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ME623APlanejamento e Pesquisa
5. Experimentos Fatoriais
1. Experimento Fatorial com Dois Fatores
2. Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores)
3. Experimento Fatorial 2k
4. Única Replicação de Um Fatorial 2k
5. Blocagem e Confundimento em Fatoriais 2k
6. Experimento Fatorial Fracionado 2k-p
Blocagem em Fatoriais 2k
Já vimos anteriormente como analisar experimentos fatoriais com replicações em blocos
Se existem n replicações, cada replicação do fatorial completo é rodada dentro um bloco, isto é, cada bloco contém todos os tratamentos
A aleatorização acontece dentro de cada bloco
Vamos voltar no exemplo da pipoca, em que tínhamos dois fatores (marca e tempo no microondas) e 3 replicações
Suponha agora que os sacos de pipoca usados em cada replicação foram comprados em supermercados diferentes. Nesse caso, cada supermercado constitui um bloco
Exemplo – PipocaFator Replicação
Marca(A)
Tempo(B)
Tratamento I II III
− − (1) 28 25 27
+ − a 36 32 32
− + b 18 19 23
+ + ab 31 30 29
Bloco I Bloco II
Bloco III
(1) = 28 (1) = 25 (1) = 27
a = 36 a = 32 a = 32
b = 18 b = 19 b = 23
ab = 31 ab = 30 ab = 29
Total Blocos B1 = 113 B2 = 106 B3 = 111
Experimento da Pipoca em Blocos
Blocagem em Fatoriais 2k
Todas as SS são calculadas da mesma forma que no experimento fatorial 2k
A SSBloco é calculada pelo total dos blocos B1, B2 e B3:
Blocagem em Fatoriais 2k
A Tabela ANOVA (compare com a ANOVA sem blocos):
anova(lm(dados~factor(bloco) + factor(marca)*factor(tempo)))
Confundimento em Fatoriais 2k
A técnica de blocagem é muito útil quando é possível aplicar todas os tratamentos dentro de cada bloco
Mas e quando não é possível realizar uma replicação completa dentro de um bloco?
Usamos uma técnica chamada de confundimento
Essa técnica arranja um experimento fatorial completo em blocos, onde o tamanho do bloco é menor que o número de tratamentos numa única replicação
Isso faz com que certos efeitos (usualmente interações de ordem mais alta) sejam confundidos com os blocos
Confundimento em Fatoriais 2k
Os experimentos que iremos estudar aqui são delineamentos em blocos incompletos, já que cada bloco não contém todos os tratamentos
Ainda assim, a estrutura especial dos fatoriais 2k permite uma método de análise simplificado
Iremos considerar a construção e análise de fatoriais 2k em 2p blocos incompletos, onde p < k
Isso quer dizer que podemos usar dois blocos (p=1), quatro blocos (p=2), oito blocos (p=3) e assim por diante
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosSuponha que iremos rodar uma única
replicação de um fatorial 22, ou seja, 4 tratamentos e estes necessitam de um certa quantidade de matéria-prima
Cada lote de matéria-prima é suficiente para apenas 2 tratamentos serem testados
Então, precisamos de 2 lotes de matéria-prima e cada lote é considerado um bloco
Bloco 1
Bloco 2
(1) aab b
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosA ordem em que cada tratamento são
rodados dentro dos blocos é aleatóriaAlém disso, aleatoriamente decidimos qual
bloco rodar primeiro
Bloco 1
Bloco 2
(1) aab b
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosTabela dos sinais para um fatorial 22
Cálculo dos efeitos principais (ignorando os blocos)
Os efeitos de A e B não são afetados pelos blocos (note um + e um − nos tratamentos de cada bloco)
Tratamento
Efeito Fatorial
BlocoI A B AB
(1) + − − + 1
a + + − − 2
b + − + − 2
ab + + + + 1
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocos
Vamos agora calcular o efeito da interação AB:
Note que a interação é calculada como a diferença dos tratamentos no Bloco 1 [(1) e ab] e os tratamentos no Bloco 2 [a e b]
Então o efeito da interação AB é idêntico ao efeito do bloco
Confundimento: Fatoriais 2k em 2 blocosNesse caso dizemos que AB está
confundida com blocos (veja a relação na tabela dos sinais)
Essa técnica pode ser usada para confundir qualquer efeito (A, B ou AB) com blocos
Em geral, usamos essa técnica para confundir a interação de maior ordem
Tratamento
Efeito Fatorial
I A BAB
CAC
BC
ABC
(1) + − − + − + + −
a + + − − − − + +
b + − + − − + − +
ab + + + + − − − −
c + − − + + − − +
ac + + − − + + − −
bc + − + − + − + −
abc + + + + + + + +
Tabela dos sinais para um fatorial 23
Para confundir a interação ABC com blocos, basta escolher os blocos pelas colunas de sinais correspondente ao efeito ABC
Tratamento
Efeito Fatorial
BlocoI A B
AB
CAC
BC
ABC
(1) + − − + − + + − 1
a + + − − − − + + 2
b + − + − − + − + 2
ab + + + + − − − − 1
c + − − + + − − + 2
ac + + − − + + − − 1
bc + − + − + − + − 1
abc + + + + + + + + 2
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
Esse esquema pode ser usado para confundir qualquer fatorial 2k em 2 blocos
Fato
r B
Bloco 1
Bloco 2
(1) a
ab b
ac c
bc abc(1) a
b
c
abc
ab
ac
bc
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação
Então porque precisamos saber este modelo?
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação
Então porque precisamos saber este modelo?
Porque alguns experimentos são planejados desta maneira
Podemos então simplesmente construir a ANOVA?
Confundimento: Fatoriais 23 em 2 blocos
No final das contas, o modelo fatorial em blocos, em termos de parâmetros é o mesmo que o modelo fatorial com a interação
Então porque precisamos saber este modelo?
Porque alguns experimentos são planejados desta maneira
Podemos então simplesmente construir a ANOVA?
Estimar o erro replicando o desenho.Ler no livro a extensão para 2k em 2p
blocos
Experimentos Fatoriais FracionadosJá dissemos inúmeras vezes que nos
experimentos fatoriais o número de tratamentos aumenta consideravelmente à medida que os aumentamos o número de fatores no estudo
Por exemplo: fatorial 26 = 64 tratamentos Com apenas uma replicação, temos 63
graus de liberdade no total, que se dividem da seguinte forma:6 gl para os efeitos principais15 gl para as interações de 1ª ordem
(interações com dois fatores)42 gl para interações de 2ª ordem e
superiores (interações com 3 ou mais fatores)
Experimentos Fatoriais FracionadosEm muitos casos, não é possível obter
observações para todos os tratamentosSe pudermos assumir que interações de
ordem mais altas são não significativas, então podemos obter informação sobre os efeitos principais e interações de ordem mais baixa rodando apenas uma parte (ou fração) de um experimento fatorial completo
Esses experimentos são chamados de Fatoriais Fracionados
Muito usados em desenvolvimento de produtos e melhoria de processos
Experimentos Fatoriais FracionadosO uso principal desse tipo de
delineamento é em experimentos pilotos (screening experiments)
Experimentos piloto: realizado com muitos fatores com o propósito de identificar os efeitos que são realmente significativos
Geralmente realizado na fase inicial e os fatores identificados como importantes serão então estudados num experimento mais completo
Fatoriais Fracionados: Idéia Básica1) Esparsidade: Quando existem muitas
variáveis, o processo/sistema é dominado por alguns poucos efeitos principais e interações de baixa ordem
2) Projeção: Os fatoriais fracionados podem ser projetados em experimentos mais completos dentro de um subconjunto de fatores significantes
3) Experimentação Sequencial: Dois ou mais fatoriais fracionados pode ser combinados, sequencialmente, e assim estimar os efeitos principais e interações de interesse
Meia Fração (1/2) do Fatorial 2k
ou Fatorial 2k – 1 Considere a situação na qual 3 fatores,
cada um com dois níveis, são de interesse
Temos então 23 = 8 tratamentos
O experimentador tem recursos para obter apenas 4 observações, isto é, metade de uma replicação completa desse fatorial 23
Metade de um experimento fatorial 23 é chamado de fatorial 23 – 1
Fatorial Fracionado 2k – 1 Veja a tabela dos sinais
O fatorial 23 – 1 é formado pelos tratamentos que tem o sinal “+” na coluna ABC
Tratamento
Efeito Fatorial
I A BAB
CAC
BC
ABC
a + + − − − − + +
b + − + − − + − +
c + − − + + − − +
abc + + + + + + + +
ab + + + + − − − −
ac + + − − + + − −
bc + − + − + − + −
(1) + − − + − + + −
Fatorial Fracionado 2k – 1 A coluna ABC é que determina a fração
do experimento que será rodadaEntão ABC é chamado de gerador da
fraçãoAlém disso, como a coluna I é sempre +,
dizemos que I = ABC
é a relação de definiçãoNo geral, a relação de definição será
sempre o conjunto de todas as colunas que são iguais à coluna identidade I
No nosso exemplo, a única coluna igual a I é ABC
As Duas Metades de um Fatorial 23
Fato
r B
a
b
c
abc
Fato
r B
(1)
ab
ac
bc
Fração Principal I = ABC
Fração Alternada I = −ABC
Fatorial Fracionado 23 – 1 Tabela dos sinais para a metade que foi
realizada:
Estimativa dos efeitos principais e interações:
Tratamento
Efeito Fatorial
I A B AB C AC BC ABC
a + + − − − − + +
b + − + − − + − +
c + − − + + − − +
abc + + + + + + + +
Fatorial Fracionado 23 – 1 Notamos que:
[A] = [BC]
[B] = [AC]
[C] = [AB]Dessa forma, é impossível diferenciar
A de BC, B de AC e C de ABNa realidade, estamos estimando:
A + BC, B + AC e C + ABDois ou mais efeitos com esta
propriedade são chamados de associados (aliases)
Portanto, A e BC são associados e indicamos por
[A] A + BC
Estimativa dos efeitos principais e interações:
Fatorial Fracionado 23 – 1 No nosso exemplo temos:
[A] A + BC
[B] B + AC
[C] C + ABA estrutura dos associados pode ser
encontrada usando a relação de definição I = ABC da seguinte forma:
Essa meio fração, com I = ABC, é chamada de fração principal
Fatorial Fracionado 23 – 1 A meia fração complementar desse
experimento é formada pelos tratamentos (1), ab, ac e bc
A relação de definição é I =− ABC
As combinações lineares para essa fração são:
[A]’ A − BC
[B]’ B − AC
[C]’ C − ABEntão quando estimamos A, B e C com
esta fração particular, estamos na verdade estimando A − BC, B − AC e C − AB
Fatorial Fracionado 23 – 1 Na prática, não interessa qual fração é
usada (principal ou complementar)Ambas frações pertencem à mesma
família, isto é, as duas meia frações formam um fatorial 23 completo
Se depois de rodar uma das metades de um fatorial 23, a outra meia fração também é rodada, obtemos então informação sobre todos os 8 tratamentos
A partir disso podemos obter estimativas de todos os efeitos analisando as 8 rodadas com um fatorial 23 completo em dois blocos com 4 rodadas cada
Fatorial Fracionado 23 – 1 Estimativas de todos os efeitos podem ser
obtidas também através do seguinte:
Para todos os pares de combinações lineares, temos:
i ½([i] + [i]’) ½([i] − [i]’)A A BCB B ACC C AB
Fatorial FracionadoO problema é que nem sempre é possível
executar mais de um fração
Nesse caso, temos que escolher, previamente, os fatores “mais importantes” a serem considerados
Faz sentido um modelo somente com fatores principais, mas não faz sentido um modelo somente com interações
Além disso, o modelo deve permitir a existência de número razoável de gl para os resíduos
Resolução de um DelineamentoResolução III: Os efeitos principais não
estão associados(aliased) com qualquer outro efeito principal, mas efeitos principais estão associados com interações de dois fatores e interações com dois fatores podem estar associadas entre elas. O fatorial 23 – 1 anterior é de resolução III (2III
3 – 1 )
Resolução IV: Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito principal ou com qualquer interação de dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas entre elas.
Resolução de um DelineamentoResolução V: Os efeitos principais ou
interações com dois fatores não estão associados com qualquer outro efeito principal ou interação com dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas com interações de três fatores
Em geral, a resolução de um fatorial fracionado em dois blocos é igual ao menor número de letras em qualquer gerador na relação de definição
Geralmente, prefere-se delineamentos com a mais alta resolução possível dentro do nível de fracionamento requerido
Fatorial 24-1
FatorTaxa
FiltraçãoA B C D=ABC Tratamento
− − − − (1) 45
+ − − + ad 100
− + − + bd 45
+ + − − ab 65
− − + + cd 75
+ − + − ac 60
− + + − bc 80
+ + + + abcd 96• O experimento original é uma única replicação de um fatorial 24
• Exercício: Quais as conclusões se apenas meia fração do experimento é rodada?
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