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Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi II

Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas demais sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor aproximação coordenadas do vetor aproximação completocompleto da iteração anterior da iteração anterior

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi II

Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se nas demais sistema, fundamentando-se nas demais coordenadas do vetor aproximação coordenadas do vetor aproximação completocompleto da iteração anterior da iteração anterior

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIXLXXIX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXIXLXXIX

n,...,2,1i,a

xabx

ii

)k(

j

n

ij,1jiji

)1k(

i

n,...,2,1i,a

xabx

ii

)k(

j

n

ij,1jiji

)1k(

i

96{jose

ana,

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi IIII

Distância entre duas iteraçõesDistância entre duas iterações

Critério de ParadaCritério de Parada

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Jacobi Jacobi IIII

Distância entre duas iteraçõesDistância entre duas iterações

Critério de ParadaCritério de Parada

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXLXXX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXLXXX

x -x maxd )1k(

i

)k(

i

)k( x -x maxd )1k(

i

)k(

i

)k(

x max

dd

)k(

i

)k(

r

)k(

x max

dd

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i

)k(

r

)k(

97{jose

ana,

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 I– Exemplo 13 I


a partir do método de a partir do método de Gauss-JacobiGauss-Jacobi, , considerando como solução inicialconsiderando como solução inicial

e e < 0,05< 0,05

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 I– Exemplo 13 I


a partir do método de a partir do método de Gauss-JacobiGauss-Jacobi, , considerando como solução inicialconsiderando como solução inicial

e e < 0,05< 0,05

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXILXXXI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXILXXXI

5x5x24x2x4x7xxx3

32

321

321

5x5x24x2x4x7xxx3

32

321

321

000

x )0(

k

000

x )0(

k

98{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 II– Exemplo 13 II

Aplicando a forma geralAplicando a forma geral

obtém-se como equações de recorrência:obtém-se como equações de recorrência:

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 II– Exemplo 13 II

Aplicando a forma geralAplicando a forma geral

obtém-se como equações de recorrência:obtém-se como equações de recorrência:

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIILXXXII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIILXXXII

n,...,2,1i,a

xabx

ii

)k(

j

n

ij,1jiji

)1k(

i

n,...,2,1i,a

xabx

ii

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j

n

ij,1jiji

)1k(

i

5x2x.05

x

4

x2x4x

3

xx7x

)k(

2

)k(

1)1k(

3

)k(

3

)k(

1)1k(

2

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3

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2)1k(

1

5x2x.05

x

4

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2

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3

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3

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1)1k(

2

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3

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2)1k(

1

99{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 III– Exemplo 13 III

Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os vetores solução gerados a cada iteração, obtém-sevetores solução gerados a cada iteração, obtém-se

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 III– Exemplo 13 III

Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os Aplicando a forma geral sucessivas vezes sobre os vetores solução gerados a cada iteração, obtém-sevetores solução gerados a cada iteração, obtém-se

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIIILXXXIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIIILXXXIII

100{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IV– Exemplo 13 IV

Aplicando a forma matricial, obtém-seAplicando a forma matricial, obtém-se

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IV– Exemplo 13 IV

Aplicando a forma matricial, obtém-seAplicando a forma matricial, obtém-se

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIVLXXXIV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIVLXXXIV

0 -0 -0 - - -0

C2/5

1/21/4

1/31/3

0 -0 -0 - - -0

C2/5

1/21/4

1/31/3

11g

7/3

11g

7/3

5x5x24x2x4x7xxx3

32

321

321

5x5x24x2x4x7xxx3

32

321

321

000

x )0(

k

000

x )0(

k 05,0 05,0

101{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

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Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 V– Exemplo 13 V

Considerando que:Considerando que:

então:então:

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 V– Exemplo 13 V

Considerando que:Considerando que:

então:então:

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVLXXXV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVLXXXV

11

11

000

0 -0 -0 - - -0

x/37/37

2/5

1/21/4

1/3 1/3)1(

k

11

11

000

0 -0 -0 - - -0

x/37/37

2/5

1/21/4

1/3 1/3)1(

k

0 -0 -0 - - -0

C2/5

1/21/4

1/31/3

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C2/5

1/21/4

1/31/3

11g

7/3

11g

7/3

g Cx x (0)

k

(1)

k g Cx x (0)

k

(1)

k

102{jose

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VI– Exemplo 13 VI

Assim:Assim:

ee

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VI– Exemplo 13 VI

Assim:Assim:

ee

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVILXXXVI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVILXXXVI

3/5

1/12

/35

2/5

7/121/2

/32/37/37

2/5./37

1/2/3.1/47

1/31/3./37

111

0.1 1.-0.1 -0.1 -.1 - .1 -0

x )2(

k

3/5

1/12

/35

2/5

7/121/2

/32/37/37

2/5./37

1/2/3.1/47

1/31/3./37

111

0.1 1.-0.1 -0.1 -.1 - .1 -0

x )2(

k

37 x -x maxd )0(

i

)1(

i

)1( 37 x -x maxd )0(

i

)1(

i

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05,01x max

dd

37

37

)1(

i

)1(

r

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05,01x max

dd

37

37

)1(

i

)1(

r

)1(

103{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VII– Exemplo 13 VII

Assim:Assim:

ee

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VII– Exemplo 13 VII

Assim:Assim:

ee

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIILXXXVII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIILXXXVII

1213 x -x maxd )1(

i

)2(

i

)2( 1213 x -x maxd )1(

i

)2(

i

)2(

05,065,0x max

dd 20

13

35

1213

)2(

i

)2(

r

)2(

05,065,0x max

dd 20

13

35

1213

)2(

i

)2(

r

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03,128,016,2

11

0..0. -0. -. - . 0

x/37

3/52/51/12./35

1/23/51/12-/3.1/45

1/33/51/31/12./35)3(

k

03,128,016,2

11

0..0. -0. -. - . 0

x/37

3/52/51/12./35

1/23/51/12-/3.1/45

1/33/51/31/12./35)3(

k

104{jose

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ran

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ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VIII– Exemplo 13 VIII

Assim:Assim:

ee

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 VIII– Exemplo 13 VIII

Assim:Assim:

ee

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIIILXXXVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXVIIILXXXVIII

49,0 x -x maxd )2(

i

)3(

i

)3( 49,0 x -x maxd )2(

i

)3(

i

)3(

05,023,016,249,0

x maxd

d)3(

i

)3(

r

)3(

05,023,016,249,0

x maxd

d)3(

i

)3(

r

)3(

89,006,0

88,1

1133,2

0.03,1.28,0 -016,2.03,1 -0.28,0 -,162 -.03,1 - .28,0 -016,2

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)4(

k

89,006,0

88,1

1133,2

0.03,1.28,0 -016,2.03,1 -0.28,0 -,162 -.03,1 - .28,0 -016,2

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)4(

k

105{jose

ana,

ran

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dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IX– Exemplo 13 IX

Assim:Assim:

ee

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 IX– Exemplo 13 IX

Assim:Assim:

ee

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIXLXXXIX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos LXXXIXLXXXIX

34,0 x -x maxd )3(

i

)4(

i

)4( 34,0 x -x maxd )3(

i

)4(

i

)4(

05,018,088,134,0

x maxd

d)4(

i

)4(

r

)4(

05,018,088,134,0

x maxd

d)4(

i

)4(

r

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02,108,005,2

1133,2

0.,890 ,06.0 088,1.,890 -0.,060 88,1 -.,890 - .,060 088,1

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)5(

k

02,108,005,2

1133,2

0.,890 ,06.0 088,1.,890 -0.,060 88,1 -.,890 - .,060 088,1

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)5(

k

106{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 X– Exemplo 13 X

Assim:Assim:

ee

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 X– Exemplo 13 X

Assim:Assim:

ee

Métodos Numéricos XCMétodos Numéricos XCMétodos Numéricos XCMétodos Numéricos XC

17,0 x -x maxd )4(

i

)5(

i

)5( 17,0 x -x maxd )4(

i

)5(

i

)5(

05,008,005,217,0

x maxd

d)5(

i

)5(

r

)5(

05,008,005,217,0

x maxd

d)5(

i

)5(

r

)5(

97,002,0

96,1

1133,2

0.,021 ,08.0 005,2.,021 -0.,080 05,2 -.,021 - .,080 005,2

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)6(

k

97,002,0

96,1

1133,2

0.,021 ,08.0 005,2.,021 -0.,080 05,2 -.,021 - .,080 005,2

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)6(

k

107{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XI– Exemplo 13 XI

Assim:Assim:

ee

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XI– Exemplo 13 XI

Assim:Assim:

ee

Métodos Numéricos XCIMétodos Numéricos XCIMétodos Numéricos XCIMétodos Numéricos XCI

1,0 x -x maxd )5(

i

)6(

i

)6( 1,0 x -x maxd )5(

i

)6(

i

)6(

05,005,096,11,0

x maxd

d)6(

i

)6(

r

)6(

05,005,096,11,0

x maxd

d)6(

i

)6(

r

)6(

99,002,000,2

1133,2

0.97,0 ,02.0 096,1.97,0 -0.,020 96,1 -.97,0 - .02,0 096,1

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)7(

k

99,002,000,2

1133,2

0.97,0 ,02.0 096,1.97,0 -0.,020 96,1 -.97,0 - .02,0 096,1

x2/5.

1/2.1/4

1/31/3.)7(

k

108{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XII– Exemplo 13 XII

Assim:Assim:

ee

Método de Método de Gauss-Jacobi Gauss-Jacobi – Exemplo 13 XII– Exemplo 13 XII

Assim:Assim:

ee

Métodos Numéricos XCIIMétodos Numéricos XCIIMétodos Numéricos XCIIMétodos Numéricos XCII

04,0 x -x maxd )6(

i

)7(

i

)7( 04,0 x -x maxd )6(

i

)7(

i

)7(

05,002,000,204,0

x maxd

d)7(

i

)7(

r

)7(

05,002,000,204,0

x maxd

d)7(

i

)7(

r

)7(

99,002,000,2

xk

99,002,000,2

xk

109{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel II

Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se em todos sistema, fundamentando-se em todos os valores que já foram os valores que já foram calculados calculados e e nos nos valores valores

restantes restantes

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel II

Cálculo da coordenada do vetor Cálculo da coordenada do vetor correspondente à nova aproximação a correspondente à nova aproximação a partir da respectiva equação do partir da respectiva equação do sistema, fundamentando-se em todos sistema, fundamentando-se em todos os valores que já foram os valores que já foram calculados calculados e e nos nos valores valores

restantes restantes

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIIIXCIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIIIXCIII

n,...,2,1i,a

xabx

ii

)k(

j

n

ij,1jiji

)1k(

i

n,...,2,1i,a

xabx

ii

)k(

j

n

ij,1jiji

)1k(

i

1k

jx 1k

jx

1k

1j

1k

1 x,...,x

1k

1j

1k

1 x,...,x

k

n

k

1j x,...,x

k

n

k

1j x,...,x

110{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIII

Dado o seguinte sistema de equaçõesDado o seguinte sistema de equações

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIII

Dado o seguinte sistema de equaçõesDado o seguinte sistema de equações

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIVXCIV

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIVXCIV

nnnn1n1nn3n2n1n

3n1n31n1n3333232131

2n1n21n1n2323222121

1n1n11n1n1313212111

b x.a x.a ... x.a x.a x.a




1321

nnnn1n1nn3n2n1n

3n1n31n1n3333232131

2n1n21n1n2323222121

1n1n11n1n1313212111





1321

111{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIIIII

O isolamento de O isolamento de xxii a partir da linha a partir da linha ii resulta emresulta em

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IIIIII

O isolamento de O isolamento de xxii a partir da linha a partir da linha ii resulta emresulta em

Métodos Numéricos XCVMétodos Numéricos XCVMétodos Numéricos XCVMétodos Numéricos XCV

1n1n,n2n1nn

nn

n

nn31n1n,32322313

33

3

nn21n1n,23231212

22

2

nn11n1n,13132121

11

1

x.a...x.ax.aba1

x

x.ax.ax.ax.aba1

x

x.ax.ax.ax.aba1

x

x.ax.ax.ax.aba1

x

21

1n1n,n2n1nn

nn

n

nn31n1n,32322313

33

3

nn21n1n,23231212

22

2

nn11n1n,13132121

11

1

x.a...x.ax.aba1

x

x.ax.ax.ax.aba1

x

x.ax.ax.ax.aba1

x

x.ax.ax.ax.aba1

x

21

112{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IVIV

O processo iterativo é obtido a partir O processo iterativo é obtido a partir das equações, considerando-se:das equações, considerando-se:

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel IVIV

O processo iterativo é obtido a partir O processo iterativo é obtido a partir das equações, considerando-se:das equações, considerando-se:

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIXCVI

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIXCVI

1k

1n1n,n

1k

22n

1k

11nn

nn

1k

n

k

nn3

k

1n1n,3

1k

232

1k

1313

33

1k

3

k

nn2

k

1n1n,2

k

323

1k

1212

22

1k

2

k

nn1

k

1n1n,1

k

313

k

2121

11

1k

1

x.a...x.ax.aba1

x

x.ax.a...x.ax.aba1

x

x.ax.a...x.ax.aba1

x

x.ax.a...x.ax.aba1

x

1k

1n1n,n

1k

22n

1k

11nn

nn

1k

n

k

nn3

k

1n1n,3

1k

232

1k

1313

33

1k

3

k

nn2

k

1n1n,2

k

323

1k

1212

22

1k

2

k

nn1

k

1n1n,1

k

313

k

2121

11

1k

1

x.a...x.ax.aba1

x

x.ax.a...x.ax.aba1

x

x.ax.a...x.ax.aba1

x

x.ax.a...x.ax.aba1

x

113{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel VV

Critério de ParadaCritério de Parada Diferença relativa entre duas iterações Diferença relativa entre duas iterações

consecutivasconsecutivas

Métodos Iterativos – Método de Métodos Iterativos – Método de Gauss-Gauss-Seidel Seidel VV

Critério de ParadaCritério de Parada Diferença relativa entre duas iterações Diferença relativa entre duas iterações

consecutivasconsecutivas

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIXCVII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIXCVII

0 x ,0 x se, 1

0 x x se ,0

0 x se , x

xx

M

)k(

i )1k(

i

)k(

i )1k(

i

)1k(

i )1k(

i

)k(

i

)1k(

i

ni1

r

.Máx

)1k(

0 x ,0 x se, 1

0 x x se ,0

0 x se , x

xx

M

)k(

i )1k(

i

)k(

i )1k(

i

)1k(

i )1k(

i

)k(

i

)1k(

i

ni1

r

.Máx

)1k(

114{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VI – Exemplo 14 IVI – Exemplo 14 I

Resolver:Resolver:

Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VI – Exemplo 14 IVI – Exemplo 14 I

Resolver:Resolver:

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIIXCVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCVIIIXCVIII

0z6y3x36zy4x3

5zyx5

0z6y3x36zy4x3

5zyx5

2k

r 10.5 M com

115{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIXXCIX

Métodos Numéricos Métodos Numéricos XCIXXCIX

Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VII – Exemplo 14 IIVII – Exemplo 14 II Método de Método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel VII – Exemplo 14 IIVII – Exemplo 14 II

116{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC Métodos Numéricos CMétodos Numéricos CMétodos Numéricos CMétodos Numéricos C Método de Método de Gauss-SeidelGauss-Seidel VIII – Exemplo 14 VIII – Exemplo 14

IIIIII

x = 1,002; y = 0,998 e z = -1

Verificação (substituição no sistema):

5.(1,002)+(0,998)+(-1) = 5,008 5

3.(1,002)+4.(0,998)+(-1) = 5,998 6

3.(1,002)+3.(0,998)+6.(-1) = 0

Método de Método de Gauss-SeidelGauss-Seidel VIII – Exemplo 14 VIII – Exemplo 14 IIIIII

x = 1,002; y = 0,998 e z = -1

Verificação (substituição no sistema):

5.(1,002)+(0,998)+(-1) = 5,008 5

3.(1,002)+4.(0,998)+(-1) = 5,998 6

3.(1,002)+3.(0,998)+6.(-1) = 0

117{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critérios de ConvergênciaCritérios de Convergência

Processo iterativo Processo iterativo Inexistência de Inexistência de garantia de convergência para a garantia de convergência para a solução exata para qualquer sistema solução exata para qualquer sistema

Existência de condições a serem Existência de condições a serem satisfeitas por um sistema de equações satisfeitas por um sistema de equações lineares para a garantia da lineares para a garantia da convergência do método convergência do método

Critérios para a determinação das Critérios para a determinação das condiçõescondições Critério de SaCritério de Sassssenfeldenfeld Critério das LinhasCritério das Linhas

Critérios de ConvergênciaCritérios de Convergência

Processo iterativo Processo iterativo Inexistência de Inexistência de garantia de convergência para a garantia de convergência para a solução exata para qualquer sistema solução exata para qualquer sistema

Existência de condições a serem Existência de condições a serem satisfeitas por um sistema de equações satisfeitas por um sistema de equações lineares para a garantia da lineares para a garantia da convergência do método convergência do método

Critérios para a determinação das Critérios para a determinação das condiçõescondições Critério de SaCritério de Sassssenfeldenfeld Critério das LinhasCritério das Linhas

Métodos Numéricos CIMétodos Numéricos CIMétodos Numéricos CIMétodos Numéricos CI

118{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld II

Sejam as quantidades Sejam as quantidades ii dadas por dadas por

ee

para para i = 2, 3, ..., ni = 2, 3, ..., n, nas quais:, nas quais:

nn Ordem do sistema linear cuja Ordem do sistema linear cuja solução se desejasolução se deseja

aaijij Coeficientes das equações que Coeficientes das equações que

compõem o sistemacompõem o sistema

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld II

Sejam as quantidades Sejam as quantidades ii dadas por dadas por

ee

para para i = 2, 3, ..., ni = 2, 3, ..., n, nas quais:, nas quais:

nn Ordem do sistema linear cuja Ordem do sistema linear cuja solução se desejasolução se deseja

aaijij Coeficientes das equações que Coeficientes das equações que

compõem o sistemacompõem o sistema

n

2jj1

11

1 aa1

n

1ijij

1i

1jjij

ii

i aaa1

Métodos Numéricos CIIMétodos Numéricos CIIMétodos Numéricos CIIMétodos Numéricos CII

119{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IIII

Garantia de que o método de Garantia de que o método de Gauss-Gauss-SeidelSeidel convergirá para um dado convergirá para um dado sistema linear se a quantidade sistema linear se a quantidade MM, , definida pordefinida por

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IIII

Garantia de que o método de Garantia de que o método de Gauss-Gauss-SeidelSeidel convergirá para um dado convergirá para um dado sistema linear se a quantidade sistema linear se a quantidade MM, , definida pordefinida por

Métodos Numéricos CIIIMétodos Numéricos CIIIMétodos Numéricos CIIIMétodos Numéricos CIII

1maxM ini1

1maxM ini1

120{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld III - Exemplo 15 IIIII - Exemplo 15 II

Dada a matriz dos coeficientes Dada a matriz dos coeficientes AA e vetor e vetor dos termos constantes dos termos constantes bb

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld III - Exemplo 15 IIIII - Exemplo 15 II

Dada a matriz dos coeficientes Dada a matriz dos coeficientes AA e vetor e vetor dos termos constantes dos termos constantes bb

Métodos Numéricos CIVMétodos Numéricos CIVMétodos Numéricos CIVMétodos Numéricos CIV

444434241

334333231

224232221

114131211

b a a a a

b a a a a

b a a a a

b a a a a

444434241

334333231

224232221

114131211

b a a a a

b a a a a

b a a a a

b a a a a

34324214144

4

3423213133

3

242312122

2

14131211

1

1

1

1

1

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

121{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IV - Exemplo 15 IIIIV - Exemplo 15 III

Mostrar que a solução do sistema linear Mostrar que a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações

convergirá pelo método de convergirá pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel..

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld IV - Exemplo 15 IIIIV - Exemplo 15 III

Mostrar que a solução do sistema linear Mostrar que a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações


Métodos Numéricos CVMétodos Numéricos CVMétodos Numéricos CVMétodos Numéricos CV

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

,xx,x,x,

,x,xx,x,

,x,x,xx,

,x,x,xx

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

,xx,x,x,

,x,xx,x,

,x,x,xx,

,x,x,xx

122{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld V - Exemplo 15 IVV - Exemplo 15 IV

Cálculo dos valores das quantidades Cálculo dos valores das quantidades ii

Critério de Critério de Sassenfeld Sassenfeld V - Exemplo 15 IVV - Exemplo 15 IV

Cálculo dos valores das quantidades Cálculo dos valores das quantidades ii

Métodos Numéricos CVIMétodos Numéricos CVIMétodos Numéricos CVIMétodos Numéricos CVI

27360358080440217040

358020440207010

44030607060

7020201

4

14

1

13

3

12

2

11

,,,,,,,

,,,,,,

,,,,,

,,,

7041

,maxM ii

7041

,maxM ii

M < 1M < 1 Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a partir do método de a partir do método de Gauss-Seidel.Gauss-Seidel.

M < 1M < 1 Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a partir do método de a partir do método de Gauss-Seidel.Gauss-Seidel.

10,04,0 - 0,8 1,20,4

1,0 0,21,0 0,2 -0,1-

7,8 -0,3 -0,6 - 3,0 0,6

0,4 0,2 0,21,0 - 2,0

10,04,0 - 0,8 1,20,4

1,0 0,21,0 0,2 -0,1-

7,8 -0,3 -0,6 - 3,0 0,6

0,4 0,2 0,21,0 - 2,0

AA bb

123{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério das Critério das Linhas Linhas II

Condição de convergência de um dado Condição de convergência de um dado sistemasistema

Critério das Critério das Linhas Linhas II

Condição de convergência de um dado Condição de convergência de um dado sistemasistema

Métodos Numéricos CVIIMétodos Numéricos CVIIMétodos Numéricos CVIIMétodos Numéricos CVII

n ..., 3, 2,1,i,aa ii

n

ijj

ij 1

n ..., 3, 2,1,i,aa ii

n

ijj

ij 1

124{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério das Critério das Linhas Linhas II - Exemplo 16 III - Exemplo 16 I

Verificar se a solução do sistema linear Verificar se a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações


Critério das Critério das Linhas Linhas II - Exemplo 16 III - Exemplo 16 I

Verificar se a solução do sistema linear Verificar se a solução do sistema linear dado pelas equaçõesdado pelas equações


Métodos Numéricos Métodos Numéricos CVIIICVIII

Métodos Numéricos Métodos Numéricos CVIIICVIII

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

,xx,x,x,

,x,xx,x,

,x,x,xx,

,x,x,xx

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

,xx,x,x,

,x,xx,x,

,x,x,xx,

,x,x,xx

125{jose

ana,

ran

gel}@

dsc.

ufcg

.edu

.br

CEEICEEI

DSCDSC

Critério das Critério das Linhas Linhas III - Exemplo 16 IIIII - Exemplo 16 II Critério das Critério das Linhas Linhas III - Exemplo 16 IIIII - Exemplo 16 II

Métodos Numéricos CIXMétodos Numéricos CIXMétodos Numéricos CIXMétodos Numéricos CIX

428021404

502020101

513060603

41202012

43424144

34323133

24232122

14131211

,,,,aaaa

,,,,aaaa

,,,,aaaa

,,,aaaa

428021404

502020101

513060603

41202012

43424144

34323133

24232122

14131211

,,,,aaaa

,,,,aaaa

,,,,aaaa

,,,aaaa

4 3, 2,1,i,aa ii

n

ijj

ij 1

4 3, 2,1,i,aa ii

n

ijj

ij 1

Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a a partir do método de Gauss-Seidel.partir do método de Gauss-Seidel. Solução do sistema Solução do sistema convergeconverge a a partir do método de Gauss-Seidel.partir do método de Gauss-Seidel.

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CEEICEEI

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Considerações Finais IConsiderações Finais I

Critérios de convergência são condições Critérios de convergência são condições suficientessuficientes, embora , embora não necessáriasnão necessárias, para a , para a convergência do método de convergência do método de Gauss-SeidelGauss-Seidel para um dado sistema linearpara um dado sistema linear

Sistema de interesse pode Sistema de interesse pode nãonão satisfazer satisfazer os critérios e, os critérios e, mesmo assimmesmo assim, convergir, convergir

Garantia de convergência de um sistema que Garantia de convergência de um sistema que nãonão satisfaça o critério das satisfaça o critério das linhaslinhas, mas , mas satisfaça o critério de satisfaça o critério de SassenfeldSassenfeld

Considerações Finais IConsiderações Finais I

Critérios de convergência são condições Critérios de convergência são condições suficientessuficientes, embora , embora não necessáriasnão necessárias, para a , para a convergência do método de convergência do método de Gauss-SeidelGauss-Seidel para um dado sistema linearpara um dado sistema linear

Sistema de interesse pode Sistema de interesse pode nãonão satisfazer satisfazer os critérios e, os critérios e, mesmo assimmesmo assim, convergir, convergir

Garantia de convergência de um sistema que Garantia de convergência de um sistema que nãonão satisfaça o critério das satisfaça o critério das linhaslinhas, mas , mas satisfaça o critério de satisfaça o critério de SassenfeldSassenfeld

Métodos Numéricos CXMétodos Numéricos CXMétodos Numéricos CXMétodos Numéricos CX

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CEEICEEI

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Considerações Finais IIConsiderações Finais II

Ordem de aparecimento das equações Ordem de aparecimento das equações aparecem no sistema aparecem no sistema Relevante para a Relevante para a convergência do sistema convergência do sistema

Apesar da ordem das equações não alterar a Apesar da ordem das equações não alterar a solução do sistema, sua alteração pode solução do sistema, sua alteração pode implicar a alteração da convergência do implicar a alteração da convergência do sistema pelo método da sistema pelo método da Gauss-SeidelGauss-Seidel

Considerações Finais IIConsiderações Finais II

Ordem de aparecimento das equações Ordem de aparecimento das equações aparecem no sistema aparecem no sistema Relevante para a Relevante para a convergência do sistema convergência do sistema

Apesar da ordem das equações não alterar a Apesar da ordem das equações não alterar a solução do sistema, sua alteração pode solução do sistema, sua alteração pode implicar a alteração da convergência do implicar a alteração da convergência do sistema pelo método da sistema pelo método da Gauss-SeidelGauss-Seidel

Métodos Numéricos CXIMétodos Numéricos CXIMétodos Numéricos CXIMétodos Numéricos CXI

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Considerações FinaisConsiderações Finais III – ExercíciosIII – Exercícios

1.1. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel

2.2. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel e, em caso e, em caso negativonegativo, se há algum modo de garantir sua , se há algum modo de garantir sua convergênciaconvergência

Considerações FinaisConsiderações Finais III – ExercíciosIII – Exercícios

1.1. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-SeidelGauss-Seidel

2.2. Verificar se o sistema a seguir convergirá Verificar se o sistema a seguir convergirá pelo método de pelo método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel e, em caso e, em caso negativonegativo, se há algum modo de garantir sua , se há algum modo de garantir sua convergênciaconvergência

Métodos Numéricos CXIIMétodos Numéricos CXIIMétodos Numéricos CXIIMétodos Numéricos CXII

1826

2310

21

21

xx

xx

1826

2310

21

21

xx

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1535

19104

21

21

xx

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1535

19104

21

21

xx

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[email protected]

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José Eustáquio Rangel de José Eustáquio Rangel de QueirozQueiroz

[email protected]

[email protected]

José Eustáquio Rangel de José Eustáquio Rangel de QueirozQueiroz

[email protected]

[email protected]

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃOCOMPUTAÇÃO

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃOCOMPUTAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDEUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E

INFORMÁTICAINFORMÁTICACENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E

INFORMÁTICAINFORMÁTICA

prof.: josé eustáquio rangel de queiroz [email protected] rangeldequeiroz@gmail

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