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Medidas de centralidade
Medidas de Centralidade
Prof. Dr. Lucas Santana da Cunhaemail: lscunha@uel.br
http://www.uel.br/pessoal/lscunha/
28 de marco de 2018Londrina
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Medidas de centralidade
IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Introducao
Sao utilizadas para sintetizar, em um unico numero, o conjuntode dados observados da variavel em estudo;
Usualmente emprega-se uma das seguintes medidas de posicao(ou localizacao) central:
Media;
Mediana;
Moda.
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Medidas de centralidade
IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Media aritmetica simples
A medida mais utilizada para descrever resumidamente um con-junto de dados, tabelados ou nao, e a media aritmetica sim-ples.
Definicao
Soma das observacoes dividida pelo numero delas:
µ =
∑Ni=1 yiN
(Media Populacional)
y =
∑ni=1 yin
(Media Amostral)
em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo, N e n e otamanho da populacao e da amostra, respectivamente.
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Medidas de centralidade
IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Exemplo 1
As taxas de juros recebidas por uma amostra de 10 acoes durantecerto perıodo foram (medidas em porcentagem):
2,59 2,64 2,60 2,62 2,572,55 2,61 2,50 2,63 2,64
Qual e a taxa de juros media nesse perıodo?
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Medidas de centralidade
IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Media aritmetica ponderada
Definicao
A media aritmetica e considerada ponderada se os valores observadostiverem pesos diferentes:
y =
∑ni=1 yipi∑ni=1 pi
em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo e pi e seu res-pectivo peso.
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Exemplo 2
Do plano de ensino da disciplina Estatıstica Economica A aplicadaa Ciencias Economicas, tem-se que os pesos das avaliacoes P1, P2,P3, P4 e T sao p1 = 2, p2 = 2, p3 = 2, p4 = 2 e pT = 1,respectivamente. Suponhamos que um aluno tire as notas: P1 = 8,P2 = 5, P3 = 6 e T = 7, qual a nota mınima que precisa na P4
para ser aprovado na disciplina?
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Media para dados agrupados
Definicao
A media aritmetica para dados agrupados nada mais e que umamedia ponderada:
y =
∑ki=1 yini∑ki=1 ni
em que yi e o valor medio da i-esima classe e ni e a frequenciaabsoluta da i-esima classe.
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Exemplo 3
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 1: Distribuicao de frequencias do tempo, em minutos, queusuarios de Internet gastaram na rede durante sua mais recente sessao.
Tempo ni fi7 ` 20,2 8 0,16
20,2 ` 33,4 11 0,2233,4 ` 46,6 13 0,2646,6 ` 59,8 9 0,1859,8 ` 73,0 4 0,0873,0 ` 86,2 5 0,10
TOTAL 50 1,000
Qual e o tempo medio gasto na internet por esses usuarios?
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Exemplo 4
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 2: Distribuicao de frequencias do numero de filhos das famıliasde um bairro de uma cidade qualquer.
no de filhos ni fi0 5 0,16671 7 0,23332 11 0,36673 6 0,20004 1 0,0333
TOTAL 30 1,0000
Qual o numero medio de filhos das famılias desse bairro?
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Mediana
E uma quantidade que, como a media, tambem procura carac-terizar o centro da distribuicao de frequencias;
E a medida que ocupa a posicao central do conjunto de dados,ou seja, 50% das observacoes estao a cima da mediana e 50%estao a baixo.;
Para determinar a mediana e preciso ordenar os dados e emseguida verificar se o n e par ou ımpar.
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Se n ımpar
Definicao
Md = y( n+12 )
em que y( n+12
) e o valor do elemento que se encontra na posicaon+12 .
Exemplo 5
Consideremos os seguintes dados que se referem aos salariosiniciais, em reais, pagos para uma amostra de 11 economistas:
2350,00 2450,00 2550,00 2380,00 2555,00 2210,002390,00 2630,00 2440,00 2420,00 2380,00.
Calcule o valor mediano do salario da amostra de economistas.11 / 26
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Se n e par
Definicao
Md =y( n
2 ) + y( n2+1)
2
em que y( n2) e y( n
2+1) sao os valores dos elementos que se
encontram nas posicoes n2 e n
2 + 1.
Exemplo 6
Se retirarmos a primeira observacao dos dados anteriores, temos:
2450,00 2550,00 2380,00 2555,00 2210,00 2390,002630,00 2440,00 2420,00 2380,00.
Calcule o novo valor mediano do salario.
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Mediana para dados agrupados
Definicao
A mediana, para dados agrupados em classes, e dada por:
Md = Li +
(n2 − Fi−1
)ni
ac
em que Li e o limite inferior da classe mediana; ac e a amplitudedo intervalo da classe mediana; Fi−1 e a frequencia acumuladaanterior a classe mediana; ni e a frequencia absoluta da classemediana.
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IntroducaoMediaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Exemplo 7
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 3: Distribuicao de frequencias do tempo, em minutos, queusuarios de Internet gastaram na rede durante sua mais recente sessao.
Tempo ni Fi
7 ` 20,2 8 820,2 ` 33,4 11 1933,4 ` 46,6 13 3246,6 ` 59,8 9 4159,8 ` 73,0 4 4573,0 ` 86,2 5 50
TOTAL 50 -
Qual e o tempo mediano gasto na internet por esses usuarios?
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Exemplo 8
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 4: Distribuicao de frequencias do numero de filhos das famıliasde um bairro de uma cidade qualquer.
no de filhos ni Fi
0 5 51 7 122 11 233 6 294 1 30
TOTAL 30 -
Qual o numero mediano de filhos das famılias desse bairro?
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Moda
Definicao
A moda, Mo , e definida como o valor mais frequente do conjuntode valores observados.
A moda pode ser obtida para variaveis qualitativas.
Um conjunto de dados pode ser:
amodal (nenhuma moda);
unimodal (uma moda);
bimodal (duas modas);
multimodal (tres ou mais modas);
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Exemplo 9
O conjunto de numeros 1, 2, 3, 4, 5 nao tem moda (amodal).
Exemplo 10
Consideremos as alturas, em cm, de uma amostra de dez alunos docurso de Ciencias Economicas:
165 171 173 173 178178 178 178 179 182
Temos que a altura modal e 178cm (Mo = 178).
Exemplo 11
O conjunto de numeros 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 tem duas modas (bimodal),Mo = 2 e Mo = 3 .
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Moda para dados agrupados
Para dados agrupados em classes, pode-se utilizar um dos se-guintes metodos:
Moda bruta
E o ponto medio da classe modal (aquela que apresenta maiorfrequencia), ou seja:
Li + Ls2
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Metodo Czuber
Mo = Li +
(δ1
δ1 + δ2
)ac
em que Li e o limite inferior da classe modal; ac e a amplitude daclasse modal; δ1 e a diferenca entre a frequencia absoluta da classemodal e a anterior imediata; δ2 e a diferenca entre a frequenciaabsoluta da classe modal e a posterior imediata.
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Exemplo 12
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 5: Distribuicao de frequencias do tempo, em minutos, queusuarios de Internet gastaram na rede durante sua mais recente sessao.
Tempo ni fi pi7 ` 20,2 8 0,16 16
20,2 ` 33,4 11 0,22 2233,4 ` 46,6 13 0,26 2646,6 ` 59,8 9 0,18 1859,8 ` 73,0 4 0,08 873,0 ` 86,2 5 0,10 10
TOTAL 50 1,000 100
Qual e o tempo modal gasto na internet por esses usuarios?Obs: Calcular pelos dois metodos.
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Exemplo 13
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 6: Distribuicao de frequencias do numero de filhos das famıliasde um bairro de uma cidade qualquer.
no de filhos ni fi pi0 5 0,1667 16,671 7 0,2333 23,332 11 0,3667 36,673 6 0,2000 20,004 1 0,0333 3,33
TOTAL 30 1,0000 100,00
Qual o numero modal de filhos das famılias desse bairro?
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Exemplo 14
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 7: Distribuicao de frequencias da cor favorita.
cor ni fi piAmarelo 3 0,1000 10,00
Azul 11 0,3667 36,67Laranja 1 0,0333 3,33Marrom 1 0,0333 3,33
Preto 5 0,1667 16,67Roxo 1 0,0333 3,33Verde 4 0,1333 13,33
Vermelho 4 0,1333 13,33
TOTAL 30 1,0000 100,00
Qual a cor favorita para o conjunto de dados?
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EXERCICIO
Tabela 8: Distribuicao de frequencias do peso, em kg, de criancas de umquarteirao de um bairro qualquer.
Pesos ni fi pi58,0 ` 63,5 3 0,1875 18,7563,5 ` 69,0 7 0,4375 43,7569,0 ` 74,5 5 0,3125 31,2574,5 ` 80,0 1 0,0625 6,25
TOTAL 16 1,0000 100,00
Calcule a media, a mediana e a moda para o conjunto de dados databela de distribuicao de frequencias acima.
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Media
E vista como ponto de equilıbrio dos dados;
Utilizada quando a distribuicao dos dados e pelo menos apro-ximadamente simetrica;
Utilizada ser for necessario obter posteriormente outros parametrosque podem depender da media, como por exemplo a variancia,o desvio padrao, etc.
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Mediana
E vista como ponto medio dos dados;
Utilizada quando ha valores extremos;
Utilizada quando deseja-se conhecer o ponto central da distri-buicao;
Utilizada quando a distribuicao dos dados e muito assimetrica.
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Moda
E vista como ponto de maxima frequencia dos dados;
Utilizada quando a medida de interesse e o ponto mais tıpicoou popular dos dados;
Utilizada quando precisa-se apenas de uma rapida ideia sobrea tendencia central dos dados.
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