o problema de localização de...

O Problema de Localização de Instalações

Autores: Giovana, Nereida, Mariana

Universidade de Sao Paulo

4 de dezembro de 2015

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Roteiro

1 IntroduçãoImportância do problemaDescrição do problema

2 Uncapacitated Facility Location Problem

3 Algoritmo de Aproximação JMSAlgoritmo Primal-DualRazão de aproximação JMS

4 Algoritmo de Metaheurístico TABU

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Introdução

Importância do problema

Selecionar a localização de instalações pode ser visto como um problema de decisãoeconômica.

Descrição do problema

O problema de localização de instalações pode ser resumido em escolher a posiçãode um conjunto de instalações tendo como objetivo conectar os clientes com asinstalações minimizando os custos.

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Descrição do problema

B

D

A

C

Figura: Solução para o problema Fermat Webner de 3 pontos.

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Uncapacitated Facility Location ProblemUFLP (C,F , fi, cij) é definido como:

conjunto finito de m clientes C

conjunto finito de n instalações Fcustos fixos por abertura fi

custo de serviço ou conexão cij

Onde procuramos:subconjunto S de instalações (abertas)conectar os clientes às instalações abertasminimizar os custos de abertura e de conexão

custo(S) =∑i∈S

fi +∑j∈C

mini′∈S

ci′j

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NP-Dificil

Problema MinCC (E; S; c ): Dados um conjunto finito E, uma coleção finita S deconjuntos finitos que cobre E e um custo cS em Q para cada S em S , encontrar umacobertura T de E que minimize c(T ).

Podemos escrever o UFLP (C,F , fi, cij) como um instância (E,S, c) do problema decobertura de conjuntos, basta definirmos:C := E conjunto de clientes, F := S e fs := c(S), para S ⊂ S .O custo de conexão cij como: zero, se j ∈ S ⊂ S ou ∞, se j ∈ E \ S.

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NP-Dificil

Problema MinCC (E; S; c ): Dados um conjunto finito E, uma coleção finita S deconjuntos finitos que cobre E e um custo cS em Q para cada S em S , encontrar umacobertura T de E que minimize c(T ).

Podemos escrever o UFLP (C,F , fi, cij) como um instância (E,S, c) do problema decobertura de conjuntos, basta definirmos:C := E conjunto de clientes, F := S e fs := c(S), para S ⊂ S .O custo de conexão cij como: zero, se j ∈ S ⊂ S ou ∞, se j ∈ E \ S.

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Algoritmo de Aproximação JMS

O algoritmo proposto por Jain, Mahdian e Saberi, JMS, tem como ideia central queclientes já conectados, ainda podem oferecer certa quantia a outras instalações. Issose a possibilidade de reconexão com alguma dessas novas instalações oferece algumbenefício ou se elas estão mais próximas.

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Algoritmo de Aproximação JMS

j desconectados, i fechadas, t = 0, e orçamento de j, Bj = 0.

1 Em cada tempo, cada um dos clientes oferece alguma quantia do seu orçamentoà cada instalação fechada.

se j é não conectado, a quantia oferecida é o max(Bj − cij , 0)se j está conectado com a instalação i′, o cliente oferece para a instalação i omax(ci′j − cij , 0)

2 Enquanto j não esteja conectado, incrementar t e Bj com mesma taxa, até que:Para i não aberta a quantia oferecida seja igual a fi.Para j não conectado e i já aberta, Bj seja igual a cij .

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Algoritmo Primal-Dual

Esse problema pode ser escrito como programação inteira:

minimizar∑S∈S

cSxS

sujeito a ∀j ∈ C :∑S:j∈S

xS ≥ 1

∀S ∈ S : xS ∈ {0, 1}

(1)

Onde xs = 1 se a estrela S é escolhida e xs = 0 caso contrário.

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Algoritmo Primal-Dual

A relaxação linear do problema é:

minimizar∑S∈S

cSxS

sujeito a ∀j ∈ C :∑S:j∈S

xS ≥ 1

∀S ∈ S : xS ≥ 0

(2)

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Algoritmo Primal-Dual

E o dual do problema é:

maximizar∑j∈C

αj

sujeito a ∀S ∈ S :∑

j∈S∩C

αj ≤ cS

∀j ∈ C : αj ≥ 0

(3)

Onde αj é quanto j contribuiu no custo total da conexão.

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Algoritmo Primal-DualSolução para UFLP depende da quota αj :

T =∑j∈C

αj

Para as estrelas: ∑j∈S∩C

αj ≤ γCS (4)

Sendo A a coleção de clientes j conectados a cada instalação i aberta na soluçãoótima: ∑

j∈A

αj ≤ γ(fi +∑j∈A

cij) (5)

onde γ, que é um número fixo ≥ 1, é a taxa de aproximação do algoritmo LP.

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Algoritmo Primal-DualSolução para UFLP depende da quota αj :

T =∑j∈C

αj

Para as estrelas: ∑j∈S∩C

αj ≤ γCS (4)

Sendo A a coleção de clientes j conectados a cada instalação i aberta na soluçãoótima: ∑

j∈A

αj ≤ γ(fi +∑j∈A

cij) (5)

onde γ, que é um número fixo ≥ 1, é a taxa de aproximação do algoritmo LP.14 / 36

Razão de aproximação JMS

Estrela S está formada por uma instalação i é um conjunto de m clientes.

Custo de abertura de instalação é f .Custo de conexão entre i e um cliente j, dj .A quota de j do custo total da solução é αj .

Assumindo que as quotas seguem a ordem:

α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αm (6)

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Razão de aproximação JMS

Momento antes de i ser conectado t = αi − ε.Para cada j < i:

Se j está conectado a alguma instalação => rj,i = dj

Cc. rj,i := αj Isso se e somente se αi = αj

j conectou-se com uma instalação:Bj é constante,j não pode retirar sua contribuição,j não pode reconectar-se com is com um maior custo de conexão.

Para cada j:rj,j+1 ≥ rj,j+2 ≥ ...rj,m (7)

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Razão de aproximação JMS

Momento antes de i ser conectado t = αi − ε.Para cada j < i:

Se j está conectado a alguma instalação => rj,i = dj

Cc. rj,i := αj Isso se e somente se αi = αj

j conectou-se com uma instalação:Bj é constante,j não pode retirar sua contribuição,j não pode reconectar-se com is com um maior custo de conexão.

Para cada j:rj,j+1 ≥ rj,j+2 ≥ ...rj,m (7)

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Razão de aproximação JMS

Momento antes de i ser conectado t = αi − ε.Para cada j < i:

Se j está conectado a alguma instalação => rj,i = dj

Cc. rj,i := αj Isso se e somente se αi = αj

j conectou-se com uma instalação:Bj é constante,j não pode retirar sua contribuição,j não pode reconectar-se com is com um maior custo de conexão.

Para cada j:rj,j+1 ≥ rj,j+2 ≥ ...rj,m (7)

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Razão de aproximação JMS

Em t = αi − ε, a quantidade que j oferece a f é :

max(rj,i − dj, 0) se j < i, emax(t− dj, 0) se j ≥ i.

(8)

A $ que j oferece a i não pode ser > que f . Assim, para todo i:

i−1∑j=1

max(rj,i − dj, 0) +m∑j=i

max(αi − dj, 0) ≤ f (9)

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Razão de aproximação JMS

Em t = αi − ε, a quantidade que j oferece a f é :

max(rj,i − dj, 0) se j < i, emax(t− dj, 0) se j ≥ i.

(8)

A $ que j oferece a i não pode ser > que f . Assim, para todo i:

i−1∑j=1

max(rj,i − dj, 0) +m∑j=i

max(αi − dj, 0) ≤ f (9)

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Razão de aproximação JMS

Para j < i:

Sendo f ′ a instalação na qual j está conectado em t = αi − ε.

O custo de conexão cf ′i é no máximo rj,i + di + djcf ′i não pode ser menor que t

Quando j não esta conectado, αi = αj

rj,i + di + dj não é maior que t

Assim para 1 ≤ j < i ≤ k:αi ≤ rji + di + dj (10)

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Razão de aproximação JMS

Para j < i:

Sendo f ′ a instalação na qual j está conectado em t = αi − ε.

O custo de conexão cf ′i é no máximo rj,i + di + djcf ′i não pode ser menor que t

Quando j não esta conectado, αi = αj

rj,i + di + dj não é maior que t

Assim para 1 ≤ j < i ≤ k:αi ≤ rji + di + dj (10)

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Razão de aproximação JMSPrograma de fator de revelação LP.

maximizar∑m

i=1 αi

f +∑m

i=1 di

sujeito a ∀ 1 ≤ i < m : αi ≤ αi+1

∀ 1 ≤ j < i < m : rj,i ≥ rj,i + 1

∀ 1 ≤ j < i < m : αi ≤ rj,i + di + dj

∀ 1 ≤ i ≤ m :i−1∑j=1

max(rj,i − dj, 0) +i−1∑j=i

max(αi − dj, 0) ≤ f

∀ 1 ≤ j ≤ i ≤ m : αj, dj, f, rj,i

(11)

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Algoritmo de Aproximação JMS

Lema 1O custo da solução encontrada pelo algoritmo é igual a soma de αj ’s (soma dasquotas de cada cliente).

Lema 2Se zm é a solução do programa de revelação LP, para cada estrela S composta poruma instalação e m clientes, a soma de α′

js dos clientes S no algoritmo JMS é nomáximo zmcs

Lema 3Seja zm o conjunto de soluções do fator revelação LP e γ := supmzm. Logo, oalgoritmo resolve o problema métrico de localização de instalações com um fator deaproximação γ.

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Algoritmo de Aproximação JMS

Lema 1O custo da solução encontrada pelo algoritmo é igual a soma de αj ’s (soma dasquotas de cada cliente).

Lema 2Se zm é a solução do programa de revelação LP, para cada estrela S composta poruma instalação e m clientes, a soma de α′

js dos clientes S no algoritmo JMS é nomáximo zmcs

Lema 3Seja zm o conjunto de soluções do fator revelação LP e γ := supmzm. Logo, oalgoritmo resolve o problema métrico de localização de instalações com um fator deaproximação γ.

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Algoritmo de Aproximação JMS

Lema 1O custo da solução encontrada pelo algoritmo é igual a soma de αj ’s (soma dasquotas de cada cliente).

Lema 2Se zm é a solução do programa de revelação LP, para cada estrela S composta poruma instalação e m clientes, a soma de α′

js dos clientes S no algoritmo JMS é nomáximo zmcs

Lema 3Seja zm o conjunto de soluções do fator revelação LP e γ := supmzm. Logo, oalgoritmo resolve o problema métrico de localização de instalações com um fator deaproximação γ.

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Algoritmo de Metaheurístico TABU

Ideia Geral

Começando por S uma solução factível, o algoritmo altera o estado (aberta oufechada) de instalações para ver se essa mudança diminui ou não o custo de S,respeitando uma lista tabu de instalações que não podem ser alteradas.

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Algoritmo de Metaheurístico TABU : Definiçõesprevias

Uma vizinhança N(S) = {S(i)|S(i) = S \ {i} fechando i

ou S(i) = S ∪ {i} abrindo i }

MelhorGanho(S) = Custo(S)− maxS(i)∈N(S)

Custo(S(i))

MelhoresAlteracoes(S) = {i|Custo(S(i)) = maxS(i)∈N(S)

Custo(S(i))}

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Algoritmo de Metaheurístico TABU : PseudocodigoAlgoritmo 1: Busca Tabuinício

S ← uma solução viável;custo(S∗) =∞ ;repita

se MelhorGanho > 0 entãoAplica alteração aleatória com MelhoresAlteracoes, atualizar a lista tabu e seutamanho;

senãoFecha instalação aleatória;Atualiza S - conexões de cidades e estruturas de dados;

fimse (custo(S) < custo(S∗)) então

do S∗ ← S ;

até S∗ mudou nas últimas 500 iterações;fim

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Comparação Numérica

Galvão e Raggi : Casos métricos menores, onde n = m, cij caminho mais curtoe fi é dadas por uma distribuição normal.K -median: instâncias de grande escala, onde n = m são pontos independentesnum plano, cij são as distâncias euclidiana e fi são mesmos para todas as i.

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Comparação Numérica

Tabela: Galvão

Instância Ótimo JMS TABUTempo < Custo > Erro % Tempo < Custo > Erro %

50 175802 0,001 175802 0,000 0,002 175802 0,00070 238515 0,000 238515 0,000 0,003 238515 0,000100 623551 0,001 623551 0,000 0,004 623551 0,000150 3250461 0,002 3258471 0,246 0,006 3256208 0,177200 1975734 0,003 1977268 0,078 0,011 1978038 0,117

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Comparação Numérica

Tabela: K-median

Instância Ótimo JMS TABUTempo < Custo > Erro % Tempo < Custo > Erro %

500 798577 0,034 808090 1,191 0,071 799045 0,0591000 1434154 0,168 1448286 0,985 0,324 1436322,6 0,1511500 2000801 0,411 2029316 1,425 0,714 2007909 0,3552000 2558118 0,775 2587422 1,146 1,341 2574153 0,6273000 3570766 2,165 3620604 1,396 3,299 3583415 0,354

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Conclusão

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Tamanho das instancias

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Tem

po (s

egun

dos)

Figura: Gráfico de comparação de tempo de execução 33 / 36

Conclusão

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Tamanho das instancias

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

% E

rro

Figura: Gráfico de comparação de erro em relação ao ótimo 34 / 36

Conclusão

Em vista dos resultados obtidos, chegamos na conlusão que em questão dequalidade de solução o TABU possui melhores resultados. Porém em questão detempo é preferível o JMS.

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Obrigada!

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