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Analise Matematica III

Texto de apoio

Mest. Int. Engenharia Mecanica e Lic. Eng. Gestao Industrial

Susana Domingues de Moura

Departamento de Matematica

Universidade de Coimbra

2013/2014

Conteudo

I Calculo integral em R2 e R3 1

1 Integral duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Definicao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Mudanca de variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Integral triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Definicao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Mudanca de variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Integral curvilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Generalidades sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Integral curvilıneo de funcoes escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Integral curvilıneo de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Campos vetoriais conservativos e independencia do caminho . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Integral de superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Superfıcies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Integral de superfıcie de uma funcao escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Integral de superfıcie de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Teoremas da Divergencia e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Equacoes diferenciais de ordem n 40

1 Conceitos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Equacoes diferenciais lineares homogeneas. Sistema fundamental de solucoes. . . . . . . . 42

3 Equacoes diferenciais lineares homogeneas com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 44

4 Equacoes diferenciais lineares nao homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Metodo do polinomio anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Metodo de Lagrange ou da variacao das constantes arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7 Metodo de abaixamento de ordem ou metodo de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Equacoes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9 Sistemas de equacoes diferenciais com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10 Transformada de Laplace e aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliografia 65

i

Capıtulo I

Calculo integral em R2 e R3

1 Integral duplo

1.1 Definicao e propriedades

A definicao de integral duplo segue um raciocınio muito semelhante ao que se usa para definir integral

simples (no sentido de Riemann). Definimos primeiro o integral duplo numa regiao retangular e depois

estendemos o conceito ao caso de uma regiao limitada mais geral.

Seja R um retangulo fechado de R2 definido por

R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

com a < b e c < d. Consideremos uma particao do intervalo [a, b] em n subintervalos [xi−1, xi], i = 1, . . . , n,

com o mesmo comprimento ∆x = (b−a)/n, e uma particao do intervalo [c, d] em n subintervalos [yj−1, yj ],

j = 1, . . . , n, de comprimento ∆y = (d− c)/n. Estas duas particoes permitem definir n2 retangulos

Rij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ] ={

(x, y) ∈ R2 : xi−1 ≤ x ≤ xi, yj−1 ≤ y ≤ yj},

com i, j = 1, . . . , n, com lados paralelos aos eixos coordenados e cada um deles com area ∆A = ∆x∆y,

que no seu conjunto constituem uma particao P da regiao R.

Definicao. Seja f : R→ R uma funcao limitada. Uma soma de Riemann de f relativamente a particao

P e uma soma do tipo

Sn =

n∑i=1

n∑j=1

f(x∗ij , y∗ij) ∆A (1)

onde (x∗ij , y∗ij) e um qualquer ponto em Rij .

Dizemos que a funcao f e integravel (a Riemann) no retangulo R se existir o limite limn→+∞

Sn e se este for

independente da escolha dos pontos (x∗ij , y∗ij) ∈ Rij . Em tal caso, ao valor deste limite chamamos integral

duplo de f sobre R e designamo-lo por∫∫R

f(x, y) dx dy ou

∫∫R

f(x, y) dA.

Como saber se uma dada funcao e integravel? O uso da definicao para este fim torna-se impraticavel.

O resultado seguinte fornece uma condicao suficiente para a integrabilidade.

1

2

Teorema. Se f : R→ R for contınua, entao f e integravel em R.

Interpretacao do integral duplo como volume de um solido

Suponhamos que, alem de contınua, a funcao f e nao negativa em R, isto e, f(x, y) ≥ 0 para todo o

(x, y) ∈ R. Consideremos o solido

E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}, (2)

limitado superiormente pela superfıcie de equacao z = f(x, y), inferiormente por R e lateralmente pelos

planos de equacoes x = a, x = b, y = c e y = d.

Se tomarmos (x∗ij , y∗ij) ∈ Rij como sendo um ponto onde a restricao de f a Rij tem um mınimo

(sendo f contınua em R temos a garantia da existencia de um tal ponto), entao f(x∗ij , y∗ij) ∆A representa

o volume de um paralelepıpedo de base Rij e altura f(x∗ij , y∗ij) e a soma (1) representa o volume de um

solido contido em E. Analogamente, se (x∗ij , y∗ij) ∈ Rij for um ponto onde a restricao de f a Rij tem um

maximo, a soma (1) representa o volume de um solido que contem E. Assim, sendo f integravel em R,

existe o limite das somas (1) independentemente da escolha dos pontos (x∗ij , y∗ij) ∈ Rij , pelo que o volume

dos solidos acima referidos (que estao contidos ou que contem E) tendem para o mesmo limite, que sera

o volume de E. Temos assim o seguinte resultado.

Proposicao. Se f for uma funcao nao negativa e contınua numa regiao retangular R, entao o integral

duplo ∫∫R

f(x, y) dx dy

representa o volume do solido

E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.

Integrais iterados

Conforme ja referimos, a excecao dos casos mais simples, o calculo de integrais duplos usando a definicao

nao e viavel. Veremos em seguida como calcular estes integrais atraves do calculo de dois integrais simples

sucessivos.

Seja f uma funcao real contınua no retangulo R = [a, b]× [c, d]. Mantendo x fixo, f(x, y) e uma funcao

apenas da variavel y e podemos calcular o integral definido

∫ d

c

f(x, y) dy. Este procedimento e chamado

integracao parcial em relacao a y. Naturalmente o integral assim calculado depende de x, isto e, e uma

funcao de x, digamos

A(x) =

∫ d

c

f(x, y) dy.

Podemos agora calcular ∫ b

a

A(x) dx =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y) dy

)dx. (3)

Analise Matematica III 2013/2014

3

De modo analogo, comecando por fixar a variavel y, podemos fazer a integracao parcial em relacao a x

para calcular

∫ b

a

f(x, y) dx = B(y) e, integrando em seguida em ordem a y, obtemos

∫ d

c

B(y) dy =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y) dx

)dy. (4)

Nos segundos membros de (3) e (4), e habitual omitirem-se os parenteses, escrevendo-se∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y) dy

)dx =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dy dx

e ∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y) dx

)dy =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dx dy.

Estes integrais sao designados por integrais iterados.

Exemplo. Calcule

(a)

∫ 1

0

∫ 3

2

(1 + xy) dx dy (b)

∫ 3

2

∫ 1

0

(1 + xy) dy dx

O teorema seguinte mostra que nao e coincidencia que os dois integrais iterados do exemplo anterior

tenham o mesmo valor.

Teorema de Fubini. Se f for uma funcao real integravel no retangulo R = [a, b]× [c, d], entao∫∫R

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dy dx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dx dy.

Observacoes.

(i) O teorema anterior permite-nos calcular um integral duplo numa regiao retangular convertendo-o num

integral iterado. Podemos fazer isso de duas maneiras, originando ambas o mesmo resultado.

(ii) Vejamos como interpretar geometricamente o resultado anterior no caso em que f e contınua e nao

negativa em R. Neste caso o integral duplo representa o volume V do solido E definido em (2). Pelo

princıpio de Cavalieri, o volume de E e dado por V =

∫ b

a

A(x) dx, onde A(x) e a area da seccao

transversal de E no plano Px, perpendicular ao eixo dos xx e que passa pelo ponto (x, 0, 0). Ora,

fixado x, A(x) e a area da regiao limitada pela curva de equacao z = f(x, y) com c ≤ y ≤ d. Portanto,

A(x) =

∫ d

c

f(x, y) dy e, consequentemente,

∫∫R

f(x, y) dA = V =

∫ b

a

A(x) dx =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dy dx.

Analogamente, usando a seccao transversal perpendicular ao eixo dos yy e que passa por (0, y, 0),

verificamos tambem que ∫∫R

f(x, y) dA = V =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dx dy.


4

Embora seja suficiente, nao e necessario que uma funcao seja contınua em R para que seja integravel

em R. Com efeito, podemos ainda garantir a integrabilidade, sobre um retangulo, de funcoes que sejam

descontınuas em subconjuntos que se possam desprezar do ponto de vista da integracao dupla (do mesmo

modo que um numero finito de pontos se pode desprezar na integracao simples), o que tambem nos permi-

tira estender a definicao de integral duplo a regioes do plano mais gerais do que retangulos. Comecemos

por dar um sentido preciso a esta ideia de conjuntos que se podem desprezar na integracao dupla.

Definicao. Diz-se que um conjunto S ⊂ R2 tem conteudo nulo se, para qualquer ε > 0, existe um numero

finito de retangulos (do tipo anteriormente considerado) cuja uniao contenha S e tal que a soma das suas

areas e inferior a ε.

Por outras palavras, um subconjunto do plano tem conteudo nulo se for possıvel cobri-lo por unioes de

retangulos com areas totais arbitrariamente pequenas. Verifica-se facilmente que a uniao de um numero

finito de conjuntos de conteudo nulo tem conteudo nulo. E ainda possıvel provar que um segmento de reta

tem conteudo nulo e, mais geralmente, o grafico de uma funcao contınua φ : [a, b]→ R tem conteudo nulo.

Proposicao. Sejam f, g : R→ R tais que f e integravel e g e limitada no retangulo R. Se f e g diferem

somente num conjunto de conteudo nulo, entao g tambem e integravel em R e∫∫R

g(x, y) dA =

∫∫R

f(x, y) dA.

O resultado que se segue e consequencia da proposicao anterior e do facto de, como referimos anteri-

ormente, toda a funcao contınua ser integravel.

Proposicao. Se f : R→ R for limitada e se o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tiver conteudo

nulo, entao f e integravel em R.

Exemplos.

(a) Calcule

∫∫R

f(x, y) dA, onde R = [0, 2]× [1, 3] e f(x, y) = 2x+ 3x2y.

(b) Determine o volume do solido limitado superiormente pelo paraboloide elıptico x2 + y2 + z = 9 e

inferiormente pela regiao retangular R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}.

De seguida vamos estender a definicao de integral duplo para regioesD mais gerais, nao necessariamente

retangulares.

Sejam D ⊂ R2 uma regiao limitada e f : D → R uma funcao limitada. Seja R uma regiao retangular

que contenha D e consideremos a funcao F , definida em R por

F (x, y) =

{f(x, y) se (x, y) ∈ D0 se (x, y) ∈ R \D

. (5)


5

Definicao. A funcao limitada f : D ⊂ R2 → R diz-se integravel (em D) se F for integravel (em R).

Nesse caso, define-se o integral duplo de f sobre D por∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫R

F (x, y) dx dy. (6)

Notemos que a definicao anterior faz sentido, uma vez que R e uma regiao retangular e

∫∫R

F (x, y) dx dy

foi definido anteriormente. Alem disso, verifica-se que (6) nao depende da regiao retangular R que contenha

D.

No caso de f ser nao negativa em D, podemos ainda interpretar

∫∫D

f(x, y) dx dy como o volume do

solido limitado inferiormente por D e superiormente pelo grafico de f . Basta, para tal, atender ao facto de

que os pontos do grafico da funcao F , definida em (5), que nao pertencem ao grafico de f , estao no plano

XOY (isto e, tem cota nula); pelo que o volume do solido limitado inferiormente por R e superiormente

pelo grafico de F coincide com o volume de E.

A integrabilidade de f em D depende nao so da funcao f mas tambem da regiao D. Suponhamos

que f e contınua em D. Pode acontecer que F nao seja contınua em R, ja que pode nao ser contınua em

pontos na fronteira ∂D de D. Contudo, para determinado tipo de regioes D, ditas regioes elementares,

que definiremos em seguida, ∂D e a uniao finita de graficos de funcoes contınuas definidas em intervalos

fechados e limitados em R, logo e um conjunto de conteudo nulo e, portanto, F e integravel em R.

Definicao.

(i) Uma regiao D ⊂ R2 diz-se verticalmente simples ou do tipo I se puder ser expressa na forma

D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, (7)

onde g1, g2 : [a, b]→ R sao funcoes contınuas tais que g1(x) ≤ g2(x) para todo o x ∈ [a, b].

(ii) Uma regiao D ⊂ R2 diz-se horizontalmente simples ou do tipo II se puder ser expressa na forma

D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}, (8)

onde h1, h2 : [c, d]→ R sao funcoes contınuas tais que h1(y) ≤ h2(y) para todo o y ∈ [c, d].

(iii) Uma regiao D ⊂ R2 diz-se elementar se for do tipo I ou do tipo II e diz-se simples se for simulta-

neamente do tipo I e do tipo II.

A proposicao seguinte, que e consequencia do teorema de Fubini, vai permitir-nos calcular integrais

duplos em regioes elementares usando integrais iterados.


6

Proposicao. Seja f : D → R uma funcao contınua.

(i) Se D for uma regiao de tipo I, de acordo com (10), entao f e integravel em D e∫∫D

f(x, y) dA =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dy)dx.

(ii) Se D for uma regiao de tipo II, de acordo com (11), entao f e integravel em D e∫∫D

f(x, y) dA =

∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dx)dy.

(iii) Se D for uma regiao simples, entao o integral de f sobre D nao so existe como pode ser calculado

por qualquer um dos processos indicados em (i) e (ii).

Exemplos.

(a) Calcule

∫∫D

(x+ 1) dx dy, onde D e o triangulo de vertices (0, 0), (0, 1) e (2, 2).

(b) Calcule

∫∫D

2xy dA, onde D e a regiao limitada pela reta y = x− 1 e pela parabola y2 = x+ 1.

(c) Determine o volume do solido que e limitado superiormente pelo paraboloide z = x2+y2 e inferiormente

pela regiao D do plano XOY limitada pela reta y = 2x e pela parabola y = x2.

Inversao da ordem de integracao

No caso de funcoes contınuas em regioes simples, isto e, que sao simultaneamente de tipo I e de tipo

II, pela alınea (iii) da proposicao anterior, temos as formulas∫∫D

f(x, y) dA =

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dy)dx =

∫ d

c

(∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dx)dy.

Podemos assim obter o valor de um dos integrais iterados mediante o calculo do outro integral iterado;

a este processo diz-se inversao (ou troca) da ordem de integracao. Num exercıcio pratico pode acontecer

que um dos integrais iterados seja mais facil de calcular do que o outro; no entanto, existem situacoes em

que e impossıvel calcular um dos integrais iterados (nomeadamente pela impossibilidade de determinar

uma primitiva da funcao dada relativamente a variavel em causa). Vejamos os exemplos seguintes.

Exemplos. Verifique que, usando os metodos de primitivacao conhecidos, nao e possıvel calcular cada

um dos seguintes integrais pela ordem de integracao indicada. Esboce a regiao de integracao, inverta a

ordem de integracao e calcule cada um dos integrais.

(a)

∫ 1

0

∫ √1−x2

0

√1− y2 dy dx (b)

∫ 1

0

∫ 1

x

ey2

dy dx.

Em seguida sumariamos algumas propriedades do integral duplo, as quais sao similares as do integral

simples.


7

Propriedades do integral duplo. Seja D uma regiao limitada de R2. Sejam f e g funcoes reais

integraveis em D e seja c ∈ R. Entao

(i) A funcao f + g e integravel em D e∫∫D

(f(x, y) + g(x, y)

)dA =

∫∫D

f(x, y) dA+

∫∫D

g(x, y) dA.

(ii) A funcao cf e integravel em D e∫∫D

cf(x, y) dA = c

∫∫D

f(x, y) dA.

(iii) Se f(x, y) = 1 em D, entao ∫∫D

f(x, y) dA = A(D),

onde A(D) representa a area de D.

(iv) Se f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, entao∫∫D

f(x, y) dA ≥∫∫D

g(x, y) dA.

(v) Se D = D1∪D2, onde D1 e D2 sao duas regioes que se intersetam, quando muito, nas suas fronteiras,

entao ∫∫D

f(x, y) dA =

∫∫D1

f(x, y) dA+

∫∫D2

f(x, y) dA.

Exemplo. Calcule o integral do exemplo (a) da pagina 6, usando regioes do tipo II e a propriedade (v)

acima referida.

1.2 Mudanca de variavel

Os alunos devem estar familiarizados com a mudanca de variavel no integral simples. Com efeito,∫ b

a

f(x) dx =

∫ d

c

f(x(u))dx

dudu

onde a = x(c), b = x(d), f e contınua e u 7→ x(u) e de classe C1 em [a, b].

Uma mudanca de variaveis pode tambem ser util para integrais duplos.

Genericamente, consideremos uma mudanca de variavel dada pela transformacao T (u, v) = (x, y) com

x = x(u, v), y = y(u, v).

Vamos supor que a aplicacao (u, v) → T (u, v) e de classe C1 (isto e, e contınua e tem derivadas parciais

de 1a ordem contınuas) num aberto de R2 contendo D∗ e que T : D∗ −→ D e uma aplicacao bijetiva.

Vamos admitir ainda que o Jacobiano de T , isto e, o determinante da matriz Jacobiana da transformacao


8

T , dado por

∂(x, y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u,

nao se anula em D∗.

Teorema. Nas condicoes anteriores, para toda a funcao f : D → R integravel sobre D, temos∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫D∗

f(x(u, v), y(u, v)

) ∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ du dv.

Observacoes.

(i) Notemos que, sendo T bijetiva, D∗ = T−1(D). O teorema anterior e ainda valido mesmo que

T : D∗ → D nao seja injetiva, desde que o conjunto dos pontos onde ela nao e injetiva seja um

subconjunto de conteudo nulo de D∗.

(ii) O teorema da mudanca de variavel da-nos um metodo atraves do qual o calculo de integrais duplos

pode ser simplificado. Podemos encontrar integrais

∫∫D

f(x, y) dA, cuja funcao integranda f ou cuja

regiao de integracao D tornam complicado o calculo direto do integral. Escolhendo uma mudanca de

variavel apropriada o calculo desse integral pode, em muitos casos, ser substancialmente simplificado.

Exemplo. Calcule o integral duplo

∫∫D

cos(x− y)

sin(x+ y)dx dy, onde

D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x+ y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0},

fazendo a mudanca de variavel u = x− y e v = x+ y.

Coordenadas polares

Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ) onde r e a distancia

de P a origem e θ e o angulo formado pelo semi-eixo positivo dos xx e pelo segmento de reta que une a

origem a P . A relacao entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) e dada por

r =√x2 + y2, θ = arctan

(yx

), se x 6= 0,

ou ainda

x = r cos θ, y = r sin θ.

Notemos que a aplicacao definida por T (r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)), onde x(r, θ) = r cos θ e y(r, θ) = r sin θ, e

injetiva em D∗ = {(r, θ) : r > 0, θ0 ≤ θ < θ0 + 2π}, com θ0 constante. Alem disso, o Jacobiano de T e

igual a

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

∣∣∣∣∣ = r cos2 θ + r sin2 θ = r,


9

e, como consequencia do teorema anterior, temos:

Corolario. Se f for uma funcao contınua numa regiao D do plano XOY e sendo D∗ a mesma regiao

expressa em coordenadas polares, temos∫∫D

f(x, y) dx dy =

∫∫D∗

f(r cos θ, r sin θ

)r dr dθ.

A mudanca para coordenadas polares e particularmente importante quando a regiao de integracao,

vista em termos das coordenadas polares, tem fronteiras ao longo das quais r ou θ e constante. Notemos

que, por exemplo, a regiao circular D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ a2}, a > 0, corresponde, em coordenadas

polares, a regiao retangular D∗ = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π} = [0, a]× [0, 2π].

Exemplos.

(a) Calcule

∫∫D

(x2+y2) dA, onde D e a regiao do 1o quadrante limitada pelas circunferencias x2+y2 = 1

e x2 + y2 = 5 e pelas retas y = x e y =√

3.

(b) Seja a > 0 e Da = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2}. Prove que∫∫Da

e−(x2+y2) dx dy = π(1− e−a

2

). (9)

Notemos que nao ha forma direta de calcular este integral usando as coordenadas (x, y).

(c) Usando coordenadas polares, calcule

∫∫D

y dx dy, onde D = {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 ≤ 1}.

Exercıcio. Use a igualdade (9) para mostrar que∫ ∞−∞

e−x2

dx =√π.

Este integral, dito integral de Euler-Poisson ou integral Gaussiana, e muito util em estatıstica. E de

realcar que nao se conhece forma de calcular este integral usando ferramentas do calculo de uma variavel.

1.3 Aplicacoes

Calculo de volumes

Vimos anteriormente que se D for uma uma regiao retangular de R2 ou, mais geralmente, se for a

uniao de um numero finito de regioes elementares de R2 (isto, e de regioes de um dos tipos I ou II) e f

for uma funcao contınua e nao negativa em D, isto e, f(x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ D, entao, o volume do solido

E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}

e

V (E) =

∫∫D

f(x, y) dA.


10

No caso de E ser dado por

E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, g(x, y) ≤ z ≤ f(x, y)}

onde f e g sao funcoes reais contınuas em D, temos

V (E) =

∫∫D

(f(x, y)− g(x, y)

)dA.

Exemplo. Calcule o volume do solido E = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 32 , x

2 + y2 + (z − 1)2 ≤ 1}.

Calculo de areas

Seja D uma regiao limitada de R2, uniao de um numero finito de regioes elementares de R2. A area

de D e determinada pelo integral duplo sobre D da funcao identicamente igual a 1, ou seja

A(D) =

∫∫D

1 dA.

Exemplos. Usando integrais duplos, calcule a area de cada uma das seguintes regioes.

(a) D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, −x ≤ y ≤√

3x}.

(b) D ={

(x, y) ∈ R2 :x2

a2+y2

b2≤ 1}

, com a, b > 0.

(Sugestao: usar a mudanca de variavel x = ar cos θ, y = br sin θ.)

Calculo da massa, centro de massa e momentos de uma figura plana

Suponhamos que uma lamina fina, de espessura desprezavel, ocupa uma regiao plana D, uniao de um

numero finito de regioes elementares de R2, e que a densidade e dada pela funcao ρ(x, y), contınua em D.

Entao, a massa total m e dada por

m =

∫∫D

ρ(x, y) dA,

os momentos em relacao a OX e OY sao dados respetivamente por

Mx =

∫∫D

yρ(x, y) dA e My =

∫∫D

xρ(x, y) dA,

sendo o seu centro de massa o ponto de coordenadas (x0, y0) definidas por

x0 =My

m=

∫∫D

xρ(x, y) dA

me y0 =

∫∫D

yρ(x, y) dA

m.

Exemplo. Determine a massa e o centro de massa de uma lamina semicircular que ocupa a regiao

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2, y ≥ 0}, com a > 0, em que a densidade em (x, y) e diretamente

proporcional a distancia desse ponto a origem.


11

Calculo do valor medio de uma funcao

Seja f uma funcao real integravel em D, uniao de um numero finito de regioes elementares de R2. O

valor medio de f em D e dado pelo quociente∫∫D

f(x, y) dA

A(D)=

∫∫D

f(x, y) dA∫∫D

1 dA

.

Exemplo. Calcule o valor medio de f(x, y) = x sin(y) em D = [0, π]× [0, π].

2 Integral triplo

O processo que iremos usar para definir integral triplo e analogo ao utilizado no caso do integral duplo.

As regioes de integracao serao agora subconjuntos de R3. Vamos em primeiro lugar considerar regioes de

integracao paralelepıpedicas e, depois, considerar regioes limitadas mais gerais.

2.1 Definicao e propriedades

Seja B um paralelepıpedo em R3 definido por

B = [a, b]× [c, d]× [r, s] = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s},

com a < b, c < d e r < s.

Consideremos uma particao em n subintervalos de igual comprimento para cada um dos intervalos

[a, b], [c, d] e [r, s]:

[xi−1, xi], i = 1, · · · , n, [yj−1, yj ], j = 1, · · · , n, e [zk−1, zk], k = 1, · · · , n,

respetivamente. Estas particoes permitem-nos definir n3 paralelepıpedos

Wijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]× [zk−1, zk], i, j, k = 1, · · · , n,

de faces paralelas aos planos coordenados e cada um dos quais com volume ∆x∆y∆z, onde ∆x = (b−a)/n,

∆y = (d− c)/n e ∆z = (s− r)/n, que no seu conjunto constituem uma particao P de B.

Definicao. Seja f : B → R uma funcao limitada definida no paralelepıpedo B. Uma soma de Riemann

de f relativamente a particao P e uma soma do tipo

Sn =

n∑i=1

n∑j=1

n∑k=1

f(x∗ijk, y∗ijk, z

∗ijk) ∆x∆y∆z,

onde (x∗ijk, y∗ijk, z

∗ijk) e um qualquer ponto em Wijk, para i, j, k = 1, · · · , n.

Dizemos que a funcao f e integravel (a Riemann) no paralelepıpedo B se existir o limite limn→+∞

Sn e se

este for independente da escolha dos pontos (x∗ijk, y∗ijk, z

∗ijk) ∈ Wijk. Em tal caso, ao valor do limite

denominamos integral triplo de f sobre B e designamo-lo por∫∫∫B

f(x, y, z) dx dy dz ou

∫∫∫B

f(x, y, z) dV.


12

Tal como no caso dos integrais duplos prova-se que, se f for uma funcao contınua em B, entao f e

integravel em B. A nocao de conjunto de conteudo nulo em R2 pode ser estendida naturalmente a R3,

bastando mudar retangulos por paralelepıpedos e area por volume. Verifica-se analogamente que, se f

for limitada e o conjunto dos seus pontos de descontinuidade tiver conteudo nulo, entao f integravel em

B. Em particular as funcoes limitadas cujo conjunto dos pontos de descontinuidade se restringe a uma

uniao finita de graficos de funcoes contınuas (tais como x = ϕ(y, z), y = ψ(x, z) ou z = γ(x, y)) sao

integraveis. O teorema seguinte diz-nos como calcular o valor do integral usando os chamados integrais

iterados. Notemos que existem agora 3! = 6 possıveis integrais iterados.

Teorema de Fubini. Se f for uma funcao real integravel no paralelepıpedo B = [a, b] × [c, d] × [r, s],

entao ∫∫∫B

f(x, y, z) dV =

∫ b

a

∫ d

c

∫ s

r

f(x, y, z) dz dy dx =

∫ b

a

∫ s

r

∫ d

c

f(x, y, z) dy dz dx

=

∫ d

c

∫ b

a

∫ s

r

f(x, y, z) dz dx dy =

∫ d

c

∫ s

r

∫ b

a

f(x, y, z) dx dz dy

=

∫ s

r

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y, z) dx dy dz =

∫ s

r

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y, z) dy dx dz.

Exemplo. Calcule

∫∫∫B

3x2yz3 dx dy dz sendo B = [1, 2]× [−1, 3]× [0, 1].

Seja agora E uma regiao limitada generica em R3 e seja f uma funcao real e limitada definida em E.

Consideremos um paralelepıpedo B que contenha E e a funcao F definida por

F (x, y, z) =

f(x, y, z), se (x, y, z) ∈ E

0, se (x, y, z) ∈ B \ E.

Definicao. Diz-se que f : E ⊂ R3 → R e integravel em E se F for integravel em B e define-se o integral

triplo de f sobre E por ∫∫∫E

f(x, y, z) dV =

∫∫∫B

F (x, y, z) dV.

Se f for contınua em E e se a fronteira de E tiver conteudo nulo (em particular se for uma uniao

finita de conjuntos definidos por equacoes da forma x = ϕ(y, z), y = ψ(x, z) ou z = γ(x, y), com ϕ, ψ e γ

funcoes contınuas em regioes limitadas e fechadas de R2), entao f e integravel em E.

Vamos agora considerar tres tipos especiais de regioes de R3, ditas regioes elementares em R3, que sao

do tipo acima referido.


13

Definicao.

(i) Uma regiao E ⊂ R3 diz-se de tipo I, se existir uma regiao elementar D do plano XOY tal que

E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}, (10)

sendo u1 e u2 funcoes contınuas em D.

(iii) Uma regiao E ⊂ R3 diz-se de tipo II, se existir uma regiao elementar D do plano Y OZ tal que

E = {(x, y, z) ∈ R3 : (y, z) ∈ D, u1(y, z) ≤ x ≤ u2(y, z)}, (11)


(iii) Uma regiao E ⊂ R3 diz-se de tipo III, se existir uma regiao elementar D do plano XOZ tal que

E = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, z) ∈ D, u1(x, z) ≤ y ≤ u2(x, z)}, (12)


(iv) Uma regiao E ⊂ R3 diz-se elementar se for do tipo I, II ou III e diz-se simples se for simultaneamente

do tipo I, II e III.

Proposicao. Sejam E ⊂ R3 e f : E → R contınua.

(i) Se E e do tipo I, com(10), entao∫∫∫E

f(x, y, z) dV =

∫∫D

(∫ u2(x,y)

u1(x,y)

f(x, y, z) dz

)dA. (13)

(iii) Se E e do tipo I, com (11), entao∫∫∫E

f(x, y, z) dV =

∫∫D

(∫ u2(y,z)

u1(y,z)

f(x, y, z) dx

)dA.

(iii) Se E e do tipo I, com (12), entao∫∫∫E

f(x, y, z) dV =

∫∫D

(∫ u2(x,z)

u1(x,z)

f(x, y, z) dy

)dA.

Observacao. Notemos que, por exemplo, uma regiao do tipo I trata-se de um solido cuja projecao no

plano XOY e D e que e limitado superiormente pela superfıcie de equacao z = u2(x, y) e inferiormente

pela superfıcie de equacao z = u1(x, y). Neste caso, para efectuar o calculo do segundo membro de

(13), devemos ter em conta que se trata de um integral duplo em que a funcao integranda e a funcao

g(x, y) =

∫ u2(x,y)

u1(x,y)

f(x, y, z) dz.


14

Exemplos. Calcule cada um dos seguintes integrais triplos.

(a)

∫∫∫E

x dV onde E e a regiao limitada pelos planos coordenados e pelo plano x+ y + z = 1.

(b)

∫∫∫E

y dx dy dz, onde E e limitado pelas superfıcies de equacoes y = x2 + z2 e y =√

20− x2 − z2.

Para o integral triplo sao validas propriedades analogas as anteriormente referidas para o integral

duplo, conforme se seguem.

Propriedades do integral triplo. Seja E uma regiao limitada de R3. Sejam f e g funcoes reais

integraveis em E e seja c ∈ R. Entao

(i) A funcao f + g e integravel em E e∫∫∫E

(f(x, y, z) + g(x, y, z)

)dV =

∫∫∫E

f(x, y, z) dV +

∫∫∫E

g(x, y, z) dV.

(ii) A funcao cf e integravel em E e∫∫∫E

c f(x, y, z) dV = c

∫∫∫E

f(x, y, z) dV.

(iii) Se f(x, y, z) = 1 em E, entao ∫∫∫E

f(x, y, z) dV = V (E),

onde V (E) representa o volume de E.

(iv) Se f(x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ E, entao∫∫∫E

f(x, y, z) dV ≥∫∫∫

E

g(x, y, z) dV.

(v) Se E = E1 ∪ E2, onde E1 e E2 sao duas regioes de R3 que se intersetam, quando muito, nas suas

fronteiras, e que cada um delas e a uniao de um numero finito de regioes elementares, entao∫∫∫E

f(x, y, z) dV =

∫∫∫E1

f(x, y, z) dV +

∫∫∫E2

f(x, y, z) dV.

2.2 Aplicacoes

Calculo de volumes

Ja vimos anteriormente que podemos calcular o volume de solidos usando integrais duplos. Porem,

como consta da proposicao anterior tambem podemos faze-lo usando integrais triplos. Verifiquemos este

facto para o caso de E ser uma regiao do tipo I:

E = {(x, y.z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}.


15

Entao, ∫∫∫E

1 dx dy dz =

∫∫D

(∫ u2(x,y)

u1(x,y)

1 dz

)dx dy =

∫∫D

(u2(x, y)− u1(x, y)

); dx dy,

e, de acordo com o que vimos anteriormente, o valor do ultimo integral duplo e o volume de E, solido

limitado superiormente pela superfıcie de equacao z = u2(x, y) e inferiormente pela superfıcie de equacao

z = u1(x, y).

Exemplo. Use um integral triplo para calcular o volume do solido

E = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 + z2 ≤ 2, (x− 4) ≤ −(y2 + z2) e x ≥ 0}.

Calculo da massa, momentos relativamente a planos coordenados e centro de massa

Estudamos aplicacoes fısicas do integral duplo a massa, momentos relativamente aos eixos coordenados

e centro de massa de uma lamina fina. Se quisermos estudar as nocoes correspondentes para um solido

que ocupe uma regiao limitada do espaco, recorremos ao integral triplo. Assim, se E representa um solido

cuja densidade e, no ponto (x, y, z) de E, igual a ρ(x, y, z), a sua massa total m e dada por

m =

∫∫∫E

ρ(x, y, z) dx dy dz.

Para o mesmo solido, os momentos em relacao aos planos coordenados Y OZ, XOZ e XOY sao dados

respetivamente por

Myz =

∫∫∫E

xρ(x, y, z) dx dy dz, Mxz =

∫∫∫E

yρ(x, y, z) dx dy dz e Mxy =

∫∫∫E

zρ(x, y, z) dx dy dz,

sendo o seu centro de massa o ponto de coordenadas (x0, y0, z0) definidas por

x0 =Myz

m, y0 =

Mxz

me z0 =

Mxy

m.

Exemplo. Determine o centro de massa do solido que ocupa a regiao

E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0},

supondo que a densidade e constante.

Calculo do valor medio de uma funcao

Seja f uma funcao real integravel na regiao E ⊂ R3. O valor medio de f em E e dado pelo quociente∫∫∫E

f(x, y, z) dx dy dz

V (D)=

∫∫∫E

f(x, y, z) dx dy dz∫∫∫E

1 dx dy dz

.

Exemplo. A temperatura num ponto (x, y, z) do paralelepıpedo B = [−1, 1]× [−1, 1]× [−2, 2] e propor-

cional ao quadrado da distancia desse ponto a origem.

(a) Qual e a temperatura media em B?

(b) Em que pontos do paralelepıpedo B e que a temperatura coincide com a temperatura media?


16

2.3 Mudanca de variavel

Vimos anteriormente que o calculo de um integral duplo pode ser bastante simplificado efetuando uma

mudanca de variavel conveniente. A mesmo se verifica no caso do integral triplo. A mudanca de variavel

no integral triplo toma a forma descrita no seguinte teorema.

Teorema. Sejam f : E ⊂ R3 → R uma funcao integravel,

T : E∗ −→ E

(u, v, w) 7→ T (u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

uma aplicacao bijetiva e de classe C1 (isto e, com funcoes componentes com derivadas parciais de 1a ordem

contınuas) cujo Jacobiano, dado por

∂(x, y, z)

∂(u, v, w)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w

∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣nao se anula em E∗. Entao,∫∫∫

E


∫∫∫E∗f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)

) ∣∣∣∣ ∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

∣∣∣∣ du dv dw.

De particular importancia sao as mudancas de variavel para coordenadas cilındricas e para coordenadas

esfericas.

Coordenadas cilındricas

As coordenadas cilındricas de um ponto P de coordenadas cartesianas (x, y, z) sao (r, θ, z), onde (r, θ)

sao as coordenadas polares da projecao ortogonal de P sobre o plano XOY , e sao definidas por

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. (14)

Observacao. Notemos que a designacao de “coordenadas cilındricas” e motivada pelo facto de, sendo c

uma constante positiva, a equacao r = c representar um cilindro de raio c.

Notemos que a aplicacao definida por T (r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z) e injetiva em D∗ = {(r, θ, z) : r >

0, θ0 ≤ θ < θ0 + 2π, z ∈ R}, com θ0 constante, e tem Jacobiano

∂(x, y, z)

∂(r, θ, z)=

∣∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0

sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = r.


17

Corolario. Se f for uma funcao contınua numa regiao W de R3 definida em coordenadas cartesianas e

W ∗ for a correspondente regiao em coordenadas cilındricas, entao∫∫∫W


∫∫∫W∗

f(r cos θ, r sin θ, z) r dr dθ dz.

Exemplo. Usando integrais triplos, calcule o volume do solido limitado pelo cone z =√x2 + y2 e pelo

paraboloide z = x2 + y2.

Coordenadas esfericas

Se P e um ponto de coordenadas cartesianas (x, y, z), as suas coordenadas esfericas sao (ρ, θ, φ), onde

ρ e a distancia de P a origem, φ e o angulo em [0, π] definido pelo semi-eixo positivo OZ com o segmento

orientado OP e θ coincide com a coordenada cilındrica θ, isto e, e o angulo formado pelo semi-eixo positivo

OX e pelo segmento orientado OP ′, onde P ′ = (x, y, 0) e a projecao ortogonal de P sobre o plano XOY .

E claro que ρ =√x2 + y2 + z2. Por forma a representar as coordenadas cartesianas em termos das

coordenadas esfericas, notemos que

cosφ =z

ρe sinφ =

r

ρ,

sendo r a coordenada cilındrica r =√x2 + y2. Assim, z = ρ cosφ e, tendo em consideracao que x = r cos θ

e y = r sin θ, vem

x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ, (15)

onde ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π e 0 ≤ φ ≤ π.

Exemplos. Determine:

(a) as coordenadas esfericas do ponto (x, y, z) = (1,−1, 1);

(b) as coordenadas cartesianas de (ρ, θ, φ) = (1,3π

2,π

4).

Observemos que φ e θ funcionam com a latitude e longitude em coordenadas geograficas. As coorde-

nadas esfericas sao uteis no caso em que ha simetria relativamente a origem. Notemos que:

(i) para c > 0, a superfıcie esferica centrada na origem e de raio c e representada, em coordenadas

esfericas, simplesmente por ρ = c;

(ii) para c ∈ [0, 2π], a equacao θ = c representa um semi-plano vertical que faz um angulo de c radianos

com o semi-plano definido por y = 0 e x ≥ 0;

(iii) a equacao φ = c, representa parte de uma superfıcie conica que fica acima ou abaixo do plano XOY ,

consoante c ∈ (0, π/2) ou c ∈ (π/2, π), respetivamente.

Verificamos, de (15), que o Jacobiano da mudanca de variavel para coordenadas esfericas e

∂(x, y, z)

∂(ρ, θ, φ)=

∣∣∣∣∣∣∣sinφ cos θ −ρ sinφ sin θ ρ cosφ cos θ

sinφ sin θ ρ sinφ cos θ ρ cosφ sin θ

cosφ 0 −ρ sinφ

∣∣∣∣∣∣∣ = −ρ2 sinφ.


18

Corolario. Se f for uma funcao contınua numa regiao W de R3 definida em coordenadas cartesianas e

W ∗ for a correspondente regiao em coordenadas esfericas, entao∫∫∫W


∫∫∫W∗

f(ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ) ρ2 sinφ dρ dθ dφ.

Exemplo. Determine a massa do solido que ocupa a regiao

E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, z ≥ 0, z2 ≥ x2 + y2}

sabendo que a densidade e ρ(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2.

3 Integral curvilıneo

3.1 Generalidades sobre curvas

E intuitivo pensar que uma curva no plano ou no espaco pode ser considerada como a trajetoria de

uma partıcula movel que se desloca no plano ou no espaco durante um intervalo de tempo. Uma forma de

estudar tais trajetorias consiste em determinar as coordenadas de um ponto da curva em funcao de um

so parametro, como por exemplo, o tempo t. Podemos descrever tais curvas atraves de funcoes de R em

Rn, com n = 2 ou n = 3, consoante se tratem de curvas no plano ou no espaco. Esta descricao e chamada

forma parametrica da curva.

Iremos apresentar os conceitos para curvas no espaco. As respetivas nocoes para curvas no plano sao

analogas, com obvias e devidas adaptacoes.

Seja I um intervalo em R e seja

~r : I −→ R3

t 7−→ ~r(t) = r1(t)ı+ r2(t)+ r3(t)k(16)

uma funcao. Dizemos que ~r e contınua, diferenciavel ou de classe C1, se cada uma das funcoes componentes

ri : I → R, i = 1, 2, 3, for contınua, diferenciavel ou de classe C1, respetivamente. Supondo que ~r e

contınua e considerando fixado em R3 um referencial ortonormado OXY Z, quando t percorre o intervalo

I, a extremidade do vetor ~r(t), aplicado na origem, descreve uma curva, C, no espaco. Para simplificar a

linguagem, muitas vezes confundiremos o ponto P da curva tal que−−→OP = ~r(t) com o vetor ~r(t) aplicado

na origem e do qual P e a extremidade.

As equacoes

x = r1(t), y = r2(t), z = r3(t), t ∈ I,

dizem-se equacoes parametricas de C e ~r diz-se uma parametrizacao de C.

Se ~r for de classe C1, existe e e contınua

~r ′(t) = r′1(t)ı+ r′2(t)+ r′3(t)k, t ∈ I,

e teremos ‖~r ′(t)‖ =√

(r′1(t))2 + (r′2(t)2) + (r′3(t))2, t ∈ I. Neste caso diz-se que a curva C e de classe C1

ou suave. Se ~r ′(t) 6= ~0 para todo o t ∈ I, C diz-se regular.

No caso em que I = [a, b], diz-se que ~r(a) e o ponto inicial e ~r(b) o ponto final da curva. Se o ponto

inicial e o ponto final da curva coincidirem diz-se que a curva e fechada. A curva diz-se simples se nao


19

se intersetar a si mesma exceto eventualmente nas extremidades, mais precisamente, se ~r for injectiva em

]a, b[, o que significa que ~r(t1) 6= ~r(t2) para a < t1 < t2 < b.

Uma funcao contınua

~s : [c, d] −→ R3

u 7−→ ~s(u) = s1(u)ı+ s2(u)+ s3(u)k

e tambem uma parametrizacao da curva C se existir uma funcao bijetiva e contınua

ϕ : [a, b]→ [c, d] tal que ϕ(a) = c, ϕ(b) = d e ~r = ~s ◦ ϕ.

Notemos que neste curso uma curva no espaco nao sera vista meramente como um conjunto de pontos.

Uma curva tem um sentido especıfico, a que chamamos orientacao da curva, um ponto inicial e um ponto

final.

Exemplos.

(a) Seja C a curva plana de equacoes parametricas

x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π].

Interpretando t como a coordenada θ das coordenadas polares, verificamos que quando t aumenta de

0 a 2π, o ponto (x, y) = (cos t, sin t) move-se ao longo da circunferencia de equacao x2 + y2 = 1 no

sentido anti-horario partindo do ponto (1, 0). Trata-se de uma curva fechada simples.

As equacoes parametricas

x = cos(2t), y = sin(2t), t ∈ [0, π],

sao tambem equacoes parametricas de C, atendendo a que a funcao ϕ : [0, 2π] → [0, π] definida por

ϕ(t) = t/2 e bijetiva, contınua e verifica ϕ(0) = 0 e ϕ(2π) = π.

A curva de equacoes parametricas

x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 4π],

nao e C, porque neste caso a circunferencia x2 + y2 = 1 e percorrida duas vezes.

Tambem a curva de equacoes parametricas

x = sin t, y = cos t, t ∈ [0, 2π],

nao e C, porque esta curva tem ponto inicial (0, 1) e o ponto inicial de C e (1, 0).

(b) A reta, em R3, que passa pelo ponto (x0, y0, z0) e e paralela ao vetor nao nulo ~v = v1 ı+ v2+ v3k tem

equacoes parametricas

x = x0 + tv1, y = y0 + tv2, z = z0 + tv3, t ∈ R.

(c) Sendo A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) dois pontos distintos em R3, uma parametrizacao do segmento

de reta de A para B e dada por

~r(t) = (a1 + t(b1 − a1))ı+ (a2 + t(b2 − a2))+ (a3 + t(b3 − a3))k, t ∈ [0, 1].

(d) Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua. O grafico de f e uma curva plana de equacao cartesiana

y = f(x), x ∈ [a, b], que podemos representar atraves das equacoes parametricas

x = t, y = f(t), t ∈ [a, b].


20

3.2 Integral curvilıneo de funcoes escalares

Seja C uma curva no espaco, suave e regular, parametrizada por

~r(t) = x(t)ı+ y(t)+ z(t)k, t ∈ [a, b], (17)

e seja f uma funcao real de tres variaveis reais cujo domınio inclui a curva C. Usando somas semelhantes

as somas de Riemann e possıvel definir o integral curvilıneo de f sobre C. Prova-se que, se f for contınua

entao e integravel e o integral pode ser calculado pela formula que a seguir se indica, que tomaremos como

definicao.

Definicao. Se f : D ⊂ R3 → R e uma funcao contınua cujo domınio contem a curva C, entao o integral

curvilıneo de f sobre C e dado por∫C

f(x, y, z) ds =

∫ b

a

f(~r(t)) ‖~r ′(t)‖ dt =

∫ b

a

f(x(t), y(t), z(t))

√(x′(t))

2+ (y′(t))

2+ (z′(t))

2dt.

Observacoes.

(i) E possıvel provar que o valor do integral curvilıneo nao depende da parametrizacao da curva que se

considere.

(ii) Se f(x, y, z) = 1, entao

L =

∫C

ds =

∫ b

a

√(x′(t))

2+ (y′(t))

2+ (z′(t))

2dt =

∫ b

a

‖~r ′(t)‖ dt

representa o comprimento da curva C.

(iii) Com a adaptacao natural, o que foi dito anteriormente tambem se verifica para curvas planas.

Exemplo. Calcule

∫C

x sin z ds, onde C e a helice cilındrica de equacoes parametricas

x = cos t, y = sin t, z = t, t ∈ [0, 3π].

Suponhamos agora que C e uma curva seccionalmente de classe C1 e regular, ou seja, C consiste na

justaposicao de um numero finito de curvas de classe C1 e regulares C1, C2, . . . , Cn, onde o ponto inicial

de Ci+1 e o ponto final de Ci para i = 1, · · ·n− 1. Nestas condicoes usamos a notacao C = C1 + · · ·+Cn

e definimos o integral curvilıneo de f ao longo de C como a soma dos integrais curvilıneos de f ao longo

de cada uma das curvas Ci: ∫C

f(x, y, z) ds =

n∑i=1

∫Ci

f(x, y, z) ds.

Exemplo. Calcule

∫C

x ds, onde C = C1 +C2, sendo C1 o arco da parabola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) e C2

o segmento de reta de (1, 1) para (0, 0).


21

Observacao. Tal como no caso dos integrais simples, podemos interpretar o integral curvilıneo de uma

funcao positiva como uma area. De facto, se f(x, y) ≥ 0 entao∫Cf(x, y) ds representa a area da superfıcie

que se eleva desde a base descrita pela curva C e cuja altura no ponto (x, y) e f(x, y). Tanto no caso de

curvas planas como curvas espaciais, simples, o integral curvilıneo pode ser interpretado como a massa de

um filamento que ocupa a posicao da curva e que tenha densidade dada por f .

Vamos verificar em seguida que o integral curvilıneo de uma funcao escalar nao depende da orientacao

da curva.

Dada uma curva C, designa-se por −C a curva constituıda pelos mesmos pontos que C mas percorrida

em sentido contrario.

Proposicao. Seja C uma curva de classe C1 e regular e seja f uma funcao real contınua cujo domınio

contem a curva C. Entao ∫−C

f(x, y, z) ds =

∫C

f(x, y, z) ds.

Demonstracao. Se ~r dada por

~r(t) = x(t)ı+ y(t)+ z(t)k, t ∈ [a, b], (18)

for uma parametrizacao de C, entao

~s(u) = ~r(a+ b− u), t ∈ [a, b], (19)

e uma parametrizacao de −C. Temos∫−C

f(x, y, z) ds =

∫ b

a

f(~s(u)) ‖~s ′(u)‖ du =

∫ b

a

f(~r(a+ b− u)) ‖ − ~r ′(a+ b− u)‖ du

e, efetuando a mudanca de variavel t = a+ b− u,∫−C

f(x, y, z) ds =

∫ a

b

f(~r(t)) ‖~r ′(t)‖ − dt =

∫ b

a

f(~r(t)) ‖~r ′(t)‖ dt =

∫C

f(x, y, z) ds.

3.3 Integral curvilıneo de campos vetoriais

Um campo vetorial (ou campo de vetores) em R2 e uma funcao ~F : D ⊂ R2 → R2, que a cada ponto

(x, y) de D faz corresponder um vetor de R2

~F (x, y) = M(x, y)ı+N(x, y),

sendo as funcoes (reais de duas variaveis reais) M e N designadas por funcoes componentes de ~F .

Um campo vetorial (ou campo de vetores) em R3 e uma funcao ~F : E ⊂ R3 → R3, que a cada ponto

(x, y, z) de E faz corresponder um vetor de R3

~F (x, y, z) = M(x, y, z)ı+N(x, y, z)+ P (x, y, z)k,

sendo as funcoes (reais de tres variaveis reais) M , N e P designadas por funcoes componentes de ~F .


22

Diz-se que um campo de vetores e contınuo se as suas funcoes componentes forem contınuas e diz-se

de classe C1 se as suas funcoes componentes forem de classe C1.

Existem inumeras situacoes da Fısica que envolvem o estudo de campos de vetores. Por exemplo,

quando um fluido se desloca numa corrente, a funcao que a cada partıcula do fluido associa o seu vetor

velocidade, e um campo de vetores, dito campo de velocidades.

O exemplo seguinte envolve nocoes estudadas em Analise Matematica II. Seja f uma funcao real de duas

(respetivamente tres) variaveis reais. A aplicacao ∇f que a cada ponto (x, y) (respetivamente (x, y, z))

do domınio de f faz corresponder o vetor ∇f(x, y) = fx(x, y)ı + fy(x, y) (respetivamente ∇f(x, y, z) =

fx(x, y, z)ı + fy(x, y, z) + fz(x, y, z)k) e um campo de vetores em R2 (respetivamente R3) a que se da o

nome de campo de vetores gradiente.

O campo de vetores gradiente esta na origem da nocao de campo de vetores conservativo. Um campo

de vetores ~F (em R2 ou em R3) diz-se conservativo se existir uma funcao real f tal que

~F = ∇f. (20)

Toda a funcao f que verifica (20) diz-se um potencial para ~F .

Exemplo. O campo de vetores definido em R2 por ~F (x, y) = 2xı+2y, e um campo vetorial conservativo.

Seja C uma curva de R3, de classe C1 e regular, que admite uma parametrizacao ~r dada por

~r(t) = x(t)ı+ y(t)+ z(t)k, t ∈ [a, b], (21)

e seja um campo vetorial contınuo cujo domınio E contem a curva C.

Definicao. O integral curvilıneo de ~F ao longo de C e dado por∫C

~F · d~r =

∫ b

a

~F (~r(t)) · ~r ′(t) dt.

Aparentemente esta definicao de integral curvilıneo depende nao apenas do campo de vetores ~F mas

tambem da parametrizacao considerada para a curva; pode, no entanto, provar-se que este nao depende

da parametrizacao considerada.

Se o campo vetorial ~F for dado por

~F : E ⊂ R3 → R3

(x, y, z) 7→ M(x, y, z)ı+N(x, y, z)+ P (x, y, z)k

entao ∫C

~F · d~r =

∫ b

a

~F (~r(t)) · ~r ′(t) dt

=

∫ b

a

[M(x(t), y(t), z(t)

)x′(t) +N

(x(t), y(t), z(t)

)y′(t) + P

(x(t), y(t), z(t)

)z′(t)

]dt.

Por isso e tambem comum designar-se o integral curvilıneo de ~F ao longo de C por∫C

~F · d~r =

∫C

M dx+N dy + P dz.


23

Exemplos.

(a) Calcule

∫C

~F ·d~r, onde ~F (x, y, z) = (x+y)ı+y2+(x2+z)k e C e o segmento de reta de A = (−1, 0, 0)

para B = (2, 1, 1).

(b) Calcule

∫C

cos z dx+ ex dy + ey dz, onde C e a curva definida por

x = 1, y = t, z = et, t ∈ [0, 2].

Veremos agora a interpretacao fısica do integral curvilıneo de um campo de vetores como o trabalho de

um campo de forcas. Seja ~F uma forca constante. O trabalho realizado por ~F ao deslocar uma partıcula

de um ponto P para um ponto Q segundo uma trajetoria retilınea e W = ~F ·−−→PQ. Em geral, podendo a

forca nao ser constante, tem-se o seguinte:

Definicao. O trabalho realizado pelo campo de forcas contınuo ~F para deslocar uma partıcula ao longo

da curva C e dado pelo integral curvilıneo de ~F ao longo de C,

W =

∫C

~F · d~r.

Exemplo. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forcas

~F (x, y, z) = −xı− y+ 2k

sobre uma partıcula que se move ao longo de uma helice dada por

~r(t) = cos tı+ sin t+ tk, t ∈ [0, 3π].

Vamos verificar em seguida que o integral curvilıneo de um campo vetorial depende do sentido em que

a curva e percorrida, contrariamente ao caso do integral curvilıneo de uma funcao escalar.

Proposicao. Seja C uma curva de classe C1 e regular e seja ~F um campo vetorial contınuo numa regiao

de R3 que contem C. Entao ∫−C

~F · d~r = −∫C

~F · d~r.

Demonstracao. Como vimos anteriormente, se

~r(t) = x(t)ı+ y(t)+ z(t)k, t ∈ [a, b], (22)

for uma parametrizacao de C, entao

~s(u) = ~r(a+ b− u), t ∈ [a, b], (23)

e uma parametrizacao de −C. Temos∫−C

~F · d~r =

∫ b

a

~F (~s(u)) · ~s ′(u) du =

∫ b

a

−~F (~r(a+ b− u)) · ~r ′(a+ b− u) du


24

e, efetuando a mudanca de variavel t = a+ b− u,∫−C

~F · d~r = −∫ a

b

~F (~r(t)) · ~r ′(t) − dt = −∫ b

a

~F (~r(t)) · ~r ′(t) dt = −∫C

~F · d~r.

Podemos estender a definicao de integral curvilıneo de um campo vetorial a curvas seccionalmente de

classe C1 e regulares. Se C = C1 + C2 + · · · + Cn, com C1, C2, · · · , Cn, curvas de classe C1 e regulares,

onde o ponto inicial de Ci+1 e o ponto terminal de Ci, i = 1, · · · , n− 1, e ~F e um campo vetorial contınuo

numa regiao de R3 que contem C, entao define-se∫C

~F · d~r =

n∑i=1

∫Ci

~F · d~r.

Exemplo. Calcule

∫C

x dx + y dy, sendo C a curva fechada constituıda pelo arco da circunferencia

(x − 1)2 + y2 = 1 de O = (0, 0) para A = (1, 1), no sentido horario, seguido dos segmentos de reta de A

para B = (2, 0) e de B para O.

3.4 Campos vetoriais conservativos e independencia do caminho

Consideremos de seguida um resultado util para o calculo de certos integrais curvilıneos. Recordemos

que um campo vetorial diz-se conservativo se for um campo de vetores gradiente. Em particular, no caso

de um campo vetorial em R3, ~F : E ⊂ R3 → R3 diz-se conservativo se existir uma funcao real de tres

variaveis reais f tal que ~F = ∇f , isto e,

~F (x, y, z) =∂f

∂x(x, y, z)ı+

∂f

∂y(x, y, z)+

∂f

∂z(x, y, z)k, (x, y, z) ∈ E.

O teorema fundamental do calculo, dado em Analise Matematica I, diz-nos que, se g e G forem funcoes

reais contınuas definidas num intervalo [a, b], em que g e derivavel em (a, b) com g′ = G, entao∫ b

a

G(x) dx = g(b)− g(a).

Assim o valor do integral de G em [a, b] depende somente do valor de g nas extremidades do intervalo

[a, b]. Este resultado e generalizado para integrais curvilıneos, de acordo com o seguinte teorema.

Teorema fundamental do calculo para integrais curvilıneos. Seja ~F um campo vetorial (em R2 ou

em R3) contınuo e conservativo definido num aberto E. Seja C uma curva contida em E, seccionalmente

de classe C1 e regular, que tem ponto inicial A e ponto final B. Se f for um potencial para ~F , isto e, se~F = ∇f , entao ∫

C

~F · d~r = f(B)− f(A).

Demonstracao. Suponhamos que ~F e um campo vetorial em R3, nas condicoes do enunciado.

Facamos primeiro a demonstracao para o caso de C ser uma curva de classe C1 e regular. Seja

~r(t) = x(t)ı+ y(t)+ z(t)k, t ∈ [a, b],


25

uma parametrizacao de C; funcao de classe C1 e tal que ~r ′(t) 6= ~0, t ∈ [a, b]. Temos∫C

~F · d~r =

∫ b

a

~F (~r(t)) · ~r ′(t) dt =

∫ b

a

∇f(~r(t)) · ~r ′(t) dt

=

∫ b

a

(∂f

∂x(~r(t))

dx

dt(t) +

∂f

∂y(~r(t))

dy

dt(t) +

∂f

∂z(~r(t))

dz

dt(t)

)dt

=

∫ b

a

d

dt

[f(~r(t))

]dt = f (~r(b))− f(~r(a)) = f(B)− f(A).

Usamos a regra da cadeia (consequencia de f ser de classe C1 e, portanto, diferenciavel) e o teorema

fundamental do calculo para integrais simples.

Suponhamos agora que C = C1 + C2 + · · · + Cn, onde cada Ci e uma curva de classe C1 e regular

com ponto inicial Ai e ponto final Bi, para i = 1, · · · , n. Entao Ai+1 = Bi, i = 1, · · · , n − 1, A1 = ~r(a),

Bn = ~r(b) e∫C

~F · d~r =

n∑j=1

∫Cj

~F · d~r =

n∑j=1

f(Bi)− f(Ai)

=(f(A2)− f(A1)

)+(f(A3)− f(A2)

)+ · · ·+

(f(An)− f(An−1)

)+(f(Bn)− f(An)

)= f(Bn)− f(A1) = f(B)− f(A).

O teorema anterior estabelece uma forma simples de calcular o integral curvilıneo ao longo de uma

curva seccionalmente de classe C1 e regular de um campo conservativo contınuo a partir do conhecimento

de uma funcao potencial.

Exemplo. Calcule

∫C

y dx+ x dy, onde C e a curva de equacoes parametricas

x = et cos(2πt), y = cos(πt), t ∈ [0, 1].

Observacao. Sejam C1 e C2 curvas seccionalmente de classe C1 e regulares que unem os mesmos pontos

A e B. Em geral, apesar das duas curvas terem o mesmo ponto inicial e o mesmo ponto final, os integrais

curvilıneos de um mesmo campo de vetores ~F ao londo de C1 e de C2 tem valores diferentes:∫C1

~F · d~r 6=∫C2

~F · d~r.

O teorema anterior diz-nos que o integral curvilıneo de um campo vetorial conservativo contınuo e inde-

pendente da curva (ou do caminho), isto e,∫C1

~F · d~r =

∫C2

~F · d~r (24)

para quaisquer curvas seccionalmente de classe C1 e regulares C1 e C2 que tenham o mesmo ponto inicial

e o mesmo ponto final.

Usualmente, quando C e uma curva fechada o integral curvilıneo de um campo de vetores ~F ao longo

de C e representado por ∮C

~F · d~r.


26

O teorema seguinte da-nos uma condicao necessaria e suficiente para que o integral curvilıneo de um

campo de vetores contınuo seja independente do caminho.

Teorema da independencia do caminho. Seja ~F um campo de vetores (em R2 ou em R3) contınuo

definido num aberto E. O integral curvilıneo de ~F e independente do caminho em E se e so se∮C

~F · d~r = 0

para toda a curva C, fechada, seccionalmente de classe C1 e regular contida em E.

Demonstracao. Suponhamos que

∫C

~F ·d~r e independente do caminho em E e seja C uma curva fechada,

seccionalmente de classe C1 e regular, contida em E. E possıvel representar C na forma C = C1 + C2,

sendo C1 uma curva que vai de um ponto A para um ponto B e C2 uma curva que vai de B para A. Entao∮C

~F · d~r =

∫C1

~F · d~r +

∫C2

~F · d~r =

∫C1

~F · d~r −∫−C2

~F · d~r = 0,

onde na ultima igualdade se usou o facto de C1 e −C2 serem duas curvas que vao de A para B e a hipotese

de que o integral curvilıneo e independente do caminho.

Suponhamos agora que se tem

∮C

~F · d~r = 0 para toda a curva fechada, seccionalmente de classe

C1 e regular, contida em E. Sejam A e B dois quaisquer pontos em E e sejam C1 e C2 duas curvas

seccionalmente de classe C1 e regulares, contidas em E, com ponto inicial A e ponto final B. Consideremos

a curva C consistindo de C1 seguida de −C2, isto e, C = C1 + (−C2). A curva C e fechada, pelo que

0 =

∮C

~F · d~r =

∫C1

~F · d~r +

∫−C2

~F · d~r =

∫C1

~F · d~r −∫C2

~F · d~r.

Portanto, ∫C1

~F · d~r =

∫C2

~F · d~r.

Como vimos o integral curvilıneo de um campo de vetores conservativo ~F e independente do caminho e,

pelo teorema anterior, conluımos que

∮C

~F ·d~r = 0, para toda a curva fechada C, seccionalmente de classe

C1 e regular, contida no domınio de ~F . A interpretacao fısica para este facto e que o trabalho realizado

por qualquer campo de forcas conservativo (tal como o campo gravitacional ou o campo electrico) para

mover um objeto em redor de um caminho fechado e 0.

Na proposicao seguinte consideramos um campo de vetores ~F cujo domınio E, alem de ser um aberto,

e conexo, o que e equivalente a dizer que quaisquer dois pontos de E podem ser unidos por uma curva em

E.

Proposicao 1. Seja ~F um campo de vetores (em R2 ou em R3) contınuo, definido num conjunto aberto

e conexo E, tal que o integral curvilıneo de ~F e independente do caminho em E. Entao ~F e um campo

vetorial conservativo, ou seja, ~F = ∇f para alguma funcao f .


27

Demonstracao. Facamos a demonstracao para o caso em que ~F e um campo de vetores em R2. Seja

~F (x, y) = M(x, y)ı+N(x, y), (x, y) ∈ E.

Fixemos um ponto A = (a1, a2) em E. Dado (x, y) ∈ E, pelo facto de E ser conexo, existe uma curva C

contida em E com ponto inicial A e ponto final (x, y). Definimos

f(x, y) =

∫C

~F · d~r.

Notemos que, dada a hipotese do integral curvilıneo de ~F ser independente do caminho em E, a funcao

f esta bem definida e f(x, y) pode ser calculado usando qualquer curva em E de (a1, a2) para (x, y).

Atendendo a que E e aberto, existe uma bola centrada em (x, y) contida em E. Escolhamos um ponto

(x1, y) nessa bola com x1 < x e consideremos a curva C = C1 + C2, onde C1 e o segmento de reta de A

para (x1, y) e C2 e o segmento de reta de (x1, y) para (x, y). Entao

f(x, y) =

∫C

~F · d~r =

∫C1

~F · d~r +

∫C2

~F · d~r =

∫C1

~F · d~r +

∫ x

x1

M(t, y) dt, (25)

onde a ultima igualdade resulta do facto de C2 poder ser parametrizada por

~r2(t) = tı+ y, t ∈ [x1, x].

Tendo em conta que a primeira parcela no segundo membro de (25) nao depende de x, resulta

∂f

∂x(x, y) =

∂

∂x

∫C1

~F · d~r +∂

∂x

∫ x

x1

M(t, y) dt = M(x, y).

Escolhendo agora um ponto (x, y1) ∈ E com y1 < y e tomando C = C3 + C4, onde C3 e o segmento de

reta de A para (x, y1) e C4 e o segmento de reta de (x, y1) para (x, y), temos

f(x, y) =

∫C

~F · d~r =

∫C3

~F · d~r +

∫C4

~F · d~r =

∫C3

~F · d~r +

∫ y

y1

N(x, t) dt,

pelo que∂f

∂y(x, y) =

∂

∂y

∫C3

~F · d~r +∂

∂y

∫ y

y1

N(x, t) dt = N(x, y).

Assim,

~F (x, y) = M(x, y)ı+N(x, y) =∂f

∂x(x, y)ı+

∂f

∂y(x, y) = ∇f(x, y), (x, y) ∈ E,

e, portanto, ~F e conservativo.

Uma questao permanece: como saber se um dado campo vetorial e ou nao conservativo?

Suponhamos que ~F e um campo vetorial conservativo num aberto D de R2, dado por

~F (x, y) = M(x, y)ı+N(x, y), (x, y) ∈ D,

e que M e N tem derivadas parciais de primeira ordem contınuas em D. Sendo ~F conservativo, ~F = ∇f ,

ou seja

M(x, y) =∂f

∂x(x, y) e N(x, y) =

∂f

∂y(x, y), (x, y) ∈ D.

Segue-se, por aplicacao do teorema de Clairaut,

∂M

∂y(x, y) =

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) =

∂N

∂x(x, y), (x, y) ∈ D.


28

Provamos assim a seguinte proposicao.

Proposicao 2. Seja ~F (x, y) = M(x, y)ı+N(x, y), um campo vetorial de classe C1 num aberto D ⊂ R2.

Se ~F for conservativo entao

∂M

∂y(x, y) =

∂N

∂x(x, y) para todo o (x, y) ∈ D. (26)

O resultado anterior da-nos um criterio que nos permite concluir que dado campo de vetores nao e

conservativo. Um resultado recıproco do exposto na Proposicao 2, somente valido para determinado tipo

de regioes, sera consequencia do Teorema de Green que apresentamos na seccao seguinte. Em geral a

igualdade em (26) nao e suficiente para que o campo vetorial seja conservativo, ou seja, pode acontecer

que (26) seja satisfeito sem que ~F seja conservativo, como e o caso do campo de vetores definido em

R2 \ {(0, 0)} por~F (x, y) = − y

x2 + y2ı+

x

x2 + y2. (27)

Exemplos.

(a) Averigue se o campo de vetores ~F (x, y) = ey ı+ (2− x) e conservativo.

(b) Mostre que o campo de vetores definido em (27) satisfaz (26) e que, no entanto, nao e conservativo.

Sugestao: Calcule o integral curvilıneo de ~F ao longo da circunferencia x2 + y2 = 1.

3.5 Teorema de Green

O Teorema de Green relaciona o integral curvilıneo de um campo de vetores em R2 ao longo de curvas

em R2 e integrais duplos sobre regioes em R2. Tais curvas e regioes do plano nao podem porem ser

quaisquer.

Recordemos que uma curva C diz-se simples se nao se intersetar a si mesma, com eventual excecao

das extremidades. Isto e, se ~r : [a, b]→ R2 for uma parametrizacao de uma curva simples C, ~r(t1) 6= ~r(t2)

para a < t1 < t2 < b.

Seja C uma curva do plano, simples e fechada. Seja D a regiao do plano delimitada pela curva C,

isto e, D e a regiao do plano constituıda pelos pontos de C e pelos pontos que C circunda. Diz-se que

a curva tem orientacao positiva se, para um observador que se desloque ao longo de C, a regiao D se

apresente sempre a sua esquerda. Assim a orientacao positiva coincide, neste caso, com a orientacao no

sentido anti-horario.

Teorema de Green. Seja C uma curva simples, fechada, seccionalmente de classe C1 e regular, orientada

positivamente. Seja D a regiao do plano delimitada pela curva C. Seja

~F (x, y) = M(x, y)ı+N(x, y)

um campo de vetores em R2 de classe C1 num aberto contendo D. Entao∮C

~F · d~r ≡∮C

M dx+N dy =

∫∫D

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)dA.


29

Demonstracao. Vamos apresentar a demonstracao para o caso em que a regiao D e simples, isto e,

simultaneamente verticalmente simples e horizontalmente simples. O resultado pretendido ficara provado

se verificarmos que ∮C

M dx = −∫∫D

∂M

∂ydA e

∮C

N dy =

∫∫D

∂N

∂xdA. (28)

Para provarmos a primeira igualdade vamos tirar partido do facto da regiao D ser verticalmente simples

e, portanto, poder ser representada na forma

D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)},

onde g1, g2 : [a, b]→ R sao funcoes contınuas. Calculando o integral duplo, temos∫∫D

∂M

∂ydA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∂M

∂y(x, y) dy dx =

∫ b

a

M(x, g2(x))−M(x, g1(x)) dx. (29)

Para calcular o integral curvilıneo, decompomos a curva C como a justaposicao de quatro curvas,

C = C1 + C2 + C3 + C4,

tais que: C1 e a curva parametrizada por

x = t, y = g1(t), t ∈ [a, b],

C2 e parametrizada por

x = b, y = t, t ∈ [g1(b), g2(b)],

−C3 e parametrizada por

x = t, y = g2(t), t ∈ [a, b],

e −C4 e parametrizada por

x = a, y = t, t ∈ [g1(a), g2(a)].

Temos sucessivamente,∮C

M dx =

∫C1

M(x, y) dx+

∫C2

M(x, y) dx−∫−C3

M(x, y) dx−∫−C4

M(x, y) dx

=

∫ b

a

M(t, g1(t)) dt−∫ b

a

M(t, g2(t)) dt =

∫ b

a

M(t, g1(t))−M(t, g2(t)) dt, (30)

sendo a penultima igualdade justificada pelo facto dos integrais curvilıneos ao longo de C2 e de −C3 serem

ambos nulos, ja que para as respetivas parametrizacoes se verifica x′(t) = 0. De (29) e (30), concluımos

entao que ∮C

M dx = −∫∫D

∂M

∂ydA.

A segunda igualdade em (28) pode ser provada de forma analoga, representando D como uma regiao

horizontalmente simples.

Exemplos.

(a) Calcule

∮C

y3 dx + (x3 + 3xy2) dy, onde C e a curva de (0, 0) para (1, 1) ao longo de y = x3 seguida

da curva de (1, 1) para (0, 0) ao longo de x = y.


30

(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forcas ~F (x, y) = xı + xy ao deslocar uma partıcula do

ponto (0, 0) ate ao mesmo ponto, ao longo da fronteira do retangulo R = [0, 2] × [0, 1], orientada no

sentido horario.

Nos exemplos anteriores torna-se mais facil calcular o integral duplo que o integral curvilıneo (tente cal-

cular o integral curvilıneo diretamente!...). Noutros casos pode ser mais facil calcular o integral curvilıneo,

casos esses em que devemos usar o Teorema de Green na ordem inversa. Por exemplo, se soubermos que

M(x, y) = 0 = N(x, y) na curva C, entao∫∫D

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)dx dy =

∫C

M dx+N dy = 0

independentemente dos valores que M e N tomam em D.

Outra aplicacao do Teorema de Green e ao calculo de areas. Sabemos que a area de uma regiao D e∫∫D

1 dA, devemos assim escolher M e N de modo que

∂N

∂x− ∂M

∂y= 1.

Existem varias possibilidades, nomeadamente,

M(x, y) = 0 e N(x, y) = x, ou M(x, y) = −y e N(x, y) = 0, ou M(x, y) = −y2

e N(x, y) =x

2,

que dao origem as seguintes formulas para a area de D.

Aplicacao do integral curvılineo ao calculo de uma area. Se D e uma regiao do plano limitada

por uma curva fechada simples C, seccionalmente de classe C1 e regular, orientada positivamente, entao

a area de D e dada por

A(D) =

∮C

x dy = −∮C

y dx =1

2

∮C

x dy − y dx.

Exemplo. Use um integral curvilıneo para determinar a area da elipsex2

a2+y2

b2= 1.

Como consequencia do teorema de Green, temos o seguinte resultado, recıproco da Proposicao 2.

Proposicao 3. Seja ~F (x, y) = M(x, y)ı + N(x, y) um campo vetorial definido numa regiao D de

R2, aberta e simplesmente conexa (isto e, conexa e, alem disso, qualquer curva fechada contida em D,

circunda apenas pontos de D). Se ~F for de classe C1 e∂M

∂y=∂N

∂xem D, entao ~F e conservativo.

Demonstracao. Sejam C uma qualquer curva em D, simples, fechada, de classe C1 e regular, com

orientacao positiva; e seja D′ a regiao delimitada por C. Pelo Teorema de Green∮C

~F · d~r =

∮C

M dx+N dy =

∫∫D′

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)dx dy = 0,


31

uma vez que∂M

∂y=∂N

∂xem D ⊃ D′. Temos entao que

∫C

~F · d~r = 0, para toda a curva simples, fechada,

seccionalmente de classe C1 e regular em D.

Se considerarmos uma curva fechada que nao seja simples, esta e sempre susceptıvel de ser decomposta

em curvas simples fechadas Ci, i = 1, · · · , n. Uma vez que o integral curvilıneo ao longo de cada uma das

curvas Ci e zero, temos que

∮C

~F · d~r =

n∑i=1

∮Ci

~F · d~r = 0, para toda a curva fechada C em D.

Entao, pelo Teorema da independencia do caminho,

∫C

~F · d~r e independente do caminho em D.

Finalmente a Proposicao 1 garante-nos que o campo de vetores ~F e conservativo.

Para campos vetoriais definidos em todo o R2 (aberto e simplesmente conexo), dos resultados apre-

sentados, obtemos a seguinte caracterizacao.

Corolario. Seja ~F : R2 → R2, com ~F (x, y) = M(x, y)ı+N(x, y), um campo de vetores de classe C1. As

seguintes condicoes sobre ~F sao equivalentes.

(i)

∮C

~F · d~r = 0, para toda a curva C, fechada, seccionalmente de classe C1 e regular.

(ii)

∫C1

~F · d~r =

∫C2

~F · d~r, para quaisquer curvas seccionalmente de classe C1 e regulares, C1 e C2, que

tenham o mesmo ponto inicial e o mesmo ponto final.

(iii) ~F e conservativo; isto e, ~F = ∇f para alguma funcao f : R2 → R.

(iv)∂N

∂x(x, y) =

∂M

∂y(x, y), para todo o (x, y) ∈ R2.

Exemplo. Considere o campo de vetores de R2 definido por ~F (x, y) = (2xy3 + y)ı+ (3x2y2 + x).

(a) Justifique que ~F e conservativo e determine um potencial para ~F .

(b) Calcule

∫C

~F · d~r, onde C e a curva parametrizada por ~r(t) = (sin t+ t)ı+ cos t, t ∈ [0, π].

4 Integral de superfıcie

4.1 Superfıcies parametrizadas

Em termos de superfıcies, ate este momento trabalhamos com superfıcies que sao o grafico de funcoes

reais de duas variaveis reais, como as que sao representadas por uma equacao do tipo z = f(x, y), ou com

superfıcies quadricas. Neste ultimo caso, nem sempre e globalmente possıvel escrever uma das variaveis

em funcao das restantes. O mesmo acontece com outras superfıcies, como por exemplo o torus, que nao

sao o grafico de uma funcao real de duas variaveis reais.

Existe um metodo para descrever uma superfıcie, e de um modo explıcito, que e o uso de equacoes pa-

rametricas ou vetoriais. De modo semelhante a descricao de curvas espaciais por uma funcao vetorial ~r(t),

de um unico parametro t, podemos descrever uma superfıcie por uma funcao vetorial de dois parametros

u e v.


32

Seja ~r : D ⊂ R2 → R3 uma funcao vetorial, definida e contınua num conjunto conexo e aberto de R2

~r(u, v) = x(u, v)ı+ y(u, v)+ z(u, v)k, (u, v) ∈ D.

Designa-se por superfıcie o conjunto dos pontos de R3 que constituem o contradomınio de ~r, isto e, os

pontos (x, y, z) ∈ R3 tais que

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D. (31)

As equacoes (31) sao as chamadas equacoes parametricas da superfıcie. Se a partir de (31) procedermos

a eliminacao dos parametros u e v, a equacao em x, y e z assim obtida designa-se por equacao cartesiana

da superfıcie: F (x, y, z) = 0.

Exemplos.

(a) Seja S a superfıcie parametrizada definida por

~r(u, v) = 3 cosuı+ 3 sinu+ vk, u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, 4].

Cada ponto (x, y, z) da superfıcie satisfaz x2 + y2 = 32 e z = v ∈ [0, 4]; assim, S e a porcao do cilindro

elıptico x2 + y2 = 32 compreendida entre os planos z = 0 e z = 4.

(b) Determinemos uma representacao parametrica da superfıcie esferica

x2 + y2 + z2 = a2.

A superfıcie esferica tem uma representacao simples em termos de coordenadas esfericas: ρ = a.

Vamos assim escolher os angulos φ e θ como parametros. Tomando ρ = a nas equacoes para conversao

de coordenadas esfericas para coordenadas cartesianas, obtemos

x = a sinφ cos θ, y = a sinφ sin θ, z = a cosφ

como equacoes parametricas da esfera. A equacao vetorial correspondente e

~r(φ, θ) = a sinφ cos θ ı+ a sinφ sin θ + a cosφ k, φ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π].

(c) Consideremos o plano que passa pelos pontos P1 = (1, 0, 0), P2 = (0, 2, 0) e P3 = (1, 2, 3). Sendo nao

colineares, existe um unico plano contendo estes pontos, de equacao vetorial

(x, y, z) = (1, 0, 0) + t(−1, 2, 0) + s(0, 2, 3), t, s ∈ R.

De onde se obtem as respetivas equacoes parametricas:x = 1− ty = 2t+ 2s

z = 3s

t, s ∈ R.

Neste caso, a funcao vetorial correspondente e

~r(u, v) = (1− u)ı+ (2u+ 2v)+ 3vk, u, v ∈ R.

(d) Uma superfıcie que seja o grafico de uma funcao f : D ⊂ R2 → R, ou seja, com equacao da forma

z = f(x, y), pode ser representada pelas seguintes equacoes parametricas

x = x, y = y, z = f(x, y), (x, y) ∈ D.

A representacao vetorial correspondente e

~r(u, v) = uı+ v+ f(u, v)k, (u, v) ∈ D.


33

Seja S uma superfıcie parametrizada por

~r(u, v) = x(u, v)ı+ y(u, v)+ z(u, v)k,

definida sobre uma regiao aberta e conexa D, tal que x, y e z tenham derivadas parciais contınuas em D.

As derivadas parciais de ~r em ordem a u e a v sao definidas por

~ru(u, v) =∂x

∂u(u, v)ı+

∂y

∂u(u, v)+

∂z

∂u(u, v)k

e

~rv(u, v) =∂x

∂v(u, v)ı+

∂y

∂v(u, v)+

∂z

∂v(u, v)k.

Se o vetor ~ru×~rv for nao nulo para todo o (u, v) ∈ D, a superfıcie S e dita regular. Informalmente, dizemos

que uma superfıcie e regular se nao apresenta regioes pontiagudas. Esferas, elipsoides, paraboloides sao

exemplos de superfıcies regulares, enquanto o cone nao e uma superfıcie regular. Para uma superfıcie

regular S, o plano tangente a S em P0 = (x(u0, v0) y(u0, v0), z(u0, v0)) e o plano que contem P0 e e

perpendicular ao vetor ~ru(u0, v0)× ~rv(u0, v0).

Exemplo. Determine o plano tangente a superfıcie parametrizada por

~r(u, v) = v cosuı+ v sinu+1

v2k, 0 ≤ u ≤ 2π, v > 0,

no ponto (√22 ,√22 , 1).

4.2 Integral de superfıcie de uma funcao escalar

Seja S uma superfıcie regular parametrizada por

~r(u, v) = x(u, v)ı+ y(u, v)+ z(u, v)k, (u, v) ∈ D.

Definicao. Seja f uma funcao real contınua definida em S. O integral de superfıcie de f sobre S e dado

por ∫∫S

f(x, y, z) dS =

∫∫D

f(~r(u, v)) ‖~ru × ~rv‖ dA. (32)

Observacoes.

(i) Comparemos a formula (32) com a formula obtida para o integral curvilıneo, nomeadamente∫C

f(x, y, z) ds =

∫ b

a

f(~r(t)) ‖~r′(t)‖ dt.

(ii) Se a cada ponto da superfıcie S corresponde um unico ponto em D, entao a area da superfıcie S e

dada por

Area da superfıcie =

∫∫S

1 dS =

∫∫D

‖~ru × ~rv‖ dA.


34

(iii) Consideremos o caso particular em que S e o grafico de uma funcao real de duas variaveis reais.

Suponhamos que S tem equacao z = g(x, y), (x, y) ∈ D, com g, gx e gy contınuas em D. Recordemos

– cf. o exemplo (d) – que uma parametrizacao de S e

~r(x, y) = xı+ y+ g(x, y)k, (x, y) ∈ D.

Tendo-se

~rx(x, y) = ı+ 0+ gx(x, y)k, ~ry(x, y) = 0ı+ + gy(x, y)k,

segue-se

~rx(x, y)× ~ry(x, y) =

∣∣∣∣∣∣∣ı k

1 0 gx(x, y)

0 1 gy(x, y)

∣∣∣∣∣∣∣ = −gx(x, y)ı− gy(x, y)+ k (33)

e, consequentemente, a formula (32) traduz-se em∫∫S

f(x, y, z) dS =

∫∫D

f(x, y, g(x, y))√gx(x, y)2 + gy(x, y)2 + 1 dA.

Se S for uma uniao finita de superfıcies regulares S1, S2, . . . , Sn, que se intersetam somente nas

fronteiras, entao o integral de superfıcie de f sobre S e definido por∫∫S

f(x, y, z) dS =

n∑i=1

∫∫Si

f(x, y, z) dS.

Exemplos.

(a) Calcule o integral de superfıcie

∫∫S

z2 dS, onde S e a superfıcie esferica unitaria x2 + y2 + z2 = 1.

(b) Determine a area de S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 4− x2 − y2, z ≥ 0}.

4.3 Integral de superfıcie de um campo vetorial

Vamos definir integral de superfıcie de campos vetoriais sobre superfıcies ditas orientaveis.

(Nota: um exemplo classico de uma superfıcie que nao e orientavel e a fita de Mobius.)

Vamos ver entao o que e uma superfıcie orientavel. Seja S uma superfıcie limitada que tenha plano

tangente em todos os seus pontos, com eventual excecao dos pontos do bordo, B. Seja (x, y, z) um ponto

em S \B. Existem dois vetores unitarios paralelos a reta normal a S em (x, y, z): n1(x, y, z) e n2(x, y, z) =

−n1(x, y, z).

Se for possıvel definir um campo vetorial contınuo n : S \B → R3, que a cada ponto (x, y, z) de S \Bassocia um vetor unitario n(x, y, z) normal a superfıcie S, a superfıcie S diz-se orientavel. Uma escolha

de n determina uma orientacao de S e, uma vez fixada uma orientacao, S diz-se orientada. Isto significa

que a superfıcie tem 2 lados ou 2 faces e que se escolhe uma delas para face positiva e a outra para face

negativa. A face positiva e aquela na qual um observador com os pes colocados no ponto (x, y, z) fica com

a cabeca a apontar no sentido de n(x, y, z).

Se S for uma superfıcies orientada regular, dada na forma parametrica por ~r(u, v), entao ela pode ser

orientada pelo campo de vetores normais unitarios

n(~r(u, v)

)=

~ru × ~rv‖~ru × ~rv‖

(34)


35

a que chamamos orientacao positiva da superfıcie. A orientacao oposta, determinada por −n, e chamada

orientacao negativa da superfıcie.

Para uma superfıcie dada pelo grafico de uma funcao real de duas variaveis reais g : D ⊂ R2 → R de

classe C1 (isto e, g contınua, com derivadas parciais de primeira ordem contınuas), usamos a formula (33)

para verificar que existem duas orientacoes possıveis, consoante se escolha

n1(x, y, g(x, y)

)=−gx(x, y)ı− gy(x, y)+ k√gx(x, y)2 + gy(x, y)2 + 1

(35)

ou n2 = −n1. A orientacao canonica ou positiva (aquela que e usada quando nada for dito sobre a

orientacao) e a de n1, que corresponde ao vetor normal unitario cuja a componente na direcao k e positiva.

Para uma superfıcie fechada, isto e, uma superfıcie que seja a fronteira de uma regiao solida E, a

convencao e que a orientacao positiva e aquela para a qual os vetores normais apontam para fora de E.

Definicao. Se ~F for um campo vetorial contınuo, definido numa superfıcie orientada S e n e o campo

de vetores normal unitario que determina a orientacao de S, entao o integral de superfıcie de ~F sobre S e

definido por ∫∫S

~F · d~S =

∫∫S

~F · n dS

Interpretacao fısica: Suponhamos que ~F representa um campo de velocidades associado ao escoamento

de um fluido atraves de uma superfıcie S (membrana permeavel, por exemplo). O integral de superfıcie∫∫S

~F · d~S representa o fluxo de ~F atraves de S (a diferenca entre o volume de fluido que atravessa S,

por unidade de tempo, da face negativa para a face positiva e o volume de fluido que atravessa S, por

unidade de tempo, da face positiva para a face negativa).

Nos pontos onde ~F fizer um angulo agudo com o vetor normal a S teremos uma contribuicao positiva

para o fluxo e onde ~F fizer um angulo obtuso com o vetor normal a S teremos uma contribuicao negativa

para o fluxo. Notemos que o facto de a contribuicao ser positiva ou negativa depende da orientacao

escolhida.

Observacoes.

(i) Se S for parametrizada por ~r(u, v), (u, v) ∈ D, e orientada pelo campo de vetores normais unitarios n

definidos em (34), pela definicao anterior temos∫∫S

~F · d~S =

∫∫S

~F · n dS =

∫∫D

~F (~r(u, v)) · ~ru × ~rv‖~ru × ~rv‖

‖~ru × ~rv‖ dA

=

∫∫D

~F (~r(u, v)) · (~ru × ~rv) dA.

(ii) Consideremos o caso particular em que S e uma superfıcie de equacao z = g(x, y), (x, y) ∈ D, onde

g : D ⊂ R2 → R e de classe C1, e seja ~F (x, y, z) = P (x, y, z)ı+Q(x, y, z)+R(x, y, z)k. Temos∫∫S

~F · d~S =

∫∫D

(P ı+Q+Rk) · −gx(x, y)ı− gy(x, y)+ k√gx(x, y)2 + gy(x, y)2 + 1

√gx(x, y)2 + gy(x, y)2 + 1 dA,

isto e,∫∫S

~F · d~S =

∫∫D

(−P (x, y, g(x, y)) gx(x, y)−Q(x, y, g(x, y)) gy(x, y) +R(x, y, g(x, y))

)dA.


36

Exemplos.

(a) Seja ~F o campo vetorial dado por ~F (x, y, z) = x2 ı + y2 + zk. Calcule

∫∫S

~F · d~S, sendo S o grafico

da funcao g(x, y) = x+ y + 1 definida do retangulo R = [0, 1]× [0, 1].

(b) Determine o fluxo de ~F (x, y, z) = −yı+ x+ zk atraves da superfıcie esferica x2 + y2 + z2 = 4.

4.4 Teoremas da Divergencia e de Stokes

Vamos comecar por introduzir as nocoes de rotacional e divergencia de um campo vetorial em R3.

Estes conceitos tem origem no estudo do campo de velocidades de um fluido, caso em que a divergencia

refere-se a maneira como o fluido flui para ou afasta-se de um ponto, e o rotacional refere-se a propriedades

de rotacao do fluido num ponto.

Seja~F : D ⊂ R3 → R3

(x, y, z) 7→ P (x, y, z)ı+Q(x, y, z)+R(x, y, z)k(36)

um campo de vetores definido num aberto D ⊂ R3 e tal que P , Q e R tem derivadas parciais de 1a ordem

em todos os pontos de D.

O rotacional de ~F e o campo de vetores rot ~F : D ⊂ R3 → R3 definido por

rot ~F =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)ı+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)+

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k.

A divergencia de ~F e a funcao escalar div ~F : D ⊂ R3 → R definida por

div ~F =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z.

Vejamos uma mnemonica simples para o rotacional de um campo de vetores. Consideremos o “vetor

simbolico”

∇ =∂

∂xı+

∂

∂y+

∂

∂zk.

O “produto vetorial” entre ∇ e ~F pode ser calculado atraves do determinante simbolico

∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)ı+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)+

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k = rot ~F .

Assim o rotacional de ~F e tambem representado por ∇× ~F . O “produto escalar” entre ∇ e ~F e

∇ · ~F =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z= div ~F .

Assim, a divergencia de ~F e tambem representada por ∇ · ~F .

Recorde-se que se f for uma funcao real de 3 variaveis reais, o vetor gradiente de f em (x, y, z) e o

vetor∂f

∂x(x, y, z)ı+

∂f

∂y(x, y, z)+

∂f

∂z(x, y, z)k

que pode ser encarado como o resultado de “multiplicar”o vetor ∇ pelo escalar f(x, y, z). Por isso o

gradiente de f e tambem designado por ∇f .


37

Exemplo. Calcule o rotacional e a divergencia do campo vetorial definido em R3 por ~F (x, y, z) =

x2yı+ 2y3z+ 3zk.

Proposicao. Seja D um aberto de R3.

(i) Se f : D ⊂ R3 → R tem derivadas parciais de 2a ordem contınuas, entao

rot (∇f) = ~0.

(ii) Se ~F : D ⊂ R3 → R3, dado em (36), e tal que P , Q e R tem derivadas parciais de 2a ordem contınuas,

entao

div (rot~F ) = 0.

Corolario. Seja ~F : D ⊂ R3 → R3 um campo vetorial de classe C1. Se ~F for conservativo entao

rot ~F = ~0.

Em geral o recıproco do resultado anterior e falso. E verdadeiro se o domınio de ~F for simplesmente

conexo.

Observacao. O rotacional de um campo de vetores que representa a velocidade de um fluido, esta

relacionado com o fenomeno de rotacao do fluido. De facto, se ~F for um campo de vetores que representa

o campo de velocidades de um fluido e considerarmos uma partıcula situada no ponto (x, y, z), entao as

partıculas situadas numa vizinhanca deste ponto tendem a rodar em torno do eixo formado pelo vetor

rot~F , o comprimento deste vetor e a velocidade com que as partıculas se movem em redor daquele eixo.

Se rot~F (x, y, z) = ~0, o fluido esta livre de rotacoes na vizinhanca do ponto (x, y, z).

A divergencia pode tambem ser interpretada no contexto anterior. Se ~F representar um campo de

velocidades de um gas ou de um fluido, entao a divergencia do campo div~F (x, y, z) e a taxa de variacao da

densidade do fluido no ponto (x, y, z) e mede a tendencia do fluido em se a expandir ou contrair a partir

daquele ponto.

Vamos em seguida enunciar o Teorema da Divergencia, tambem conhecido por Teorema de Gauss, que

relaciona determinado tipo de integrais de superfıcie de campos vetoriais com integrais triplos.

Recordemos que uma regiao de R3 diz-se uma regiao solida simples se for uma regiao elementar

simultaneamente dos tipos I, II e III.

Teorema da Divergencia. Seja E uma regiao solida simples cuja fronteira e uma superfıcie S orientada

pela normal exterior. Seja ~F um campo vetorial de classe C1 numa regiao aberta de R3 contendo E.

Entao ∫∫S

~F · d~S =

∫∫∫E

div ~F dV.

O Teorema da Divergencia pode ser generalizado a uniao de regioes solidas simples que se intersetam

duas a duas quando muito nas respetivas fronteiras.


38

Exemplos.

(a) Determine o fluxo de ~F (x, y, z) = 2xı+ 3y+ z2k atraves do cubo unitario [0, 1]× [0, 1]× [0, 1].

(b) Determine o fluxo de ~F (x, y, z) = −yı+ x+ zk atraves da superfıcie esferica x2 + y2 + z2 = 4.

Em seguida iremos enunciar o Teorema de Stokes, o qual pode ser visto como uma versao em maior

dimensao do Teorema de Green. Enquanto que o Teorema de Green relaciona um integral duplo sobre uma

regiao plana D com o integral curvilıneo em torno da sua curva fronteira, o Teorema de Stokes relaciona

um integral de superfıcie sobre uma superfıcie S com um integral curvilıneo sobre o seu bordo.

Seja S uma superfıcie que e “limitada” no sentido de “S apoia-se em C” por uma curva C, fechada

e simples. Suponhamos que S esta orientada sendo n o campo de vetores normal e unitario que lhe

determina a orientacao. Esta orientacao induz uma orientacao positiva na curva C do seguinte modo:

um observador caminhando ao longo de C, no sentido positivo e de modo a que a sua cabeca aponte na

direcao e sentido de n deve ter a superfıcie S sempre a sua esquerda.

Teorema de Stokes. Seja S uma superfıcie regular orientada e limitada por uma curva C fechada

simples seccionalmente de classe C1 e regular, e com orientacao positiva induzida pela orientacao de S.

Seja ~F um campo vetorial de classe C1 numa regiao aberta de R3 que contenha S. Entao∫∫S

rot ~F · d~S =

∮C

~F · d~r.

Observacoes.

(i) O teorema de Stokes estabelece que o fluxo do rotacional de um campo de vetores ~F de classe C1

atraves de uma superfıcie orientavel S e igual ao trabalho realizado por ~F ao longo do bordo C, cuja

orientacao e compatıvel com a de S.

(ii) Se S estiver contida no plano XOY , entao, n = k. Se ~F = F1 ı+F2+F3k, entao rot ~F ·n =∂F2

∂x− ∂F1

∂ye, nas condicoes do teorema de Stokes,∫∫

S

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dS =

∮C

~F · d~r,

um resultado analogo ao teorema de Green.

Exemplos.

(a) Calcule

∫∫S

rot ~F · d~S, onde S = {(x, y, z) ∈ R3 : y = −1 + x2 + z2, y ≤ 0} e o campo ~F e definido

por ~F (x, y, z) = eyzı+ yz− xk.

(b) Calcule o integral curvilıneo

∫C

−y2 dx + x dy + z2 dz, onde C e a curva de interseccao do plano

y+z = 2 com o cilindro x2 +y2 = 1, com orientacao correspondente ao sentido anti-horario em XOY .

Como aplicacao do teorema de Stokes obtemos uma caracterizacao dos campos vetoriais em R3, con-

forme o seguinte resultado.


39

Teorema. Seja ~F : R3 → R3 um campo de vetores de classe C1. As seguintes condicoes sobre ~F sao

equivalentes.

(i)

∮C

~F · d~r = 0, para toda a curva, C, fechada simples seccionalmente de classe C1 e regular.

(ii)

∫C1

~F · d~r =

∫C2

~F · d~r, para quaisquer curvas simples seccionalmente de classe C1 e regulares, C1 e

C2, que tenham o mesmo ponto inicial e o mesmo ponto final.

(iii) ~F e conservativo; isto e, ~F = ∇f para alguma funcao f : R3 → R.

(iv) rot ~F = ~0.


Capıtulo II

Equacoes diferenciais de ordem n

1 Conceitos gerais

Uma equacao diferencial e uma equacao que envolve derivadas de uma variavel dependente em relacao

a uma ou mais variaveis independentes.

As equacoes diferenciais sao um instrumento importante na resolucao de problemas em areas tao

diversas como a mecanica, a astronomia, a fısica, a biologia, etc. Tal facto deve-se a que as leis que

governam certos fenomenos podem ser expressas na forma de equacoes diferenciais.

Uma equacao diferencial ordinaria e aquela que envolve apenas uma unica variavel independente, e

assim uma equacao do tipo

F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, (1)

onde F e uma funcao real em n+ 2 variaveis reais.

A ordem de uma equacao diferencial e a ordem da derivada de maior ordem presente na equacao.

Exemplo. As equacoes

y′′ − 2y′ + 6y = 0 e y′′′ + 5(y′)3 − 4y = x

sao equacoes diferenciais ordinarias, de ordens 2 e 3, respetivamente.

Dizemos que uma funcao f , real de variavel real, definida num intervalo real I, e uma solucao da

equacao diferencial (1) em I, se

F (x, f(x), f ′(x), · · · , f (n)(x)) = 0, para todo o x em I.

Exemplo. A funcao f(x) = xex e solucao da equacao diferencial y′′ − 2y′ + y = 0.

Observacao. Nem toda a equacao diferencial tem necessariamente solucao. Por exemplo a equacao

diferencial (y′)2 + 1 = 0 nao tem solucoes reais. Ja a equacao (y′′)2 + 10y2 = 0 possui apenas a solucao

y = 0 e a equacao y′ = 2xy tem uma infinidade de solucoes (y = cex2

, c ∈ R, e solucao).

O que se segue e um caso especial de (1). Seja n ∈ N e I um intervalo em R. Uma equacao diferencial

de ordem n, em I, diz-se linear se puder ser escrita na forma

an(x) y(n) + an−1(x) y(n−1) + · · ·+ a1(x) y′ + a0(x) y = g(x), x ∈ I, (2)

40

41

onde a0, a1, . . . , an e g sao funcoes apenas da variavel independente x, definidas em I, e an nao e nula

em I, isto e, existe x0 ∈ I tal que an(x0) 6= 0. As funcoes a0, a1, . . . , an dizem-se os coeficientes e

a funcao g diz-se o termo independente da equacao diferencial (2). Se g(x) = 0, para todo o x ∈ I, a

equacao diferencial (2) diz-se homogenea; caso contrario, isto e, se g nao e a funcao nula em I, a equacao

diferencial (2) diz-se nao homogenea ou completa.

E obvio que y = 0 e sempre uma solucao de qualquer equacao homogenea e designa-se por solucao

trivial.

Quanto aos coeficientes, a equacao (2) pode classificar-se:

• de coeficientes constantes, se ai(x), i = 0, 1, · · · , n, forem constantes;

• de coeficientes variaveis, se ai(x), para algum i = 0, 1, · · · , n, nao for uma funcao constante.

Exemplos.

(a) A equacao

x2y′′ − 2xy′ + 2y = 6

e uma equacao diferencial linear de 2a ordem, nao homogenea e de coeficientes variaveis.

(b) A equacao

3y′′′ + 5y′′ − y′ + 2y = 0

e uma equacao diferencial linear de 3a ordem, homogenea e de coeficientes constantes.

(c) As equacoes

yy′′ − 2y′ = x ed3y

dx3+ y2 = 0

sao equacoes diferenciais ordinarias nao lineares, de ordens 2 e 3, respetivamente.

Uma equacao diferencial surge, muitas vezes, associada a condicoes definidas num ponto pertencente

ao intervalo em estudo. Neste caso o problema constituıdo pela equacao diferencial e pelas referidas

condicoes, isto e,

an(x) y(n) + an−1(x) y(n−1) + · · ·+ a1(x) y′ + a0(x) y = g(x), x ∈ I,

y(x0) = β0,

y′(x0) = β1,

...

y(n−1)(x0) = βn−1,

(3)

onde β0, β1, · · · , βn−1 ∈ R e x0 ∈ I, diz-se um problema de valores iniciais (PVI).

O teorema seguinte estabelece condicoes que garantem a existencia e unicidade de solucao para um

problema de valores iniciais.

Teorema de existencia e unicidade. Sejam a0, a1, · · · , an e g funcoes reais de uma variavel real,

contınuas em I, com an(x) 6= 0 para todo o x ∈ I. Sejam x0 ∈ I e β0, β1, · · · , βn−1 ∈ R. Entao o

problema (3) tem uma e uma so solucao.


42

Exemplo. O problema y′′ − 4y = 12x

y(0) = 4

y′(0) = 1

e um PVI cuja solucao e y = 3e2x + e−2x − 3x.

2 Equacoes diferenciais lineares homogeneas. Sistema funda-

mental de solucoes.

Sejam n ∈ N e I um intervalo em R. Consideremos a equacao diferencial linear homogenea

an(x) y(n) + an−1(x) y(n−1) + · · ·+ a1(x) y′ + a0(x) y = 0, x ∈ I, (4)

onde supomos que a0, a1, . . . , an sao contınuas em I e an(x) 6= 0 para todo o x ∈ I.

Sejam F o espaco vetorial real das funcoes reais definidas em I e E o subespaco de F constituıdo pelas

funcoes reais com derivadas ate a ordem n definidas em I. Seja L : E → F a aplicacao definida por

L(y) = an(x) y(n) + an−1(x) y(n−1) + · · ·+ a1(x) y′ + a0(x) y.

Atendendo as regras basicas da derivacao, deduz-se facilmente que L e linear, isto e,

L(c1y1 + c2y2) = c1L(y1) + c2L(y2),

para quaisquer y1, y2 ∈ E e c1, c2 ∈ R.

Notemos que equacao (4) e equivalente a L(y) = 0. Da linearidade de L resulta que, se y1 e y2 forem

solucoes da equacao homogenea L(y) = 0, entao c1y1 + c2y2, com c1, c2 ∈ R, tambem e solucao, o que

prova a parte (i) da proposicao seguinte.

Proposicao. Seja N o conjunto das solucoes da equacao diferencial linear homogenea (4).

(i) N e um subespaco vetorial de E.

(ii) Seja x0 ∈ I. A aplicacao ϕ : Rn → N que a (β0, β1, · · · , βn−1) ∈ Rn associa a unica solucao que

satisfaz o PVI (3), com g(x) = 0, e um isomorfismo.

Corolario. N e um espaco vetorial real de dimensao n.

Um sistema fundamental de solucoes (SFS) da equacao (4) e uma qualquer base de N , isto e, um

qualquer conjunto constituıdo por n solucoes de (4) que seja linearmente independente.


43

Corolario.

(i) A equacao diferencial linear homogenea (4) admite um SFS.

(ii) Seja {y1, y2, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes de (4). Se y e uma solucao de (4), entao

existem constantes reais c1, c2, . . . , cn tais que

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x), x ∈ I.

Uma questao que se coloca e de saber se um dado conjunto com n solucoes de (4) constitui um SFS, isto

e, se e linearmente independente. Tal pode ser verificado por definicao ou recorrendo a um determinante

construıdo a custa das referidas funcoes e das suas derivadas.

Sejam f1, f2, . . . , fn funcoes reais de uma variavel real derivaveis, pelo menos, ate a ordem n − 1 no

intervalo I. O Wronskiano do sistema de funcoes {f1, f2, . . . , fn} e a funcao W (f1, f2, . . . , fn) : I → R,

definida por

W (f1, f2, . . . , fn)(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1(x) f2(x) · · · fn(x)

f ′1(x) f ′2(x) · · · f ′n(x)...

.... . .

...

f(n−1)1 (x) f

(n−1)2 (x) · · · f

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Na proposicao seguinte estabelece-se uma condicao necessaria e suficiente para que n solucoes de (4)

constituam um SFS de (4).

Proposicao. Sejam y1, y2, · · · , yn, n solucoes da equacao diferencial linear homogenea de ordem n, (4).

Entao {y1, y2, · · · , yn} e um SFS de (4) se e so se

W (y1, y2, · · · , yn)(x) 6= 0, para todo o x ∈ I.

Seja {y1, y2, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes da equacao diferencial (4), linear homogenea

de ordem n. A famılia de funcoes yH ,

yH = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn

com c1, c2, · · · , cn constantes reais arbitrarias, chamamos solucao geral ou integral geral, da equacao dife-

rencial (4).

Uma solucao particular de (4) e uma qualquer funcao que seja solucao da equacao e, portanto, pode

ser obtida do integral geral yH por atribuicao de valores reais concretos as constantes c1, c2, · · · , cn.

Exemplo. As funcoes y1 = ex, y2 = e2x e y3 = e3x sao solucoes, em R, da equacao diferencial homogenea

de ordem 3

y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0.

Como

W (ex, e2x, e3x) =

∣∣∣∣∣∣∣ex e2x e3x

ex 2e2x 3e3x

ex 4e2x 9e3x

∣∣∣∣∣∣∣ = 2e6x 6= 0, ∀x ∈ R,


44

{y1, y2, y3} e um sistema fundamental de solucoes da equacao. Concluımos assim que

y = c1ex + c2e

2x + c3e3x, c1, c2, c3 ∈ R,

e a solucao geral da equacao diferencial.

3 Equacoes diferenciais lineares homogeneas com coeficientes

constantes

Nesta seccao veremos como determinar um SFS e, assim, a solucao geral, de uma equacao linear

homogenea com coeficientes constantes.

Consideremos a equacao diferencial linear homogenea de ordem n de coeficientes constantes

L(y) = an y(n) + an−1 y

(n−1) + · · ·+ a1 y′ + a0 y = 0, x ∈ I, (5)

onde a0, a1, · · · , an sao constantes reais e an 6= 0.

Verificamos que

L(eλx) = anλneλx + an−1λ

n−1eλx + · · ·+ a1λeλx + a0e

λx

= eλx(anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a1λ+ a0)

= P (λ)eλx,

onde

P (λ) = anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a1λ+ a0.

Logo, eλx e solucao da equacao diferencial (5) se e so se P (λ) = 0, ou seja, se λ for raiz do polinomio

P (λ). O polinomio P (λ) e designado por polinomio caracterıstico da equacao diferencial. Note-se que

este polinomio tem exatamente n raızes em C e as raızes complexas aparecem aos pares, uma vez que se

z ∈ C e uma raiz de P (λ) entao tambem z e raiz de P (λ). Se λ1, λ2, · · · , λn designarem as n raızes de

P (λ) entao eλ1x, eλ2x, · · · eλnx sao solucoes da equacao (5). Para analisar a independencia linear destas

solucoes e como determinar um SFS da equacao homogenea (5), consideremos tres casos.

1o – O polinomio caracterıstico tem n raızes reais e distintas

Tal como para o Wronskiano calculado no exemplo da pagina 43, verificamos no caso geral que

W (eλ1x, eλ2x, · · · eλnx) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣eλ1x eλ2x · · · eλnx

λ1eλ1x λ2e

λ2x · · · λneλnx

......

. . ....

λn−11 eλ1x λn−12 eλ2x · · · λn−1n eλnx

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= e(λ1+λ2+···λn)x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 · · · 1

λ1 λ2 · · · λn...

.... . .

...

λn−11 λn−12 · · · λn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= e(λ1+λ2+···λn)x

∏1≤j<i≤n

(λi − λj) 6= 0,


45

pois λ1, λ2, · · · , λn sao todos distintos. Entao {eλ1x, eλ2x, · · · eλnx} constitui um SFS da equacao diferencial

(5) e a solucao geral daquela equacao e

y = c1eλ1x + c2e

λ2x + · · ·+ cneλnx, c1, c2, · · · , cn ∈ R.

Exemplos.

(a) Escreva uma equacao diferencial linear de ordem 3 que admita as funcoes ex, e−x, e−2x como solucoes

e escreva a solucao geral dessa equacao.

(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = 0.

2o – O polinomio caracterıstico tem raızes reais e multiplas

Se m for uma raiz real de P (λ) com multiplicidade k, entao pode-se mostrar que

emx, xemx, x2emx, · · · , xk−1emx

sao solucoes linearmente independentes da equacao diferencial homogenea (5).

Exemplo. Considere a equacao diferencial y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0.

(a) Determine as raızes do polinomio caracterıstico.

(b) Mostre que {ex, xex, x2ex} constitui um SFS da equacao diferencial e escreva a solucao geral dessa

equacao.

3o – O polinomio caracterıstico tem raızes complexas

Se a ± ib forem raızes complexas do polinomio caracterıstico de multiplicidade k, prova-se que as 2k

funcoes

eax cos(bx), xeax cos(bx), · · · , xk−1eax cos(bx) e eax sin(bx), xeax sin(bx), · · · , xk−1eax sin(bx),

sao solucoes linearmente independentes da equacao diferencial homogenea (5).

Exemplo. Determine a solucao geral da equacao diferencial y′′ − 4y′ + 5y = 0.

Em sıntese, dada uma equacao diferencial linear homogenea de ordem n com coeficientes constantes,

depois de achar as n raızes do polinomio caracterıstico, associa-se:

• a cada raiz real simples λ, a funcao eλx;

• a cada raiz real λ, de multiplicidade k, as k funcoes: eλx, xeλx, x2eλx, · · · , xk−1eλx;

• a cada par a± ib de raızes complexas simples, as funcoes: eax cos(bx), eax sin(bx);

• a cada par a± ib de raızes complexas de multiplicidade k, as 2k funcoes:

eax cos(bx), xeax cos(bx), · · · , xk−1eax cos(bx) e eax sin(bx), xeax sin(bx), · · · , xk−1eax sin(bx).


46

As n solucoes y1, y2, · · · , yn da equacao diferencial homogenea (5) assim obtidas, a partir das raızes

do polinomio caracterıstico, constituem um SFS, pelo que o integral geral daquela equacao diferencial e

dado por

y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn, ci ∈ R, i = 1, · · · , n.

Exemplos.

(a) Determine a solucao geral da equacao

y(6) − 2y(5) + 3y(4) − 4y(3) + 3y(2) − 2y′ + y = 0.

(b) Escreva uma equacao diferencial linear com coeficientes constantes de ordem 3 que admita as funcoes

e2x, ex cos 2x como solucoes e escreva a solucao geral dessa equacao.

4 Equacoes diferenciais lineares nao homogeneas

Consideremos agora a equacao diferencial linear de ordem n, completa,

L(y) ≡ an(x) y(n) + an−1(x) y(n−1) + · · ·+ a1(x) y′ + a0(x) y = g(x), x ∈ I, (6)

onde a1, a2, · · · , an, g sao funcoes contınuas em I e an(x) 6= 0 para todo o x ∈ I. A equacao homogenea

associada a (6) e a equacao diferencial linear homogenea

an(x) y(n) + an−1(x) y(n−1) + · · ·+ a1(x) y′ + a0(x) y = 0, x ∈ I, (7)

A solucao geral da equacao completa (6) pode ser obtida a partir de uma solucao particular desta equacao

e da solucao geral da equacao homogenea associada (7), conforme e estabelecido na seguinte proposicao.

Proposicao. Sejam yp uma solucao particular da equacao completa (6) e {y1, y2, · · · , yn} um SFS da

equacao homogenea associada. Entao a solucao geral da equacao diferencial (6) e

y = yp + c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn, c1, c2, · · · , cn ∈ R.

Demonstracao. Por linearidade,

L(yp + c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn) = L(yp) + L(c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn) = L(yp) + 0 = g(x),

alem disso, se y e uma qualquer solucao de (6), isto e, L(y) = g(x), entao L(y − yp) = L(y) − L(yp) =

g(x)− g(x) = 0. Logo, y − yp e solucao da equacao homogenea associada e, portanto, existem constantes

reais c1, c2, · · · , cn tais que

y − yp = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn,

ou ainda, y = yp + c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn.

Em sıntese, se yp for uma solucao particular da equacao diferencial linear completa e yH a solucao geral

da equacao homogenea associada, entao a solucao geral ou integral geral da equacao completa e dado por

y = yp + yH .


47

Exemplo. Pode facilmente verificar-se que a funcao yp = − 1112 −

12x e uma solucao particular da equacao

diferencial linear completa

y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 3x. (8)

Atendendo ao exemplo na pagina 40, podemos afirmar que o integral geral da equacao (8) e dado por

y = yH + yp = −11

12− 1

2x+ c1e

x + c2e2x + c3e

3x, c1, c2, c3 ∈ R.

Nas seccoes seguintes veremos metodos que nos permitem determinar uma solucao particular de algu-

mas equacoes diferenciais nao-homogeneas.

5 Metodo do polinomio anulador

O metodo do polinomio anulador e um metodo que permite determinar uma solucao particular de

determinados tipos de equacoes diferenciais lineares de coeficientes constantes e completas.

Consideremos a equacao diferencial linear nao-homogenea de ordem n e coeficientes constantes

L(y) ≡ an y(n) + an−1 y(n−1) + · · ·+ a1 y

′ + a0 y = g(x), x ∈ I, (9)

onde a0, a1, · · · , an sao constantes reais, an 6= 0 e g e uma funcao contınua em I.

Designando por Dn, n ∈ N, a aplicacao linear que a cada funcao y faz corresponder a sua derivada de

ordem n, ou seja, Dny = y(n), temos L = P (D), onde

P (D) = anDn + an−1D

n−1 + · · · a1D + a0

e designado por polinomio diferencial caracterıstico da equacao diferencial. A equacao (9) pode entao

escrever-se na forma P (D)y = g(x).

Exemplo. A equacao y′′ + y′ = 0 e equivalente a (D2 +D)y = 0.

Sendo ai, i = 0, · · · , n, constantes, pode provar-se que:

(i) P (D) pode ser factorizado em operadores diferenciais de ordem 1 (admitindo o uso de numeros

complexos e tratando P (D) como se fosse um polinomio);

(ii) Os factores referidos em (i) comutam.

Exemplo. Pode verificar-se que a equacao (D2 +D)y = 0 e equivalente a

D(D + 1)y = 0 ou (D + 1)Dy = 0,

equacoes essas que se obtiveram tratando P (D) = D2 +D como se fosse um polinomio “normal”.

Recordando o que foi dito na seccao 3, notemos que

(i) y = eλx e solucao de (D − λ)y = 0;

(ii) y1 = eλ1x e y2 = eλ2x sao solucoes de (D − λ1)(D − λ2)y = 0;

(iii) y1 = eλx e y2 = xeλx sao solucoes de (D − λ)2y = 0;


48

(iv) y1 = eαx cos(βx) e y2 = eαx cos(βx) sao solucoes de

(D − (α+ iβ))(D − (α− iβ))y = 0⇐⇒((D − α)2 + β2

)y = 0.

Sejam P (D) um polinomio diferencial e y uma funcao real de variavel real. Diz-se que P (D) e um

polinomio anulador para y, ou que P (D) anula y se P (D)y = 0.

Exemplos.

(a) Verifica-se facilmente que o polinomio diferencial Dn, n ∈ N, e um polinomio anulador para as funcoes

1, x, · · · , xn−1. Mais ainda, quaisquer que sejam c0, c1, · · · , cn−1 ∈ R,

Dn(c0 + c1x+ · · ·+ cn−1xn−1) = 0,

portanto, Dn e um polinomio anulador para qualquer funcao polinomial de grau inferior ou igual a

n− 1.

(b) Vimos anteriormente que xe−2x e solucao da equacao (D + 2)2y = 0, tal significa que (D + 2)2 e

polinomio anulador para xe−2x.

Na proposicao seguinte sao sumariados alguns resultados relativamente a polinomios anuladores de

certas funcoes.

Proposicao. Sejam n ∈ N e α, β ∈ R. Temos:

(i) O polinomio diferencial Dn anula cada uma das funcoes

1, x, · · · , xn−1.

(ii) O polinomio diferencial (D − α)n anula cada uma das funcoes

eαx, xeαx, x2eαx, · · · , xn−1eαx.

(iii) O polinomio diferencial (D2 − 2αD + (α2 + β2))n =((D − α)2 + β2

)nanula cada uma das funcoes

eαx cosβx, xeαx cosβx, x2eαxcosβx, · · · , xn−1eαx cosβx

e

eαx sinβx, xeαx sinβx, x2eαx sinβx, · · · , xn−1eαx sinβx.

Proposicao. Sejam P (D) e Q(D) dois polinomios diferenciais tais que P (D) anula a funcao y1 e Q(D)

anula a funcao y2. Entao o produto (composicao) P (D)Q(D) anula y1 + y2.

Exemplo. Dos exemplos anteriores sabemos que D4 anula x3 − x e (D + 2)2 anula xe−2x. Usando a

proposicao anterior podemos dizer que D4(D + 2)2 = D6 + 4D5 + 4D4 anula xe−2x + x3 − x.


49

Exemplo. Determine um operador diferencial que anule a funcao real de variavel real y = 1 − 3x2 +

5e−x cos 2x.

Vejamos entao em que consiste o metodo do polinomio anulador. Considere-se a equacao diferencial

linear de coeficientes constantes completa

any(n) + an−1y

(n−1) + · · ·+ a1y + a0 = g(x), x ∈ I, (10)

com an 6= 0, a qual pode ser escrita na forma

P (D)y = g(x), x ∈ I,

onde P (D) = anD(n) + an−1D

(n−1) + · · ·+ a1D + a0 e polinomio diferencial caracterıstico de (10).

Suponhamos que g(x) e de uma das formas:

• g(x) e um polinomio em x;

• g(x) = xkeαx, com k ∈ N0 e α ∈ R;

• g(x) = xkeαx cosβx, com k ∈ N0 e α, β ∈ R;

• g(x) = xkeαx sinβx, com k ∈ N0 e α, β ∈ R;

• g(x) e uma combinacao linear de funcoes de uma das formas anteriores.

Usando as proposicoes anteriores e possıvel determinar um polinomio anulador para g(x), que desig-

naremos por Q(D). Seja yp uma solucao particular de (10). Temos

P (D)yp = g(x), x ∈ I =⇒ Q(D)P (D)yp = Q(D)g(x), x ∈ I

=⇒ Q(D)P (D)yp = 0, x ∈ I.

Assim, se yp e uma solucao particular de (10) entao yp e uma solucao particular da equacao diferencial

linear homogenea de coeficientes constantes

Q(D)P (D)y = 0, x ∈ I. (11)

Mas o resultado recıproco e falso. Nem toda a solucao de (11) e solucao de (10). Suponhamos que

{y1, y2, · · · , yk} e um SFS da equacao auxiliar (11). Entao yp pode representar-se na forma

yp = C1y1 + C2y2 + · · ·+ Ckyk,

com C1, C2, · · · , Ck ∈ R. O objetivo consiste em procurar constantes reais C1, C2, · · · , Ck tais que

P (D)(C1y1 + C2y2 + · · ·+ Ckyk

)= g(x), x ∈ I.

Exemplo. Determinemos a solucao geral da equacao diferencial

y′′ + y′ − 6y = 3e2x + 1, x ∈ R. (12)

O integral geral desta equacao e soma de uma sua solucao particular com o integral geral da equacao

homogenea associada,

y′′ + y′ − 6y = 0, x ∈ R.


50

Procedendo de acordo com o exposto na seccao 3, a solucao geral desta equacao homogenea e

yH = c1e2x + c2e

−3x, c1, c2 ∈ R.

Determinemos agora uma solucao particular, yp, de (12), usando o metodo do polinomio anulador.

O polinomio Q1(D) = D−2 anula 3e2x e Q2(D) = D anula 1. Entao Q(D) = D(D−2) anula 3e2x+1.

Sendo P (D) = (D − 2)(D + 3), temos

P (D)yp = 3e2x + 1 =⇒ Q(D)P (D)yp = 0⇐⇒ D(D − 2)2(D − 3)yp = 0.

A equacao homogenea auxiliar que temos de resolver e

D(D − 2)2(D − 3)y = 0, x ∈ R.

O conjunto {1, e−3x, e2x, xe2x} e um SFS desta equacao homogenea. Assim, existem constantes C1, C2, C3, C4 ∈R tais que

yp = C1 + C2e−3x + C3e

2x + C4xe2x.

Entao

P (D)(C1 + C2e

−3x + C3e2x + C4xe

2x)

= 3e2x + 1

⇔ P (D)(C2e

−3x + C3e2x)

+ P (D)(C1 + C4xe

2x)

= 3e2x + 1

⇔ 0 + (D − 2)(D + 3)(C1 + C4xe

2x)

= 3e2x + 1

⇔ (D2 +D − 6)(C1 + C4xe

2x)

= 3e2x + 1. (13)

Uma vez que

D(xe2x

)= e2x + 2xe2x = (1 + 2x)e2x

e

D2(xe2x

)= D

((1 + 2x)e2x

)= 2e2x + 2(1 + 2x)e2x = 4(1 + x)e2x

de (13) obtemos

4C4(1 + x)e2x + C4(1 + 2x)e2x − 6C1 − 6C4xe2x = 3e2x + 1

⇔ 5C4e2x − 6C1 = 3e2x + 1

⇔ (5C4 − 3)e2x + (−6C1 − 1)1 = 0.

Atendendo a que {1, e2x} e linearmente independente em R, resulta{5C4 − 3 = 0

−6C1 − 1⇔

{C4 = 3

5

C1 = − 16

.

Entao uma solucao particular de (12) e

yp = −1

6+

3

5xe2x,

e a solucao geral de (12) e

y = yp + yH = −1

6+

3

5xe2x + c1e

2x + c2e−3x, c1, c2 ∈ R.


51

6 Metodo de Lagrange ou da variacao das constantes arbitrarias

O metodo da variacao das constantes arbitrarias ou metodo de Lagrange permite determinar uma

solucao particular de uma equacao diferencial linear completa a partir do conhecimento de um sistema

fundamental de solucoes da equacao homogenea que lhe esta associada.

Consideremos uma equacao diferencial linear completa na forma

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x), x ∈ I, (14)

onde I e um intervalo real e a0, a1, · · · , an−1, g sao funcoes contınuas em I. A equacao homogenea que

lhe esta associada e

y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + y = 0, x ∈ I. (15)

Tem-se o seguinte resultado.

Proposicao. Seja {y1, y2, · · · , yn} um SFS da equacao homogenea (15). Sejam c1(x), c2(x), · · · , cn(x)

funcoes derivaveis em I verificando

c′1(x)y1(x) + c′2(x)y2(x) + · · ·+ c′n(x)yn(x) = 0

c′1(x)y′1(x) + c′2(x)y′2(x) + · · ·+ c′n(x)y′n(x) = 0

... ∀x ∈ I.

c′1(x)y(n−2)1 (x) + c′2(x)y

(n−2)2 (x) + · · ·+ c′n(x)y

(n−2)n (x) = 0

c′1(x)y(n−1)1 (x) + c′2(x)y

(n−1)2 (x) + · · ·+ c′n(x)y

(n−1)n (x) = g(x)

(16)

Entao a funcao yp definida por

yp(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) + · · ·+ cn(x)yn(x), x ∈ I,

e uma solucao da equacao completa (14).

O metodo de Lagrange consiste entao em resolver o sistema (16), para todo o x ∈ I. Notemos que, para

cada x ∈ I fixo, (16) e um sistema de n equacoes lineares nas n incognitas c′1(x), · · · c′n(x). O determinante

da matriz dos coeficientes e W (y1, · · · , yn)(x) 6= 0 e, portanto, aquele sistema e possıvel e determinado.

Apos resolver-se (16), para todo o x ∈ I, obtem-se as funcoes c′1(x), · · · c′n(x). Primitivando estas n funcoes

obtem-se c1(x), · · · cn(x), podendo entao calcular-se yp.

Exemplo. Determinemos a solucao geral da equacao diferencial

y′′ − 3y′ + 2y =e2x

5 + ex. (17)

O polinomio caracterıstico da equacao homogenea associada a (17) e λ2 − 3λ + 2 que tem por raızes 1

e 2. Assim as funcoes y1 = ex e y2 = e2x constituem um SFS da equacao homogenea associada a (17).

Notemos que nao se pode usar o metodo do polinomio anulador para determinar uma solucao particular

de (17), uma vez que nao conhecemos um polinomio diferencial que anulee2x

5 + ex. Usemos o metodo de


52

Lagrange. Para tal precisamos de resolver o sistema (16), que neste caso ec′1(x)ex + c′2(x)e2x = 0

c′1(x)ex + c′2(x)2e2x =e2x

5 + ex,

o qual e equivalente a [ex e2x

ex 2e2x

][c′1(x)

c′2(x)

]=

0

e2x

5 + ex

.Temos

W (ex, e2x) =

∣∣∣∣∣ ex e2x

ex 2e2x

∣∣∣∣∣ = e3x

e, usando a regra de Cramer, resulta

c′1(x) =

∣∣∣∣∣∣0 e2x

e2x

5 + ex2e2x

∣∣∣∣∣∣e3x

= − ex

5 + exe c′2(x) =

∣∣∣∣∣∣ex 0

exe2x

5 + ex

∣∣∣∣∣∣e3x

=1

5 + ex=

e−x

5e−x + 1.

Assim

c1(x) = − ln(5 + ex) + k1 e c2(x) = −1

5ln(5e−x + 1) + k2, k1, k2 ∈ R.

Como se procura apenas uma solucao particular podemos escolher k1 = k2 = 0. Uma solucao particular

da equacao completa dada e entao

yp = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) = − ln(5 + ex)ex − 1

5ln(5e−x + 1)e2x.

A solucao geral da equacao completa e

y = yp + yH = − ln(5 + ex)ex − 1

5ln(5e−x + 1)e2x + c1e

x + c2e2x, c1, c2 ∈ R.

Observacao. O metodo da variacao das constantes arbitrarias e aplicavel a qualquer equacao diferencial

linear de ordem n, mesmo de coeficientes variaveis, desde que, obviamente, se conheca um SFS (i.e. n

solucoes linearmente independentes) da equacao homogenea correspondente. Em geral nao e facil obter

um SFS duma equacao equacao diferencial linear de ordem n, de coeficientes variaveis, mas vejamos o

seguinte exemplo.

Exemplo. Encontre o integral geral da equacao

x2y′′ + xy′ − y = 2x, x ∈ R+,

sabendo que y1 = x e y2 = 1/x sao solucoes particulares da equacao homogenea associada.

Temos

W (x,1

x) =

∣∣∣∣∣ x1x

1 − 1x2

∣∣∣∣∣ = − 2

x6= 0, x ∈ R+,


53

logo {x, 1x} e um SFS da equacao homogenea. Aplicando o Metodo de Lagrange, ha que resolver o sistema c′1(x)x+ c′2(x) 1x = 0

c′1(x)− c′2(x) 1x2 = 2x

⇔

[x 1

x

1 − 1x2

][c′1(x)

c′2(x)

]=

[0

2x

].

Pela regra de Cramer, obtemos

c′1(x) = −x2

∣∣∣∣∣ 0 1x

2x − 1x2

∣∣∣∣∣ = x e c′2(x) = −x2

∣∣∣∣∣ x 0

1 2x

∣∣∣∣∣ = −x3.

Entao c1(x) = x2

2 + k1 e c2(x) = −x4

4 + k2, k1, k2 ∈ R. Uma solucao particular da equacao completa dada

e

yp =x2

2x− x4

4

1

x=x3

4

e o integral geral daquela equacao e

y =x3

4+ c1x+ c2

1

x, c1, c2 ∈ R.

7 Metodo de abaixamento de ordem ou metodo de D’Alembert

O metodo de D’Alembert permite determinar o integral geral de uma equacao diferencial linear de

ordem n, homogenea ou completa, de coeficientes constantes ou variaveis, a partir do conhecimento de

(n− 1) solucoes linearmente independentes da equacao diferencial homogenea associada.

Vejamos o caso n = 2. Consideremos assim a equacao diferencial linear de 2a ordem,

a2(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x), x ∈ I, (18)

em que as funcoes a0, a1, a2 e g sao contınuas em I e a2(x) 6= 0 para todo o x ∈ I.

Suponhamos que y1 e uma solucao nao trivial da equacao homogenea associada, isto e,

a2(x)d2y1dx2

+ a1(x)dy1dx

+ a0(x)y1 = 0, x ∈ I. (19)

Efectuemos a mudanca de variavel y = y1u na equacao diferencial (18). Temos

dy

dx=dy1dx

u+ y1du

dxe

d2y

dx2=d2y1dx2

u+ 2dy1dx

du

dx+ y1

d2u

dx2,

e, substituindo em (18) obtem-se

a2(x)

(d2y1dx2

u+ 2dy1dx

du

dx+ y1

d2u

dx2

)+ a1(x)

(dy1dx

u+ y1du

dx

)+ a0(x)y1u = g(x), x ∈ I

⇔ a2(x)y1d2u

dx2+

(a1(x)y1 + 2a2(x)

dy1dx

)du

dx+

+

(a2(x)

d2y1dx2

+ a1(x)dy1dx

+ a0(x)y1

)u = g(x), x ∈ I. (20)

Atendendo a (19) o coeficiente de u em (20) e zero. Fazendo a mudanca de variaveldu

dx= v, a equacao

diferencial (20) toma a forma

a2(x)y1dv

dx+

(a1(x)y1 + 2a2(x)

dy1dx

)v = g(x), x ∈ I, (21)


54

que e uma equacao diferencial linear de primeira ordem, que deverao ter estudado em Analise Matematica

I. Seja

vc = vp + c1v1, c1 ∈ R, (22)

a solucao geral desta equacao (21), onde vp e uma solucao particular da equacao (21) e v1 e uma solucao

nao trivial da equacao homogenea associada a (21). Integrando (22) membro a membro, obtem-se

u = up + c1u1 + c2, c1, c2 ∈ R,

onde up e uma primitiva de vp e u1 e uma primitiva de v1. Segue-se que

y = y1up + c1y1u1 + c2y1, c1, c2 ∈ R,

e o integral geral da equacao (18).

Exemplo. Determinemos a solucao geral da equacao

x2y′′ − 6y = 1, x ∈]0,+∞[, (23)

sabendo que y1 = x3 e solucao da equacao homogenea associada a (23).

Facamos em (23) a mudanca de variavel y = x3u. Como

y′ = 3x2u+ x3u′ e y′′ = 6xu+ 6x2u′ + x3u′′,

substituindo em (23), vem

x2(6xu+ 6x2u′ + x3u′′

)− 6x2u = 1, x ∈]0,+∞[,

⇔ x5u′′ + 6x4u′ = 1, x ∈]0,+∞[,

⇔ u′′ +6

xu′ =

1

x5, x ∈]0,+∞[.

Fazendo a mudanca de variavel u′ = v, obtemos a equacao diferencial de 1a ordem:

v′ +6

xv =

1

x5, x ∈]0,+∞[,

equacao esta que admite e∫

6xdx = e6 ln x = x6 como factor integrante. Entao

x6v′ + 6x5v = x, x ∈]0,+∞[,

⇔ d

dx[x6v] = x, x ∈]0,+∞[,

⇔ x6v =x2

2+ c1, x ∈]0,+∞[, c1 ∈ R,

⇔ v =1

2x−4 + c1x

−6, x ∈]0,+∞[, c1 ∈ R,

⇔ u = −1

6x−3 − c1

5x−5 + c2, x ∈]0,+∞[, c1, c2 ∈ R.

A solucao geral da equacao (23) e entao

y = x3u = −1

6− c1

5x−2 + c2x

3, c1, c2 ∈ R.


55

8 Equacoes de Euler

Uma equacao diferencial de Euler e uma equacao diferencial da forma

anxnyn(x) + an−1x

n−1y(n−1)(x) + · · ·+ a1xy′(x) + a0y = g(x), x ∈ I,

com a0, a1, · · · , an ∈ R, e g uma funcao contınua em I.

Uma equacao de Euler pode ser transformada numa equacao diferencial de coeficientes constantes

efetuando uma mudanca de variavel conveniente.

Se I ⊂ ]0,+∞[, faz-se a mudanca de variavel x = et, o que e equivalente a t = lnx. Se I ⊂ ] −∞, 0[,

faz-se a mudanca de variavel x = −et.

Exemplo. Consideremos a equacao de Euler

x2y′′ − 6y = 1, x ∈]0,+∞[, (24)

Facamos a mudanca de variavel acima indicada, isto e, x = et ⇔ t = lnx. Temos

dy

dx=dy

dt

dt

dx=dy

dt

1

xe

d2y

dx2= − 1

x2dy

dt+

1

x2d2y

dt2.

Subsituindo em (24), resultad2y

dt2− dy

dt− 6y = 1. (25)

Uma vez que o polinomio caracterıstico associado a equacao homogenea correspondente a (25) e

P (λ) = λ2 − λ − 6, que possui as raızes reais -2 e 3; e que, claramente, yp = − 16 e uma solucao par-

ticular de (25), a solucao geral de (25) e

y(t) = −1

6+ c1e

−2t + c2e3t, c1, c2 ∈ R.

Segue-se que a solucao geral de (24) e

y(x) = −1

6+ c1x

−2 + c2x3, c1, c2 ∈ R.

9 Sistemas de equacoes diferenciais com coeficientes constantes

Um sistema de equacoes diferenciais ordinarias e um sistema em que se consideram simultaneamente

duas ou mais equacoes envolvendo derivadas, relativamente a uma unica variavel independente, de duas

ou mais funcoes a determinar. Consideraremos apenas sistemas em que o numero de variaveis dependentes

(funcoes a determinar) e igual ao numero de equacoes e em que as equacoes diferenciais sao lineares de

coeficientes constantes em todas as variaveis dependentes.

Exemplo. O sistema {y′′1 + y2 = 0

y′1 + y′2 = x, x ∈ R,

e um sistema do tipo dos que consideraremos. y1 e y2 sao funcoes de x que pretendemos determinar.

Usando polinomios diferenciais este sistema pode ser escrito na forma{D2y1 + y2 = 0

Dy1 +Dy2 = x, x ∈ R.


56

Um sistema de n equacoes diferenciais lineares de coeficientes constantes nas variaveis dependentes

y1, y2, · · · , yn pode ser escrito na formaP11(D)y1 + P12(D)y2 + · · ·+ P1n(D)yn = f1(x)

P21(D)y1 + P22(D)y2 + · · ·+ P2n(D)yn = f2(x)...

Pn1(D)y1 + Pn2(D)y2 + · · ·+ Pnn(D)yn = fn(x)

, x ∈ I, (26)

onde f1, f2, · · · , fn sao funcoes definidas em I e Pij(D) e um polinomio diferencial, para i, j = 1, 2, · · · , n.

Uma solucao deste sistema e um conjunto de funcoes definidas em I, y1 = y1(x), y2 = y2(x), · · · , yn =

yn(x), que satisfazem, para todo o x ∈ I, cada uma das equacoes do sistema.

Metodo dos operadores diferenciais

Consideremos um sistema de n equacoes diferenciais lineares de coeficientes constantes nas variaveis

dependentes y1, y2, · · · , yn, como em (26), onde f1, f2, · · · , fn sao funcoes contınuas em I. O determinante

caracterıstico do sistema (26) e o polinomio diferencial

∆(D) = det[Pij(D)]i,j=1,··· ,n.

Ao grau deste polinomio chama-se ordem do sistema.

O metodo dos operadores diferenciais consiste em usar o resultado da proposicao seguinte para procurar

solucoes de (26).

Proposicao. Sejam ∆(D) o determinante caracterıstico de (26) e {y1, y2, · · · , yn} uma solucao do sistema

(26). Entao {y1, y2, · · · , yn} e tambem solucao do sistema∆(D)y1 = ∆1(x)

∆(D)y2 = ∆2(x)...

∆(D)yn = ∆n(x)

, x ∈ I, (27)

onde, para j = 1, · · · , n, ∆j(x) e a funcao que se obtem desenvolvendo o “determinante”∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣P1,1(D) · · · P1,j−1(D) f1(x) P1,j+1(D) · · · P1,n(D)

P2,1(D) · · · P2,j−1(D) f2(x) P2,j+1(D) · · · P2,n(D)...

. . ....

......

. . ....

Pn,1(D) · · · Pn,j−1(D) fn(x) Pn,j+1(D) · · · Pn,n(D)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Observacao.

1. Em cada uma das equacoes em (27) so aparece uma variavel dependente.

2. De acordo com o resultado anterior, se {y1, y2, · · · , yn} e uma solucao de (26) entao {y1, y2, · · · , yn} e

uma solucao de (27), mas o resultado recıproco e falso. Nem toda a solucao de (27) e solucao de (26).

Vejamos entao como se usa a proposicao anterior para resolver (26). Para i = 1, · · · , n resolve-se a

equacao ∆(D)yi = ∆i(x), que e uma equacao diferencial linear de coeficientes constantes e cuja ordem e


57

igual ao grau de ∆(D), isto e, igual a ordem do sistema, que representamos por m. Seja yi o integral geral

de ∆(D)yi = ∆i(x). Nesta famılia de funcoes aparecem m constantes. Assim ao todo, nas n famılias yi,

i = 1, · · · , n, aparecem mn constantes. Para determinar o integral geral de (26) substitui-se yi por yi em

(26), para i = 1, · · · , n, e procuram-se as solucoes do sistema (26). Isto permite diminuir o numero de

constantes arbitrarias. No final o numero de constantes deve ser igual a ordem do sistema, m.

Exemplo. Apliquemos o metodo descrito para resolver o sistema{y′′1 + y2 = 0

y′1 + y′2 = x, x ∈ R⇔

{D2y1 + y2 = 0

Dy1 +Dy2 = x, x ∈ R

O determinante caracterıstico deste sistema e

∆(D) =

∣∣∣∣∣ D2 1

D D

∣∣∣∣∣ = D3 −D

e assim o sistema tem ordem 3. Temos

∆1(x) =

∣∣∣∣∣ 0 1

x D

∣∣∣∣∣ = D0− x = −x

e

∆2(x) =

∣∣∣∣∣ D2 0

D x

∣∣∣∣∣ = D2x−D0 = 0.

Resolvendo a equacao

∆(D)y1 = ∆1(x)⇔ D(D − 1)(D + 1)y1 = −x

usando, por exemplo, o metodo polinomio anulador obtem-se

y1 =1

2x2 + c1 + c2e

x + c3e−x, c1, c2, c3 ∈ R.

A equacao

∆(D)y2 = ∆2(x)⇔ D(D − 1)(D + 1)y2 = 0

tem solucao

y2 = c4 + c5ex + c6e

−x, c4, c5, c6 ∈ R.

Temos

y′1 = x+ c2ex − c3e−x, y′′1 = 1 + c2e

x + c3e−x e y′2 = c5e

x − c6e−x.

Substituindo no sistema inicial resulta{1 + c2e

x + c3e−x + c4 + c5e

x + c6e−x = 0

x+ c2ex − c3e−x + c5e

x − c6e−x = x

⇔

{(1 + c4) + (c2 + c5)ex + (c3 + c6)e−x = 0

x+ (c2 + c5)ex + (−c3 − c6)e−x = x

⇔

1 + c4 = 0

c2 + c5 = 0

c3 + c6 = 0

⇔

c4 = −1

c5 = −c2c6 = −c3

.

Assim a solucao geral do sistema dado e{y1 = c1 + c2e

x + c3e−x + 1

2x2

y2 = −1− c2ex − c3e−x, c1, c2, c3 ∈ R.

Observacao. Se ∆(D) = 0 o sistema em causa pode ser impossıvel.


58

10 Transformada de Laplace e aplicacoes

Transformada de Laplace: definicao e propriedades

Seja f uma funcao real de variavel real definida em [0,+∞[. Chama-se transformada de Laplace de f

(se existir) a funcao F definida por

F (s) :=

∫ +∞

0

e−st f(t) dt, (28)

cujo domınio e constituıdo pelos valores de s, com s ∈ R, para os quais o integral improprio converge.

Recorde-se que o integral improprio (28) converge se para todo o b ∈ R+ existir o integral definido∫ b

0

e−st f(t) dt e, alem disso, existir limb→+∞

∫ b

0

e−st f(t) dt. A transformada de Laplace de f(t) e represen-

tada ora por F (s) ou por L {f(t)} L .

Exemplo. Seja f(t) = eat, t ∈ [0,+∞[, com a uma constante real. Averiguemos se f admite transformada

de Laplace. Seja b ∈ R+. Temos

∫ b

0

e−st f(t) dt =

∫ b

0

e(a−s)t dt =

e(a−s)b − 1

a− s, se s 6= a

b, se s = a

.

Segue-se que, se s > a,

limb→+∞

∫ b

0

e−st f(t) dt =1

s− a,

mas se s ≤ a, aquele limite nao existe. Assim,

F (s) = L {eat} =1

s− a, s > a.

Em particular, para a = 0, obtemos

L {1} =1

s, s > 0.

Uma vez que a transformada de Laplace e definida atraves de um integral improprio, e de interesse

analisar condicoes que garantam a convergencia desse integral e que, portanto, assegurem a existencia da

transformada de Laplace. Comecemos por introduzir a seguinte definicao.

Uma funcao f , real de variavel real, diz-se de ordem exponencial α (quando t → ∞) se existem

constantes positivas t0 e M , tais que

|f(t)| ≤M eαt, para todo o t ≥ t0. (29)

Exemplos.

(a) A funcao f(t) = eat e de ordem exponencial, pois satisfaz a condicao (29) com M = 1, α = a e para

qualquer t0 > 0.

(b) Para a ∈ R, a funcao f(t) = sin(at) e de ordem exponencial, ja que |f(t)| ≤ 1 e, portanto, (29)

verifica-se para M = 1, α = 0 e qualquer t0 > 0. O mesmo se verifica para a funcao f(t) = cos(at).


59

(c) Para n ∈ N, a funcao f(t) = tn e de ordem exponencial. Com efeito, pelo facto de

limt→+∞

tn

et= 0,

e usando a definicao de limite,

∃ t0 > 0 : t ≥ t0 ⇒tn

et≤ 1.

Assim,

|f(t)| = tn ≤ et, para todo o t ≥ t0,

e, portanto, f e de ordem exponencial.

Antes de enunciarmos o resultado seguinte, recordemos que uma funcao real de variavel real, f , e dita

seccionalmente contınua em I = [0,+∞[, se em cada subintervalo limitado de I a funcao for contınua em

todos os pontos desse intervalo com eventual excepcao de um numero finito de pontos, pontos esses que

devem ser de descontinuidades de primeira especie, isto e, os limites laterais nos pontos de descontinuidade

devem existir e ser finitos.

Teorema (existencia da Transformada de Laplace). Seja f uma funcao real de variavel real

seccionalmente contınua em [0,+∞[ e de ordem exponencial α. Entao existe a transformada de Laplace

de f definida, pelo menos, em ]α,+∞[.

Demonstracao. Aula Teorica

Atendendo a linearidade do integral, e facil deduzir a seguinte propriededade.

Proposicao (linearidade da transformada de Laplace). Sejam f e g duas funcoes nas condicoes

do teorema anterior. Suponhamos que L {f(t)} esta definida para s > α e que L {g(t)} esta definida

para s > β. Entao, para quaisquer c1, c2 ∈ R, a funcao c1f + c2g admite transformada de Laplace e, para

s > max(α, β),

L {(c1f + c2g)(t)} = c1L {f(t)}+ c2L {g(t)}.

Exemplo. Determine L {3 + 4e2t}.

Pelo que dissemos anteriormente, sabemos que as funcoes f(t) = sin(at), f(t) = cos(at) ou f(t) = tn

admitem transformada de Laplace. Na proposicao seguinte apresentamos as transformadas de Laplace

destas funcoes e de outras, bem como os respetivos domınios.

Proposicao.

1. Para a ∈ R, L {a} =a

s, s > 0;

2. Para n ∈ N, L {tn} =n!

sn+1, s > 0;

3. L {t−1/2} =

√π

s, s > 0;

4. Para a ∈ R, L {eat} =1

s− a, s > a;

5. Para a ∈ R, L {sin at} =a

s2 + a2, s > 0;

6. Para a ∈ R, L {cos at} =s

s2 + a2, s > 0;

7. Para a ∈ R, L {sinh at} =a

s2 − a2, s > |a|;

8. Para a ∈ R, L {cosh at} =s

s2 − a2, s > |a|.


60

Exemplos. Calcule:

(a) L {−e2t + 3 cos(5t)}; (b) L {sin2(t)}.

Teorema (da primeira translacao). Seja f uma funcao real definida em [0,+∞[ que admite trans-

formada de Laplace, F (s), definida para s > α. Entao, para a ∈ R,

L {eat f(t)} = F (s− a), definida para s tal que s > a+ α.

Demonstracao. Aula teorica

Exemplo. Calcule L {e2t sin t+ e4t sin2 t}.

Teorema (da segunda translacao). Seja f uma funcao real definida em [0,+∞[ que admite trans-

formada de Laplace, F (s), definida para s > α. Entao, para a ∈ R,

L {ua(t) f(t− a)} = e−asF (s), s > α,

onde ua e a funcao de Heaviside associada ao numero real a, definida por

ua(t) =

{0, t < a

1, t ≥ a.

Demonstracao. Aula teorica

No resultado seguinte veremos como calcular derivadas de transformadas de Laplace.

Teorema (Derivadas da transformada de Laplace). Seja n ∈ N e seja f uma funcao seccionalmente

contınua em [0,+∞[ de ordem exponencial α. Entao, para s > α,

L {tnf(t)} = (−1)nF (n)(s).

Exemplos. Calcule:

(a) L {t sin(at)}, com a ∈ R; (b) L {te−4t sin t}.

Vejamos agora como sao as transformadas de Laplace de derivadas.

Teorema (Transformada de Laplace de derivadas). Sejam n ∈ N, f, f ′, · · · , f (n−1) funcoes

contınuas e f (n) seccionalmente contınua em [0,+∞[. Suponhamos que todas estas funcoes sao de or-

dem exponencial α. Entao existe a transformada de Laplace de f (n) e

L {f (n)(t)} = snL {f(t)} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0), para s > α.


61

Notemos que, em particular,

L {f ′(t)} = sL {f(t)} − f(0) e L {f ′′(t)}(s) = s2L {f(t)} − sf(0)− f ′(0).

Veremos de seguida como se calculam transformadas de Laplace de certo tipo de integrais.

Sejam f e g funcoes reais seccionalmente contınuas em [0,+∞[. O produto de convolucao de f e g e

a funcao real, denotada por f ∗ g, definida por

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

f(τ)g(t− τ) dτ, t ≥ 0.

Exemplo. Se f(t) = t e g(t) = 1, temos

(f ∗ g)(t) =

∫ t

0

τ dτ =t2

2, t ≥ 0.

O exemplo anterior evidencia que o produto de convolucao e diferente do produto usual de funcoes.

No entanto o produto de convolucao partilha algumas das propriedades da multiplicacao usual.

Teorema (propriedades da convolucao). Sejam f, g, h funcoes reais seccionalmente contınuas em

[0,+∞[. Entao

1. f ∗ g = g ∗ f ,

2. f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h),

3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),

4. f ∗ 0 = 0.

Teorema. Sejam f e g funcoes reais seccionalmente contınuas em [0,+∞[, de ordem exponencial α.

Entao

L {(f ∗ g)(t)} = F (s)G(s)

onde F (s) = L {f(t)} e G(s) = L {g(t)}.

Corolario. Seja f uma funcao real seccionalmente contınua em [0,+∞[ e de ordem exponencial α. Entao

L

{∫ t

0

f(τ) dτ

}=F (s)

s, s > max(0, α).

Transformada de Laplace inversa

Recordemos que: dada uma funcao f : [0,+∞[→ R a sua transformada de Laplace, se existir, e uma

funcao de variavel s definida por

F (s) =

∫ +∞

0

e−st f(t) dt,

para os valores de s para os quais este integral improprio converge. Vimos que se f for seccionalmente

contınua e de ordem exponencial α entao existe a transformada de Laplace de f , F (s) = L {f(t)}, s > α.


62

Consideremos agora o problema inverso: dada uma funcao F , na variavel s, existira uma funcao f(t)

tal que F (s) = L {f(t)}? Pode existir ou nao. A funcao f , se existir, diz-se a transformada de Laplace

inversa de F e escreve-se f(t) = L −1{F (s)}.Notemos que a transformada de Laplace inversa de uma funcao F (s) pode nao ser unica. Pode

acontecer que L {f1(t)} = L {f2(t)} com f1 6= f2. Tal deve-se ao facto de a transformada de Laplace

ser definida atraves de um integral, cujo valor nao e afectado se forem alterados os valores da funcao

integranda num numero finito de pontos isolados. No entanto, se f1 e f2 forem contınuas em [0,+∞[ e

L {f1(t)} = L {f2(t)}, entao f1 = f2 em [0,+∞[.

Antes de prosseguirmos, vejamos a utilidade do calculo da transformada de Laplace inversa. Conside-

remos o seguinte problema de valor inicial

y′′ − y = −t, y(0) = 0, y′(0) = 1.

Se aplicarmos a transformada de Laplace a ambos os membros da equacao diferencial e usarmos a linea-

ridade da transformada, obtemos

L {y′′(t)} − Y (s) = − 1

s2,

onde Y (s) = L {y(t)}. Usando as propriedades da transformada de Laplace e as condicoes iniciais, temos

sucessivamente

s2Y (s)− sy(0)− y′(0)− Y (s) = − 1

s2

⇔ s2Y (s)− 1− Y (s) = − 1

s2

⇔ (s2 − 1)Y (s) =s2 − 1

s2.

⇔ Y (s) =1

s2.

Entao y(t) = L −1{1/s2} = t e a solucao do problema de valor inicial. Notemos que y(t) = t nao e a unica

funcao cuja transformada de Laplace e 1/s2. Por exemplo, se g for a funcao definida por

g(t) =

{t, se t 6= 3

0, se t = 3,

a transformada de Laplace de g tambem e 1/s2. Como foi acima referido, tal deve-se ao facto de a

transformada de Laplace ser definida atraves de um integral, cujo valor nao e afectado se forem alterados

os valores da funcao integranda num numero finito de pontos isolados. No entanto ha uma diferenca

importante entre y e g, e que a funcao y e contınua em [0,+∞[ enquanto g nao e. Interessam-nos funcoes

contınuas, uma vez que o objetivo e encontrar solucoes de equacoes diferenciais.

Exemplos. Determine L −1{F (s)}, em cada um dos seguintes casos.

(a) F (s) =2

s3; (b) F (s) =

2

s2 + 4; (c) F (s) =

s− 1

s2 − 2s+ 5.

Nos exemplos anteriores foi possıvel usar diretamente a informacao disponibilizada na Tabela da Trans-

formada de Laplace. Contudo, nem sempre as funcoes das quais se pretende calcular a transformada de

Laplace inversa estao nesta forma. Podera assim ser util o seguinte resultado, o qual e consequencia da

linearidade de L .


63

Proposicao. Sejam F e G funcoes que admitem transformadas de Laplace inversas e sejam c1, c2 ∈ R.

Entao

L −1{c1F (s) + c2G(s)} = c1L−1{F (s)}+ c2L

−1{G(s)}.

Exemplos. Determine L −1{F (s)}, onde

(a) F (s) =1

s4; (b) F (s) =

1

(s+ 1)5; (c) F (s) =

2s+ 1

s2 + 3.

Para determinar a transformada de Laplace inversa de funcoes racionais na forma P (s)Q(s) , onde P (s)

e Q(s) sao polinomios com o grau de P inferior ao de Q, e importante decompor a funcao em fracoes

simples, tal como e feito para o calculo de primitivas de funcoes racionais. Assim ha tres casos a distinguir,

consoante as raızes de Q sejam reais simples, reais multiplas ou complexas. Recordemos que:

1) Se todas as raızes de Q(s) sao reais e distintas; sejam elas r1, r2, · · · , rn, entao existem numeros reais

A1, A2, · · ·An, tais queP (s)

Q(s)=

A1

s− r1+

A2

s− r2+ · · ·+ An

s− rn.

2) Se Q(s) tem alguma raiz real r de multiplicidade m, na expansao em fracoes simples correspondem

as parcelasA1

s− r+

A2

(s− r)2+ · · · Am

(s− r)m,

com A1, A2, · · ·Am numeros reais.

3) Se a±bi sao raızes complexas conjugadas de Q(s) com multiplicidade m, entao a parte correspondente

na expansao em fracoes simples e

C1s+D1

(s− a)2 + b2+

C2s+D2

[(s− a)2 + b2]2+ · · · Cms+Dm

[(s− a)2 + b2]m,

com Ci, Di, i = 1, · · · ,m numeros reais.

As constantes podem ser determinadas usando, por exemplo, o metodo dos coeficientes indetermina-

dos.

Exemplos. Calcule:

(a) L −1{

3

s2 + 3s− 10

}; (b) L −1

{3s− 1

s3 − 2s2 + 2s

}; (c) L −1

{s2 + 9s+ 2

(s− 1)2(s+ 3)

}; (d) L −1

{1

(s2 + 1)2

}.

Aplicacao a resolucao de equacoes diferenciais lineares com coeficientes constantes

A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equacoes diferenciais lineares com coeficien-

tes constantes sujeitas a condicoes iniciais em t = 0. Estudamos anteriormente metodos para resolver

este tipo de problemas. Os metodos usados anteriormente consistiam em encontrar em primeiro lugar a

solucao geral da equacao diferencial e usar depois as condicoes iniciais para encontrar a solucao particular

pretendida. Como veremos a transformada de Laplace permite encontrar a solucao do problema de valor

inicial sem necessidade de encontrar a solucao geral da equacao diferencial. Outra vantagem do metodo da


64

transformada de Laplace, e que este permite considerar equacoes diferenciais em que o termo independente

tenha algumas descontinuidades, em particular funcoes definidas por recurso a funcao de Heaviside.

Vejamos entao de que modo a transformada de Laplace pode ser aplicada para resolver problemas de

valor inicial.

Seja I ⊂ [0,+∞[ um intervalo tal que 0 ∈ I. Consideremos o problema de valor inicial{any

(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = g(t), t ∈ Iy(j)(0) = cj , j = 0, · · · , n− 1

onde an 6= 0. Se necessario estendemos g a [0,+∞[ definindo g(t) = 0 para t /∈ I e suponhamos que

g admite transformada de Laplace (basta que seja seccionalmente contınua e de ordem exponencial).

Suponhamos ainda que a equacao diferencial dada tem solucoes admitindo transformadas de Laplace (na

pratica tal sera constatado no final, apos a obtencao da solucao).

Apliquemos o seguinte metodo:

(i) Tomemos a transformada de Laplace a ambos os membros da equacao diferencial.

(ii) Usemos as propriedades da transformada de Laplace e as condicoes iniciais de modo a obter uma

equacao para a transformada de Laplace da funcao incognita Y (s) = L {y(t)} e resolvamos essa

equacao de modo a obter uma expressao para Y (s).

(iii) Determinemos a transformada de Laplace inversa de Y (s), obtendo-se y(t) = L −1{Y (s)} a solucao

do problema de valor inicial dado.

Exemplo. Utilizemos a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial

y′′ + y = t, y(0) = 1, y′(0) = 2, t ≥ 0.

Seja Y (s) = L {y(t)}. A partir da equacao diferencial dada, usando as propriedades da transformada

de Laplace e as condicoes iniciais, temos sucessivamente

L {y′′ + y} = L {t}

⇔ s2Y (s)− sy(0)− y′(0) + Y (s) =1

s2

⇔ (s2 + 1)Y (s) =1

s2+ s+ 2

⇔ Y (s) =1

s2(s2 + 1)+

s

s2 + 1+

2

s2 + 1.

⇔ Y (s) =1

s2− 1

s2 + 1+

s

s2 + 1+

2

s2 + 1.

A solucao do problema de valor inicial dado e entao

y(t) = L −1{

1

s2− 1

s2 + 1+

s

s2 + 1+

2

s2 + 1

}= L −1

{1

s2

}+ L −1

{1

s2 + 1

}+ L −1

{s

s2 + 1

}= t+ sin t+ cos t.


65

Exemplo. Determine a solucao de cada um dos seguintes problemas:

(a) y′′ + 4y =

{t, t < 2

5, t > 2, y(0) = −1, y′(0) = 0.

(b) y′′ − y = t− 2, y(2) = 3, y′(2) = 0.

A transformada de Laplace pode tambem ser utilizada para determinar a solucao de um sistema de

equacoes diferenciais de ordem n (n ≥ 1), de coeficientes constantes, sujeito a condicoes iniciais. Aplicando

a transformada de Laplace a cada uma das equacoes diferenciais que constituem o sistema, obtemos um

sistema de equacoes algebricas nas variaveis que sao as transformadas de Laplace das funcoes que intervem

nas equacoes diferenciais dadas. Apos se proceder a determinacao da solucao do sistema de equacoes

algebricas, as funcoes solucao do sistema de equacoes diferenciais obtem-se aplicando L −1 as solucoes do

sistema algebrico.

Exemplo. Determinemos a solucao do sistema{x′(t)− 2x(t) + 2y(t) = 0

y′(t)− y(t) + 3x(t) = 0

sujeito as condicoes iniciais x(0) = 5 e y(0) = 0.

Aplicando a transformada de Laplace a cada uma das equacoes diferencias que constituem o sistema

e considerando X(s) = L {x(t)} e Y (s) = L {y(t)}, resulta{sX(s)− x(0)− 2X(s) + 2Y (s) = 0

sY (s)− y(0)− Y (s) + 3X(s) = 0⇔

{(s− 2)X(s) + 2Y (s) = 5

3X(s) + (s− 1)Y (s) = 0.

Usando a regra de Cramer, vem

X(s) =

∣∣∣∣∣ 5 2

0 s− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ s− 2 2

3 s− 1

∣∣∣∣∣=

5(s− 1)

s2 − 3s− 4e Y (s) =

∣∣∣∣∣ s− 2 5

3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ s− 2 2

3 s− 1

∣∣∣∣∣=

−15

s2 − 3s− 4.

Como5(s− 1)

s2 − 3s− 4=

3

s− 4+

2

s+ 1e

−15

s2 − 3s− 4=−3

s− 4+

3

s+ 1

a solucao do problema e dada por

x(t) = L −1{

3

s− 4+

2

s+ 1

}= 3e4t + 2e−t

e

y(t) = L −1{−3

s− 4+

3

s+ 1

}= −3e4t + 3e−t.


Bibliografia

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