poligonos inscritos
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COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA Professor Antonio Carlos Carneiro barroso 4. TEOREMA DE TALES
a
b
c
e
d
f
f
c
e
b
d
a ==
TEOREMA DE TALES: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais
COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA Professor Antonio Carlos carneiro barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER:
h
b2
.hbA =
TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
4
3.2lA =
l
l l
FÓRMULA DE HERON:
cb )).().(.( cpbpappA −−−=a
*p = semi-perímetro
COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
DADO UM ÂNGULO:
senCbaA ...2
1=cb
a
A
C B
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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:
R
cbaA
.4
..=
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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER CIRCUNSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:
*p = semi-perímetro
rpA
rcba
A
rcrbraA
rcrbraA
.
.2
)(2
...2
.
2
.
2
.
=
++=
++=
++=
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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.2. PARALELOGRAMOS
Retângulo
Quadrado
Paralelogramo
hbA .= Losango
2dD
A.=
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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
hbB
A .)(
2+=
5.3. TRAPÉZIOS
Trapézio
h
OBSERVAÇÃO:
Em qualquer polígono regular, a área é dada por:
A = p.a*p = semi-perímetro a = apótema
COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA
Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
Trapézio Escaleno Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo
a) Tipos de Trapézios
COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA
Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
b) Base Média
c) Mediana de Euler
A B
CD
M NE F
2
CDABEF
−=
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Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
d) DiagramasQuadriláteros
Trapézios
Paralelogramos
Losangos RetângulosQuadrados
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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
6.1. Triângulo Eqüilátero
INSCRITOS
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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
6.2. Quadrado
2lS
2
la
2
2l.r
=
=
=
INSCRITOS
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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
6.3. Hexágono regular
4
3.R.6S
2
3.Ra
2=
=
INSCRITOS
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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
CIRCUNSCRITOS
*p = semi-perímetro
rpA .=
oDC 180ˆˆ =+
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Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
OBSERVAÇÕES:
a) Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares.
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6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
OBSERVAÇÕES:
b) Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.
a
b
c
d
a + c = b + d
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QUESTÕES
Questão 2:
Determine a medida y, na figura abaixo, sabendo que x + z = y e que r//s//t//u.a) 8b) 9c) 10d) 12e) 14
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QUESTÕES
Solução:
y – 3 = 9 y = 12
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Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso QUESTÕES
Questão 4:
(UFPI) A área do quadrado ABCD inscrito no triângulo retângulo DEF abaixo é:a) 42,25cm2
b) 36cm2
c) 46,24cm2
d) 39,32cm2
e) 49cm2
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QUESTÕES
Solução:
6
150.25
.15150.10
15
10
10
==
−=
=−
l
l
llll
2
2
2
36
6
cmA
A
lA
===
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Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso QUESTÕES
Questão 5:
A figura abaixo mostra uma circunferência de raio 6cm inscrita em um trapézio retângulo. Calcule a área desse trapézio.a) 110cm2
b) 120cm2
c) 130cm2
d) 140cm2
e) 150cm2
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QUESTÕES
Solução:
r = 6cm
12cm
10cm
2150
12.2
)1015(
.2
)(
cmA
A
hbB
A
=
+=
+=
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QUESTÕES
Questão 8:
(UFBA/95) Num triângulo ABC, o lado AB mede 1 u.c., o lado BC u.c. e o ângulo B mede 30º. Assim, pode-se afirmar: 0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.1 1 O triângulo é obtusângulo.2 2 O triângulo é isósceles.3 3 A medida da área do triângulo é u.a.4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB, mede u.c.
3
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Solução:
A
B C
1
√3
30o
x
11
331
2
3.3.231
30cos.3.1.231
2
2
2
222
=∴=−+=
−+
−+=
xx
x
x
x
CossenosdosLei
o
1
0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.1 1 O triângulo é obtusângulo.2 2 O triângulo é isósceles.3 3 A medida da área do triângulo é √3/4 u.a.4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB, mede √2/2 u.c.
XXX
1/2
4
3
221.3
2
.
=
=
=
A
A
hbA
X
2
3
2
.1
4
3
2
.
=
=
=
h
h
hbA
X
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QUESTÕES
Questão 9:
(COVEST/2005) Uma propriedade rural tem a forma do triângulo ABC representado na figura. A região cultivada corresponde apenas à porção sombreada. Sabendo-se que AD = AB e AE = AC, que porcentagem da área da propriedade rural é cultivada?
a) 50%b) 60%c) 66%d) 75%e) 1/2.(2/3 + 3/4).100%
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Solução:
x
y
3/4.x
2/3.y
θsenyxAprop ...2
1. =
θ
θsenyxAcult ..3
2..
4
3.2
1. =
θsenyxAcult ...4
1. =
.. .%50 propcult AA =
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Questão 12:
(UPE 2003) 0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em 16%.1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam um triângulo obtusângulo.2 2 O apótema de um hexágono regular de lado λ é λ.√3 3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.√3 u.c.4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais.
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QUESTÕES
Solução:
0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em 16%.
2
..84,0
2
.7,0..2,12
.
' hbhbA
hbA
==
=
X
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Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso QUESTÕES
Solução:
1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam um triângulo obtusângulo.
61100
3625100
6510 222
⟩+⟩+⟩
X
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Solução:
2 2 O apótema de um hexágono regular de lado λ é λ.√3 X
ap
l
2
3.lap =
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QUESTÕES
Solução:
3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.√3 u.c.
X
2 2
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QUESTÕES
Solução:
4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais.X
A
B CPPC
AC
BP
AB =
Teorema da Bissetriz Interna
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Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso QUESTÕES
Questão 13:
(COVEST 2003) A razão entre a área do triângulo e a área do círculo inscrito, ilustrados na figura abaixo, é:
π
π
π
π
π
1)e
4)d
18)c
6)b
12)a
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QUESTÕES
Solução:
62
3.42
.
=
=
=
t
t
t
A
A
hbA
1
.2
)543(6
.
=
++=
=
r
r
rpAt
πππ
==
=
c
c
c
A
A
rA2
2
1.
.
π6=
c
t
A
A
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Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso QUESTÕES
Questão 14:
(U.F.Uberlândia-MG/adaptada) Calcule a área de um triângulo retângulo em que um dos catetos mede 5 cm e o raio da circunferência inscrita mede 2cm.a) 20cm2
b) 25cm2
c) 30cm2
d) 40cm2
e) 50cm2
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Solução:
2 cm
3 cm
3 cm
2 cm
x
x
cmxx
xxxx
xx
1020.2
.4425.69
)2(5)3(22
222
=∴=+++=++
++=+
230
2
5.122
.
cmA
A
hbA
=
=
=
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QUESTÕES
Questão 15:
(UFAC) A figura representa um trapézio cujas bases AB e DC medem 6dm e 10dm. Sendo M e N pontos médios dos lados AD e BC, conclui-se que a medida do segmento PQ é:a) 3dm b) 2dm c) 3,1dm d) 2,8dm e) 3,2dm
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Solução:
dmPQ
PQ
EulerdeMediana
22
)610(
=
−=
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Questão 16:
Em um triângulo retângulo ABC a hipotenusa BC mede 15cm e o cateto AB mede 9cm. Calcule a distância do baricentro G à reta AC.a) 1cmb) 2cmc) 3cmd) 4cme) 5cm
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Solução:
15 cm
9 cm
12 cm
4,5 cm
cmd
d
3
5,4.3
2
=
=
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Questão 18:
(UFMT) No hexágono regular ABCDEF inscrito na circunferência de raio 4cm, a medida da diagonal FB é:
cm15)e
cm26)d
cm34)c
cm8,6)b
cm6)a
oi xnS 180)2( −=
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Solução:
oi
oi
S
xS
720
180)26(
=
−=120o 4 cm
4 cm
2 cm
30o
2.√ 3
2.√ 3
4.√ 3
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Questão 19:
Um quadrado ABCD e um triângulo eqüilátero EFG estão inscritos na mesma circunferência de raio 6 cm de modo que AB//EF, conforme a figura. Calcule a distância entre os lados AB e EF.
)32.(3)e
)32.(2)d
)33.(3)c
)23.(2)b
)22.(3)a
−
−
−
−
−
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QUESTÕES
Solução:
cmap
ap
apr
q
q
q
6
2.2.6
2.
=
=
=
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QUESTÕES
Solução:
cmr 2.6=
tap cm2.3=
)22.(3
2.36
−=
−=
−=
d
d
apapd tq
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