mef vigas concreto
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UFSC
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL PPGEC
MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANLISE NO LINEAR FSICA
E GEOMTRICA DE VIGAS E PRTICOS PLANOS DE CONCRETO
ARMADO
Tese apresentada Universidade Federal deSanta Catarina como requisito parcial exigido pelo
Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil PPGEC, para obteno do Ttulo de Doutor emEngenharia Civil.
Prof. Henriette Lebre La Rovere
RENATA S BRITO STRAMANDINOLI
Florianpolis, maro de 2007
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MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANLISE NO LINEAR FSICA EGEOMTRICA DE VIGAS E PRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO
Tese julgada adequada para a obteno do Ttulo de DOUTOR em Engenharia Civil eaprovada em sua forma final pelo programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil PPGEC da Universidade Federal de Santa Catarina UFSC.
Prof. Glicrio Trichs Coordenador do PPGEC
Profa. Henriette Lebre La Rovere, PhD Orientadora
COMISSO EXAMINADORA:
Dr. Daniel Domingues Loriggio ECV/UFSC
Roberto Caldas de Andrade Pinto, PhD ECV/UFSC
Dr. Eduardo Alberto Fancello EMC/UFSC
Dr. Mauro Schulz UFF
Dr. Amrico Campos Filho UFRGS
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A meus pais,
Suzana e Antonio,
com amor.
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AGRADECIMENTOS
Em especial Professora Henriette Lebre La Rovere, pela excelente
orientao e pela amizade e apoio demonstrados durante a realizao deste trabalho.
Ao Professor Daniel Domingues Loriggio pelas discusses e contribuies a
esta tese, e aos demais professores de Estruturas do PPGEC, pelos ensinamentos
transmitidos.
Aos meus pais, por tudo o que fizeram e ainda fazem por mim, e em especial
ao meu pai, engenheiro e professor, pelo incentivo inicial e pelas contribuies ao
longo de todo o trabalho.
Aos meus irmos, pela amizade e carinho, e em especial minha irm
Juliana, pelo apoio e convivncia durante os anos em Floripa.
Aos parentes, amigos e colegas que de alguma forma me incentivaram.
Ao colega Alexandre Chimello pelas figuras cedidas.
Ao CNPq, pela bolsa de estudos concedida.
COPEL, Companhia Paranaense de Energia, pelas facilidades oferecidas,
que permitiram a concluso deste trabalho.
Aos colegas, professores e funcionrios do Programa de Ps-Graduao em
Engenharia Civil da UFSC, que auxiliaram direta e/ou indiretamente o desenvolvimento
deste trabalho.
Por ltimo, mas no menos importante, a Deus, por mais esta conquista.
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SUMRIO
LISTA DE FIGURAS......................................................................................................ix
LISTA DE TABELAS ................................................................................................... xiii
LISTA DE SMBOLOS.................................................................................................xiv
RESUMO.....................................................................................................................xvii
ABSTRACT................................................................................................................xviii
1 INTRODUO............................................................................................................1
1.1 CONSIDERAES GERAIS..................................................................................1
1.2 JUSTIFICATIVA......................................................................................................2
1.3 OBJETIVOS............................................................................................................3
1.4 ORGANIZAO DOS CAPTULOS ....................................................................... 4
2 ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ............. 6
2.1 INTRODUO........................................................................................................6
2.2 MODELOS EXISTENTES PARA ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS
RETICULADAS DE CONCRETO ARMADO...........................................................8
2.3 LIGAES VIGA PILAR....................................................................................17
2.4 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS MATERIAIS.........................................20
2.4.1 Concreto...............................................................................................................21
2.4.1.1 Concreto sob compresso uniaxial ................................................................... 21
2.4.1.2 Concreto sob trao uniaxial............................................................................ 29
2.4.1.3 Concreto sob estado biaxial de tenses............................................................31
2.4.1.4 Concreto sob estado triaxial de tenses............................................................352.4.2 Ao ....................................................................................................................... 35
3 NOVO MODELO DE TENSION-STIFFENING ..................................................... 38
3.1 O MODELO DO CEB (BULLETIN DINFORMATION NO. 158-E MANUAL DE
FISSURAO E DEFORMAO, 1985) ............................................................. 38
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3.2 NOVO MODELO DE TENSION-STIFFENING......................................................41
3.3 COMPARAO ENTRE MODELOS....................................................................45
3.4 COMPARAO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE ENSAIOS
UNIAXIAIS ............................................................................................................ 47
4 MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANLISE DE VIGAS E
PRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO ....................................................... 50
4.1 MODELO DE BARRA COM HIPTESE DE EULER-BERNOULLI ...................... 51
4.2 MODELO DE BARRA COM HIPTESE DE TIMOSHENKO................................66
4.2.1 Formulao para elemento elstico-linear:........................................................67
4.2.2 Considerao da no-linearidade geomtrica................................................... 71
4.2.3 Considerao da no-linearidade fsica ............................................................ 71
4.2.3.1 Modelo MCFT ................................................................................................. 72
4.3 MODELO MISTO PROPOSTO.............................................................................78
4.3.1 Elemento plano..................................................................................................78
4.3.2 Elemento de transio..........................................................................................81
4.4 MODELOS CONSITUTIVOS UNIAXIAIS................................................................83
4.4.1 Concreto sob compresso....................................................................................83
4.4.2 Concreto sob trao ............................................................................................. 84
4.4.3 Ao ...................................................................................................................... 84
5 IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL ............................................................. 86
5.1 ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS..................................................................86
5.2 MDULOS DO PROGRAMA ANALEST .............................................................. 86
5.2.1 Mdulo ESTRU..................................................................................................87
5.2.2 Mdulo PORT2D ............................................................................................... 87
5.2.3 Mdulos RESOLNLB e RESOLNLT..................................................................88
5.2.4 Mdulo DXF.......................................................................................................90
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5.3 ALGORITMOS UTILIZADOS PARA A SOLUO DAS EQUAES NO
LINEARES............................................................................................................ 91
5.3.1 Mtodo de Newton-Raphson.............................................................................91
5.3.2 Mtodo do Comprimento do Arco......................................................................92
5.3.3 Critrio de Convergncia...................................................................................97
6 ESTUDO PARAMTRICO E COMPARAO ENTRE OS DIFERENTES
MODELOS .................................................................................................................... 98
6.1 ESTUDO PARAMTRICO....................................................................................98
6.1.1 Viga simplesmente apoiada .............................................................................. 98
6.1.1.1 Nmero de elementos.....................................................................................99
6.1.1.2 Nmero de camadas de concreto.................................................................103
6.1.2 Prtico Plano ................................................................................................... 104
6.1.2.1 Nmero de elementos...................................................................................104
6.2 COMPARAO ENTRE OS MODELOS............................................................107
6.2.1 Vigas simplesmente apoiadas.........................................................................108
6.2.1.1 Exemplo 1.....................................................................................................108
6.2.1.2 Exemplo2......................................................................................................110
6.2.1.3 Exemplo 3.....................................................................................................114
6.2.1.4 Exemplo 4.....................................................................................................116
6.2.1.5 Comentrios..................................................................................................118
6.2.2 Vigas contnuas...............................................................................................119
6.2.2.1 Exemplo 5.....................................................................................................119
6.2.2.2 Exemplo 6.....................................................................................................1236.2.2.3 Comentrios..................................................................................................125
6.2.3 Prticos planos................................................................................................126
6.2.3.1 Exemplo 7.....................................................................................................127
6.2.3.2 Exemplo 8.....................................................................................................129
6.2.3.3 Exemplo 9.....................................................................................................131
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 Elemento de ligao proposto por Pessiki et al (1990)..........................................................19 FIGURA 2 Elemento de ligao proposto por Bao (2005).......................................................................20FIGURA 3 Curvas tenso deformao para o concreto sob compresso............................................22FIGURA 4 Modelo Constitutivo de Hognestad.........................................................................................23FIGURA 5 Modelo constitutivo do CEB 90 ......................................... .................................................. ...25FIGURA 6 Modelo da NBR 6118 ................................................ .................................................. ...........26FIGURA 7 Modelo de Mander et al..........................................................................................................26FIGURA 8 Efetividade do confinamento entre estribos .............................................. .............................27FIGURA 9 Grfico para clculo da resistncia do concreto confinado....................................................29FIGURA 10 Concreto sob estado biaxial de compresso-compresso (Kupfer et al, 1969, apud franca,
2006) ............................................. .................................................. .................................................. ...32FIGURA 11 Concreto sob estado biaxial de trao-trao (Kupfer et al, 1969, apud franca, 2006).......32FIGURA 12 Concreto sob estado biaxial de trao-compresso (Kupfer et al, 1969, apud franca, 2006)
.............................................................................................................................................................33 FIGURA 13 Modelo elasto-plstico perfeito.............................................................................................36FIGURA 14 Modelo elasto-plstico com endurecimento linear .......................................... .....................36
FIGURA 15 Modelo trilinear .............................................. .................................................. .....................37FIGURA 16 Mecanismo de fissurao num elemento de concreto armado sujeito trao: a) tenso no
ao; b) tenso de aderncia; c) tenso no concreto - (CEB,1985 - Fonte: Llins, 2001). ..................39FIGURA 17 Diagrama tenso x deformao do ao (CEB, 1985)...........................................................40FIGURA 18 Representao do efeito de tension stiffening em um elemento de concreto armado
tracionado, (a) diagrama de fora x deformao do elemento, (b) diagrama tenso x deformao doconcreto................................................................................................................................................42
FIGURA 19 Ajuste de curva para o diagrama tensoxdeformao.........................................................44FIGURA 20 Ajuste de curva para obteno de ....................................................................................44 FIGURA 21 Comparao das curvas de tension-stiffening, (a) para n=0.2, (b) para n=0.4. ............46FIGURA 22 Comparao dos modelos de tension-stiffening: (a) Collins e Vecchio (1986) e Figueiras
(1986), (b) modelos simplificados e o novo modelo para diferentes valores de n ...........................47FIGURA 23 Grfico tenso x deformao do elemento v3......................................................................48 FIGURA 24 Grfico carga x deformao do elemento no. 7 .............................................. .....................48
FIGURA 25 elemento de barra no linear com 7 graus de liberdade (Chimello, 2003) ..........................51FIGURA 26 deformao de uma barra (*) configurao deformada ......................................... ...........53FIGURA 27 deformao de um segmento no eixo neutro da barra ............................................. ...........54FIGURA 28 Mtodo das lamelas: a) discretizao das sees em lamelas; b) distribuio de
deformaes; c) distribuio de tenses; d) esforos totais. (Chimello,2003) ....................................64FIGURA 29 Deformao na teoria de timoshenko...................................................................................67FIGURA 30 Elemento isoparamtrico de 4 ns.......................................................................................79FIGURA 31 Elementos que sero utilizados no modelo..........................................................................82FIGURA 32 Elemento de transio t1......................................................................................................82FIGURA 33 Elemento de transio t2......................................................................................................83FIGURA 34 Curva tenso x deformao para o ao .................................................. .............................84FIGURA 35 Fluxograma dos mdulos do programa ANALEST ......................................... .....................87FIGURA 36 Fluxograma simplificado do mdulo resolnlb ou resolnlt .................................................. ...89FIGURA 37 Mtodo do comprimento do arco: (a) Riks e Wempner, (b) Crisfield ..................................93
FIGURA 38 Mtodo do comprimento do arco (Riks e Wempner)............................................................94FIGURA 39 Geometria da viga analisada................................................................................................99FIGURA 40 Discretizao dos elementos para o caso 1 de carregamento. .........................................100FIGURA 41 Discretizao dos elementos para o caso 2 de carregamento. .........................................101FIGURA 42 Grfico carga x deslocamento vertical para o caso 1 de carregamento : (a) elemento com
hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .102FIGURA 43 Grfico carga x deslocamento vertical para o caso 2 de carregamento : (a) elemento com
hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .102FIGURA 44 Nmero de camadas da seo transversal de concreto....................................................103FIGURA 45 grfico carga x deslocamento vertical cm variao do no. de camadas: (a) elemento com
hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .103FIGURA 46 Geometria do prtico analisado..........................................................................................104
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FIGURA 47 Casos de carregamento .................................................. .................................................. .105FIGURA 48 Discretizao dos elementos para o prtico analisado......................................................105 FIGURA 49 Grfico carga x deslocamento vertical para o caso 1 de carregamento: (a) elemento com
hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .............................................. .106FIGURA 50 Grfico carga x deslocamento horizontal para o caso 2 de carregamento: (a) elemento
com hipteses de Bernoulli; (b) elemento com hipteses de Timoshenko .......................................106FIGURA 51 Geometria da viga do exemplo 1........................................................................................108FIGURA 52 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 1a..........................................109 FIGURA 53 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 1b..........................................109 FIGURA 54 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 1c. .........................................110FIGURA 55 Geometria da viga do exemplo 2........................................................................................110FIGURA 56 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 2a..........................................111 FIGURA 57 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 2b..........................................111 FIGURA 58 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 2c. .........................................112FIGURA 59 Grfico carga x deformao da armadura longitudinal da viga do exemplo 2b.................113FIGURA 60 Fissurao na viga do exemplo 2b para a carga de 125 kN: (a) Bernoulli, (b) Timoshenko
para y=0.08%....................................................................................................................................113 FIGURA 61 Estrutura deformada e indeformada (viga 2b) para carga de 125 kN................................114FIGURA 62 Geometria da viga do exemplo 3........................................................................................114
FIGURA 63 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 3a..........................................115 FIGURA 64 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 3b..........................................115 FIGURA 65 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 3c. .........................................116FIGURA 66 Geometria da iga do exemplo 4. ............................................. ...........................................116FIGURA 67 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 4a..........................................117 FIGURA 68 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 4b..........................................117 FIGURA 69 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 4c. .........................................118FIGURA 70 Geoemtria da viga do exemplo 5........................................................................................119FIGURA 71 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 5a..........................................120 FIGURA 72 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 5b..........................................121 FIGURA 73 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 5c. .........................................121FIGURA 74 Grfico carga x deformao da armadura longitudinal da viga do exemplo 5b.................122FIGURA 75 Fissurao na viga do exemplo 5b para a carga de 55 kN: (a) Bernoulli, (b) Timoshenko
para y=0.08%....................................................................................................................................122
FIGURA 76 Estrutura deformada e indeformada (viga 5b)....................................................................123FIGURA 77 Geometria da viga do exemplo 6........................................................................................123FIGURA 78 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 6a..........................................124 FIGURA 79 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 6b..........................................124 FIGURA 80 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 6c. .........................................125FIGURA 81 Geometria do prtico plano. ............................................ .................................................. .126FIGURA 82 Discretizao dos elementos utilizados nos modelos........................................................126FIGURA 83 Condio de carregamento do exemplo 7. ............................................. ...........................127FIGURA 84 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 7a..........................................128 FIGURA 85 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 7b..........................................128 FIGURA 86 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 7c. .........................................128FIGURA 87 Condio de carregamento do exemplo 8. ............................................. ...........................129FIGURA 88 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 8a..........................................130 FIGURA 89 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 8b..........................................130
FIGURA 90 Grfico carga x deslocamento vertical da viga do exemplo 8c. .........................................130FIGURA 91 Condio de carregamento do exemplo 9. ............................................. ...........................131FIGURA 92 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 9a......................................132FIGURA 93 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 9b......................................132FIGURA 94 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 9c......................................132 FIGURA 95 Condio de carregamento do exemplo 10. ........................................... ...........................133FIGURA 96 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 10a....................................134FIGURA 97 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 10b....................................134FIGURA 98 Grfico carga x deslocamento horizontal da viga do exemplo 10c....................................134 FIGURA 99 Detalhes das vigas vt1 e vt2 ..............................................................................................137FIGURA 100 Grfico carga x deslocamento vertical das vigas vt1/vt2. ............................................... .138FIGURA 101 Detalhe das vigas vb4, vb6 e vc3.....................................................................................139
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FIGURA 102 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vb4..........................................................140FIGURA 103 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vb6..........................................................140FIGURA 104 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vc3..........................................................141FIGURA 105 Detalhe da viga vre...........................................................................................................142FIGURA 106 Grfico carga x deslocamento vertical da viga vre...........................................................143
FIGURA 107 Detalhe da viga j-4............................................................................................................144FIGURA 108 Grfico carga x deslocamento vertical da viga J-4...........................................................145FIGURA 109 Grfico carga x deslocamento vertical da viga OA1. .............................................. .........147FIGURA 110 Grfico carga x deslocamento vertical da viga OA2. .............................................. .........147FIGURA 111 Grfico carga x deslocamento vertical da viga OA3. .............................................. .........147FIGURA 112 Grfico carga x deslocamento vertical da viga A1. ....................................... ...................148FIGURA 113 Grfico carga x deslocamento vertical da viga A2. ....................................... ...................148FIGURA 114 Grfico carga x deslocamento vertical da viga A3. ....................................... ...................148FIGURA 115 Grfico carga x deslocamento vertical da viga B1. ....................................... ...................149FIGURA 116 Grfico carga x deslocamento vertical da viga B2. ....................................... ...................149FIGURA 117 Grfico carga x deslocamento vertical da viga B3. ....................................... ...................149FIGURA 118 Grfico carga x deslocamento vertical da viga C1...........................................................150FIGURA 119 Grfico carga x deslocamento vertical da viga C2...........................................................150FIGURA 120 Grfico carga x deslocamento vertical da viga C3...........................................................150
FIGURA 121 - Geometria, discretizao e sees transversais da viga (dimenses em cm) .................153FIGURA 122 - Grfico carga x deslocamento vertical ........................................... ...................................153FIGURA 123 - Geometria das vigas contnuas analisadas (dimenses em cm)......................................154 FIGURA 124 Detalhes da viga V1, Silva (1977) ......................................... ...........................................155FIGURA 125 Detalhes da viga V2, Silva (1977) ......................................... ...........................................156FIGURA 126 Detalhes da viga V3, Silva (1977) ......................................... ...........................................156FIGURA 127 Detalhes da viga V4, Silva (1977) ......................................... ...........................................157FIGURA 128 Detalhes da viga V6, Silva (1977) ......................................... ...........................................157FIGURA 129 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V1. ....................................... ...................158FIGURA 130 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V2. ....................................... ...................158FIGURA 131 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V3. ....................................... ...................159FIGURA 132 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V4. ....................................... ...................159FIGURA 133 Grfico carga x deslocamento vertical da viga V6. ....................................... ...................159FIGURA 134 Detalhe da viga VA1-40....................................................................................................161
FIGURA 135 Grfico carga x deslocamento vertical da viga VA1-40....................................................162FIGURA 136 Detalhe das vigas CW1 e CF1 .............................................. ...........................................163FIGURA 137 Grfico carga x deslocamento vertical da viga CW1........................................................163FIGURA 138 Grfico carga x deslocamento vertical da viga CF1.........................................................164 FIGURA 139 Grfico carga x deformao dos pilares...........................................................................166FIGURA 140 Geometria do prtico de Williams (1964) .............................................. ...........................167FIGURA 141 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico de Williams.........................................168 FIGURA 142 Detalhe do prtico de concreto armado ................................................ ...........................169FIGURA 143 Grfico carga x deslocamento horizontal do prtico ............................................... .........169FIGURA 144 Estrutura deformada e indeformada.................................................................................170FIGURA 145 Detalhe do prtico ensaiado por Vecchio e Emara (1992) ............................................. .171FIGURA 146 Grfico carga x deslocamento horizontal do prtico de Vecchio e Emara.......................172 FIGURA 147 Grfico carga x rotao do n esquerdo superior do prtico ...........................................173FIGURA 148 Grfico carga x deformao axial da armadura longitudinal inferior na extremidade
esquerda da viga do primeiro pavimento...........................................................................................174FIGURA 149 Grfico carga x deformao por cisalhamento na extremidade esquerda da viga doprimeiro pavimento.............................................................................................................................174
FIGURA 150 Grfico carga x deformao por cisalhamento na extremidade direita da viga do primeiropavimento...........................................................................................................................................175
FIGURA 151 Detalhe do prtico ensaiado por Vecchio e Balopolou (1990) .........................................176FIGURA 152 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico ......................................... ...................177FIGURA 153 Estrutura deformada (apenas os ns) e indeformada para a carga de 450 kN...............178 FIGURA 154 Grfico carga x deformao axial da armadura longitudinal inferior no meio do vo da viga
do primeiro pavimento........................................................................................................................180FIGURA 155 Detalhe do prtico P2 ............................................ ................................................ ...........181FIGURA 156 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico P2.......................................................182
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FIGURA 157 Detalhe dos prticos ensaiados por Read ............................................ ...........................183FIGURA 158 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico bi-rotulado ......................................... .184FIGURA 159 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico bi-engastado ......................................184FIGURA 160 Detalhes do prtico de Wilby e Bandit (1967)..................................................................186FIGURA 161 Discretizao da estrutura utilizada nos modelos de barra..............................................187
FIGURA 162 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico ......................................... ...................187FIGURA 163 Detalhes do prtico ensaiado por Bertero e McClure ............................................. .........188FIGURA 164 Grfico carga x deslocamento lateral...............................................................................189FIGURA 165 Detalhe dos prticos.........................................................................................................190FIGURA 166 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico A40.....................................................191FIGURA 167 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico A60.....................................................191FIGURA 168 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico B40.....................................................192FIGURA 169 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico B60.....................................................192FIGURA 170 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico C40.....................................................193 FIGURA 171 Grfico carga x deslocamento vertical do prtico C60.....................................................193
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LISTA DE TABELAS
TABELA 1 Dados dos materiais (unidades kN e m)........................................... .....................................98TABELA 2 Dados dos materiais (unidades kN e m)........................................... ...................................108TABELA 3 Propriedades dos materias das vigas vt1 e vt2 (unidades kN e m).....................................138TABELA 4 Propriedades dos materias das vigas vb4, vb6, vc3 (unidades kN e m) ..............................139TABELA 5 Propriedades dos materias da viga vre (unidades kN e m) ................................................ .143TABELA 6 Propriedades dos materias da viga j-4 (unidades kN e m)......................................... .........144TABELA 7 Detalhes das vigas de bresler e scordelis............................................................................146TABELA 8 Propriedades do concreto ......................................... .................................................. .........146TABELA 9 Propriedades das armaduras...............................................................................................146TABELA 10 Propriedades dos materias (unidades kN e m)..................................................................152TABELA 11 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................154TABELA 12 Cargas ltimas das vigas ................................................ .................................................. .160TABELA 13 Propriedades dos materiais da viga va1-40 (unidades kN e m) .......................................161TABELA 14 Propriedades dos materiais das vigas cw1 e cf1 (unidades kN e m) ................................163TABELA 15 Cargas ltimas das vigas ................................................ .................................................. .164TABELA 16 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................169
TABELA 17 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................171TABELA 18 Cargas numricas e experimental para algumas etapas de carregamento ......................173TABELA 19 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................176TABELA 20 Cargas numricas e experimental para algumas etapas de carregamento ......................180TABELA 21 Propriedades dos materiais do prtico p2 (unidades kN e m) ...........................................181TABELA 22 Propriedades dos materiais (unidades kN e m) .............................................. ...................184TABELA 23 Propriedades dos materiais................................................................................................186TABELA 24 Propriedades dos materiais................................................................................................188TABELA 25 Propriedades dos prticos..................................................................................................190TABELA 26 Propriedades do concreto (unidades kN e m)....................................................................190 TABELA 27 Propriedades das armaduras (unidades kN e m) ........................................... ...................190TABELA 28 Carga Mxima ....................................... .................................................. ...........................194
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LISTA DE SMBOLOS
Gregos
parmetro da curva do modelo de tension-stiffening
deformao longitudinal
0 deformao correspondente tenso mxima cmf
c deformao longitudinal no concreto
2c1c , deformaes principais no concreto
s deformao longitudinal no ao
u deformao ltima
x deformao longitudinal na direo x
0x deformao longitudinal no eixo de referncia
y deformao longitudinal na direo y ou deformao correspondente ao
incio do escoamento do ao
c coeficiente de minorao da resistncia do concreto
xy deformao transversal
coordenada natural na direo x
coordenada natural na direo y
tenso normal
c tenso no concreto
2c1c , tenses principais no concreto
s tenso no ao
x
tenso normal na direo x
y tenso normal na direo y
xy tenso tangencial
taxa de armadura
rotao
curvatura
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vetor de foras residuais
Romanos
A rea
Ac rea de concreto
As rea de ao
B matriz que relaciona deformao x deslocamento
C1, C2 matriz de transformao (elemento de barra em elemento de transio)
D matriz constitutiva
E mdulo de deformao longitudinal
Ec mdulo de deformao longitudinal do concreto
Es mdulo de deformao longitudinal do ao
f vetor de foras externas
cmf valor mdio da resistncia compresso do concreto
cdf resistncia compresso de clculo (= cck/f )
fck resistncia caracterstica do concreto
ctf valor mdio da resistncia trao do concreto
fy tenso de escoamento do ao
fu resistncia ltima do ao
G mdulo de deformao transversal
I momento de inrcia
K matriz de rigidez
Ko matriz de rigidez fsica
Kg matriz de rigidez geomtrica
Ku matriz de rigidez devida aos deslocamentos iniciais
L comprimento do elemento
M momento fletor
N esforo normal
Ni funes de interpolao
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n relao entre os mdulos de elasticidade do ao e do concreto
R matriz de rotao
r vetor de foras internas (restauradoras)
S momento esttico
u deslocamento longitudinal
uo deslocamento longitudinal no eixo de referncia
U vetor de deslocamentos nodais
v deslocamento transversal
x direo longitudinal
y direo transversal
()t tangente
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RESUMO
Este trabalho visa desenvolver, estudar a aplicabilidade e comparar modelos de
elementos finitos para anlise no linear fsica e geomtrica de vigas e prticos planosde concreto armado. Primeiramente estuda-se um elemento de barra de 3 ns e 7graus de liberdade, considerando a teoria de viga de Euler - Bernoulli. A seotransversal subdividida em camadas, onde cada camada est sujeita a um estadouniaxial de tenses. Posteriormente desenvolve-se um elemento onde a deformaopor cisalhamento incorporada, considerando a teoria de viga de Timoshenko. Nesseelemento, cada camada submetida a um estado biaxial de tenses. Finalmentedesenvolve-se um modelo onde as vigas e colunas so modeladas por elementos debarra e as ligaes viga-coluna so modeladas por elementos planos. Utiliza-se umelemento finito plano hbrido de 4 ns para modelar a ligao e ainda elementos detransio para ligar os elementos planos aos de barra. Um novo modelo constitutivopara representar o comportamento do concreto tracionado tambm proposto, para
levar em conta a contribuio do concreto entre as fissuras. Este modelo, alm de sersimples e fcil de implementar computacionalmente, apresenta boa acurcia emcomparao com dados experimentais e com outros modelos mais refinados. Todos osmodelos de elementos finitos desenvolvidos so implementados em um programacomputacional na linguagem FORTRAN 90, denominado ANALEST. Diversos estudosparamtricos e tericos so realizados para verificao dos modelos implementados,do efeito das propriedades dos materiais e dos modelos constitutivos e tambm paracomparao entre os diferentes modelos. A comparao dos resultados numricos comresultados experimentais, obtidos de ensaios em diferentes laboratrios, para diversasvigas e prticos, mostra a eficincia do programa computacional desenvolvido.
Palavras-chave: concreto armado; elementos finitos; anlise no linear.
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ABSTRACT
This work aims to develop, to study the applicability and to compare finite element
models for the material and geometrical nonlinear analysis or reinforced concretebeams and plane frames. Initially, a bar element with 3 nodes and 7 degrees of freedomis investigated, considering the Euler Bernoulli beam theory. The transversal sectionis subdivided into layers, where each layer is subjected to a uniaxial stress state. Next,a Timoshenko beam element is developed in order to take into account the sheardeformation in the section. In this element, each layer is submitted to a biaxial stress-state. Finally, a model where the beams and columns are modeled by bar elements andthe beam-column joints are modeled by plane elements is developed. A 4 noded hybridplane finite element is used for modeling the joints, and transition elements are used toconnect the plane elements to the bar elements. A new constitutive model to representthe tensile behavior of concrete is also proposed, in order to take into account theconcrete contribution between the cracks. This model, besides being simple and easy to
implement computationally, displays good accuracy in comparison to experimental dataand other refined models. All finite elements models are implemented into acomputational program written in FORTRAN 90, named ANALEST. Some parametricand theoretical studies are performed to verify the implemented models, the effect ofmaterial properties and constitutive models, and also for comparison between thedifferent models. Comparison between numerical and experimental results, obtainedfrom tests in different laboratories, for several beams and plane frames, shows theefficiency of the developed computational program.
Key-words: reinforced concrete; finite element; nonlinear analysis.
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1 INTRODUO
1.1 CONSIDERAES GERAIS
O concreto armado um dos materiais mais utilizados na construo de
estruturas de edifcios residenciais ou comerciais, principalmente aqui no Brasil. Essas
estruturas devem ser dimensionadas para resistir com segurana a todas as
solicitaes a elas impostas, alm de no apresentar deformaes excessivas nem
grau de fissurao indesejvel, de forma a comprometer as condies de servio e
durabilidade das mesmas.
A anlise de estruturas de concreto armado pode ser feita de diversas formas,dependendo da preciso que se deseja dos resultados, das leis constitutivas utilizadas
para os materiais e da complexidade das estruturas.
A anlise elstico-linear, que considera uma relao linear entre tenses e
deformaes (linearidade fsica) e entre deformaes e deslocamentos (linearidade
geomtrica), muito importante e ainda a mais utilizada devido maior simplicidade de
aplicao e ao fato de que o seu conhecimento j est consolidado.
No entanto, sabe-se que a caracterstica mais marcante do concreto a sua
baixa resistncia trao se comparado compresso. Devido a isso, as estruturas de
concreto j apresentam fissurao para baixos nveis de carga, ocorrendo reduo da
rigidez da estrutura e modificao da distribuio de tenses, ou seja, a estrutura passa
a apresentar comportamento no linear fsico. Alm da fissurao do concreto
tracionado, a no-linearidade fsica das estruturas de concreto armado caracterizada
pela plastificao do concreto comprimido e pelo escoamento do ao.
Alm disso, quando os deslocamentos da estrutura no so to pequenos de
forma que as equaes de equilbrio precisem ser formuladas para a configurao
deformada, a estrutura passa a apresentar comportamento no linear geomtrico
importante.
Sempre que o efeito de redistribuio de tenses causado pela fissurao e
plastificao for significativo, ou sempre que a interao entre esforos de flexo e axial
ou flexo e cisalhamento for importante, deve-se levar em conta as no-linearidades da
estrutura.
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Nos projetos, em geral, os resultados de uma anlise elstico-linear so
utilizados para verificaes de estados limites de utilizao, podendo ser estendidos
para verificaes de estado limite ltimo. No entanto, em alguns casos, uma anlise
elstico-linear pode no satisfazer as condies de compatibilidade no estado limite
ltimo, tornando-se necessria uma anlise no linear. E mesmo em verificaes de
servio, onde a fissurao deve ser considerada, a no-linearidade fsica considerada
de maneira aproximada.
Em muitas situaes a anlise no linear importante, como no caso de
estruturas muito esbeltas ou ento estruturas submetidas a aes excepcionais, tais
como terremotos ou furaces. Alm disto, uma anlise no linear torna-se necessria
para a verificao da capacidade resistente de estruturas existentes que sero
submetidas a novos carregamentos no previstos em projetos ou em casos onde as
cargas foram subestimadas no projeto estrutural.
Verifica-se, tambm, uma tendncia das normas atuais em encorajar a
utilizao e desenvolvimento de mtodos e programas que levem em conta as no-
linearidades das estruturas de concreto armado em projetos estruturais.
Uma das vantagens da anlise no linear que se pode ter uma idia global
do funcionamento da estrutura, entendendo melhor o processo de formao e
propagao de fissuras e o desenvolvimento dos mecanismos de colapso.
1.2 JUSTIFICATIVA
Devido ao avano tecnolgico e utilizao de materiais mais resistentes,
estruturas mais complexas e mais esbeltas esto sendo desenvolvidas, necessitando
para isso mtodos computacionais mais elaborados para a anlise e projetos de
edifcios.
Para anlise no linear de estruturas de concreto armado, o Mtodo dos
Elementos Finitos se tornou a ferramenta mais utilizada atualmente, e, embora vrios
modelos de elementos finitos j tenham sido desenvolvidos, esse ainda um tema
avanado no meio tcnico-cientfico, tendo em vista a dificuldade de se modelar
corretamente o concreto armado, devido fissurao do concreto, ao escoamento do
ao, e interao entre os dois materiais.
Sendo assim, o desenvolvimento de modelos que combinem eficincia
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computacional e uma preciso razovel deve ser cada vez mais incentivado (Silva e
Matos, 2000).
Existem diversos modelos de barra 2D para anlise de vigas e prticos de
concreto armado que representam bem o comportamento de estruturas quando este
predominantemente de flexo. No entanto, comparaes desses modelos com
resultados experimentais em vigas contnuas ou vigas/prticos com carga vertical
concentrada ou prticos com cargas horizontais, no tm mostrado bons resultados,
devido presena de fissuras inclinadas causadas por flexo e cisalhamento
combinados.
Modelos de elementos finitos planos so mais adequados para a anlise
desses casos, no entanto o esforo computacional das anlises bem mais elevado,
principalmente para estruturas maiores com nmero elevado de graus de liberdade.
Surge assim a necessidade de se buscar modelos que melhor representem o
comportamento de estruturas de concreto armado com modo de ruptura de flexo com
cisalhamento e que ao mesmo tempo conduzam a nmero de graus de liberdade
reduzidos e anlises mais econmicas.
1.3 OBJETIVOS
O principal objetivo desta tese desenvolver novos modelos e investigar
alguns modelos existentes de elementos finitos para a anlise esttica no linear de
estruturas reticuladas de concreto armado, levando-se em conta a no-linearidade
fsica e geomtrica e implementar esses modelos num programa computacional. A
partir da comparao entre os resultados dos modelos de elementos finitos, estudados
e desenvolvidos, com resultados experimentais obtidos para vigas e prticos de
concreto armado, pretende-se definir quais os principais parmetros a serem utilizados
e tambm recomendar qual o melhor modelo a ser utilizado em cada caso.
Alguns objetivos especficos so:
- Estudar o elemento de barra de 7 graus de liberdade que considera a teoria
de viga de Euler Bernoulli, com a seo transversal subdividida em camadas, onde
cada camada est sujeita a um estado uniaxial de tenses;
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- Propor um modelo com elemento de barra que considere a teoria de viga de
Timoshenko, com a seo transversal subdividida em camadas, onde cada camada
est sujeita a um estado biaxial de tenses.
- Propor tambm um modelo misto, com as vigas e colunas modeladas por
elementos de barra e as ligaes viga-coluna modeladas por elementos planos.
- Desenvolver um novo modelo constitutivo para o concreto armado sob
trao, que ao mesmo tempo represente de maneira mais realista o efeito de tension-
stiffening (enrijecimento trao entre as fissuras) e seja de fcil implementao para
anlise no linear de estruturas de concreto armado;
- Implementar os modelos desenvolvidos em um programa computacional
para anlise no linear fsica e geomtrica de estruturas reticuladas, com a
possibilidade de diversos mtodos para resoluo das equaes no lineares;
- Realizar um estudo paramtrico para auxiliar o entendimento dos diversos
modelos e realizar uma comparao entre os diversos modelos estudados;
- Realizar uma comparao entre os resultados dos modelos de elementos
finitos desenvolvidos com resultados experimentais para vigas, pilares e prticos
planos de concreto armado;
- Utilizar esta comparao para definir os principais parmetros que influem
nas anlises e extrair recomendaes para utilizao dos diversos modelos.
1.4 ORGANIZAO DOS CAPTULOS
Inicialmente, no captulo 2, feita uma reviso de literatura sobre os
principais temas do trabalho.
A seguir, no captulo 3, descreve-se o novo modelo de tension-stiffening,
desenvolvido nesta tese, fazendo-se uma comparao com modelos existentes.
No captulo 4 so descritos os modelos de elementos finitos desenvolvidos,
enquanto que a implementao computacional destes modelos descrita no captulo 5.
No captulo 6 faz-se um estudo paramtrico para avaliar o efeito de alguns
parmetros e propriedades dos materiais usados nos modelos, e desenvolve-se uma
comparao entre os diferentes modelos.
No captulo 7 realizada a aplicao direta dos modelos desenvolvidos, a
partir de diversos exemplos de vigas, pilares e prticos planos, comparando-se os
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resultados numricos dos modelos com resultados experimentais obtidos em ensaios
de laboratrio.
Finalmente, no captulo 8, so apresentadas as concluses e recomendaes
para trabalhos futuros.
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2 ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
2.1 INTRODUO
Estruturas de concreto armado reticuladas podem ser modeladas por
elementos unidimensionais, bidimensionais, tridimensionais ou mistos. Os elementos
unidimensionais so as barras, que podem ter eixo reto ou curvo. Os elementos
bidimensionais ou elementos planos possuem geralmente geometria triangular ou
quadrilateral. Os elementos tridimensionais so os elementos slidos, usualmente
tetradricos ou hexadricos. J os elementos mistos aparecem da combinao dos
elementos citados anteriormente.Para anlise destas estruturas, podem ser utilizadas a anlise linear e a
anlise no linear, com inmeras variaes.
Em uma anlise linear tem-se que o carregamento aplicado proporcional ao
deslocamento da estrutura. J na anlise no linear, incrementos constantes de carga
no correspondem a incrementos constantes de deslocamentos. O comportamento no
linear pode estar relacionado ao comportamento do material ou associado a mudanas
da configurao da estrutura.
No-Linearidade Geomtrica:
A linearidade geomtrica fica atendida se as mudanas de configurao do
sistema estrutural forem suficientemente pequenas, de modo a permitir a utilizao de
relaes deformaodeslocamento lineares e equaes de equilbrio com base na
geometria inicial. Quando a variao de esforos e de deslocamentos provocados pela
mudana da geometria da estrutura sob ao de carregamentos j no for to
pequena, deve-se considerar a no-linearidade geomtrica, formulando as equaes
de equilbrio para a configurao deformada da estrutura. Os efeitos desta nova
formulao so usualmente chamados de efeitos de 2. ordem.
No-Linearidade Fsica:
O concreto um material que apresenta um comportamento no linear, e
quando combinado com o ao, o seu comportamento ainda mais complexo, devido
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interao que ocorre entre ambos os materiais. Para uma anlise realista do
comportamento de estruturas de concreto armado, deve-se levar em conta a no-
linearidade das relaes tenso x deformao dos materiais.
Para a considerao das no-linearidades fsicas e geomtricas na anlise de
estruturas atravs do Mtodo dos Elementos Finitos duas formulaes podem ser
utilizadas: a Formulao Lagrangeana e a Formulao Euleriana.
Para a mecnica dos slidos a formulao mais utilizada a formulao
Lagrangeana, pois no processo de soluo, visto o comportamento de todas as
partculas que constituem a estrutura, desde uma configurao inicial, t=0, at a
configurao t+t, onde possvel estabelecer o equilbrio esttico. Na formulao
Lagrangeana as variveis so relacionadas a uma configurao conhecida. Uma outra
formulao seria a formulao Euleriana, que normalmente utilizada na Mecnica dos
Fluidos. Simplificadamente, pode-se dizer que na formulao Lagrangeana, a posio
onde uma partcula est dada em termos de onde ela estava, j na formulao
Euleriana a posio onde a partcula estava dada em funo de onde ela est.
Dentro das Formulaes Lagrangeanas, duas metodologias se destacam: A
Formulao Lagrangeana Total (FLT) e a Formulao Lagrangeana Atualizada (FLA).
Na FLT todas as variveis estticas e cinemticas so referenciadas configurao
inicial, no tempo t=0. Na FLA estas variveis so referenciadas ltima configurao
equilibrada, tempo t.
Segundo Bathe (1982), ambas as formulaes incluem todos os efeitos no
lineares devido a grandes deslocamentos. A nica vantagem de se utilizar uma
formulao ao invs da outra est na eficincia numrica.
Segundo Chan (1982), as duas formulaes so matematicamente
equivalentes, mas a FLA computacionalmente mais eficiente, pois, como ser visto
adiante, na formulao da matriz de rigidez no necessrio incluir a matriz devido aosdeslocamentos iniciais. Alm disso, com a FLA o problema de deformao artificial que
ocorre com grandes rotaes de corpo rgido evitado.
Segundo Wong e Tin-Loi (1990) a FLT mais fcil de ser implementada, no
entanto apresenta a desvantagem de que no possvel distinguir o movimento de
corpo rgido do elemento da sua deformao local. Isso implica numa descrio
incorreta do equilbrio, exceto para problemas com rotaes e deflexes pequenas ou
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moderadas. J na FLA, o movimento de corpo rgido do elemento pode ser separado
da sua deformao local, mas apesar de apresentar uma descrio do campo de
deslocamentos mais exata, o esforo computacional para calcular as deformaes
locais no elemento em cada etapa de carregamento muito grande.
Gummadi e Palazotto (1997) dizem que teoricamente as duas formulaes
podem ser utilizadas para a soluo de problemas com grandes deslocamentos e
grandes rotaes, no entanto, a FLA mostrou-se eficiente para a anlise de vigas e
arcos com grandes deslocamentos e rotaes, j a FLT s eficiente para grandes
rotaes, se utilizada em conjunto com a tcnica co-rotacional.
2.2 MODELOS EXISTENTES PARA ANLISE NO LINEAR DE ESTRUTURASRETICULADAS DE CONCRETO ARMADO
O comportamento no linear de estruturas de concreto armado tem atrado
ateno de pesquisadores, o que possibilitou o desenvolvimento de diversos modelos
para considerao da no-linearidade fsica e geomtrica em estruturas de concreto
armado.
Um dos primeiros modelos utilizados para considerar a no-linearidade fsica
do concreto foi o modelo de barra com molas no lineares nas extremidades,
formuladas a partir de relaes momentorotao pr-definidas. Esse modelo foi
posteriormente estendido para considerar a formao de rtulas plsticas, cargas
cclicas e tambm considerar mltiplas molas no elemento. Apresenta-se abaixo uma
breve reviso desses modelos.
O modelo de Clough e Johnston (1967), apud Taucer et al(1991), utilizava
duas molas no-lineares em cada extremidade do elemento, conectadas em paralelo,
sendo uma das molas com comportamento elasto-plstico perfeito, para representar o
escoamento, e outra, com comportamento perfeitamente elstico, para representar oencruamento do ao (strain-hardening), ou seja, considerando-se uma relao
momento x rotao bilinear.
O modelo de Giberson (1967), apud Kaba e Mahin (1984), consistia de um
elemento elstico-linear com uma mola no linear em cada uma das duas
extremidades do elemento. Esse modelo mais verstil que o anterior, pois pode
descrever comportamentos mais complexos atravs da escolha apropriada das
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relaes momento rotao para as molas.
O modelo de Takayanagi e Schnobrich (1979), apud Taucer et al (1991),
subdividia cada elemento em um nmero finito de sub-elementos, cada um
representado por uma mola no linear, como se fossem molas ligadas em srie. As
propriedades de cada segmento dependem do momento fletor do ponto mdio do sub-
elemento que admitido constante ao longo deste.
Mirza et al (1981) desenvolvem um modelo para prticos planos que
considera o concreto armado como um material elasto-plstico perfeito, dando enfoque
nas rtulas plsticas. realizada uma redistribuio dos momentos fletores,
considerando a capacidade de rotao destas rtulas, atravs do desenvolvimento de
um programa computacional que fornece como sada o comportamento carga
deslocamento completo e tambm o local e seqncia de formao das rtulas
plsticas at que se forme o mecanismo de colapso.
Senem (2000) apresenta um mtodo numrico para a anlise limite de
prticos planos, baseado na anlise matricial de estruturas. O trabalho apresenta
enfoque em estruturas metlicas, mas com possibilidade de extenso a estruturas de
concreto armado. O comportamento plstico do material incorporado pela mudana
dos mdulos de elasticidade de pequenos elementos de barra, localizados nas
posies de formao de possveis rtulas plsticas.
Outros mtodos, tambm simplificados, admitem funes de interpolao
para a obteno de rigidez varivel ao longo do elemento devido a no-linearidade
fsica. Umemura et al (1973), apud Kaba e Mahin (1984), sugeriram este modelo
admitindo uma distribuio parablica para a flexibilidade flexo (1/EI) ao longo do
eixo do elemento. Conhecendo-se a flexibilidade nas sees das extremidades e no
ponto de inflexo e utilizando as funes de interpolao, pode-se calcular a
flexibilidade ao longo de todo o elemento para uma dada distribuio de momentos. A
matriz de flexibilidade depois invertida para a obteno da matriz de rigidez. Essemodelo foi posteriormente utilizado por Rasheed e Dinno (1994(a)), sendo a funo de
interpolao dada em funo das sees das extremidades e do meio do elemento.
Desde a primeira aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) para a
anlise de vigas de concreto armado, por Ngo e Scordelis (1967), vrios modelos de
elementos finitos para estruturas de concreto armado esto surgindo, pois existe uma
grande dificuldade em se modelar corretamente o concreto numa anlise de elementos
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finitos. (Ashour e Moreley (1993)).
Vrios modelos de elementos finitos de barras bidimensionais (2D) foram
desenvolvidos e estendidos para barras tridimensionais (3D). Dentre estes modelos
podem-se citar alguns:
Barbosa (1978) desenvolveu um modelo para a anlise no linear de prticos
planos de concreto armado considerando um nmero fixo de camadas de concreto
igual a 10. No modelo, levam-se em conta os efeitos da fissurao, da no-linearidade
compresso do concreto e o comportamento no linear do ao, atravs de uma
modificao dos mdulos de elasticidade das camadas e redistribuio das tenses
excedentes. Apresenta-se no trabalho a comparao do modelo com o resultado
experimental de uma viga simples.
Holzer et al (1979) mostram um programa desenvolvido anteriormente,
descrevendo o elemento finito utilizado para a anlise no linear fsica e geomtrica de
vigas/colunas de concreto armado. O elemento utilizado apresenta dois ns externos
com trs graus de liberdade cada e um n interno com um grau de liberdade. O modelo
admite uma relao deformao x deslocamento no linear, para levar em conta a no-
linearidade geomtrica, mas considera pequenos deslocamentos. So utilizadas
relaes constitutivas inelsticas e as cargas podem ser monotnicas ou cclicas.
ilustrada a capacidade do programa em prever a histria de carregamento x
deslocamento e o colapso de vigas e prticos de concreto armado.
Mar (1984) estendeu o modelo de barra 2D para 3D, para possibilitar a
anlise no linear fsica e geomtrica de prticos espaciais de concreto armado. Com o
intuito de incorporar as variaes das propriedades fsicas dos materiais na avaliao
das propriedades dos elementos, cada elemento dividido em um nmero discreto de
filamentos ou lamelas de concreto e ao. Admite-se que cada um desses filamentos
est sob um estado de tenso uniaxial e as deformaes por cisalhamento so
desprezadas. Em qualquer seo transversal as propriedades fsicas de cada filamentopodem variar para acomodar as no-linearidades dos materiais. A rigidez da barra
obtida pela soma das contribuies de todos os filamentos. O autor utiliza um elemento
de barra com 13 graus de liberdade, sendo seis graus para cada um dos dois ns da
extremidade e um grau de liberdade axial, no n interno do elemento. Para a
integrao da matriz de rigidez so utilizados dois pontos de Gauss e considera-se um
nico valor para a matriz constitutiva, utilizando o valor do ponto mdio do elemento,
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que representa a mdia dos valores ao longo do elemento. Dessa forma, a matriz de
rigidez pode ser obtida de forma explcita.
Kaba e Mahin (1984) desenvolvem um modelo para a anlise no linear fsica
de colunas e prticos planos de concreto armado considerando o mtodo das lamelas
e utilizando uma anlise dinmica para possibilitar a anlise da estrutura sob ao de
sismos.
Espion (1986) apresenta um modelo para anlise no linear fsica e
geomtrica de prticos planos de ao e de concreto armado. utilizado um elemento
de viga/coluna com nove graus de liberdade. Nesse modelo o campo de
deslocamentos transversais representado por um polinmio de quarta ordem e o
deslocamento axial por um polinmio de terceira ordem. Para a no-linearidade
geomtrica utilizada a formulao Lagrangeana Atualizada, considerando pequenas
deformaes. Foram implementadas diversas relaes tenso x deformao: linear,
bilinear, trilinear e foram realizadas vrias anlises para testar o modelo proposto.
Pimenta (1988) apresenta a deduo de um elemento de prtico plano para a
anlise no-linear, considerando a no-linearidade geomtrica, onde permitido que os
ns sofram grandes deslocamentos e rotaes assim como que a barra apresente
grandes alongamentos e curvaturas, introduzindo o conceito da formulao
corrotacional. A no-linearidade fsica pode ser includa considerando um material
elasto-plstico e as barras no precisam ser homogneas nem prismticas.
Pimenta e Soler (1989) aplicam o elemento desenvolvido anteriormente por
Pimenta (1988) anlise da estabilidade de prticos de concreto armado,
apresentando uma formulao lagrangeana com a tcnica corrotacional. Para modelar
o comportamento no linear do concreto armado compresso utilizada uma relao
tenso x deformao semelhante da NBR 6118, desprezando-se a resistncia n. J
para o ao considera-se que um material elasto-plstico perfeito. So mostrados
exemplos de uma viga e dois prticos, encontrando-se a carga crtica.El-Metwally e Chen (1989) estudam a influncia da no-linearidade fsica e
geomtrica e a flexibilidade das ligaes no comportamento de prticos de concreto
armado. A no-linearidade geomtrica levada em conta tanto localmente quanto
globalmente. Para modelar o efeito localizado foi modificada a matriz de rigidez por
funes de rigidez, e globalmente feita a atualizao das coordenadas aps cada
iterao. Para modelar o comportamento no linear do concreto armado compresso
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foi utilizada a relao tenso x deformao proposta por Soliman e Yu, a qual
considera o confinamento do concreto pelos estribos. Despreza-se a resistncia
trao do concreto e o ao considerado um material elasto-plstico perfeito. A ligao
viga-coluna modelada por uma mola de rotao.
Carol e Murcia (1989(a) e 1989(b)) desenvolvem um modelo para anlise no
linear fsica de prticos planos de concreto armado atravs de uma formulao hbrida
de elementos finitos. Nesta formulao encontrada uma soluo analtica para a
variao dos esforos ao longo da seo transversal e so utilizadas as expresses
matemticas dos esforos da seo transversal como funes de interpolao destes
esforos ao longo do elemento. De acordo com os autores no necessrio refinar a
malha, pois as funes de interpolao so exatas, podendo-se utilizar elementos
longos. considerado o efeito da fluncia para o concreto armado e podem-se
considerar os efeitos de segunda ordem. O modelo implementado no programa
CONS.
Vecchio e Emara (1992) desenvolvem um modelo para a considerao da
deformao por cisalhamento na anlise no linear de prticos de concreto armado,
considerando o Modelo da Teoria do Campo de Compresso Modificada. A
deformao por cisalhamento definida atravs da compatibilizao das foras
cortantes nas extremidades dos elementos.
O modelo desenvolvido por Sun et al (1993) pode ser utilizado para a anlise
de estruturas de concreto armado e protendido. Esse modelo permite a utilizao de
um material no homogneo e a utilizao de elementos no prismticos. Para a
incluso da no-linearidade geomtrica utilizada a formulao Lagrangeana Total, a
qual considera a estrutura indeformada, mas considera o efeito dos deslocamentos na
mudana da geometria atravs de uma matriz de deslocamentos iniciais. utilizado o
mtodo das lamelas para a diviso da seo transversal, onde cada camada est sob
estado uniaxial de tenses. Para modelar o comportamento no linear do concretoarmado compresso utilizada a relao tenso x deformao proposta por
Hognestad (1951) e trao utiliza-se uma relao linear at atingir a tenso de
fissurao, aps utiliza-se uma curva do terceiro grau para representar o efeito de
enrijecimento do concreto entre fissuras (tension-stiffening). O ao considerado um
material elasto-plstico perfeito. Foi desenvolvido um programa computacional que
apresenta bons resultados para cargas menores que a carga ltima.
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Rasheed e Dinno (1994(a) e 1994(b)) propem dois modelos para anlise no
linear fsica de estruturas reticuladas de concreto armado. Um deles um modelo
simplificado j citado anteriormente, e o outro semelhante ao modelo proposto por
Carol e Murcia (1989(a) e 1989(b)). Para modelar o comportamento no linear do
concreto armado compresso, utiliza-se uma curva de quarto grau para a relao
tenso x deformao, considerando o confinamento do concreto pelos estribos. Para o
concreto sob trao utiliza-se a relao sugerida por Gilbert e Warner, a qual combina
os efeitos de enrijecimento do concreto entre fissuras (tension-stiffening),
amolecimento (tension-softening) e aderncia-deslizamento (bond-slip),
representada por trs trechos lineares. O ao considerado um material elasto-plstico
com encruamento.
Paz (1995) desenvolveu em dissertao de mestrado na UFF um modelo
computacional capaz de prever o comportamento no linear de vigas ou colunas de
concreto armado confinados nas zonas potenciais de formao de rtulas plsticas. A
autora utiliza um elemento de dois ns, com trs graus de liberdade cada. So
consideradas apenas sees retangulares e utiliza-se a formulao isoparamtrica.
Adota-se o modelo simplificado de Mander, Priestley e Park (1984) apud Paz (1995)
para modificar a equao constitutiva do concreto submetido compresso em funo
da armadura de estribos. A matriz de rigidez e as foras restauradoras so avaliadas
numericamente pelas quadraturas de Gauss, sendo utilizados trs pontos de Gauss. A
matriz constitutiva e os esforos so avaliados nos pontos de Gauss, sendo a seo
discretizada em camadas (Mtodo das Lamelas).
Ovunc e Ren (1996) realizam a anlise no linear fsica e geomtrica de
prticos de concreto armado. A no-linearidade fsica includa atravs de uma
aproximao de uma funo contnua da tenso em relao deformao. A no-
linearidade geomtrica includa expressando os deslocamentos dos elementos em
sua configurao deformada, atravs da formulao Lagrangeana Atualizada. Estaformulao foi implementada nos mdulos relacionados a no-linearidades no
programa STDYNL.
Shuraim (1997) mostra um modelo para a anlise no linear fsica e
geomtrica de prticos planos de concreto armado. utilizada uma relao
deformao x deslocamento no linear, obtendo-se a matriz de rigidez do material e
uma matriz de rigidez geomtrica. Utiliza-se a formulao Lagrangeana Atualizada, a
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qual atualiza as coordenadas nodais a cada etapa. O concreto sob compresso
modelado pela curva proposta por Carreira e Chu (1985), e sob trao por dois trechos
lineares; o ao considerado elasto-plstico perfeito. utilizado o mtodo de Newton-
Raphson modificado para soluo das equaes no lineares.
Araripe (1998) desenvolve trs modelos de elementos finitos considerando
tanto a no-linearidade fsica quanto geomtrica, dentro de uma descrio
Lagrangeana Total. Alguns exemplos tericos so apresentados.
Silva e Matos (2000) fazem a anlise no linear fsica e geomtrica de
prticos planos de concreto armado, considerando a contribuio de concreto entre
fissuras. Neste modelo a seo dividida em camadas de ao e concreto. Considera-
se a estrutura submetida a grandes deslocamentos e grandes deformaes, baseando-
se numa formulao terica consistente e utilizando um sistema de coordenadas
corrotacional solidrio ao elemento. Para modelar o comportamento no linear do
concreto armado compresso utilizada a relao tenso x deformao proposta por
Hognestad (1951), e trao adota-se o modelo constitutivo apresentado por Vecchio
e Collins. apresentado um exemplo de um prtico de 14 pavimentos comparando-se
anlises com e sem o efeito de tension-stiffening, anlise linear e anlise
considerando o P-delta.
Mendes Neto (2000) aborda a anlise no linear esttica de prticos planos,
mas no considera a seo dividida em camadas, utiliza uma formulao atravs do
Teorema de Green para a obteno dos esforos resistentes do concreto. O enfoque
da anlise para o Estado Limite ltimo.
Branco (2002) desenvolve um cdigo computacional para anlise de prticos
planos de concreto armado considerando a deformao por cisalhamento atravs da
teoria de vigas de Timoshenko. utilizada a formulao Lagrangeana Atualizada,
considerando tanto a no-linearidade fsica quanto a geomtrica. Para a considerao
da no-linearidade fsica utiliza-se um modelo baseado no modelo de Dano de Mazars.No so apresentadas comparaes entre os resultados obtidos com o modelo e
resultados experimentais.
Kwak e Kim (2002) desenvolvem um modelo para anlise no linear fsica de
vigas de concreto armado. Ao invs de utilizar o mtodo das lamelas, utilizada a
relao momento x curvatura das sees previamente construda durante a anlise da
seo. A curva tenso x deformao utilizada para representar o concreto sob
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compresso a curva de Scott et al (1982) e sob trao representada por dois
trechos lineares, um trecho at a fissurao e outro trecho de decaimento linear para a
considerao do efeito de tension-stiffening. O ao modelado como elasto-plstico
com encruamento.
Izzudin et al (2002) apresentam uma nova formulao para elementos de
viga/coluna para anlise no linear de prticos espaciais considerando a no-
linearidade geomtrica e considerando a no-linearidade fsica de forma simplificada.
Nesta formulao cada viga ou coluna modelada por um nico elemento no incio da
anlise e h um refinamento automtico da malha nos lugares onde se torna
necessrio. Admite-se que o concreto sob compresso apresenta uma relao tenso x
deformao no linear, representada por um trecho parablico at a tenso mxima, e
depois, por um trecho constante, considerando o confinamento do concreto pelos
estribos. No se admite, no entanto, nenhuma resistncia do concreto sob trao e o
ao admitido como um material elstico-linear. Para os deslocamentos transversais
so admitidas funes de quarta ordem. O modelo foi implementado num programa
denominado ADAPTIC.
Chimello (2003) desenvolve um modelo para a anlise no linear de vigas de
concreto armado reforadas com tiras de carbono, utilizando um elemento de trs ns,
sendo os dois ns externos com trs graus de liberdade cada e um n interno com um
grau de liberdade de deslocamento axial. So consideradas apenas sees
retangulares discretizadas em camadas. Nesse trabalho tambm utilizada a
formulao isoparamtrica, sendo a matriz de rigidez e as foras restauradoras
avaliadas numericamente pelas quadraturas de Gauss, utilizando-se trs pontos de
Gauss.
Schulz e Reis (2003) apresentam uma formulao de elementos finitos para
estruturas reticuladas tridimensionais de concreto armado, considerando a no-
linearidade fsica e geomtrica. Utiliza-se a formulao Lagrangeana Total,considerando deslocamentos finitos e pequenas rotaes. Utiliza-se um processo
iterativo baseado no mtodo do comprimento do arco. As relaes constitutivas
utilizadas so as recomendadas pela NBR-6118 para o dimensionamento e tambm
so implementadas as curvas indicadas pelo CEB 90. utilizado um elemento finito de
barra com trs ns e sete graus de liberdade. Os dois ns externos apresentam trs
graus de liberdade, sendo dois deslocamentos, axial e transversal, e uma rotao. O n
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interno, no ponto mdio do elemento, apresenta apenas um grau de liberdade, de
deslocamento axial.
Pode-se tambm utilizar elementos finitos de barra com formulao em
termos de foras, em vez de deslocamentos, como no modelo de Taucer et al(1991) e
Spacone et al(1992).
Neste contexto, tambm se pode citar o trabalho de Teixeira e de Souza
(2003), o qual apresenta anlises tridimensionais de um edifcio de concreto armado de
18 pavimentos, considerando para a modelagem das barras de prtico tridimensional
um elemento finito baseado no Mtodo das Foras. Para esse estudo foi utilizado o
programa OpenSees desenvolvido na Universidade de Berkeley. Utilizou-se a
formulao corrotacional e tambm o mtodo P-delta para validao dos resultados.
Para resoluo das equaes no lineares utiliza-se o mtodo de Newton-Raphson.
Esses modelos baseados no Mtodo das Foras tm apresentado timos
resultados, no entanto a sua implementao computacional torna-se mais difcil,
principalmente em programas usuais de elementos finitos que utilizam formulao em
termos de deslocamentos ao invs de foras.
Modelos de elementos finitos planos e slidos tambm tm sido utilizados
com sucesso na anlise de estruturas de concreto armado, levando em conta modelos
constitutivos biaxiais e triaxiais, desenvolvidos mais recentemente. Alguns desses
modelos so citados abaixo.
Ashour e Morley (1993) desenvolveram um modelo de elementos slidos para
a anlise no linear fsica de estruturas de concreto armado. Considera-se na anlise o
modelo de fissurao distribuda. admitido estado triaxial de tenso para o concreto,
utilizando-se uma superfcie de ruptura proposta por Kotsovos. Para tenses que no
ultrapassem esta superfcie de ruptura, o concreto considerado um material
isotrpico, e para tenses alm desta superfcie o comportamento do concreto torna-se
ortotrpico. A interao entre o concreto e o ao modelada utilizando-se elementosde contato, no qual cada um desses elementos consiste de trs molas, sendo
formulado tambm o clculo da rigidez das molas. Esses elementos so utilizados para
conectar os ns do concreto com os ns do ao que tenham as mesmas coordenadas.
So apresentados dois exemplos numricos de vigas isostticas.
O modelo desenvolvido por Zhang et al (1994) consiste de elementos slidos
isoparamtricos sob estado triaxial de tenso. O ao pode estar distribudo no concreto
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ou disposto em camadas e ambos os materiais tm a mesma deformao. O efeito de
tension-stiffening considerado atravs da modificao da relao constitutiva do
ao.
O modelo desenvolvido por Kwak e Filippou (1997) utiliza elementos sob
estado plano de tenso. O concreto e o ao so representados por modelos separados.
proposta uma relao para considerar o efeito de tension-stiffening na anlise
baseada num critrio de fissura derivado dos princpios da mecnica da fratura.
utilizado para o concreto um modelo ortotrpico no linear, considerando o modelo de
fissuras giratrias (rotating crack model), no qual se admite que a direo das fissuras
no seja fixa, mas se mantm perpendicular s deformaes principais durante a
histria de carregamento. Um novo modelo para o ao, o qual considerado
incorporado no elemento de concreto, desenvolvido para uma modelagem mais
eficiente de estruturas complexas.
O modelo de Wang e Hsu (2001) tambm utiliza elementos planos sob estado
plano de tenso, utilizando o critrio de ruptura de Kupfer. Podem ser utilizados
elementos isoparamtricos de 4 ou 8 ns. Considera-se fissurao distribuda e um
modelo de fissuras fixas (fixed crack model), onde os eixos de referncia so os eixos
correspondentes ao incio da fissurao. O modelo implementado num programa
denominado FEAPRC.
Dvila (2003) props dois modelos distintos para representar as fissuras em
peas de concreto armado, um modelo que considera a fissurao distribuda, e outro,
que considera a fissurao incorporada, com a utilizao de elementos finitos planos.
2.3 LIGAES VIGA PILAR
Os deslocamentos apresentados por uma estrutura esto relacionados sua
rigidez, que depende tambm da rigidez das suas ligaes. Portanto, a verificao das
deformaes de uma estrutura deve considerar a deformabilidade das ligaes.
A ligao entre a viga e o pilar, usualmente denominada de n de prtico, tem
um comportamento particular em relao ao resto da estrutura. Muitas vezes, os ns
de prtico so regies mais crticas do sistema estrutural como um todo, pois nestes
pontos ocorre a mudana de direo do eixo da estrutura, o que provoca alterao na
direo dos esforos internos e, conseqentemente, modificao na distribuio de
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tenses na seo.
Para elementos de barras, as ligaes podem ser classificadas com relao
rigidez flexo em: articuladas, semi-rgidas e rgidas. As ligaes articuladas so
aquelas que no apresentam impedimento para a ocorrncia de rotao relativa entre
as peas conectadas: so as rtulas perfeitas, utilizadas em elementos de trelias. As
ligaes rgidas so aquelas nas quais todos os deslocamentos relativos entre as
peas so impedidos, isto , no h alterao no ngulo relativo entre elas: so as
ligaes comumente utilizadas em elementos de prticos. As ligaes semi-rgidas
apresentam resistncia rotao relativa, mas no possuem rigidez suficiente para
impedir todo deslocamento entre as peas: o caso de ligaes de elementos de
concreto armado submetidos flexo, aps a fissurao. A utilizao de ligaes semi-
rgidas resulta em uma estrutura menos rgida quando comparada ao uso de ligaes
rgidas e, por conseqncia, maiores deslocamentos na estrutura. Considera-se nas
ligaes semi-rgidas apenas a influncia da variao da rigidez flexo, sendo estas
ligaes consideradas rgidas o suficiente para impedirem os deslocamentos relativos
de translao.
Para utilizao das ligaes semi-rgidas, existe a dificuldade de como avaliar
os coeficientes de rigidez da ligao, devendo em geral recorrer a ensaios
experimentais.
Para o caso de prticos sujeitos a cargas horizontais, nas ligaes entre vigas
e pilares o efeito de cisalhamento importante, e as elevadas tenses cisalhantes
provocam fissuras inclinadas, por isso torna-se necessria uma modelagem mais
refinada da ligao entre os elementos.
Uma maneira de capturar adequadamente o comportamento das ligaes a
partir de uma modelagem de toda a estrutura por elementos finitos planos. No entanto,
o modelo resulta em um grande nmero de graus de liberdade, o que fica quase
impraticvel para a anlise de prticos em escala real. Outros modelos simplificadostm sido propostos:
O Mtodo das Ligaes Flexveis, proposto por Saffarini e Wilson (1983),
consiste em representar as vigas e pilares por elementos de barras, mas no encontro
entre esses elementos utiliza-se um elemento finito plano, submetido a um estado
plano de tenses. Esse mtodo foi proposto para anlise elstico-linear, mas poderia
ser estendido para a considerao da no-linearidade do concreto, capturando assim,
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as fissuras inclinadas.
Pessiki et al (1990), apud Elmorsi (1998), afirmam que a maioria dos
programas para anlise de prticos de concreto armado considera a ligao, entre
vigas e prticos, rgida, e propem uma alternativa para a modelagem destas ligaes.
A FIGURA 1 mostra o modelo que eles propuseram, onde os elementos de barra eram
conectados atravs de um elemento no n formado por quatro barras conectadas por
ligaes articuladas, cuja estabilidade mantida por uma mola diagonal.
FIGURA 1 ELEMENTO DE LIGAO PROPOSTO POR PESSIKI ET AL (1990)
Alguns modelos interessantes foram propostos principalmente para prticossubmetidos a aes ssmicas, nos quais as tenses cisalhantes nos ns so elevadas.
Elmorsi (1998) props um modelo onde as ligaes viga-pilar so modeladas por
elementos finitos planos com 12 ns, e para conectar esse elemento com os elementos
de barra, existem elementos planos de transio com 10 ns. Para compatibilizar os
elementos de barra com os elementos de transio, que so elementos planos,
transformam-se os graus de liberdade de rotao do elemento de barra em graus de
liberdade de translao, atravs de uma matriz de transformao.
Bao (2005) props um modelo onde a ligao viga-pilar idealizada por um
elemento de junta que consiste de barras de prtico formando um paralelogramo,
rgidas axialmente e com zonas de interface nas extremidades das barras. Estas zonas
so compostas de elementos de comprimento nulo e componentes de transio
rgidos. A deformao axial e por cisalhamento das extremidades dos elementos na
zona de interface so desprezadas, enquanto que a rotao destas interfaces
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causadas por carregamento de flexo levada em conta. Na modelagem, dois
elementos de comprimento nulo so utilizados para ligar os ns da extremidade dos
componentes de transio rgidos aos ns do paralelogramo, liberando o grau de
liberdade de rotao e restringindo os graus de liberdade de translao que possam
causar deformao por cisalhamento, conforme FIGURA 2.
FIGURA 2 ELEMENTO DE LIGAO PROPOSTO POR BAO (2005)
2.4 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA OS MATERIAIS
A no-linearidade fsica est diretamente ligada ao comportamento mecnicodos materiais constituintes da estrutura. Para uma anlise no linear torna-se
necessrio, portanto, conhecer o comportamento dos materiais para poder definir um
modelo que possa ser u
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