matemática financeira

Unidade I Unidade I Matemática FinanceiraMatemática Financeira

Introdução: Introdução: O valor do dinheiro no tempoO valor do dinheiro no tempo

• O dinheiro possui valores distintos no tempo.• Exemplo: O que você prefere: R$ 100,00 hoje ou R$

100,00 daqui a 4 meses.• Qualquer pessoa poderia aplicar o capital (R$

100,00) durante os 4 meses e obter maior valor ao final do período.

100,00

160,00

N=4 meses

i=0,15

1. Juros simples1. Juros simples

• Aplicação muito limitada. Tem algum sentido em contextos não-inflacionários e no curtíssimo prazo.

• Conceitos básicos: juros, remuneração do capital e taxa de juros

• Juros pode ser definido como a remuneração do capital empregado.

• Quando se aplica o capital durante um determinado período de tempo, ao final o capital se transformará em um valor (montante) que é igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período da aplicação (juros).

• À diferença entre montante (S) e a aplicação (P) denomina-se juros ganhos ou rendimentos.

• Juros ganhos (J) = montante (S) – aplicação ou principal (P).

(1)

• Os juros são o produto da taxa de juros vezes o principal.

(2)

iPJaplicaçãoP

ganhosjurosJi .

)(

) (

PSJ

• Substituindo (2) em (1), tem-se:

• Mercado financeiro – Taxa de juros percentual. Ex. 20% a.m.

• Realização dos cálculos – Taxa de juros fracionária. Ex. 0,20 a.m.

• Prazo da operação considerando anos constituídos por meses com 30 dias, os juros são chamados comerciais (360 dias).

• Número de dias correspondente ao ano civil (365 dias), os juros são chamados exatos.

)1( . iPSiPPS

• Exemplos:• 1) Suponha que você realizou uma aplicação de R$

3.000,00 por um ano à taxa de juros simples de 25% a.a. Qual o valor dos juros ?

• 2) Qual o montante a ser obtido por uma aplicação de R$ 1.600,00 por um ano à taxa simples de 50% a.a.?

• 3) Qual é a taxa simples que transforma R$ 4.500 em um montante de R$ 8.100 em um ano.

Regime de juros simplesRegime de juros simples

• Nesse regime, os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo principal. Não há capitalização de juros nesse regime, pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de cálculo do período seguinte. Assim, o capital cresce à taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento linear ao longo do tempo.

Cálculo do rendimento a juros simplesCálculo do rendimento a juros simples

• Juros de uma aplicação pelo prazo de um único período de tempo a que se refere a taxa de juros:

• J = P . i• Devido ao comportamento linear dos cálculos de

juros simples, se aplicarmos o capital durante n períodos de tempo a que se refere a taxa de juros, tem-se:

• J = P . i . n

ExemploExemplo

• Se for aplicado um capital de R$ 100,00 à taxa simples de 15% a.a. durante três anos, tem-se os seguintes juros ganhos em cada ano:

• J1 = P . i = R$ 100,00 . 0,15 = R$ 15,00

• J1 = P . i = R$ 100,00 . 0,15 = R$ 15,00

• J1 = P . i = R$ 100,00 . 0,15 = R$ 15,00

Total = R$ 45,00Calculo direto:• J = P . i . n =R$ 100,00.0,15.3 = R$ 45,00

• Expressão para o cálculo dos juros em função do montante:

ni

niSJ

ni

JSJ

PSJni

JPniPJ

.1

..

.

...

Períodos não-inteirosPeríodos não-inteiros

• Muitas vezes o período de investimento é somente uma fração do período expresso na taxa de juros. Como as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneizá-las por meio de um ajuste na taxa.

• A) Se a taxa de juros for mensal e o prazo de aplicação referir-se a dias

(juro comercial)ni

PJ .30

.

• B) Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a meses

(juro comercial)

• C) Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a dias

(juro comercial)

(juro exato)

ni

PJ .360

.

ni

PJ .365

.

ni

PJ .12

.

• Exemplos: • 1º) Qual o rendimento de R$ 10.00

aplicados por um mês à taxa simples de 36% ao ano (a.a)?

• Dados: P=R$ 10.000, n=1 mês, i=36% a.a., J= ?

• Resolução:• J=P.i.n = R$ 10.000.(0,36/12).1=R$

300

• 2º) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% a.m..

• Resolução:• Dados: n = 22 dias, i = 3,05% a.m.,

i22dias=?

• i22dias = (0,0305/30).22=0,0224=2,24% em 22 dias.

Capitalização e desconto a juros simples: Capitalização e desconto a juros simples: cálculo do montante e do principalcálculo do montante e do principal

• Montante (S) ou valor do resgate de uma aplicação é o capital inicialmente investido (principal – P) acrescido de sua remuneração no período (juros ganhos):

• Montante = principal + juros

).1(

..

niPS

niPPS

Montante Principal Juros

• O cáluculo do principal a partir do montante é:

).1( ni

SP

Diagrama do fluxo de caixaDiagrama do fluxo de caixa

• Serve para mostrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo.

• As entradas são representadas por setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.

).1( niPS

0............................................................n Tempo

).1( ni

SP

• Desconto: consiste em calcular o valor presente do capital.

• Capitalização: consiste em calcular o valor futuro.

ExemploExemplo

• 1º) Qual o valor de resgate de R$ 500 aplicados por 16 meses à taxa simples de 12% a.t.?

• 2º) Em dois meses R$ 5.050 transformaram-se em R$ 5.600. Qual a taxa de juros simples ganha?

• Resolução do 1º exemplo :• P = R$ 500, n = 16 meses, i = 12% a.t., S=?• S=P(1+i.n) = R$ 500.(1+0,12/3 . 16) = $ 820• Resolução do 2º exemplo:• S= R$ 5.600, n = 2 meses, P = R$ 5.050, i

= ? a.a.• S=P(1+i.n)• R$ 5.600= R$ 5.050 (1+i/12 . 2)• i=(R$5.600/R$ 5.050 – 1).12/2 = 65,35%a.a.

Equivalência de capitais a juros simplesEquivalência de capitais a juros simples

• Dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma determinada data de avaliação (data focal).

• Exemplo: Equivalência (na data focal 2) a juros simples de 10% de dois capitais – 1º de R$ 3.636,35 que ocorre na data 1 e outro de R$ 5.600,00 na data 6.

0 1 2 3 4 5 6 Tempo

R$ 5.600

R$ 3.636,35 R$ 4.000=RS 3.636,35 (1+0,1 x 1)

R$ 5.600(1+0,1 x 4)-1=R$4.000

• Exemplo: Uma pessoa deve pagar R$ 200 daqui a dois meses e R$ 400 daqui a cinco meses. A juros simples de 5% a.a., determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a três meses que liquide a dívida.

• Dados: i = 5% a.m., S2 = R$ 200, S5 = R$ 400, X =?.

0 1 2 3 4 5 6 Tempo

R$ 400

R$ 200

X = ?

• Como o pagamento único será efetuado no terceiro, definimos esse mês como data focal. Por equivalência de capitais, os dois planos devem ser financeiramente equivalentes naquela data. Logo, temos:

• Valor no 3º mês do plano com pagamento único (X) = Valor no 3º mês do plano com dois pagamentos (R$ 200.(1+0,05.1)+R$ 400/(1+0,05.2) => X = R$ 573,64.

2. Juros compostos2. Juros compostos

• Regime de capitalização composta ou exponencial.• Regime comumente utilizado no dia-a-dia.• Os juros gerados a cada período são incorporados ao

principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

• Os juros são capitalizados. Capitalização pode ser definido como o momento em que os juros são incorporados ao principal.

• No regime de juros simples não há capitalização.

Comparação juros simples e Comparação juros simples e compostoscompostos

• Aplicação de R$ 1.000,00 durante 3 meses à taxa de 20%a.m.

Juros simples Juros compostos

Mês Rendimento Montante Rendimento Montante

1 1.000x0,2=200 1.200 1.000x0,2=200 1.200

2 1.000x0,2=200 1.400 1.200x0,2=200 1.440

3 1.000x0,2=200 1.600 1.440x0,2=200 1.728

Capitalização e desconto a juros compostos: Capitalização e desconto a juros compostos: cálculo do montante e do principalcálculo do montante e do principal

• Montante de um capital aplicado a juros compostos em 3 meses:

• Término do mês 1: S = P . (1+i)• Término do mês 2: S = P . (1+i) (1+i)• Término do mês 2: S = P . (1+i) (1+i) (1+i)

• Generalizando para n períodos, pode-se calcular montante (S) da aplicação do principal (P) durante n períodos a uma taxa de juros composta i:

niPS )1(

• Utilizando os dados da tabela anterior: S= R$ 1000,00, i = 0,2a.m., n=3 meses, S=?

• O cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é:

00,728.1 $)20,01(00,000.1 $ 3 RRS

niSP )1(

ni)1(

S

P

0 1 2... n

ni )1(

ExemplosExemplos

• 1º) A juros compostos de 20% a.m., qual o montante de R$ 3500 em 8 meses?

• Dados: n=8 meses, i= 20%a.m., P = R$ 3.500, S = ?• Diagrama de fluxo:

0 1 2... 8

S = ?

P = R$ 3 500 (1+0,20)8

S=P(1+i)n = R$ 3500(1+0,20)8 = R$ 15 049,37.

2º) A que taxa de juros um capital de R$ 13 200,00 pode transforma-se em R$ 35 112,26, considerando um período de aplicação de sete meses?

Dados: P = 13 200, S = 35 112,26, n = 7, i = ?Resolução:S=P(1+i)n R$ 35 112,26 = 13 200(1+i)7 i = (R$ 35 112,26/ R$ 13 200) 1/7 - 1=0,15=15%

3. Séries Periódicas Uniformes3. Séries Periódicas Uniformes

• As séries periódicas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas.

• Séries uniformes postecipadas:• Na série postecipada, os pagamentos ocorrem no

final de cada período:

0 1 2 3 4 ........................ n Tempo

R

• Séries uniformes antecipadas:• Na série antecipada, os pagamentos ocorrem no

início de cada período:

0 1 2 3 4 ........................ n-1 Tempo

R

• Séries uniformes diferidas:• Série diferida antecipada

0 c c+1 c+2 c+3 ........................ c+n Tempo

carência

R

• Série diferida postecipada

0 c c+1 c+2 c+3 ........................ c+n+1 Tempo

carência

R

• Valor presente de séries periódicas uniformes:• O valor presente representa a soma das parcelas

atualizadas para a data inicial do fluxo (data 0), considerando a mesma taxa de juros.

• Para uma série uniforme e postecipada (termos vencidos), o valor presente corresponde à soma dos valores atuais dos termos da série:

nn

iiiiRP

i

R

i

R

i

R

i

RP

)1(...)1()1()1(

)1(...

)1()1()1(321

32

P

1

2

3

4

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

iR

iR

iR

iR

iR n

R R R R R

0 1 2 3 4 ........................ n

• O somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. Usando a fórmula conhecida da soma das progressões geométricas, pode-se desenvolver a seguinte expressão para o valor presente de uma série uniforme com n termos postecipados capitalizados à taxa efetiva i:

.i)(1 i)(1a ,i)(1a

1

1-n-n

1-1

1

qequeem

q

qxaaRP n

%n

n

%n

n

1-

-1-n-1

.i)(11i)(1

.i)(1

1i)(1

.i)(11

i)(1 .i)(1i)(1

in

in

a

P

i

PR

axRi

RP

RP

• As duas fórmulas anteriores permitem calcular o valor presente (P) de séries uniformes postecipadas e o valor unitário da série (R). A expressão entre colchetes recebe o nome de fator de valor presente de séries uniformes.

Montante de uma série periódica Montante de uma série periódica uniformeuniforme

• O montante de uma série de pagamentos ou recebimentos uniformes postecipados será igual à soma dos montantes de cada prestação em uma determinada data futura, calculados pela mesma taxa de juros.

ix

PR

i)(11i)(1

n-

n-

1 2 3............... N tempo

SP

R

%n

%

n

n-n

n

1i)(1

1i)(1

i)(1 . .i)(1

1i)(1

)1(

in

in

n

s

S

i

SR

sxRi

RS

iRS

iPS

Valor do montante nos diversos anos para pagamentos uniformes Valor do montante nos diversos anos para pagamentos uniformes postecipadospostecipados

Mês Depósito Per. de Capitalização

Cálculo Montante no 5º mês

1 360 4 360(1,1)4 R$ 527,08

2 360 3 360(1,1)3 R$ 479,16

3 360 2 360(1,1)2 R$ 435,60

4 360 1 360(1,1)1 R$ 396,00

5 360 0 360(1,1)0 R$ 360,00

Total R$ 2.197,84

84,197.2$ 1051,360610,0

1)10,1(360

5

RS

Cálculo da taxa de juros em séries Cálculo da taxa de juros em séries periódicas uniformesperiódicas uniformes

• A taxa de juros (taxa interna de retorno) de um fluxo uniforme de n pagamentos ou recebimentos é a taxa que capitaliza os termos da série. O cálculo dessa taxa requer resolver para i* a seguinte equação:

0*)1(

...*)1(*)1(*)1( 321

ni

R

i

R

i

R

i

RP

R

P

0 1 2 3............... N tempo

• O Calculo manual de i* em fluxos multiperiódicos é um processo demorado e cansativo.

• Calculadoras financeiras realizam o cálculo.• Métodos foram desenvolvidos para obter

aproximações.

ExemplosExemplos

• Apostila: Bertolo. Matemática Financeira. Pág. 42. Ex. 1.

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas

• BERTOLO, . Matemática Financeira. (Apostila) 2005. 126p. Disponível em: http://www.bertolo.pro.br/MatFin/ZIP/MATFIN.zip (Fevereiro, 2006).

• SAMANÉZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 364p. ISBN 8587918079 capítulos 1, 2 ,3 e 5.