matemática e suas tecnologias - matemática ensino médio, 3º ano volume da esfera
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Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 3º AnoVolume da esfera
Objetivos:• calcular o volume de uma esfera e a área de uma
superfície;• reconhecer um fuso esférico e calcular sua área;• reconhecer uma cunha esférica e calcular o seu volume;• explorar o sólido em 3D com o apoio do software de
apresentação Impress/BrOffice.
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
Conteúdos• Esfera• Volume da Esfera
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
ESFERA
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
Imagem: Geek3 / GNU Free Documentation License.
Imagem: Andrevuras/ GNU Free Documentation License.
Imagem: Higor Douglas / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.
Na estrutura do grafite…Na estrutura do grafite…
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
Imagem: Ben Mills / Public domain.
Podemos ver várias esferas em algumas estruturas de moléculas de compostos químicos.
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Imagem Slashme / GNU Free Documentation License.
ESFERAESFERA• É A UNIÃO DE TODOS
OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DISTÂNCIA AO CENTRO DADO É A MESMA.
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Imagem: Autor desconhecido /Disponibilizada por OgreBot/ Public domain.
ÁREA DA ESFERAÁREA DA ESFERA• EXPERIMENTALMENTE,
PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO “PESO” DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA, SENDO DO MESMO MATERIAL.
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Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Marcelo Reis/GNU Free Documentation License.
24 RAESFERA
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VOLUME DA ESFERAVOLUME DA ESFERA
3
4 3RVOLUME
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Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Jynus/GNU Free Documentation License .
Podemos tentar demonstrar as
fórmulas.
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Consideremos um cilindro de raio da base r (a altura é 2r) e tendo como S o ponto médio do eixo do cilindro.
Tomemos dois cones, tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum (a reunião desses dois cones é um sólido chamado Clépsidra).
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MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
S SSS
r
h=2r
Cilindroequilátero
Cilindro Equilátero eOs dois cones
Reunião dos Dois cones
Sólido X,Cilindro menosOs dois cones
Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones, vamos chamar de sólido X (este sólido X é chamado anticlépsidra).
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r
esfera clépsidra anticlépsidra
Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito acima.
Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano α, que o cilindro (que originou o sólido X) tenha base em α e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num mesmo semiespaço dos determinados por α.
Qualquer plano secante β, paralelo a α, distando d do centro da esfera (e do vértice do sólido X), também secciona o sólido X. Temos, portanto:
Área da secção na esfera = πs² = π(r² - d²) círculoÁrea da secção no sólido X = πr² - πd² = π(r² - d²) coroa circular
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s
ß
α
o
s
s
p Q
r
d
As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais. Então, pelo Princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais.
Vesfera = Vsólido X
Mas:
Vsólido X = Vcilindro - 2Vcone = πr² . 2r – 2 . (π r² . r/3 )= πr² . 2r – 2πr³/3 = 4πr³/3
Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é de 4πr³/3
V= 4πr³/3
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Área da superfície esférica
A= 4 πr²Referência bibliográficaGelson Iezzi; Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 10 – Geometria Espacial – Parte 2
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Então, para x = 0, vem:
r + x
Noção intuitivaSe considerarmos uma superfície limitada de
área A e sobre ela formarmos um sólido, de altura x, de bases “paralelas”, teremos, indicando com V, o volume do sólido de base A e altura x. V=Ax A= V/x
Esta igualdade é verificada para qualquer x.Intuitivamente, uma superfície é imaginada
como uma “placa sólida” de “espessura infinitamente pequena”.
Por isso, se uma “placa sólida” de volume Vp e espessura x for tal que a expressão (função) Vp/x tem sentido para x = 0, então:
Vp/x ( para x = 0 ) será definida como a área da placa.
Assim podemos deduzir as expressões das áreas laterais da superfície esférica.
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Área do fuso
Note que quanto maior for o ângulo, maior será o fuso correspondente; a área do fuso é diretamente proporcional a α. .
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r
α
Fuso esférico
Arco equatorial
Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
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Para α em graus: Para a em radianos:
CUNHA ESFÉRICA
Se um semicírculo com o diâmetro num eixo gira a graus (0°< α ≤ 360°) em torno do eixo, ele gera um sólido que é chamado de CUNHA ESFÉRICA.
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r
α
Cunha esférica
Arco equatorial
Volume da cunha
Note que quanto maior for o ângulo, maior será o volume da cunha correspondente; o volume da cunha é diretamente proporcional a α. .
Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
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Exercícios• Considerando as interações anteriores, é possível partir para os cálculos
mais comuns envolvendo esferas, que são a determinação da área e do volume. O professor pode propor alguns desafios para que sejam utilizadas as expressões abaixo.
1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule:a) seu volume; b) sua área; c) a área da secção feita a 9 cm do centro.
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r
9 15
15
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
2) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e ângulo central de 60°.
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A
B
12 cm
60°
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
3) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144 m2.
4) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu centro, obtém-se uma secção de área de 72π m2, determine o volume dessa esfera.
2 72 mMATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
r
3 R
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm2.
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R = a/2
M N
PQ
a
M N
PQ
E
F
A
B C
D
G
Ha
R
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
Recursos:• livro didático;• laboratório de informática;• representações gráficas;•data show;•no laboratório de matemática: 1 esfera, 1
cone e 1 cilindro de acrílico;
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• duração das atividades: 2 aulas de 50 minutos;• conhecimentos prévios trabalhados pelo
professor com o aluno: conceitos de ângulo, diâmetro, raio e medidas. Noções de plano cartesiano.
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DesenvolvimentoPrimeira Etapa • Exposição dialogada, seguida de tempestade de
ideias, visando à construção do conhecimento. Será explicado pelo professor que a esfera é um importante sólido da geometria, que aparece em inúmeras aplicações importantes da vida cotidiana.
• Nessa aula, também apresentamos uma forma de manipular o sólido em 3D, usando o programa de apresentações do BrOffice, o Impress:
(http://www.broffice.org).
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• O professor poderá apresentar uma imagem de uma esfera, como a apresentada abaixo, no Laboratório de Informática ou mostrar aos alunos a esfera de acrílico, no Laboratório de Matemática da escola.
Recurso disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
Segunda Etapa
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Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Kieff/ Public domain.
• Sempre que possível, é importante relacionar o conteúdo com a vida cotidiana.
• Eis um exemplo que pode ser usado: os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo, como nas rodas dos carros. Não deixar de mostrar aos alunos a animação.
Fonte e Animação:http://pt.wikipedia.org/wiki/Rolamento
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Imagem: PlusMinus / GNU Free Documentation License.
• Sugerimos que o professor proponha que os alunos conheçam melhor a esfera através da criação das suas próprias esferas.
• Para isso, o BrOffice/Impress (http://www.broffice.org)
oferece um excelente recurso de desenho de objetos em 3D. Vamos ver como isso pode ser feito. É simples.
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Terceira Etapa• Manuseio do BrOffice, o Impress (http://www.broffice.org).
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
Acesse o link:http://www.broffice.org
• O primeiro passo é exibir a barra de ferramentas de desenho para objetos em 3D.
• Basta seguir o caminho indicado na figura do slide anterior: Exibir > Barra de ferramentas > Objetos3D
• Clicando no ícone da esfera, pode-se desenhar, girar, redimensionar e alterar a cor da esfera em 3 dimensões.
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
Observe o exemplo abaixo:
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
Acesse o link:http://www.broffice.org
• Uma vez que os alunos já tenham manipulado e conhecido um pouco mais sobre a esfera, pode-se partir para um aprofundamento do estudo da esfera.
MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera
Extras• Com os recursos apresentados até aqui, é possível
partir para um trabalho que envolva a aplicação do que foi estudado.
• O professor pode pedir aos alunos que procurem outras aplicações da esfera na vida cotidiana, como também realizar cálculos de área e volume.
• A continuidade do trabalho com o programa de apresentações Impress pode tornar a aula mais interessante para os alunos.
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• Também pode-se trabalhar com os alunos a criação de um mapa conceitual, no papel ou no computador
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Mapa_conceitual). • Integrar no mapa outros sólidos da geometria
espacial, além das aplicações da esfera, permitirá aos alunos construírem relações mais elaboradas da geometria e suas aplicações.
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Referências• http://matcal.wordpress.com/• http://www.google.com.br/url?
sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDoQFjAB&url=http%3A%2F%2Fprofessorwaltertadeu.mat.br%2FEsferas2010.doc&ei=HLGyUOmkD4no8QTb8IGQBg&usg=AFQjCNE7l9z8hUloTQhMJ0JHQbWuWXS3VA&sig2=9KiMi2NrFBdtMkWG68VG_Q
Tabela de Imagensn° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto
link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso
4a Andrevuras/ GNU Free Documentation
Licensehttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bola.JPG 19/08/2012
4b Higor Douglas / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bola_de_futebol.jpg
19/08/2012
4c Geek3 / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphere_wireframe_15deg_4r.svg
19/08/2012
5 Ben Mills / Public domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Potassium-graphite-xtal-3D-SF-B.png
19/08/2012
6 Slashme / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ATBC_Molecular_Structure_Spacefill.png
19/08/2012
7 Autor desconhecido /Disponibilizada por OgreBot/ Public domain
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Poincare_sphere.png
19/08/2012
8 Autor desconhecido / Disponibilizada por Marcelo Reis/GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steradian.png
19/08/2012
10 Autor desconhecido / Disponibilizada por Jynus/GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steradian.svg
19/08/2012
30 Autor desconhecido / Disponibilizada por Kieff/ Public domain
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue-sphere.png
20/08/2012
31 PlusMinus / GNU Free Documentation License
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:BallBearing.gif
20/08/2012
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