matemática financeira - homero pinto

MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRAHOMERO PINTOHOMERO PINTO

JUROS SIMPLES

Juros Simples são juros que são calculados usando como base o valor do capital original. Não vou me aprofundar aqui, pois seria necessário explicar a diferença entre juros simples e compostos.

Juros são uma espécie de compensação por usar o dinheiro alheio. Os bancos pagam para ter o seu dinheiro usado por eles (poupança), e você paga quando usa o dinheiro deles (financiamento e empréstimos).

Por exemplo, digamos que uma pessoa pegue um empréstimo de 700 reais e pague por mês 3% de juros simples. Após 8 meses ele consegue quitar a dívida com o banco. Qual foi o valor que o banco recebeu após esses 8 meses?

Primeiramente precisamos saber qual foi a porcentagem de juros paga durante esse tempo. Para isso basta multiplicar o número de meses pelo valor do juro simples ao mês: 8 x 3 = 24%

Agora basta fazer uma regra de três para saber quanto o banco recebeu.

700 ———– 100%x ———— 124%

x= 868 reais.

Qual o lucro do banco em porcentagem? E em reais?

Para saber qual o lucro do banco em reais basta subtrair o valor que o banco recebeu do valor do empréstimo : 868 – 700 =168

O banco lucrou 24% ou 168 reais.

Podemos também usar as fórmulas abaixo para resolvermos questões de juros simples.

Fórmulas:

J = C.I.T

C = J x 100

I = J x 100

T = J x 100

J = Juros

www.jusdecisum.com.br 1

C = Capital

I = Taxa (%)

T = Tempo

Obs.:1- A taxa e o tempo têm que estar sempre na mesma unidade.

2- Ao dividirmos os juros pelo capital, encontramos a taxa total.

3 – Montante é a soma do capital com seus juros.

4- Os juros incidem sobre o capital e não sobre o montante.

Exercícios

01.(Banco do Brasil 2.011/FCC) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de:

(A) 7 anos, 6 meses e 8 dias.(B) 8 anos e 4 meses.(C) 8 anos, 10 meses e 3 dias.(D) 11 anos e 8 meses.(E) 11 anos, 1 mês e 10 dias

Resp. b

02. (AFTN) João colocou metade do seu capital a juros simples pelo prazo de seis meses e o restante, nas mesmas condições, pelo prazo de quatro meses. Sabendo-se que ao final das aplicações os montantes eram de $ 117.000 e $ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de:

a) $ 150.000;b) $ 160.000;c) $ 170.000;d) $ 180.000;e) $ 200.000.

( Resp . c )

03. (BESC) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo, um mês após a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a:

a) 14,29%b) 13,33%c) 9,86%d) 7,14%e) 6,67%

( Resp. a )

04. (FT- ES) Um banco comercial empresta R$ 10.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 5% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Dessa forma, o valor líquido liberado pelo banco é de R$ 8.500,00, e o cliente deve pagar os R$ 10.000,00 no final do 3° mês. Além disso, o banco exige um saldo médio de R$ 1.000,00 ao longo de todo o prazo do empréstimo. Com base nestas informações podemos afirmar que a taxa de rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples é:

a) 6,67%; d) 20,00%;b) 9,80%; e) 33,33%.

( Resp. d )

05.(CVM) Determinado capital foi aplicado a prazo fixo durante um período à taxa de juros simples de 30% ao ano. Decorrido o prazo, o montante no valor total de R$ 23.400,00 foi aplicado por mais um período igual ao da aplicação inicial, à taxa de juros simples de 36% ao ano. Sendo o montante final de R$ 26.910,00, o capital da primeira aplicação corresponde a:

a) R$ 18.000,00;b) R$ 20.700,00;c) R$ 20.800,00;d) R$ 21.000,00;e) R$ 22.000,00.

( Resp. c)

06. (Cia-Docas RJ) Um comerciante anuncia uma mercadoria por certo valor e oferece a seus fregueses duas formas de pagamento: à vista com 10% de desconto, ou o preço anunciado reajustado em 20% e dividido em duas parcelas iguais,sendo uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. Qual é a taxa mensal de juros efetivamente cobrada no pagamento parcelado?

a) 15%;b) 17%;c) 30%;d) 50%;e) 100%.

( Resp. e )

07. (CVM) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos dois meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente aplicação da primeira pessoa será de:

a) R$ 4.400,00;b) R$ 4.000,00;c) R$ 3.600,00;d) R$ 3.200,00;e) R$ 2.800,00.

( Resp. a )

08.(UnB/CESPE - 2002) Um capital acrescido dos seus juros simples de 21 meses soma R$ 7.050.00. O mesmo capital, diminuido dos seus juros simples de 13 meses, reduz-se a R$ 5.350,00. O valor desse capital é:

a) inferior a R$ 5.600.00;b) superior a R$ 5.600,00 e inferior a RS 5.750,00;c) superior a RS 5.750,00 e inferior a R$ 5.900,00;d) superior a R$ 5.900,00 e inferior a R$ 6.100,00;e) superior a R$ 6.100,00.

( Resp. D )

09.(CEF. 2.000 - FCC) Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de

A) 2%B) 2,2%C) 2,5%D) 2,6%E) 2,8%

Resp. c

10.(CEF. 2.000 – FCC) Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19 050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de

A) 1 ano e 10 meses. B) 1 ano e 9 meses. C) 1 ano e 8 meses. D) 1 ano e 6 meses. E) 1 ano e 4 meses.

Resp. d

OBS.: Dados fornecidos na prova da SEFAZ de 2.012 - RJ

Considere os dados abaixo, para solução dos problemas de matemática financeira.

Dados:

i = (0,975)4 = 0,90368789

i =(1,07)24 = 5,07236695

i =(1,07)9 = 1,83845921

i =(1,07)6 = 1,41851911

i =(1,05)12 =1,795856

i = (1,065)24 = 4,533050

i = (1,065)15 = 2,571841

i = (1,03)2 = 1,06090

i = (1,03)8 = 1,26677

log(1,03) = 0,012837

log(0,491933) = 0,308094

11.(SEFAZ –SP. – FCC – 2.009)Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a

(A) R$ 10.080,00(B) R$ 8.506,80(C) R$ 7.204,40(D) R$ 6.933,60(E) R$ 6.432,00

12. (SEFAZ / RJ - 2.012 - CEPERJ) Uma aplicação por 120 dias produziu, no período, uma rentabilidade líquida de 46%. O valor de resgate é de R$90.000,00, sendo de 9% a alíquota do IR na fonte. O cálculo do valor do imposto de renda é sobre os rendimentos. O valor da aplicação e o valor do IR, equivalem, respectivamente, a:

A) R$ 65.839,88; R$ 2.780,48B) R$ 57.777,88; R$ 2.888,00C) R$ 58.965,45; R$ 2.814,07D) R$ 58.839,38; R$ 2.804,46E) R$ 58.800,00; R$ 2.800,00

DESCONTOS SIMPLES

DESCONTO SIMPLES ( COMERCIAL E RACIONAL )

A operação de desconto dá-se quando uma pessoa portadora de um título, vencível para um certo prazo, deseja resgatá-lo antes do tempo previsto. O valor registrado no título ( que pode ser uma nota promissória, duplicata, letra de câmbio, etc. ) é chamado valor nominal ou valor de face, e ainda valor de tela. Quando a operação de desconto é efetuada, o portador recebe um valor líquido, que corresponde ao valor nominal subtraído do desconto. Este valor recebe o nome de valor líquido ou valor atual, valor presente e ainda valor descontado.

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.

Vamos considerar a seguinte simbologia:N = valor nominal de um título.

V = valor líquido, após o desconto.Dc = desconto comercial.d = taxa de descontos simples.n = número de períodos.

Teremos:V = N - Dc

No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:Dc = NdnSubstituindo, vem:V = N(1 - dn)

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.

Solução:V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500Dc = 10000 - 8500 = 1500Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00

Desconto bancário

Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.

É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.

Exemplo:Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.

Solução:Desconto comercial: Dc = 100.000 . 0,,05 . 6 = 30.000Despesas administrativas: da = 100.000 . 0,02 = 2.000IOF = 100.000 . (0,015/360) . 180 = 750Desconto total = 30.000 + 2.000 + 750 = 32.750Daí, o valor líquido do título será: 100.000 – 32.750 = 67.250Logo, V = $67.250,00A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100.000/67.250) - 1].100 = 8,12% a. m.

Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Exemplo:Uma empresa oferece uma duplicata de $50.000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.

SOLUÇÃO:Desconto comercial = Dc = 50.000 . 0,04 . 3 = 6.000Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50.000 = 1.000IOF = 50.000(0,015/360).90] = 187,50

Teremos então:Valor líquido = V = 50.000 - (6.000 + 1000 + 187,50) = 42.812,50Taxa efetiva de juros = i = [(50.000/42.812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.Resp: V = $42.812,50 e i = 5,60 % a.m.

Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora:

É aquele calculado sobre o Valor Nominal.

Dc = ------

VAc = N( 1 – it )

N= -----------

( 1 – it )

Obs.: O tempo e a taxa têm que estar na mesma unidade.

Desconto Racional, Por Dentro ou Real:

Desconto Racional é aquele calculado sobre o Valor Atual.

VA. it

Dr = --------

VAr = ----------

( 1 + it )

N = Var ( 1 + it )

Exercícios

01.(Banco do Brasil 2.011/FCC) Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00, pelos 120 dias de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de 20%, o valor atual do título era de:

(A) R$ 7 600,00.(B) R$ 8 200,00.(C) R$ 9 800,00.(D) R$ 10 200,00.(E) R$ 10 500,00.

Resp. c

02.(Banco do Brasil 2.010 /Cesgranrio) Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é

(A) 860,00(B) 850,00(C) 840,00(D) 830,00(E) 820,00

Resp. b

03.(SEFAZ –SP. – FCC – 2.009) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias.

I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50.

II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples.

Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de

(A) R$ 27.200,00

(B) R$ 27.800,00

(C) R$ 28.000,00

(D) R$ 28.160,00

(E) R$ 28.401,60

04. (BACEN) O valor do desconto simples por fora, de um título de R$ 2.000,00, com vencimento para 120 dias à taxa de 3% ao mês, é, em reais:

a) 320,00;

b) 120,00;

c) 240,00;

d) 340,00;

e) 420,00.

( Resp. C )

05. (SEFAZ –SP. – FCC – 2.009) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

(A) R$ 40.000,00

(B) R$ 36.000,00

(C) R$ 34.000,00

(D) R$ 32.000,00

(E) R$ 30.000,00

06. (AN.ORÇ.-RJ) Uma Empresa dispõe de uma duplicata de R$ 12.000,00 com vencimento em três meses. Ao procurar um banco e propor o desconto da duplicata, é informada que a taxa de desconto simples por fora é de 10% a.m. e ainda há a cobrança de uma taxa fixa de R$ 20,00 (cobrada na data de desconto) a título de taxa de administração. Que taxa de juros simples mensal equivalente foi cobrada pelo banco, referente ao adiantamento dos recursos?

a) 14,10%;

b) 14,40%;

c) 14,15%;

d) 14,60%.

( Resp. b )

07. (CONTADOR-PE) Uma nota promissória é resgatada dois meses antes do seu vencimento com um desconto comercial simples de R$ 330,00 a uma taxa de 5% ao mês. Calcule o valor do desconto caso este fosse um desconto racional simples à mesma taxa:

a) R$ 360,00;

1’) R$ 330,00;

c) R$ 300,00;

d) R$ 270,00;

e) R$ 240,00.

( Resp. c )

08. (SEFAZ / RJ - 2.012 - CEPERJ) A diferença entre os descontos racional e comercial de um

título para 3 meses, à taxa de 120% a.a., é R$ 500,00. O valor nominal do título é:

A) R$ 7.839,72

B) R$ 8.732,02

C) R$ 7.222,22

D) R$ 7.500,00

E) R$ 7.938,70

.09. (Unb / CESP - 2002) João deve a um banco R$ 190.000, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adota a taxa de desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo título será de:

a) R$ 235.000;

b) R$ 238.000;

c) R$ 240.000;

d) R$ 243.000;

e) R$ 245.000.

( Resp. a )

obs.: esta questão envolve equivalência de capitais a juros simples.

JUROS COMPOSTOS

.Porém, para resolvermos questões de juros compostos utilizaremos as seguintes fórmulas:

M = C ( 1 + I)n

C = M / (i + i)n

n = log. M/C

log. (1+i)

C = Capital

M = Montante

I = Taxa

n = Quantidade de períodos, quantidade de correções.

a) a taxa tem que estar na mesma unidade da capitalização.

b) quando na questão não for frisada a capitalização, devemos usar a capitalização na mesma unidade de tempo em que foi dada a taxa.

Exercícios

01. (SEFAZ –SP. – FCC – 2.009) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a

(A) 12 meses.(B) 15 meses.(C) 18 meses.(D) 21 meses.(E) 24 meses.

02.(Banco do Brasil 2.009/Cesp) A taxa de juros compostos praticada anteriormente pela Hungria era de 10% ao ano. Essa taxa é equivalente a uma taxa de juros semestral superior a 5%.

Resp. Errado

03.(Banco do Brasil 2.009/Cesp) Caso o governo do Canadá venda, por 1 milhão de dólares, títulos à taxa de juros compostos de 1% ao ano para serem resgatados daqui a 3 anos, então, para resgatar esses títulos ao final do período, o governo canadense deverá desembolsar mais de 1,03 milhão de dólares.

Resp. Certo

04. (BACEN) Um capital de R$ 4.000,00, aplicado à taxa de 2% ao mês, durante três meses, na capitalização composta, gera um montante de:

a) 6.000,00;b) 4.240,00;c) 5.500,00;d) 4.244,83;e) 6.240,00.

( Resp. d )

05.(FT-NITERÓI) Após manter, durante dez meses, seu capital de R$ 50.000,00 aplicado a uma taxa de 2% a. m., um investidor resolve movimentar o montante acumulado nesse período para um outro fundo, cuja rentabilidade é de 2,3% a. m.. Considerando que toda a operação ocorreu dentro do regime de juros compostos, o saldo do referido investidor, após seis meses da segunda aplicação, será de:

Dados: (l,02)10 = 1,219 (1,023)6 = 1,146 (1,043)16 = 1,961

a) R$ 98.050,00; b) R$ 70.096,05; c) R$ 69848,70;d) R$ 69600,00.

( Resp. c )

06.(ICMS-SP) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, durante três meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo capitalização simples e compostos, respectivamente, valem:

a) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45;b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00;c) R$ 2.185,45 e R$ 2.480,00;d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00;e) R$ 6.180,00 e R$ 4.394,00.

( Resp. a )

07.(An. Orç.) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 10.000,00, combinando fazer a devolução desse capital, com seus juros compostos, à taxa de 3% ao mês, ao completar dois meses da data do empréstimo. No dia do empréstimo, foi necessário pagar a quantia de R$ 300,00, a título de despesas. Nessas condições, para o devedor, a taxa mensal efetiva desse empréstimo foi de, aproximadamente:

a) 3,5%; b) 4%;c) 4,5%;d) 5%;e) 5,5%.( Resp. c )

08. (UnB/CESPE - 2002) No sistema de juros compostos com capitalização anual, um capital de R$ 20.000.00 para gerar em dois anos um montante de R$ 23.328,00, deve ser aplicado a uma taxa:

a) inferior a 6,5% a.a.; b) superior a 6,5% a.a. e inferior a 7,5% a.a.; c) superior a 7,5% a.a. e inferior a 8,5% a.a.; d) superior a 8,5% a.a. e inferior a 9,5% a.a.;e) superior a 9,5% a.a.

Resp.c

09. (CEF. 2.000 – FCC). Um capital de R$ 2 500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão A) R$ 98,00 B) R$ 101,0 C) R$ 110,00 D) R$ 114,00 E) R$ 121,00

Resp. b

10. (CEF. 2.004 - FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de

(A) R$ 560,00 (B) R$ 585,70 (C) R$ 593,20 (D) R$ 616,00 (E) R$ 617,40

Resp. e

ESTUDO DE TAXAS

Taxa Nominal: é aquela que está referida a um período de tempo diferente do período de capitalização. (taxa nominal: taxa proporcional que será a taxa efetiva).

EXEMPLO 1: Taxa nominal: 24% ao ano capitalizados mensalmente.

2% é a taxa proporcional e será a taxa efetiva (mensal) na capitalização.

[(1,02)¹² - 1] x 100 = 26,82% é a taxa efetiva anual.

O conceito de taxa proporcional está vinculado ao regime de juros simples. Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre seus períodos.

Ex.: 30% a.m. é proporcional a 360% a.a., pois 30 / 360 é igual a 1 / 12.

Taxas Equivalentes: são taxas efetivas, referidas a períodos de tempo diferentes, que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante. Taxas equivalentes estão ligadas ao regime de juros compostos, já que nos juros simples há igualdade entre equivalência e proporcionalidade.

Ex.: Qual a taxa bimestral equivalente a 10% a.m. ?

ie = [ ( 1 + i )² - 1 ] x 100 ie = [ ( 1,1 )² - 1 ] x 100 ie= [ 1,21 – 1 ] x 100 ie = 0,21 x 100 ie = 21%

Taxa de juros aparente e taxa de juros real:A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários.

As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:

( 1 + i ) = ( 1 + ir ) X ( 1 + I )

i = taxa aparente

ir = taxa real

I = taxa de inflação

Ex.: Um banco me pagou 20% de juros em uma determinada aplicação, neste mesmo período houve uma inflação de 15%. Determine a taxa aparente e a taxa real desta aplicação.

Resp.:

Taxa aparente: 20%

Taxa real: ( 1 + ir ) = ( 1 + i ) / ( 1 + I )

( 1 + ir ) = 1,2 / 1,15

( 1 + ir ) = 1,04347

ir = 1,04347 – 1

ir= 0,04347 x 100

Onde a taxa real = 4,347%

Taxa efetiva na operação de desconto:

Para determinar a taxa efetiva na operação de desconto, podemos utilizar várias maneiras, entre elas as fórmulas abaixo:

( ied) = ( taxa de desconto / 100 – taxa de desconto ) X 100

( ied ) = ( desconto comercial / valor atual ) X 100

Ex.: Um título sofreu desconto nominal de 20%. Determine a taxa efetiva de desconto utilizada pelo banco.

i ed = (20 / 100 – 20) x 100

i ed = ( 20 / 80 ) x 100

i ed = 0,25 x 100

i ed = 25%

Taxa unificada:

Fórmula: iu = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) – 1 ] x 100

Algumas vezes precisamos unificar taxas ( unificar não é somar ). A caderneta de poupança é um caso onde há unificação de duas taxas: a TR ( que depende da variação mensal ) com a taxa real de 0,5 % a.m..

Ex.: Supondo que em um determinado período mensal a TR seja 8%, qual será a taxa base para cálculo dos juros a serem creditados ao investidor que tenha poupança com aniversário naquele período?

iu = [ ( 1,08 ) ( 1,005 ) – 1 ] x 100

iu = [ 1,0854 - 1 ] x 100

iu = 0,0854 x 100

iu = 8,54 %

Taxa interna de retorno:

Este método consiste em calcular a taxa que anula o Valor Presente Líquido do fluxo de caixa de determinado investimento. Com a taxa interna de retorno conhecida podemos compará-la com algum outro índice utilizado como parâmetro, para verificar se a mesma produz resultado aceitável.

Uma pessoa emprestou a um amigo a quantia de R$ 3.000,00. O devedor pagou a dívida em dois pagamentos consecutivos de R$ 1.600,00 e R$ 1.895,08, a partir do mês seguinte do empréstimo. Qual a taxa interna de retorno? Ou seja, qual a taxa que descapitalizando-se R$ 1.600,00 por 1 mês e R$ l.895,08 por 2 meses e somando-os, obtém-se R$ 3.000,00?

1.600 + 1.895,08

300= ------- ----------

(1 + i) ( 1 + i )²

A taxa é calculada por ensaio e erro, a menos que tenhamos uma equação extremamente simples.

Primeira tentativa: Usando taxa de 8%

1.600 + 1.895,08

----------- ---------- = 1.481,48 + 1.624,73=3.106,21

(1+0,08) (1+0,08)²

A taxa não foi suficiente para que a soma das parcelas fosse igual a 3.000.O valor presente líquido é de 3.106,21 – 3.000 = 106,21. Devemos aumentar a taxa, pois com isso diminuímos cada parcela.

Segunda tentativa: Usando taxa de 10%

1.600 + 1.895,08

--------- ----------- = 1.454,55 + 1.566,18 = 3.020,73

(1+0,10) (1+0,10)²

Valor Presente Líquido: 3.020,73 – 3.000 = 20,73

Ainda não foi sufuciente> Devemos aumentar mais a taxa

Terceira tentativa: Usando taxa de 11%

1.600 + 1.895,08

--------- ----------- = 1.441,44 + 1.538,09 = 2.979,53

(1+0,11) (1+0,11)²

Valor Presente Líquido: 2.979,53 – 3.000,00 = - 20,47

Desta vez a soma das parcelas foi inferior a 3.000. Com isso verificamos que a taxa deve ser maior que 10% e menor que 11%.

Montemos então o seguinte procedimento:

-----------------------------------

10% 20,73

X 0,00

11% - 20,47

1% ----------- 41,20

X% ---------- 20,73 Logo, X = 0,5

Assim, somamos 0,5% a 10% e encontramos a taxa interna de retorno = 10,5%

Taxa de atratividade:

Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de Mercado, também conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma decisão.

Existem dois importantes objetos matemáticos que são utilizados na análise da operação financeira de Investimento ou Financiamento: Valor Presente Líquido (NPV) e Taxa Interna de Retorno (IRR).

Exercícios

01.(FCC-2.006) Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de

(A) 16%(B) 20%(C) 24%(D)) 28%(E) 30%Res. D

02(Banco do Brasil 2.006/FCC) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando:

(A) i = 4 x [(1,12 )1/3 -1](B) i = 12 x [(1,12)1/4 - 1](C)) i = 12 x [(1,12)1/3 - 1](D) i = (1,04 )12 -1(E) i = 12 x [(0,04) - 3]

Resp. c

03.(Banco do Brasil 2.006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:

Ano Projeto X R$ Projeto Y R$

0 - D - 40.000

1 10.800 16.200

2 11.664 17.496

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que os valores atuais

líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a

(A)) R$ 30 000,00(B) R$ 40 000,00(C) R$ 45 000,00(D) R$ 50 000,00(E) R$ 60 000,00

Resp.a

04(Banco do Brasil 2.006/FCC)

O valor de X é igual a

(A) R$ 11 000,00(B) R$ 11 550,00(C) R$ 13 310,00(D) R$ 13 915,00(E)) R$ 14 520,00Resp. e

05. (AG. FISCAL- P. Alegre) Transforme a taxa de juros de 3% ao mês capitalizado mensalmente em taxa nominal anual e taxa efetiva anual:a) 36,00% e 42,50%; b) 42,50% e 36,00%; c) 36,00% em ambos os casos; d) 42,50% em ambos os casos; e) 3,00% e 36,00%.

( Resp. a )

06. (AF - GO) Com uma inflação anual de 12% admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, a variação real do poder de compra de um assalariado é de:

a) -3,57%; b) + 3,57%; c) - 3,70%; d) + 3,70%; e) -4,00%.

( Resp. a )

07. (CVM) A inflação acumulada no primeiro semestre de determinado ano foi de 20%. Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 no início deste período e resgatou R$18.000,00 no final. A taxa real de retorno no período foi de:

a) 25%; b) 27,5%; c) 30%; d) 45%; e) 50%.

( Resp a )

08. (AG. FISCAL/SUPERIOR - P. Alegre) Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 à vista ou então a prazo, com 20% de entrada mais uma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento, na forma decimal, é dada por:

a) (1,08) -1; b) (l,l0) -1; c) (1,125) -1; d) (1,25) -1.

(Resp. b)

09. (F. R.-MS) Em 1998 um fundo de investimentos rendeu 25%; no acumulado de 1998 e 1999 este fundo rendeu 48%. Podemos afirmar que, em 1999, o fundo rendeu:

a) menos de 18%; b) entre 18% e 19%; c) entre 19% e 20%; d) mais de 20%.

(Resp. b)

10.(Unb/ CESP – 2001) A empresa “Y” realiza certo investimento em projeto que apresenta o fluxo de caixa a seguir:

ANO FLUXO DE CAIXA

0 -4000,00

1 3000,00

2 3200,00

Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o valor presente líquido deste investimento no ano 0 será de:

a) Zero; b) R$ 448,00; c) R$ 480,00; d) R$ 960,00; e) R$ 1.560,00.

(Resp. b)

11.(CEF. 2.008 – Cesgranrio).A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto.

Valor (Milhares de reais) – 50 35 22

Período (anos) 0 1 2

A taxa interna de retorno anual é igual a

(A) 10% (B) 12% (C) 15% (D) 18% (E) 20%

Resp.a

CONVENCÕES LINEAR E EXPONENCIAL

Convenção Exponencial é, basicamente, Juro Composto aplicado a um tempo que não pode ser expressado em números inteiros.

Por exemplo: se você aplica R$ 10.000,00 por 40 meses a uma taxa de 10% a.a., qual é o montante recebido, considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1 + 10%)^1/2 = 1,0323)

C = 10000; t = 40m = 3a 4m = 3 1/3 a; i = 10% a.a.

M = C . (1 + i)^tM = 10000 . (1 + 10%)^3 1/3M = 10000 . (1 + 10%)^3 . (1 + 10%)^1/3M = 10000 . 1,3310 . 1,0323M = 13739,91

Já a Convenção Linear se diferencia pela utilização de juro composto e juro simples ao mesmo tempo. O juro composto se aplica à parte inteira do tempo, e o juro simples à parte fracionária dele. Usemos os mesmos dados do exemplo anterior para fazer mediante convenção linear:

C = 10000; t = 40m = 3a 4m = 3 1/3 a; i = 10% a.a.

M = C . (1 + i)^tM = 10000 . (1 + 10%)^3 1/3M = 10000 . (1 + 10%)^3 . (1 + 10% . 1/3)M = 10000 . 1,3310 . 1,0333M = 13753,67

Exercícios

01. (BESC) O montante de um principal de R$ 300,00 em dois meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a:

a) R$ 370,00;b) R$ 372,00;c) R$ 373,00;d) R$ 375,10;e) R$ 377,10.

( Resp. d )

02. (FTE-PA) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante:

a) 150%; c) 158,4%; e) 162%.

b) 157,74%; d) 160%;

( Resp. c )

03. ( Unb / CESP – 2001) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 10% ao período durante três períodos e meio. Obtenha o valor mais próximo dos juros como porcentagem do capital inicial, considerando a convenção exponencial para o cálculo do montante. Dado: = 1,049

a) 39,30%; d) 39,60%;

b) 39,36%; e) 39,76%.

c) 39,42%;

( Resp. d )

DESCONTO COMPOSTO

* Desconto

Como informado no tutorial anterior, desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser: Letra de câmbio, fatura, duplicata, nota promissória.

Relembrando temos :

A = N –Dc

A = N - Dr

Onde: A – Valor atual

Assim, ao estudarmos o desconto simples, foi visto que as diferenças entre desconto bancário e desconto racional.

No desconto bancário (por fora) as taxas são aplicadas sobre o valor nominal, enquanto que no desconto racional (por dentro), os cálculos são feitos com taxas sendo aplicadas sobre o valor líquido.

O desconto composto pode ser definido como a soma dos descontos simples, considerando cada período na operação e calculando sempre as taxas sobre o valor nominal da operação.

Exemplo de definição:

Se um título qualquer é pago com 5 meses de antecedência, o desconto composto seria calculado da seguinte forma:

1) Leva-se em consideração o valor nominal do título na operação e calcula-se o valor P (valor atual) 1 mês antes do vencimento;

2) Se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 2 meses antes do vencimento;

3) Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 3 meses antes do vencimento;

4) Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 4 meses antes do vencimento;

5) Terminando então o período, se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 5 meses antes do vencimento;

Desta forma, quando os descontos são as somas de vários períodos na operação ele é chamado de desconto real. O desconto bancário é a soma dos descontos comerciais.

Obs.: Para resolução de questões de descontos compostos, utilizaremos as seguintes fórmulas:

Desconto Comercial Composto

Esta modalidade também é conhecida como Desconto Por Fora ou Desconto Bancário.

Fórmulas:

VA = VN (1 – i)n

VN = VA / (1 – I)n

Desconto Racional Composto

Esta modalidade também é conhecida como Desconto Por Dentro ou Desconto Real.

Fórmulas:

VN = VA (1 + i)n

VA = VN / (1 + i)n

Valor atual (VA) é o valor pelo qual o título foi descontado, foi negociado, foi resgatado, o valor atual também é conhecido como valor líquido, valor presente, ou ainda, valor descontado.

Valor nominal (VN) é o valor do título na data do seu vencimento

Exercícios

01. (BACEN) O valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 20.000,00, com prazo para 30 dias para vencimento e taxa cobrada de 4% ao mês, é em reais:

a) 620,00;b) 850,00;c) 950,00;d) 769,00;e) 820,00.Resp. d

02. (FT-ES) Uma empresa prevê o pagamento de R$ 1.080,00 daqui a um mês e R$ 1.728,00 daqui a três meses. Se a empresa aplica seus recursos a juros compostos, à taxa de 20% ao mês, quanto deverá aplicar hoje para fazer frente a essas despesas?

a) R$ 1.900,00;b) R$ 2.280,00;e) R$ 2.340,00;d) R$ 2.808,00;e) R$ 3.283,20.

Resp. a

03. (AN-Recife) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto.

a) R$ 11.255,00;b) R$ 11.295,00;c) R$ 11.363,00;d) R$ 11.800,00;e) R$ 12.000,00.( Resp. a )

04. (AFTN) Um comercial paper com valor de face de US$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate:

a) US$ 751.314,80;

b) US$ 750.000,00;c) US$ 748.573,00;d) US$ 729.000,00;e) US$ 700.000,00.( Resp. a )

05. (AFTN). Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em duas parcelas mensais e iguais de $ 1.000, daqui a 13 e 14 meses, respectiva mente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é:

a) $ 2.012,00;b) $2.121,00;c) $ 2.333,33;d) $ 2.484,84;( Resp. b )

06.( Unb / Cesp – 2002) Um trator pode ser comprado à vista por um preço V, ou pago em três parcelas anuais de R$ 36.000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições o preço V é:

a) R$ 75.000,00; b) R$ 88.000,00; c) R$ 91.000,00;d) R$ 95.000,00;e) R$ 97.000,00.( Resp. c ) 07. (SEFAZ –SP. – FCC – 2.009) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

(A) R$ 40.000,00(B) R$ 36.000,00(C) R$ 34.000,00(D) R$ 32.000,00(E) R$ 30.000,00

EQUIVALÊCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Trabalhando-se no regime de capitalização simples, a equivalência de capitais ocorre quando dois ou mais capitais diferidos (exigíveis em datas diferentes) descontados (comercialmente ou racionalmente), possuem o mesmo valor atual na data “zero”.

No sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto racional composto), a EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, vez que os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.

01. (AFC) Um título de valor inicial R$ 1.000,00, vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês?

a) R$ 313,84; b) R$ 285,31; c) R$ 281,26; d) R$ 259,37; e) R$251,81.

2. (F.T.-CE) Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$ 30.000,00 vence em seis meses. À taxa de juros compostos de 4% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de três meses, desprezando os centavos.

a) R$ 48.800,00; c) R$ 49.185,00; e) R$ 50.000,00.

b) R$ 49.167,00; d) R$ 40.039,00;

Resp. b

Rendas Certas – Anuidades

Matéria com o mesmo objetivo da Equivalência de Capitais, mas com títulos apresentando os mesmos valores e com vencimentos consecutivos - tornando assim sua solução mais rápida, através de um método alternativo.

Há dois casos: o cálculo do valor atual dos pagamentos iguais e sucessivos (que seria igual ao valor do financiamento obtido por uma empresa ou o valor do empréstimo contraído); e o cálculo do montante, do valor que a empresa obterá se aplicar os pagamentos dos clientes em uma data futura às datas dos pagamentos.

1º Caso: Cálculo do Valor Atual

a) Renda Certa Postecipada (Imediata): aquela onde o primeiro pagamento acontecerá em UM período após contrair o empréstimo ou financiamento.

Para calcular o valor atual dessa renda certa, a fórmula é a seguinte:

P = R . a[n,i], onde:

P = valor atual da renda certa;R = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator a[n,i] é normalmente dado nas provas.

b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá no ato do empréstimo ou financiamento.

P = R . a[n-1,i] + P, onde:

P = valor atual da renda certa;R = valor de cada pagamento da renda certa;

n = número de prestações;i = taxa empregada.

c) Renda Certa Diferida: aquela onde o primeiro pagamento acontecerá vários períodos após ser feito o empréstimo ou financiamento.

P = R . ( a[n+x,i] - a[x,i] ), onde:

P = valor atual da renda certa;R = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.

2º Caso: Cálculo do Montante

a) Quando o montante é calculado no momento da data do último pagamento:

Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

S = R . s[n,i], onde:

M = valor do montante ou somatórioR = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;i = taxa empregada.

O fator s[n,i] é normalmente dado nas provas.

b) Quando o montante é calculado em um momento que não coincide com a data do último pagamento:

Para calcular o valor do montante nesse caso, a fórmula é a seguinte:

S = R . (s[n+x,i] - s[x,i]), onde:

S = valor do montante ou somatórioR = valor de cada pagamento da renda certa;n = número de prestações;x = número de prestações acrescentadas;i = taxa empregada.

Destrinchando as fórmulas

Cálculo do Valor Atual da série uniforme de pagamentos:

01.(Banco do Brasil 2.009 / Cesp) Considere que, em uma carteira de investimentos de um banco em Taiwan, um investidor aplique quatro parcelas anuais, consecutivas e iguais a 30.000 dólares, à taxa de juros compostos de 2% ao ano. Nessa situação,

tomando-se 1,082 como valor aproximado de 1,02 4 , é correto afirmar que, imediatamente após ser feita a última aplicação, o montante desse investidor será superior a 125.000 dólares

Resp.Errado

02.(Banco do Brasil 2.006/FCC) Um investidor realiza depósitos no início de cada mês, durante 8 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Os valores dos 4 primeiros depósitos foram de R$ 1 000,00 cada um e dos 4 últimos R$ 1 250,00 cada um. No momento em que ele efetua o oitavo depósito, verifica que o montante que possui no banco é M, em reais.

Fator de Acumulação de Capital

(taxa de juros compostos de 2% ao período)

Número de períodos Pagamento único Série de pagamentos iguais

1 1,02 1,00

2 1,04 2,02

3 1,06 3,06

4 1,08 4,12

5 1,10 5,20

6 1,13 6,31

7 1,15 7,43

8 1,17 8,58

9 1,20 9,76

Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, então, que

(A) 10 300 <M

(B) 10 100 <M <10 300

(C) 9 900 <M <10 100

(D) 9 700 <M <9 900

(E)) 9 500 <M <9 700

Resp.e

03. (AFTN-Superior) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos:

a) R$ 1.065,00;b) R$ 986,00;c) R$ 923,00;d) R$ 900,00;e) R$ 852,00.( Resp. e ) 04. (TCM-RJ) Uma compra foi paga com cinco cheques pré-datados no valor de R$ 5.000,00 cada, com vencimentos mensais e consecutivos, o primeiro na data da compra. Qual o valor da compra se a taxa de juros efetiva composta cobrada pelo financiamento é de 3% a.m.?

a) R$ 19.275,25;b) R$ 21.432,50;c) R$ 22.575,00;d) R$ 23.585,50;e) R$ 27.000,00.

05.(TCM-RJ) Uma pessoa deseja adquirir um veículo, cujo valor à vista é de R$ 40.000,00, por meio de uma operação de Leasing Financeiro. Admita, hipoteticamente, que a operação foi contratada a juros efetivos de 2% ao mês e que o contrato especifica o pagamento de uma entrada de 20% mais vinte prestações mensais iguais e consecutivas, sendo a primeira para trinta dias. O valor da prestação estará entre:

a)R$ 1.600,00 e R$ 1.650,00;b)R$ 1.700,00 e R$ 1.750,00;c)R$ 1.800,00 e R$ 1.850,00;d)R$ 1.950,00 e R$ 2.000,00;e)R$ 2.050,00 e R$ 2.100,00.Resp. d

06. (ATM -Recife) Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos:

a) R$ 20.330,00;b) R$ 18.093,00;c) R$ 16.104,00;d) R$ 15.431,00;e) R$ 14.000,00.( Resp. a )

07. (CONTADOR-RJ) Um equipamento cujo valor à vista é de R$ 33.000,00 pode ser pago por meio de uma entrada e dezoito prestações mensais consecutivas de R$ 2.000,00. Se há um período de três meses para início do pagamento das prestações, o valor da entrada, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 5% ao mês, será de:

a) R$ 11.308,19; d) R$ 11.794,40;b) R$ 11.719,76; e) R$ 11.856,78.c) R$ 11.722,56;( Resp. d )

08. (F.T. - CE) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em vinte e quatro prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12 prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos:

a) R$ 4.410,00; b) R$ 5.000,00; c) R$ 5.282,00; d) R$ 5.872,00; e) R$ 6.462,00.

( Resp. d)

09. (FTE - PA) Uma firma deve fazer pagamentos ao fim de cada um dos próximos doze meses da seguinte maneira: R$ 4.000,00 ao fim de cada um dos três primeiros meses, R$ 3.000,00 ao fim de cada um dos três meses seguintes e R$ 2.000,00 ao fim de cada um dos seis últimos meses. Calcule o valor atual no início do primeiro mês dos pagamentos devidos, considerando uma taxa de 4% ao mês e desprezando os centavos:

a) R$ 26.787,00; c) R$ 27.023,00; e) R$ 27.228,00.

b) R$ 26.832,00; d) R$ 27.149,00;

(Resp. a)

10.Quanto devo depositar mensalmente, durante 6 meses e à taxa composta de 10% ao mês, para conseguir um montante de R$ 3.086,25, se as aplicações são feitas ao fim de cada mês?

R$ 400,00

11.Calcular o montante gerado por 12 depósitos mensais e consecutivos de R$ 200,00, a uma taxa de 3% ao mês, considerando que os depósitos sejam todos feitos ao final de cada mês.

Resp.: R$ 2.838,40

12.Calcular o capital formado até o fim do quinto mês, mediante 5 aplicações mensais e consecutivas de R$ 100,00. Cconsidere que os depósitos são realizados:

a) o primeiro daqui a um mês.

b) o primeiro hoje.

( Resp. a) R$ 610,51 b) R$ 671,56

13.(CEF. 2.000 – FCC). Um trator pode ser comprado à vista por um preço v, ou pago em 3 parcelas anuais de R$ 36 000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições o preço v é

A) R$ 75 000,00 B) R$ 88 000,00 C)R$ 91 000,00 D)R$ 95 000,00 E)R$ 97 000,00

Atenção (informações para a questão de número 14): Nas questões de Matemática você pode utilizar, quando necessário, a tabela abaixo, que fornece os valores do fator de valor atual an = (1 + i)n – 1 / i.(1+i)n de uma série de pagamentos, à taxa de 3%

1 0,9709

2 1,9135

3 2,8286

4 3,7171

5 4,5797

6 5,4172

7 6,2303

8 7,0197

9 7,7861

10 8,5302

14.(CEF. 2.004 – FCC) O preço à vista de um computador é R$ 2.200,00. Ele pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 368,12 e o restante pago em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 30 dias data da compra. Se, no financiamento, os juros são compostos à taxa de 3% ao mês, o valor de cada uma das prestações será

(A) R$ 380,00(B) R$ 390,00(C) R$ 400,00(D) R$ 410,00(E) R$ 420,00

15. (SEFAZ –SP. – FCC – 2.009) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito.

Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a

(A) R$ 10.000,00(B) R$ 10.500,00(C) R$ 11.000,00(D) R$ 11.500,00(E) R$ 12.000,00

16.(Prova do Banco do Brasil de 2.012 Cesgranrio) Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de

(A) 704,00 (B) 705,60 (C) 719,00 (D) 739,20 (E) 806,40

Sistemas de amortização PRICE X SAC

Neste post irei fazer um pequeno comparativo entre os sistemas de amortização PRICE e SAC

O que são sistemas de amortização?

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo sero reembolso de ambos, sendo que juros são sempre calculados sobre o saldo devedor![1]

Sistema Price

No sistema de amortização Price o valor das prestações são iguais para taxa de juros pré-fixadas e nos casos de taxas de juros pós-fixadas as parcelas são corrigidas utilizando normalmente a Taxa Referencial de Juros (TR) , O sistema Price é um dos mais utilizados no Brasil para diversas linhas de crédito, contudo para financiamentos imobiliários a maioria dos bancos estão utilizando o sistema SAC.

Sistema de Amortização Constante (SAC)

No sistema de amortização constante (SAC) o valor da amortização da dívida é fixa, com isto o valores das parcelas se tornam variáveis e decrescentes. Este sistema é o mais utilizado para o financiamento imobiliário.

SAC x PRICE

Muitas pessoas acreditam que o sistema SAC é mais justo que o PRICE e que amortizando uma dívida usando sistema SAC o financiamento ficará mais “barato”.

Vamos fazer uma pequena simulação desconsiderando a atualização monetária (aplicação da TR) e os impostos e taxas incidentes no financimanto.

Valor Financiado: R$ 100.000,00Taxa Anual: 10,00%Prazo: 120 meses

PARCELA AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR PARCELA SALDO DEVEDOR

1 833,33 797,41 1630,75 99.166,67

2 833,33 790,77 1.624,1 98.333,33

… 833,33 … … …

51 833,33 465,16 1.298,49 57.500,00

… 833,33 … … …

120 833,33 6,65 839,98 0,00

Note que a 1ª parcela o valor é de R$ 1.630,75 e a última de R$ 839,98 e que a amortização é fixa em R$ 833,33 (as parcelas entre 3 e 119 foram omitidas para diminuir o tamanho do post), se somarmos todas as parcelas teremos um montante de R$ 148.243,55.

Agora vamos ao sistema PRICE, usando os mesmos parâmetros acima.

PARCELA AMORTIZAÇÃO JUROS VALOR PARCELA SALDO DEVEDOR

1 500,34 797,41 1.297,75 99.499,66

2 504,33 793,42 1.297,75 98.995,33

… … … … …

51 744,28 553,48 1.297,75 68.664,65

… … … … …

120 1.287,49 10,27 1.297,75 0,00

Note que o valor de todas as parcelas é fixo em R$ 1.297,75 e que a amortização é aumenta com o passar do tempo (as parcelas entre 3 e 119 foram omitidas para diminuir o tamanho do post), se somarmos todas as parcelas teremos um montante de R$ 155.730,56.

Comparando as duas simulações

No sistema PRICE o montante pago é de R$ 7.487,01 superior ao do sistema SAC. Esta diferença causa uma falsa impressão que no sistema PRICE a cobrança do juro esta incorreta.

O que ocorre é que no SAC o valor da 1ª parcela é R$ 332,99 maior que no PRICE, com isso o tomador do financiamento acaba “devolvendo” o dinheiro ao banco mais rapidamente no início do contrato, amortizando mais rápido o saldo devedor. A partir da parcela de nº 51 que o valor das parcelas dos dois sistemas se aproximam e depois quem optou pelo sistema SAC passa a pagar um valor de parcela menor.

Em resumo teremos:

DESCRIÇÃO SAC PRICE

Valor da 1ª parcela 1.630,75 1.297,75

Montante pago até a 51ª parcela 74.695,59 66.185,49

Valor da última parcela 839,98 1.297,75

Somatória das parcelas 148.243,55 155.730,56

Amortização do saldo devedor Constante Variável (aumenta com o passar do tempo)

Valor das parcelas Variável (reduz com o passar do tempo) Fixo

Qual sistema de amortização escolher no momento do financiamento?

Não existe uma regra “mágica” para a escolha do sistema de amortização, varios pontos devem ser analisado. Primeiro e mais importante é verificar no banco se a taxa de juro são as mesmas para os dois sistema, caso o banco não opere com as mesmas taxa para os dois sistema é mais interessante escolher o sistema com a menor taxa.

O sistema PRICE traz maior benefícios para as pessoas que desejam pagar um valor de parcela inicialmente menor. Em contra partida o sistema SAC “força” o cliente a amortizar mais rápido sua dívida trazendo mais benefícios para as pessoas que desejam quitar o contrato antes do vencimento.

Enfim existe inúmeras vantagens e desvantagem dos dois sistemas. O importante é utilizar o crédito de forma consciente e bem planejada.

01.(Banco do Brasil 2.006 /FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é

(A) R$ 273,30(B)) R$ 272,70(C) R$ 270,00(D) R$ 266,70(E) R$ 256,60

Resp. b

02.(CEF. 2.000 – FCC). Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200 000,00 emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros serão pagos anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 parcelas anuais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC).

O valor da terceira prestação deverá ser A)R$ 60 000,00 B)R$ 65 000,00 C)R$ 68 000,00 D)R$ 70 000,00 E)R$ 75 000,00Resp. a

03.(CEF. 2.004 – FCC). Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de

(A) R$ 2.260,00(B) R$ 1.350,00(C) R$ 1.500,00(D) R$ 1.750,00(E) R$ 1.800,00Resp. e04.(CEF. 2.008 – Cesgranrio). Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será

(A) 50,00 (B) 55,00 (C) 60,00 (D) 65,00 (E) 70,00

Resp.c

05.(SEFAZ / RJ - 2.012 - CEPERJ) Um imóvel no valor de R$300.000,00 será financiado em 2 anos pela Tabela Price, a 78% a.a. . Os valores da prestação, da amortização e dos juros contidos na 16a prestação, respectivamente, são:

A) R$26.011,00; R$14.094,78; R$10.834,86 B) R$25.000,10; R$14.789,77; R$10.988,99

C) R$35.019,10; R$15.194,34; R$11.824,76 D) R$25.119,19; R$14.294,94; R$10.800,00

E) R$25.019,10; R$14.194,24; R$10.824,86

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