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Pontos em R2 e R3

Pontos em R2

Admita dois eixos, x e y, ortogonais (perpendiculares entre si) em O. Esses dois

eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes. Em cada uma

dessas regiões, podemos representar infinitos pontos, expressos por meio de pares

ordenados (xp , yp), em que xp é a abscissa do ponto e yp é sua ordenada.

Pontos em R2

Marcar no plano

cartesiano: A(7, 5)

B(–7, 5) C(–3, –5) D(6, –2) E(8, 0)

F(–5, 0) G(0, 3) H(0,-2)

Distância entre dois pontos

Definição: Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois

pontos por extremidades.

Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.

XA XB

YA

YB

C

Considerando dois pontos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:

2 22 2 2

AB AC BC AB B A B Ad d d d x x y y

As coordenadas xM e yM do ponto médio do segmento são, respectivamente, as médias aritméticas das coordenadas dos pontos A e B. As coordenadas do ponto médio M do segmento são:

GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS

II. Distância de ponto a ponto

AB

AB

Coordenadas do ponto médio de um segmento

Pontos em R3

O espaço tridimensional

Assim como usamos um sistema de eixos coordenados para

realizar representações no plano, também o fazemos para

representar sólidos e objetos.

Definição:

O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais

é chamado de espaço tridimensional, sendo denotado por

R3 . Cada tripla ordenada (x, y, z) é chamada de um ponto no espaço

tridimensional.

Máquinas operatrizes, sistemas automatizados e sistemas de

robótica utilizam, na sua grande maioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como no exemplo

da fresadora ao lado:

Visualização:

Região Descrição

Plano xy (x, y, 0)

Plano xz (x, 0, z)

Plano yz (0, y, z)

Eixo x (x, 0, 0)

Eixo y (0, y, 0)

Eixo z (0, 0, z)

x

y

z

A (2, 0, 0) B (2, 4, 0) C (0, 4, 0) D (0, 4, 3)

E (0, 0, 3) F (2, 0, 3) G (2, 4, 3) H (0, 0, 0)

x

y

z

A (0, 1, 0) B (4, 1, 0) C (4, 6, 0) D (0, 6, 0)

E (4, 1, -2) F (4, 6, -2) G (0, 6, -2) H (0, 1, -2)

• Determine as coordenadas dos pontos:

Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

A(40, 0, 0), B(40, 25, 0), C(0, 25, 0), D(0, 25, 25), E(10, 25, 25), F(0, 0, 25), G(30, 0, 25), H(40, 0, 25), I(30, 10, 25) J(40, 25, 10)

Distância entre dois pontos no espaço

• Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já utilizado no plano, apenas com o acréscimo da variável z, referente ao eixo das cotas no estudo.

2 2 2

AB B A B A B Ad x x y y z z