manual mn 2015 cap vi 2

6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS (EDO´s)

INTRODUÇÃO

O estudo das equações diferenciais foi motivado inicialmente por problemas da física, ou seja problemas de mecânica, electricidade, termodinâmica, magnetismo etc. Actualmente muitas outras áreas do conhecimento têm a formulação teórica de seus problemas utilizando essas equações. Entre outras podemos destacar as seguintes áreas, Química, Ecologia, Biologia, Economia e Sociologia.

Suponha RRf n →: e RRy →: , com derivadas até ordem n . Dizemos que uma

equação diferencial ordinária tem ordem n se é uma equação que pode ser escrita como

)´,...,,,( nn yyyxfy = ; =ny derivada de ordem n .

Uma função )(xy ϕ= é dita como solução da equação acima se:

a) )(xy ϕ= possui derivadas até n ;

b) ))(),....,(,( 1 xxxfy nn −= ϕϕ

6.1 EDO´s DE PRIMEIRA ORDEM

))(,(´ xyxfy =

Seguem abaixo os métodos numéricos que nos ajudam a determinar as soluções

aproximadas das EDO´s.

6.1.1 MÉTODO DE EULER

Passo 1: Extracção de dados

Passo 2: Determinação das fórmulas concretas

hxx kk +=+1

);(*1 kkkk yxfhyy +=+

Passo 3: Tabela

k kx ky

Passo 4: Resposta

Exemplo:

Determine a solução da equação diferencial xyy −=' , com 1)0( =y no intervalo [ ]5.0;0

e 1.0=h

Resolução:

Passo 1: Extracção de dados

xyyxf −=);(

00 =x

10 =y

1.0=h

Passo 2: Determinação das fórmulas concretas

1.011 +=↔+= ++ kkkk xxhxx

kkkkkkkk yxyyyxfhyy **1.0);(* 11 −=↔+= ++

Passo 3: Tabela

k kx ky

0 0 1

1 0.1 1

2 0.2 0.99

3 0.3 0.9702

4 0.4 0.941094

5 0.5 0.903450

Passo 5: 903450.0=y

6.1.2 MÉTODO DE RANGE KUTTA 4 – RK 4

Passo 1: Extracção de dados

Passo 2: Determinação das fórmulas concretas

hxx ll +=+1

)*2*2(*6

43211 kkkkh

yy ll ++++=+

34

23

12

1

*;(

)2

;2

(

)2

;2

(

);(

khyhxfk

kh

yh

xfk

kh

yh

xfk

yxfk

ll

ll

ll

ll

++=

++=

++=

=

Passo 3: Tabela

k kx ky 1k 2k 3k 4k

Passo 4: Resposta

Exemplo

Passo 1: Extracção de dados

xyyxf −=);(

00 =x

10 =y

1.0=h

Passo 2: Determinação das fórmulas concretas

1.011 +=↔+= ++ llll xxhxx

)*2*2(*6

43211 kkkkh

yy ll ++++=+

)*1.0)(1.0(*;(

)*05.0)(05.0()2

;2

(

)*05.0)(05.0()2

;2

(

*);(

3434

2323

1212

11

kyxkkhyhxfk

kyxkkh

yh

xfk

kyxkkh

yh

xfk

yxkyxfk

llll

llll

llll

llll

++−=↔++=

++−=↔++=

++−=↔++=

−=↔=

Passo 3: Tabela

k kx ky 1k 2k 3k 4k

0 0 1 0 -0.05 -0.049875 -0.099501

1 0.1 0.99502 -0.09950 -

0.148506

-0.148138 -0.196040

2 0.2 0.98019

9

-0.196040 -

0.242599

-0.242017 -0.256799

3 0.3 0.95599

7

-0.256799 -

0.329580

-0.328831 -0.369246

4 0.4 0.92311

6

-0.329246 -

0.407094

-0.406243 -0.441246

5 0.5 0.88249

7

-0.441246 -

0.473239

-0.472359 -0.501157

Passo 4: Resposta

0.882497=y

6.2 EXERCICIOS

1. Determine a solução numérica aproximada da seguinte Equação Diferencial

Ordinária, com o passo h = 0.2

a) Pelo de Euler

b) Pelo método de Runge – Kutta 4

2. Considere a equação diferencial ordinária, dado por:

Fazendo h = 0.1, determine a solução aproximada usando o método de Euler.

3. Seja dada a equação 31' yxy −= com 1)0( =y no intervalo [0;5] e com N=5.

Determine a solução aproximada pelo método de Runge Kutta – 4.

.