matemática discreta i bcc101 introdução à lógica

Matemática Discreta IBCC101

Introdução à Lógica

2

O que é Lógica

Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos

sentenças declarativas tais como:i. O círculo X tem raio 3 ii. Se um círculo tem raio r, então sua área é

r𝛑 2

Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos concluir:iii.O círculo X tem área 9𝛑

3

O que é LógicaÉ importante notar que lógica é o processo de

deduzir informação corretamente, e não de deduzir informação correta Suponha que estamos enganados e, de fato,

o círculo X tem raio 4 Ainda assim, o raciocínio anterior está

correto:

i. O círculo X tem raio 3 ii. Se um círculo tem raio r, então sua área é r𝛑 2

-----------------------------------------------iii.O círculo X tem área 9𝛑

A distinção entre lógica correta e informação correta é importante.

Do que precisamos?

Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo

Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença

Regras de raciocício para determinar a verdade ou falsidade de sentenças da linguagem.

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 4

Verdadeiro, FalsoAxioma: Falso é o oposto de Verdadeiro.

Exemplos:– Se um círculo tem raio r, então sua área é r𝛑 2

– 2 ∈ 𝐙– √2 ∈ 𝐙– ⊆𝐍 𝐙– Esta sentença é fals

Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras?

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 5

Asserções

DEF: Uma asserção é uma sentença que é verdadeira (T) ou falsa (F).

Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade:

•Notação: P, Q, R etc

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 6

Asserções - Notação

Usamos as letras P, Q, R etc, para representar asserções:

P: Para todo inteiro n>1, 2n-1 é primoQ: A função f(x)=x2 é contínuaR: ⊆𝐙

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 7

Asserções - Variáveis

Uma ossserção pode conter variáveis:P(x): Se x é múltiplo de 6, então x é par.Q(x): x é par

M(x,y): x é múltiplo de yUma asserção envolvendo variáveis pode

ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à variável:

Q(10): 10 é par - verdadeira

Q(21): 21 é par - falsaM(10,3): 10 é múltiplo de 3 - falsaM(10,5): 10 é múltiplo de 5 -

verdadeira

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 8

Asserções em Matemática

Teorema de Pitágoras: (sec. V BC)

Em um triângulo retângulo com catetos a e b, e hipotenusa c, temos c2 = a2 + b2

Teorema de Fermat: (sec XVII, provado em 1993)

Para quaisquer números a,b,c,n ∈ , 𝐍n>2, temos que an+bn≠cn

Conjectura de Goldbach: (sec XVIII, ainda não provado)

Todo inteiro par > 2 é a soma de 2 números primos

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 9

Asserções mais Complexas

Asserções mais complexas podem ser formadas a partir de asserções atômicas (e das constantes true e false), usando-se conectivos lógicos (ou operadores lógicos): O número 2 é par e o número 3 é impar

- P: O número 2 é par- Q: O número 3 é impar- P ∧ Q

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 10

Conectivos Lógicos

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11

Operador Simbolo

Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação, se então)

→

Equivalência (bi-implicação) = ⟷

Lógica Proposicional: sintaxe formal

Seja var uma variável de proposição.

O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática:prop := var |true | false

|(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop ⇒ prop) |(prop = prop)

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 12

Fórmulas da Lógica Proposicional

Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional?

- ((P ∨ Q) → P)- ((P ∧ ∨ P) → ¬)

Conectivos: precedência associatividade

Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos:maior precedência

¬ =∧ ∨ ➝

menor precedência

∧ e ∨ têm associatividade à esquerda

➝ tem associatividade à direita

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 14

Conectivos: precedência associatividade

Exemplos:

¬P ∧ Q ➝ R = (((¬P) ∧ Q) ➝ R)

P ∧ Q ∨ R = ((P ∧ Q) ∨ R)

P ∧ Q ∧ R = ((P∧Q)∧R) = (P∧(Q∧R))

P → Q → R = (P → (Q→R)) ≠ ((P→Q) →R)

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 15

Conectivos: precedência associatividade

Elimine os parênteses desnecessários:

((P ∨ Q) ∨ (R ∨ S))(P ➝ (Q ➝ (P ∧ Q)))¬ (P ∨(Q ∧ R))¬ (P ∧(Q ∨R))

Lógica Proposicional - semântica

O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F

O significado da constante true é TO significado da constante false é F

Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F

Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((P˄Q) R) ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17

Negação

Verdadeiro sse o operando é FalsoDefina p = x < 0, q = x > 10

p é verdadeiro sse x é não negativo(p q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 18

p ¬ pT FF T

Conjunção

Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros

Defina p = x > 0, q = x < 10

pq é verdadeiro sse x está entre 0 e 10

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 19

p q p q∧

T T TT F FF T FF F F

Disjunção

Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro

Defina p = x > 0, q = x < 10

p∨q é verdadeiro para qq valor de x

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 20

p q p q∨

T T TT F TF T TF F F

Ou Exclusivo

Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes

Defina p = x > 0, q = y > 0

p⊕q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 21

p q p ⊕ q

T T FT F TF T TF F F

Quadrante 1 x > 0, y > 0

Quadrante 2 x < 0, y > 0 Quadrante

4 x > 0, y < 0

Quadrante 3 x < 0, y < 0

y

x

Implicação

Falso sse 1o op. é verdadeiro e 2o é falso

Defina p = x > 10, q = x > 0Considere x = 15, x = 5, e x = -5pq é verdadeiro para todo valor de x

A terceira linha da tabela não ocorre

qp é falso quando x está entre 0 e 10BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 22

p q p q➝

T T TT F FF T TF F T

Equivalência ou Bi-implicação

Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor

pq tem o mesmo valor que (p⇒q)(q⇒p)p q tem o mesmo valor que (p q)

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 23

p q p = qT T TT F FF T FF F T

CondicionalDiversas maneiras de expressar p → q:

se p então q. se p, q.p implica q. q se p.p somente se q.q sempre que p.p é suficiente para q.q é necessário para p.

ExemplosÉ suficiente que x>10 para que x>5É necessário que x>5 para que x>10

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 24

Tabela-verdade

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 25

Proposição: (P Q) (PQ)

P Q

F F

F T

T F

T T

F

T

T

T

(P Q) P

T

T

F

F

(PQ)

F

T

T

T

(PQ) (PQ)

F

T

T

T

Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas :

Contradição (não satisfazível)

Outra Tabela-verdade

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 26

Proposição: (PQ) (PQ)

P Q

F F

F T

T F

T T

F

T

F

(PQ) P

T

T

F

F

(P Q)

F

T

T

T

(PQ) (PQ)

F

T

F

F F

Equivalência Lógica: =(PQ) (PQ) (PQ)

Sherlock Holms

O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentesOu o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocenteEntão ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado

M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 27

M C) L C

L M

Sherlock Holms

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 28

M C L M C) L C L M

False False False True False True

False False True True True True

False True False True True True

False True True True True True

True False False True False False

True False True True True True

True True False False True False

True True True False True True

M C), L C ⇒ L M

M C)

L C

L M

Consequência Lógica

O raciocínio com tabela-verdade é viável na

prática?É bom quando existem apenas 2 variáveis

{T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade

Três variáveis — começa a ficar tedioso{T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores2 2 2 linhas na tabela-verdade

Vinte variáveis — impraticável!2 2 … 2 linhas (220)Você gostaria de preencher um milhão de linhas?Nesse caso, como faria para evitar erros?

Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!

29