mÉdias e princÍpio das gavetas · 2017. 8. 8. · a media quadr´ atica´ e a raiz quadrada da...
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Sumario
MEDIAS E PRINCIPIO DAS GAVETAS
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Colegio Pedro II
07 de julho de 2017
Medias A Desigualdade das Medias
Sumario
1 Medias
2 A Desigualdade das Medias
Medias A Desigualdade das Medias
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1 Medias
2 A Desigualdade das Medias
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Uma media de uma lista de numeros e um valor que pode substituirtodos os elementos da lista sem alterar certa da caracterıstica da lista
Se essa caracterıstica e a soma dos elementos da lista, obtemos amedia aritmetica
A media aritmetica (simples) da lista de n numeros x1, x2, ..., xn e umvalor x tal que x1 + x2 + ...+ xn = x + x + ...+ x = nx
Definicao 8.1: A media aritmetica (simples) da lista de n numeros edefinida por
x =x1 + x2 + ...+ xn
n
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Se a caracterıstica a ser considerada for o produto doselementos da lista, obtemos a media geometrica
A media geometrica (simples) dos n numeros positivosx1, x2, ..., xn e um valor positivo g tal quex1 · x2 · ... · xn = g · g · ... · g = gn
Definicao 8.2: A media geometrica (simples) dos n numerospositivos x1, x2, ..., xn e definida por
g = G(x1, x2, ..., xn) = n√
x1x2...xn
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Se a caracterıstica a ser considerada for a soma dos inversos doselementos da lista, obtemos a media harmonica
A media harmonica (simples) dos n numeros positivos x1, x2, ..., xn eum valor positivo h tal que 1
x1+ 1
x2+ ...+ 1
xn= 1
h + 1h + ...+ 1
h = nh
Definicao 8.3: A media harmonica (simples) dos n numerospositivos x1, x2, ..., xn e definida por
h =n
1x1
+ 1x2
+ ...+ 1xn
A media harmonica e, pois, o inverso da media aritmetica dosinversos dos numeros
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Exemplo 1: Uma empresa produziu, durante o primeirotrimestre do ano passado, 500, 200 e 200 unidades, emjaneiro, fevereiro e marco, respectivamente. Qual foi aproducao media mensal nesse trimestre?
Exemplo 2: Uma empresa aumentou sua producao durante oprimeiro bimestre do ano passado. Em janeiro e fevereiro, astaxas de aumento foram de 21% e 8%, respectivamente. Qualfoi a taxa media de aumento mensal nesse bimestre?
Exemplo 3: Um concurso anual distribui igualmente entre osvencedores um premio total de R$1800,00. Nos ultimos tresanos houve 2, 1 e 3 premiados, respectivamente. Qual foi opremio medio desses ganhadores?
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Exercıcio 8.1: Um carro percorre metade de certa distancia dcom velocidade v1 e percorre a outra metade com velocidadev2. Qual a sua velocidade media?
Exercıcio 8.2: Um carro percorre tem velocidade v1 durantemetade do tempo t de percurso e tem velocidade v2 durante aoutra metade do tempo. Qual a sua velocidade media?
Exercıcio 8.3: A populacao de um paıs cresceu 44% em umadecada e cresceu 21% na decada seguinte. Qual e,aproximadamente, a taxa media decenal de crescimentonesses 20 anos?
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Exercıcio 8.4: No problema anterior, qual a taxa media anualde crescimento nesses 20 anos?
Exercıcio 8.5: A valorizacao mensal das acoes de certaempresa nos quatro primeiros meses do ano foi de +25%,+25%, -25% e -25%. Qual a valorizacao total e qual avalorizacao media mensal nesse quadrimestre?
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Medias
Definicao: A media quadratica (simples) dos n numeros x1, x2, ..., xne definida por
q =
√x2
1 + x22 + ...+ x2
n
n
A media quadratica e a raiz quadrada da media aritmetica dosquadrados dos numeros
Exemplo 4: A qualidade de uma aproximacao e medida pelo seuerro, que e a diferenca entre o valor da aproximacao e o valor real dagrandeza. Mede-se a qualidade de uma lista de aproximacoes pelamedia quadratica de seus erros. Tambem se usa o erro medioquadratico, que e o quadrado dessa media quadratica, ou seja, e amedia aritmetica dos quadrados dos erros
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Teorema 8.5: Se a media aritmetica dos numeros x1, x2, ..., xne igual a x , pelo menos um dos numeros x1, x2, ..., xn e maiorou igual a x
Exemplo 5: Mostre que num grupo de 50 pessoas, ha semprepelo menos 5 que nasceram no mesmo mes
Princıpio da Gavetas de DirichletTeorema 8.6: Se n + 1 objetos sao colocados em n ou menosgavetas, entao pelo menos uma gaveta recebe mais de umobjeto
Exemplo 6: Mostre que todo inteiro positivo n tem um multiploque se escreve apenas com os algarismos 0 e 1
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Exemplo 7: Cinco pontos sao tomados sobre a superfıcie deum quadrado de lado 2. Mostre que ha dois desses pontos taisque a distancia entre eles e menor que ou igual a
√2
Exemplo 8: Um enxadrista, durante 11 semanas, joga pelomenos uma partida por dia mas nao joga mais de 12 partidaspor semana. Mostre que e possıvel achar um conjunto de diasconsecutivos durante os quais ele jogou exatamente 20partidas
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Definicao 8.7: A media aritmetica ponderada dos n numerosx1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais a p1,p2, ...,pn edefinida por
p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn
p1 + p2 + ...+ pn
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Pesos relativos (nao inteiros): A media aritmetica ponderada dosnumeros x1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais ap1,p2, ...,pn e definida por
p1
p1 + p2 + ...+ pnx1 +
p2
p1 + p2 + ...+ pnx2 + ...+
pn
p1 + p2 + ...+ pnxn
Uma media aritmetica ponderada dos numeros x1, x2, ..., xn e umaexpressao da forma λ1x1 + λ2x2 + ...+ λnxn, onde
λ1 + λ2 + ...+ λn = 1
Medias A Desigualdade das Medias
Medias
Exercıcio: Calcule as medias aritmetica, geometrica eharmonica ponderadas dos numeros 8, 18 e 48, com pesosiguais a 1, 1 e 0.5
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Medias A Desigualdade das Medias
A Desigualdade das Medias
A Desigualdade das MediasA desigualdade das medias afirma que a media aritmetica de nnumeros positivos e maior que ou igual a sua mediageometrica e so e igual se os numeros forem todos iguais. Istoe, se x1, x2, ..., xn sao numeros positivos entao
x1 + x2 + ...+ xn
n≥ n√
x1x2...xn
Alem disso,x1 + x2 + ...+ xn
n= n√
x1x2...xn
se, e somente se, x1 = x2 = ... = xn
Medias A Desigualdade das Medias
A Desigualdade das Medias
Exemplo 10: Mostre que, entre todos os retangulos deperımetro 2p, o quadrado e o de maior area
Exemplo 11: Mostre que, entre todos os retangulos de area A,o quadrado e o de menor perımetro
Medias A Desigualdade das Medias
A Desigualdade das Medias
A desigualdade das medias pode ser generalizada comosegue:
Se x1, x2, ..., xn sao numeros positivos e Q, A, G e H sao suasmedias quadratica, aritmetica, geometrica e harmonica,respectivamente, entao
Q ≥ A ≥ G ≥ H
Alem disso, duas quaisquer dessas medias sao iguais se, esomente se, x1 = x2 = ... = xn.
Medias A Desigualdade das Medias
A Desigualdade das Medias
Exercıcio 8.37: Prove que o produto de dois numeros de somaconstante e maximo quando esses numeros sao iguais
Exercıcio 8.38: Prove que a soma de dois numeros de produtoconstante e mınima quando esses numeros sao iguais
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FIM
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