prof. jorge a pirâmide e suas formas. prof. jorge definição observe a animação. o conjunto de...

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A pirâmide e suas formas

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Definição

Observe a animação.

O conjunto de todos esses segmentos com extremos no ponto V e um dos pontos do polígono é um poliedro chamado pirâmide.

V

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Elementos principais do prisma

A pirâmide tem dois tipos de faces

A base (polígono ABCDEF).

faces laterais (triângulos).

Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.

V

A

B CD

EF

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Elementos principais do prisma

A pirâmide tem dois tipos de arestas

arestas da base(AB, BC, CD, DE, EF e FA).

arestas laterais(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).

V

A

B CD

EF

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Elementos principais do prisma

h

A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.

V

A

B CD

EF

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Classificação

Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrado

P. triangulartriângulo

PirâmidePolígono da base

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Veja algumas dessas pirâmides

Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

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Pirâmide regular

Pirâmide regular é aquela em que

A base é um polígono regular;

A projeção do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base.

As arestas laterais são congruentes.

Como conseqüência as faces laterais são triângulos isósceles, congruentes entre si.

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Pirâmides regulares

A base da pirâmide é um quadrado

⇒

Pirâmide quadrangular regular

A base da pirâmide é um hexágono regular

⇒

Pirâmide hexagonal regular

V

h

O

V

h

O

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V

A B

CD

Apótema da pirâmide

VM é o apótema (p) da pirâmidep

M

⇒

BM = MC

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Segmentos notáveis na pirâmide regular

VO = h, altura;

V

B

A

MO

ah

m

r

p

b

VA = a, aresta lateral;

AB = b, aresta da base;

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Segmentos notáveis na pirâmide regular

OM = m, apótema da base;

V

B

A

MO

ah

m

r

p

b

OA = r, raio da base;

VM = p, apótema pirâmide;

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A pirâmide e oteorema de Pitágoras

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A pirâmide e o teorema de Pitágoras

p2 = h2 + m2

V

B

A

MO

h

m

p

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A pirâmide e o teorema de Pitágoras

V

A

O

ah

r

a2 = h2 + r2

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A pirâmide e o teorema de Pitágoras

a2 = p2 + (b/2)2

V

B

A

M

ap

b/2

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Exemplos

Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm. Calcular o raio da base, a aresta da base, a altura e o apótema da pirâmide.

O

V

A

M

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Exemplos

Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e a área da base 144 cm2. Achar sua área lateral.

V

B

A

M

ap

b

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Volume da pirâmide

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Volume da pirâmide

A figura a seguir mostra um prisma e uma pirâmide regulares de mesma base e mesma altura.

Qual dos dois tem maior volume? Qual a relação entre os dois volumes?

Pode-se provar que a razão entre os dois volumes é exatamente igual a 3.

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Volume da pirâmide

Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.

AB.hV =31

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Exemplo

Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 2, e a área lateral é o dobro da área da base. Obter a área total e o volume da pirâmide.

V

B

A

M

h p

m

b

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Tronco de pirâmide

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Tronco de PirâmideR

C

A

h

B

D

A’ B’

C’D’h’

C

A

h – h’

B

D

A’ B’

C’D’R

A’ B’

C’D’h’

Tronco de pirâmide

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Razão de semelhança - Comprimentos

R

C

A

h

D

R

A’ B’

C’D’h’

B

=RA’RA

A’B’AB =... =

h’h = k

Razão de semelhança

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Razão de semelhança - Áreas

R

C

A

h

D

R

A’ B’

C’D’h’

B

=A’B

AB

A’L

AL =A’T

AT = k2

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Razão de semelhança - Volumes

R

C

A

h

D

R

A’ B’

C’D’h’

B

= k3

V’V

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Exemplos

A superfície de um recipiente tem forma de pirâmide regular de altura x, conforme figura. Colocam-se, dentro dele, 100 mL de água. Com isso, ela atinge o nível x/3. Achar a capacidade do recipiente.

x

x/3

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Exemplos

Num tronco de pirâmide quadrangular regular, a altura mede 6 m. Suas bases têm 16 m2 e 64 m2 de área. Calcular o volume desse tronco.

6

V

h

h + 6

64 m2

16 m2