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MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA BANCADA EXPERIMENTAL ACIONADA

PNEUMATICAMENTE PARA SIMULAÇÃO DE ACLIVES DE TERRENOS

Márcia Regina Maboni Hoppen Porsch 1, Antonio Carlos Valdiero 2,Márcia Fritsch Gonçalves 3,Luis Antonio Rasia 4 , Douglas Ritter 5

1 DETEC/UNIJUI, Panambi, Brasil, marcia_porsch@hotmail.com

2 DETEC/UNIJUI, Panambi, Brasil, valdiero@unijui.edu.br 3 DETEC/UNIJUI, Panambi, Brasil, marcia_fgo@hotmail.com

4 DETEC/UNIJUI, Panambi,Brasil,rasia@unijui.edu.br 5 DETEC/UNIJUI,Panambi,Brasil,ritter_douglas@yahoo.com.br

Resumo: Apresenta-se a modelagem matemática e a simulação computacional da dinâmica de uma bancada acionada por atuadores pneumáticos para simulação de terrenos inclinados, resultando num modelo de 4ª ordem. A simulação de terrenos inclinados é importante para prever as condições de funcionamento em laboratório de máquinas agrícolas nas condições em campo. Palavras-Chave: Servoposicionador pneumático, simulação computacional de declives, aplicações de engenharia.

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho trata da modelagem matemática e da simulação computacional de uma bancada experimental para simulação de terrenos inclinados, que inclui a dinâmica de atuadores pneumáticos e do atrito viscoso, resultando em um sistema de equações diferenciais ordinárias de 4ª ordem.

A bancada de simulação dinâmica da declividade de terrenos é muito útil para testes de laboratório, prevendo as mesmas condições de oscilações encontradas em campo. O objetivo é simular as variações de inclinação lateral de uma colheitadeira autopropelida de grãos. O uso de atuadores pneumáticos tem como vantagens a boa relação força/tamanho, a flexibilidade de instalação, são de baixo custo e limpos e estão disponíveis em quase todas as instalações laboratoriais [1].

Mas existem dificuldades de modelagem e controle de acionamentos pneumáticos devido às suas diversas características não lineares [1, 2], como a compressibilidade do ar, o comportamento não linear da vazão mássica nos orifícios da válvula, a não linearidade de zona morta na válvula, bem como o atrito nas vedações do cilindro [1]. A junção destas não linearidades em um só modelo matemático é importante [1]. A modelagem matemática pode ser aplicada na simulação do comportamento do sistema dinâmico, como também em aplicações de controle ótimo [3] como uma forma de compensar essas características não lineares e minimizar seus efeitos danosos, os quais prejudicam o desempenho do sistema.

Este trabalho propõe e descreve um modelo matemático para a bancada experimental acionada por um atuador pneumático, a partir das principais características não

lineares deste sistema dinâmico, incluindo neste modelo a dinâmica inercial da bancada experimental para terrenos inclinados, bem como sua simulação computacional. Os parâmetros do sistema são escolhidos a partir de dados experimentais do protótipo da bancada de laboratório. Como principais contribuições, têm-se a modelagem matemática e um esquema de simulação computacional do comportamento dos componentes do sistema.

Na seção 2 é apresentada a descrição da bancada e do sistema de acionamento pneumático utilizado. A seção 3 apresenta a modelagem do modelo matemático utilizado nas simulações e apresenta os parâmetros do sistema, bem como a metodologia empregada nas simulações computacionais. Na seção 4 estão os resultados obtidos a partir de simulações assim como as suas discussões. E finalmente na seção 5 as conclusões sobre o trabalho desenvolvido.

2. DESCRIÇÃO DA BANCADA E DO SISTEMA DE ACIONAMENTO PNEUMÁTICO

A bancada experimental é formada por um mecanismo, composto de uma base fixa e uma plataforma móvel (movimentos angulares); um acionamento composto por uma servoválvula de controle direcional e um cilindro pneumático de haste simples; e um sistema de controle composto por uma placa de controle e aquisição de dados dSPACE 1104 que utiliza a integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk como meio de programação. A bancada realiza a tarefa de simular a inclinação angular transversal do sistema em terrenos inclinados.

Na Fig. 1 está ilustrado o desenho esquemático da bancada experimental de aplicação do atuador pneumático e a foto do estado atual de sua construção. A Fig. 2 representa o desenho esquemático de um atuador pneumático utilizado. O atuador pneumático funciona com o ar comprimido que é fornecido a servoválvula a uma dada pressão de suprimento previamente regulada. Durante a operação, o sinal de controle u energiza o solenóide da válvula de modo que uma força magnética resultante é aplicada no carretel da servoválvula, produzindo o deslocamento do carretel. Este, ao ser deslocado, abre os orifícios de controle para que uma das câmaras do cilindro seja ligada a linha de pressão de

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http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0172

Modelagem Matemática de uma Bancada Experimental Acionada Pneumáticamente para Simulação de Aclives de Terrenos Márcia Hoppen Porsch,Antonio Carlos Valdiero,Marcia Gonçalves,Luiz Antonio Rasia,Douglas Ritter.

suprimento e a outra seja ligada a pressão atmosférica. Dessa forma, produzindo uma diferença de pressão nas câmaras do cilindro, que dá origem a uma força pneumática resultante que move o êmbolo do cilindro e gera um deslocamento positivo ou negativo y, dependendo do sinal de entrada. O cilindro pneumático, ao deslocar linearmente sua haste, produz um deslocamento angular da bancada como consequência do torque resultante.

Fig. 1. Desenho da bancada experimental e foto de seu protótipo

Fig. 2. Desenho squemático do atuador pneumático

A modelagem matemática da bancada e de suas não linearidades é apresentada na seção seguinte.

3. MODELAGEM MATEMÁTICA DO SISTEMA

Aplicando-se a Eq. (1) para o equilíbrio dinâmico da bancada mostrada na Fig. 3, desprezando-se a inércia do atuador pneumático em comparação com a inércia da bancada e considerando todo atrito do sistema como um torque de atrito, obtem-se a Eq. (2) da dinâmica do movimento angular da bancada.

θ&&ITrFT atrp =−=∑ (1)

onde I é o momento de inércia da plataforma girante em torno do eixo de giro, θ&& é a aceleração angular da plataforma, Fp é a força aplicada pelo atuador pneumático, r é a distância do centro de giro ao ponto de aplicação da força e Tatr (= σ2θ& ) é o torque de atrito, considerado neste trabalho como proporcional à velocidade angular θ& e ao coeficiente de atrito viscoso σ2 .

rFI p=+ θσθ &&&

2 (2)

Fig. 3. Desenho esquemático da bancada com representação dos

sistemas coordenados de referência e das foças atuantes

A relação cinemática entre o movimento linear y da

haste do atuador pneumático e o movimento angular θ da plataforma girante (veja Fig. 3) pode ser obtida por meio da metodologia proposta por Valdiero [3] e é dada pela Eq. (3):

( ) 3212

22

1 cos2)( LLLLLy −∆−−+= ϕθθ (3)

onde os parâmetros construtivos 1L , 2L e ϕ∆ são dados pelas expressões:

221 AA yxL +=

(4)

( ) 222 BB yxaL ++=

(5)

21 ϕϕϕ −=∆ (6)

onde ),( AA yx e ),( BB yx são as coordenadas que definem respectivamente os pontos de articulação A e B do atuador pneumático em relação aos sistemas de referência x0y0 (da base fixa) e x1y1 (da plataforma girante), a é a distância entre a origem destes sistemas de referência e 3L representa o comprimento do atuador (seguimento AB) no ponto médio do curso do cilindro (convencionado 0=y ).

A força pneumática Fp é dada pela Eq. (7):

bap pApAF 21 −= (7)

onde 1A e

2A são as áreas das seções transversais das câmaras do cilindro pneumático, e pa e pb são as respectivas pressões nestas câmaras, cujas dinâmicas podem ser obtidas pela aplicação do princípio da conservação da energia e da leis dos gases ideais conforme apresentado [1] e descrito nas Eq. (8) e (9):

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),()(

)( )(

0101

1 upqVyA

TRp

VyA

yAp ama

aa

aa +

++

−=θγ

θθγ &

& (8)

),()(

)(

)(

2020

2 upqyAV

TRp

yAV

yAp bmb

bb

bb θ

γθ

θγ−

+−

=&

& (9)

onde maq e mbq são as vazões mássicas nas câmaras do cilindro, T é a temperatura do ar de suprimento em Kelvin, R é a constante universal dos gases, γ é a relação entre os calores específicos do ar,

0aV e 0bV são os volume nas

câmaras do cilindro na posição y = 0, u é o sinal de controle em tensão aplicado na servoválvula, )(θy e )(θy& são respectivamente a posição e a velocidade linear da haste do atuador pneumático escritas como funções dependentes da posição angular da plataforma girante.

Um estudo detalhado [1] para o equacionamento das vazões mássicas maq e mbq resultou na equações:

) 2( ))(,(),( 1 uarctgusignpgpuq aama = (10)

) 2( ))(,(),( 2 uarctgusignpgpuq bbmb = (11) onde 1g e 2g são funções dadas pelas Equações (12) e (13).

<−

≥−=∆=

0 )(

0 )())(,( sup

1usepp

usepppusignpg

esvatma

encha

aaβ

ββ ((12)

≥−

<−=∆=

0 )(

0 )())(,( sup

2usepp

usepppusignpg

esvatmb

enchb

bbβ

ββ (13)

onde supp é a pressão de suprimento, atmp é a pressão atmosférica e esvench eββ são coeficientes constantes característicos respectivamente do enchimento e do esvaziamento das câmaras do cilindro.

Conforme apresentado em Valdiero et al. [2008], as servoválvulas pneumáticas de centro crítico (largura do carretel maior que o orifício de passagem) apresentam a característica não linear de zona morta, onde para uma certa faixa de valores do sinal de controle u(t) não há vazão mássica de ar na saída. O modelo matemático da não linearidade de zona morta [2] pode ser descrito pela equação:

≤−<<

≥−=

zmetusezmetume

ztuzse

zmdtusezmdtumd

tu mdmezm

)())(()(0

)())(()( (14)

onde u é o sinal de entrada, zmu é o valor de saída, zmdé o limite direito da zona morta, zmeo valor esquerdo da zona morta, md é a inclinação direita da zona morta e meé a inclinação esquerda da zona morta.

Rescrevendo as Equações (2), (8) e (9), com a utilização da Eq. (7) e das variáveis de estado θ=1x , θ&=2x ,

apx =3 e

bpx =4, pode-se representar o sistema dinâmico como um

modelo matemático pelo seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias não lineares de 4ª ordem:

21 xx =& (15)

42

31

22

2 xI

rAx

I

rAx

Ix −+−=

σ&

(16)

),()()(

)(3

0113

011

113 uxq

VxyA

TRx

VxyA

xyAx ma

aa ++

+−= γγ &

& (17)

),()()(

)(4

1204

120

124 uxq

xyAV

TRx

xyAV

xyAx mb

bb −+

−= γγ &

& (18)

onde 1x é o ângulo descrito pela plataforma, 2x é a velocidade angular,

3x e 4x as pressões nas câmaras A e B do cilindro

4. RESULTADOS

Esta seção apresenta o resultado das simulações computacionais para o modelo matemático de 4ª ordem descrito na seção anterior. Os parâmetros utilizados estão descritos nas Tabelas 1 e 2. A simulação foi feita com o auxílio da ferramenta computacional Matlab/Simulink, utilizando-se o método ODE4(Rung Kutta) com passo de 0.0001 segundos, com tempo de simulação de 10 segundos, em malha aberta. Tendo como sinal de entrada em degrau de 3 Volts que permite observar os efeitos nas variáveis de estado causados por uma variação continua de entrada.

Tabela 1: Parâmetros da plataforma girante

Parâmetros do sistema Descrição ².12.23 mkgI = Momento de inércia

msN /.71.2032 =σ Coeficiente de atrito viscos )695.0,650.0(),( mmyx AA −= Coordenadas do ponto A

)185.0,0(),( mmyx BB = Coordenadas do ponto B

ma 650.0= Distância da normal comum entre os eixos

mL 880.03 = Comprimento do atuador quando 0=y

radπϕ 0961.1−=∆ Variação do ângulo entre os eixos

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Modelagem Matemática de uma Bancada Experimental Acionada Pneumáticamente para Simulação de Aclives de Terrenos Márcia Hoppen Porsch,Antonio Carlos Valdiero,Marcia Gonçalves,Luiz Antonio Rasia,Douglas Ritter.

A Fig. 4 mostra o diagrama de blocos utilizada para a simulação do modelo não linear de 4ª ordem representado pelas equações (9), (10), (11),(12) e (13).

Fig. 4. Diagrama de blocos usado nas simulações do modelo

Tabela 2: Parâmetros do atuador pneumático

Parâmetros do sistema Descrição

Pap 5sup 106×= Pressão de suprimento

Papatm5101×= Pressão atmosférica

²10.803.2,10.117.3 32

231 mAmA −− == Áreas dos êmbolos

340 10.234.6 mVa

−= Volume morto na câmara A 34

0 10606.5 mVb−×= Volume morto na câmara B

KJkgR /287= Constante universal dos gases

KT 293= Temperatura do ar

4.1=γ Adimensional Relação entre os calores específicos do ar

81069501.0 −×=enchβ Constante enchendo 810898105.0 −×=esvβ Constante esvaziando

A Fig. 5 mostra o resultado da simulação para um sinal de controle em degrau u = 3 V aplicado em t=1s.

0 0.5 1 1.5-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18Ângulo de Giro da Plataforma

Tempo t (s)

Tet

a(ra

d)

Figura 5: Posição angular da bancada em função do tempo

Os resultados de simulação ilustram o comportamento dinâmico da bancada com acionamento pneumático e a modelagem matemática será utilizada em estratégias de controle.

5. CONCLUSÃO

Apresentou-se a modelagem matemática a dinâmica de uma bancada acionada pneumáticamente, resultando em um modelo não linear de 4ª ordem. Os resultados obtidos contribuirão na elaboração de estratégias de controle e também para a realização de melhorias e modificações em protótipos experimentais de inovações em máquinas agrícolas.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem a CAPES, o CNPq e a UNIJUÍ pelo apoio na forma de bolsas de mestrado, de iniciação científica (PIBIC) e iniciação em desenvolvimento tecnológico e inovação (PIBITI), e pelo apoio financeiro do SEBRAE, FINEP e MCT no projeto Kit Colheitadeira.

REFERÊNCIAS

[1]DOI A. C. Valdiero, C.S. Ritter, C.F. Rios, M. Rafikov, “NonLinear Mathematical Modeling in Pneumatic Servo Position Applications”, Mathematical Problems in Engineering, pp. 1-16, 2011.

[2]PUB A. C. Valdiero, D. Bavaresco, P.L. Andrighetto, “Experimental Identification of the Dead Zone in Proportional Directional Pneumatic Valves”, International Journal of Fluid Power, Vol. .9, pp. 27-34, 2008.

[3] A.C. Valdiero, “Controle de robôs hidráulicos com compensação de atrito”, Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) – Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2005.

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