preparação para prova final de matemática 9º ano 3º ciclo
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PREPARAO PARA PROVA FINAL 3 CICLO MATEMTICA
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Preparao para prova final do 3 ciclo
Luis Carrilho
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PREPARAO PARA PROVA FINAL 3 CICLO MATEMTICA
1
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NDICE
PRINCIPAIS CONTEDOS | 7 ANO E 8ANO
ESTATSTICA ....................................................................................................... 3
Tabela de frequncias ............................................................................................................... 3
Tratamento de dados ................................................................................................................ 3
SEQUNCIAS ..................................................................................................... 4
Termos e ordem .......................................................................................................................... 4
Termo geral .................................................................................................................................. 4
SEMELHANA DE FIGURAS ............................................................................... 5
O que so figuras semelhantes................................................................................................. 5
Razo de semelhana ............................................................................................................... 5
Critrios de semelhana de tringulos .................................................................................... 5
POTNCIAS E NOTAO CIENTFICA .............................................................. 4
Regras das potncias ................................................................................................................. 4
Notao cientfica ..................................................................................................................... 5
FIGURAS GEOMTRICAS E SLIDOS GEOMTRICOS ...................................... 7
reas de polgonos ..................................................................................................................... 7
Soma dos ngulos internos ........................................................................................................ 7
rea e permetro do crculo ...................................................................................................... 7
Volume de slidos ....................................................................................................................... 7
Unidades de volume e de capacidade ................................................................................. 7
RETAS E PLANOS NO ESPAO .......................................................................... 8
Posio relativa entre retas ....................................................................................................... 8
Posio relativa entre planos .................................................................................................... 8
Posio relativa entre uma reta e um plano .......................................................................... 8
SISTEMAS DE 2 EQUAES ............................................................................... 9
Mtodo de substituio ............................................................................................................. 9
Classificao de sistemas de 2 equaes .............................................................................. 9
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PRINCIPAIS CONTEDOS | 9ANO
PROBABILIDADES ............................................................................................ 10
Mtodos auxiliares de contagem .......................................................................................... 10
Clculo da probabilidade....................................................................................................... 10
FUNES ......................................................................................................... 11
Funo afim............................................................................................................................... 12
Funo de proporcionalidade inversa ................................................................................. 12
Funo quadrtica .................................................................................................................. 12
EQUAES DO 2 GRAU ................................................................................ 12
Casos notveis .......................................................................................................................... 12
Equaes incompletas ............................................................................................................ 12
Equao completa .................................................................................................................. 12
CIRCUNFERNCIA ........................................................................................... 13
Relao entre a amplitude de ngulos e arcos correspondentes ................................... 13
Propriedades ............................................................................................................................. 13
LUGARES GEOMTRICOS ................................................................................ 14
No plano .................................................................................................................................... 14
No espao ................................................................................................................................. 15
NMEROS REAIS .............................................................................................. 16
Conjuntos numricos ................................................................................................................ 16
Operaes com nmeros reais .............................................................................................. 16
Intervalos de nmeros .............................................................................................................. 16
INEQUAES .................................................................................................. 17
Resoluo de inequaes ...................................................................................................... 17
Conjuno e disjuno de inequaes ................................................................................ 17
TRIGONOMETRIA ............................................................................................. 18
Razes trigonomtricas ............................................................................................................ 18
Relaes entre as razes trigonomtricas............................................................................. 18
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PRINCIPAIS CONTEDOS | 7 ANO E 8ANO
ESTATSTICA
Tabela de frequncias
Frequncia absoluta: nmero de vezes que se repete um dado
Frequncia relativa: quociente entre frequncia absoluta e o nmero
total de dados
Exemplo:
Populao: alunos do 5B
Varivel: notas a matemtica
Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3
Notas fa fr Fr (%)
1 1 1: 20 = 0,05 5 % (0,05 100)
2 6 6: 20 = 0,3 30 % (0,3 100)
3 6 6: 20 = 0,3 30 % (0,3 100)
4 6 6: 20 = 0,3 30 % (0,3 100)
5 1 1: 20 = 0,3 5 % (0,05 100)
Total 20 1 100 %
Tratamento de dados
Moda: dado que aparece mais vezes
Mdia: quociente entre a soma de todos os dados e o nmero total de
dados
Extremos: valor mnimo e valor mximo
Amplitude: Diferena entre o valor mximo e o valor mnimo
Exemplo:
Populao: alunos do 5B
Varivel: notas a matemtica
Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3
Moda: 2, 3 e 4
Mdia: 1 + 2 6 + 3 6 + 4 6 + 5
20 =
1 + 12 + 18 + 24 + 5
20=
60
20= 3
Mnimo: 1
Mximo: 5
Amplitude: 5 1 = 4
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SEQUNCIAS
Termos e ordem
A cada nmero de uma sequncia chama-se termo e a posio que ocupa
na sequncia chama-se ordem (n).
Termo geral
possvel descobrir qualquer termo de uma sequncia sabendo o seu termo
geral.
Exemplos de termos gerais de sequncias:
2, 4, 6, 8, 10, ... 2n (de 2 em 2)
3, 6, 9, 12, 15, ... 3n (de 3 em 3)
4, 7, 10, 13, 16, ... 3n + 1 (de 3 em 3 e comea no 4)
1, 2, 3, 4, 5, ... n (de 1 em 1)
-10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10)
1, 4, 9, 16, 25, ... n2 (quadrados perfeitos)
1, 8, 27, 64, 125, ... n3 (cubos perfeitos)
Como se descobre um termo de uma sequncia atravs do seu termo geral:
Termo geral: 2 (n + 10)
2 termo (n = 2):
2 (2 + 10)= 2 12 = 24
Como se descobre se um termo faz parte de uma sequncia:
Termo geral: 2 (n + 10)
O nmero 30 termo da soluo?
2 (n + 10) = 30
2n + 20 = 30
2n = 30 20 2n = 10
n = 10 : 2
n = 5 30 termo da sequncia (termo de ordem 5)
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SEMELHANA DE FIGURAS
O que so figuras semelhantes
Figuras semelhantes tm a mesma forma e, por isso, ngulos
correspondentes congruentes e lados diretamente proporcionais.
Razo de semelhana
Ampliao
r = L : l > 1
Reduo
r = l : L < 1
Congruncia
r = l : l = 1
Como descobrir o comprimento de lados de figuras semelhantes:
2,5 -------------- 3
1,5 -------------- x
= 1,5 3
2,5=
7,5
2,5= 3
Critrios de semelhana de tringulos
Critrio AA
o dois tringulos so semelhantes se tiverem dois ngulos
correspondentes congruentes
Critrio LLL
o dois tringulos so semelhantes se tiverem trs lados diretamente
proporcionais
Critrio LAL
o dois tringulos so semelhantes se tiverem dois lados diretamente
proporcionais e o ngulo por eles formado congruente
Exemplos:
[ABC] semelhante a [ADE]
segundo o critrio AA pois:
BC = DE e ABC = ADE
[FGH] semelhante a [IJK]
segundo o critrio LLL pois:
5 : 2,5 = 2 : 1 = 4 : 2
[LMN] semelhante a [NOP]
segundo o critrio LAL pois:
4,5 : 3 = 1,5 :1 e LNM = ONP
l l l l L L
2,5
1,5
3
x
A B D
C
E H
G F
K
J I
2 1
2,5 4
5
2
P O
N
M L
3 1
1,5 4,5
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POTNCIAS E NOTAO CIENTFICA
Regras das potncias
Na multiplicao:
com bases iguais, a base mantm-se e somam-se os expoentes
com expoentes iguais, o expoente mantm-se e multiplicam-se as bases
4 4 = 4
3 3 = 3
Na diviso:
com bases iguais, mantm-se a base e subtraem-se os expoentes
com expoentes iguais, mantm-se o expoente e dividem-se as bases
4: 4 = 4
3: 3 = 3
Potncia de potncia:
multiplicam-se os expoentes
(4) = 4
Potncia com base negativa:
se o expoente for par, o resultado fica positivo
se o expoente for mpar, o resultado fica negativo
(2) = 4
(2) = 8
Potncia com expoente negativo:
para colocar o expoente positivo coloca-se o inverso da base
(1
3)
= 3
Expoentes 1 e 0:
qualquer nmero elevado a 1 igual a si prprio
qualquer nmero elevado a 0 igual a 1
3 = 3
3 = 1
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Notao cientfica
Colocar um nmero em notao cientfica:
colocar a vrgula de forma que a parte inteira seja um nmero de 1 a 9,
e no expoente da base 10 colocar o nmero de vezes que andamos
com a vrgula. Se andarmos com a vrgula para a direita o expoente
fica negativo, e se andarmos para a esquerda fica positivo.
0,000000005486 = 5,486 109
1545600000000 = 1,5456 1012
Comparar nmeros em notao cientfica:
se os expoentes das potncias de base 10 forem iguais, ser maior
aquele em que o nmero que antecede a potncia maior
se os expoentes das potncias de base 10 forem diferentes, ser maior
aquele cuja potncia tiver maior expoente
, 109 < , 109
2,584 10 > 5,486 10
Operaes com nmeros em notao cientfica:
multiplicao:
( 10) ( 10) =
= ( ) 10+
(2,54 105) (3,2 103) =
= (2,54 3,2) 105+(3) =
= 8,128 102
diviso:
( 10) ( 10) =
= ( ) 10
(2,54 105) (3,2 103) =
= (2,54 3,2) 105(3)=
= 0,79375 108 =
= 7,9375 107
adio e subtrao:
1. Na adio e subtrao primeiro temos de colocar as potncias de base
10 iguais
2. S depois fatorizamos a expresso, colocando em evidncia a potncia
comum de base 10 e efetuamos os clculos dentro de parnteses
(, ) + (3,2 103)
= ( ) + (3,2 103)
= (254 + 3,2) 103
= 257,2 103
= 2,572 105
(, ) (3,2 103)
= ( ) (3,2 103)
= (254 3,2) 103
= 250,8 103
= 2,508 105
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FIGURAS GEOMTRICAS E SLIDOS GEOMTRICOS
reas de polgonos
=
=
2
=
=
2
=
= +
2
=
2
Soma dos ngulos internos
= ( 2) 180
rea e permetro do crculo
= 2 =
Volume de slidos
=
=
3
=3
4
Unidades de volume e de capacidade
Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml
m3 = kl
dm3 = l
cm3 = ml
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RETAS E PLANOS NO ESPAO
Posio relativa entre retas
Posio relativa entre planos
Posio relativa entre uma reta e um plano
Complanares
(pertencem ao mesmo plano)
Paralelas
Estritamente Paralelas
Coincidentes
Concorrentes
(ou secantes)
Perpendiculares
Oblquas
No complanares
(no pertencem ao mesmo plano)
Paralelos
Estritamente Paralelos
Coincidentes
Concorrentes
(ou secantes)
Perpendiculares
Oblquos
Paralela
Estritamente Paralela
Contida
Concorrente
(ou secante)
Perpendicular
Oblqua
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SISTEMAS DE 2 EQUAES
Mtodo de substituio
1. Colocar na forma cannica
2. Isolar uma das incgnitas de uma das duas equaes
3. Substituir a incgnita na outra equao pela expresso equivalente
4. Resolver essa equao
5. Substituir a incgnita na outra equao pelo seu valor
6. Resolver essa equao e apresentar o conjunto-soluo
1. {2 = 19 + 2
4( + 2) + = 2 {
2 2 = 194 + 8 + = 2
{2 3 = 19
4 + = 2 8 {
2 3 = 194 + = 6
2. {2 3 = 19 = 6 4
3. {2 3(6 4) = 19
4. {2 + 18 + 12 = 19
{
2 + 12 = 19 18
{14 = 1
{ =1
14
5. {
= 6 4 (1
14)
6. {
= 6 4
14 {
= 42
7
2
7 {
=1
14
= 40
7
C.S.= (1
14;
40
7)
Classificao de sistemas de 2 equaes
Sistema possvel e
determinado
As retas cruzam-se num
ponto, sendo as suas
coordenadas o
conjunto-soluo
Sistema possvel e
indeterminado
As retas so
coincidentes, sendo por
isso indeterminado o
conjunto-soluo
Sistema impossvel
As retas so paralelas, e
como no se intersetam
no existe conjunto-
soluo
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PRINCIPAIS CONTEDOS | 9ANO
PROBABILIDADES
Mtodos auxiliares de contagem
Tabela de dupla entrada
Experincia: Num saco com 3 bolas (1 azul, 1 verde e 1 preta) retirar 2 bolas e verificar
a sua cor.
Com reposio:
A V P
A (A,A) (A,V) (A,P)
V (V,A) (V,V) (V,P)
P (P,A) (P,V) (P,P)
- 9 casos possveis
Sem reposio:
A V P
A - (A,V) (A,P)
V (V,A) - (V,P)
P (P,A) (P,V) -
- 6 casos possveis
Diagrama em rvore
Experincia: Num saco com 3 bolas (1 azul, 1 verde e 1 preta) retirar 2 bolas e verificar
a sua cor.
Com reposio:
- 9 casos possveis
Sem reposio:
- 6 casos possveis
Clculo da probabilidade
Lei de La Place
() =
A A V P
V A V P
P A V P
A V P
V A P
P A V
(A,A)
(A,V)
(A,P)
(V,A)
(V,V)
(V,P)
(P,A)
(P,V)
(P,P)
(A,V)
(A,P)
(V,A)
(V,P)
(P,A)
(P,V)
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FUNES
Do tipo: =
ordenada na
origem, ou seja, onde a
reta intersecta o eixo y
Do tipo: =
declive da reta
=
Do tipo: = +
ordenada na
origem
declive da reta
=1 21 2
Do tipo: =
constante de proporcionalidade
direta
=
Do tipo: =
=
2
Funo Afim
Constante Linear Nem constante nem
linear
Funo de proporcionalidade inversa
Funo quadrtica
-
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EQUAES DO 2 GRAU
Casos notveis
( + )2 = 2 + 2 + 2
( )2 = 2 2 + 2
( + )( ) = 2 2
Equaes incompletas
Do tipo: =
42 = 0
2 =0
4
2 = 0
. . = {0}
Do tipo: + =
42 16 = 0
2 =16
4
2 = 4
= 4
. . = {2; 2}
Do tipo: + =
42 16 = 0
(4 16) = 0
= 0 4 16 = 0
= 0 =16
4
. . = {0; 4}
Equao completa
Do tipo: + + =
2 2 8 = 0
=(2) (2)2 4(1)(8)
2(1)
=2 4 + 32
2
=16 36
2
=16 + 6
2 =
16 6
2
= 11 = 5
. . = {5; 11}
Frmula resolvente:
= 2 4
2
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CIRCUNFERNCIA
Relao entre a amplitude de ngulos e arcos correspondentes
Propriedades
Propriedade 1
A ngulos ao centro com a mesma amplitude
correspondem cordas e arcos congruentes
AB = CD, ento AB = CD e AB = CD
Propriedade 2
Um ngulo inscrito numa semicircunferncia tem 90
AB dimetro, ento AB um ngulo reto
Propriedade 3
A reta tangente circunferncia perpendicular ao seu
raio (e dimetro) no ponto de tangncia
AB dimetro, ento CB um ngulo reto
ngulo ao centro ngulo inscrito
ngulo com vrtice no interior da circunferncia
ngulo com vrtice no exterior da circunferncia
A
B
O =
A
B
O =
2
A
B
O
C
D
= +
2
A
B
O
=
2
C
D
A
B
O
C
D
A
B
O
A
B
O
C
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LUGARES GEOMTRICOS
No plano
Circunferncia
Conjunto de pontos, no plano, cuja distncia ao ponto C
igual a r
Crculo
Conjunto de pontos, no plano, cuja distncia ao ponto C
igual ou inferior a r
Zona interior da circunferncia
Conjunto de pontos, no plano, cuja distncia ao ponto C
inferior a r
Zona exterior da circunferncia
Conjunto de pontos, no plano, cuja distncia ao ponto C
superior a r
Mediatriz
Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos pontos A e B
Zona limitada por uma mediatriz
Conjunto de pontos, no plano, mais prximos do ponto A do
que do ponto B
Circuncentro
Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos pontos A, B
e C (ponto de interseo entre as mediatrizes dos segmentos de reta
[AB], [BC] e [AC])
Bissetriz
Conjunto de pontos, no plano, equidistantes s semirretas AB
e AC
Incentro
Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos segmentos
de reta AB, BC e AC
r
r C
r C
C
r C
A B
A B
A
B
C
A
B
C
A
B
C (ponto de interseo entre as bissetrizes dos segmentos de reta
[AB], [BC] e [AC])
-
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No espao
Superfcie esfrica
Conjunto de pontos, no espao, cuja distncia ao ponto C
igual a r
Esfera
Conjunto de pontos, no espao, cuja distncia ao ponto C
igual ou inferior a r
Plano Mediador
Conjunto de pontos, no espao, equidistantes aos pontos A e
B
r
r
A B
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NMEROS REAIS
Conjuntos numricos
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} nmeros naturais
= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} nmeros inteiros
= {nmeros fracionrios} nmeros racionais
o Dzimas finitas Ex: 1,5
o Dzimas infinitas peridicas Ex: 1,(5)
= {nmeros irracionais} nmeros reais
o Dzimas infinitas no peridicas Ex: 1,568365439875
Operaes com nmeros reais
3 + 2 = 5
32 + 22 = 52
32 + 53 + 23 = 32 + 73
32 (25 4) = 610 122
(2 + 35)2 = (2)2 + 2(2)(35) + (35)2 = 2 + 610 + 9(5) = 2 + 610 + 45 = 47 + 610
(2 + 5)(2 5) = 22 (5)2 = 4 5 = 1
8
2= 4 = 2
Intervalos de nmeros
Condio
Representao geomtrica Intervalo de nmeros
{: 3}
[3 ; +[
{: 3 < 5}
[3 ; 5[
{: 3 1 < 5}
[3 ; 5[
{: 3 1 < 5}
[1 ; +[
3 +
3 5
3 1 5 +
3 1 5 +
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INEQUAES
Resoluo de inequaes
As inequaes resolvem-se tal como as equaes. No entanto, deve-se ter
ateno aos seguintes casos:
Quando o termo dependente positivo, mantm-se o sentido do sinal
>, , <
2 > 4
>4
2
> 2
Quando o termo dependente negativo, altera-se o sentido do sinal >, , 4
2 < 4
< 4
2
< 2
Conjuno e disjuno de inequaes
Conjuno entre condies -
o Tem como conjunto-soluo a interseo dos conjuntos-soluo
de cada uma das condies -
2 > 4 + 10 10
2 < 4 10 10
4 + 10 10
2 < 4 10 10
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