lista de exercícios elemaq i
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1
UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARANÁ
HALYSON T. DE ANDRADE JEFERSON WILIAN PEREIRA RENAN LUIS PINTO TIEPOLO
THIAGO REDED RAMOS
ELEMENTOS DE MÁQUINA I
CURITIBA
2015
2
UNIVERSIDADE TUIUTI DO PARANÁ
HALYSON T. DE ANDRADE JEFERSON WILIAN PEREIRA RENAN LUIS PINTO TIEPOLO
THIAGO REDED RAMOS
ELEMENTOS DE MÁQUINA 1
CURITIBA
2015
Trabalho apresentado como estudo dirigido da disciplina de Elementos de máquina 1, do curso de Engenharia Mecânica, da Universidade Tuiuti do Paraná, ministrada pelo Prof. Paulo Lagos.
3
Sumário 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 6
2. EXERCÍCIOS ............................................................................................................................... 7
EXERCÍCIO 1: ....................................................................................................................................... 7
EXERCÍCIO 1.1: .................................................................................................................................... 8
EXERCÍCIO 1.2: .................................................................................................................................... 8
EXERCÍCIO 1.3: .................................................................................................................................... 9
EXERCÍCIO 1.4 ..................................................................................................................................... 9
EXERCÍCIO 2: ..................................................................................................................................... 10
EXERCÍCIO 2.1 ................................................................................................................................... 11
EXERCÍCIO 2.2 ................................................................................................................................... 11
EXERCÍCIO 2.3: .................................................................................................................................. 12
EXERCÍCIO 2.4: .................................................................................................................................. 12
EXERCÍCIO 3: ..................................................................................................................................... 13
EXERCÍCIO 3.1: .................................................................................................................................. 13
EXERCÍCIO 3.2: .................................................................................................................................. 14
EXERCÍCIO 3.3: .................................................................................................................................. 14
EXERCÍCIO 3.4: .................................................................................................................................. 14
EXERCÍCIO 4: ..................................................................................................................................... 15
EXERCÍCIO 4.1: .................................................................................................................................. 17
EXERCÍCIO 4.2 ................................................................................................................................... 18
EXERCÍCIO 4.3: .................................................................................................................................. 20
EXERCÍCIO 4.4: .................................................................................................................................. 22
EXERCÍCIO 5: ..................................................................................................................................... 23
EXERCÍCIO 5.1 ................................................................................................................................... 26
EXERCÍCIO 5.2 ................................................................................................................................... 28
EXERCÍCIO 5.3 ................................................................................................................................... 30
EXERCÍCIO 5.4: .................................................................................................................................. 32
EXERCÍCIO 6: ..................................................................................................................................... 34
EXERCÍCIO 6.1: .................................................................................................................................. 34
EXERCÍCIO 6.2: .................................................................................................................................. 34
EXERCÍCIO 6.3: .................................................................................................................................. 35
EXERCÍCIO 6.4: .................................................................................................................................. 35
EXERCÍCIO 7: ..................................................................................................................................... 35
4
EXERCÍCIO 7.1: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 7.2: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 7.3: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 7.4: .................................................................................................................................. 36
EXERCÍCIO 8: ..................................................................................................................................... 37
EXERCÍCIO 8.1: .................................................................................................................................. 38
EXERCÍCIO 8.2: .................................................................................................................................. 39
EXERCÍCIO 8.3: .................................................................................................................................. 40
EXERCÍCIO 8.4: .................................................................................................................................. 41
EXERCÍCIO 9: ..................................................................................................................................... 42
EXERCÍCIO 9.1: .................................................................................................................................. 42
EXERCÍCIO 9.2: .................................................................................................................................. 42
EXERCÍCIO 9.3: .................................................................................................................................. 43
EXERCÍCIO 9.4: .................................................................................................................................. 43
EXERCÍCIO 10: ................................................................................................................................... 44
EXERCÍCIO 10.1: ................................................................................................................................ 45
EXERCÍCIO 10.2: ................................................................................................................................ 45
EXERCÍCIO 10.3: ................................................................................................................................ 46
EXERCÍCIO 10.4: ................................................................................................................................ 46
EXERCÍCIO 11: ................................................................................................................................... 47
EXERCÍCIO 11.1: ................................................................................................................................ 47
EXERCÍCIO 11.2: ................................................................................................................................ 48
EXERCÍCIO 11.3: ................................................................................................................................ 48
EXERCÍCIO 11.4: ................................................................................................................................ 49
EXERCÍCIO 12: ................................................................................................................................... 49
EXERCÍCIO 12.1: ................................................................................................................................ 50
EXERCÍCIO 12.2: ................................................................................................................................ 50
EXERCÍCIO 12.3: ................................................................................................................................ 51
EXERCÍCIO 12.4: ................................................................................................................................ 51
EXERCÍCIO 13: ................................................................................................................................... 52
EXERCÍCIO 13.1: ................................................................................................................................ 54
EXERCÍCIO 13.2: ................................................................................................................................ 55
EXERCÍCIO 13.3: ................................................................................................................................ 56
EXERCÍCIO 13.4: ................................................................................................................................ 58
5
EXERCÍCIO 14: ................................................................................................................................... 60
EXERCÍCIO 14.1: ................................................................................................................................ 62
EXERCÍCIO 14.2: ................................................................................................................................ 63
EXERCÍCIO 14.4: ................................................................................................................................ 67
EXERCÍCIO 15.2: ................................................................................................................................ 80
EXERCICIO 16 .................................................................................................................................... 88
3. CONCLUSÃO ............................................................................................................................. 91
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 92
6
1. INTRODUÇÃO
O trabalho desenvolvido no decorrer do primeiro bimestre do segundo semestre do ano letivo de 2015, tem como objetivo fixar os assuntos tratados em sala de aula, a metodologia abordada pelo professor é de replicar os exercícios aplicados em sala de aula como forma de fixação e estudos dos mesmos, a seguir teremos os exercícios feitos em sala de aulas, e novos modelos criados a partir deste, pelos alunos.
7
2. EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO 1:
A roda da figura possui d = 0,3 m e gira com velocidade angular ω = 10π rad/s.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009
Determine:
a) Período (T):
� =2�
�=
2�
10�= 0,2
b) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,2= 5 �
c) Rotação (�):
� = 60 ∙ � = 60 ∙ 5 � = 300���
d) Velocidade periférica (��):
�� = � ∙ ��� = 10� ∙ 0,15� = 4,71�/
8
EXERCÍCIO 1.1:
Uma roda possui d = 0,6 m e gira com velocidade angular ω = 20π rad/s.
Determine:
a) Período (T):
� =2�
�=
2�
20�= 0,1
b) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,1= 10 �
c) Rotação (�):
� = 60 ∙ � = 60 ∙ 10 � = 600���
d) Velocidade periférica (��):
�� = � ∙ ��� = 20� ∙ 0,3� ≅ 18,85�/
EXERCÍCIO 1.2:
Uma roda possui d = 0,15 m e gira com velocidade angular ω = 5π rad/s.
Determine:
a) Período (T):
� =2�
�=
2�
5�= 0,4
b) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,4= 2,5 �
c) Rotação (�):
� = 60 ∙ � = 60 ∙ 2,5 � = 150���
d) Velocidade periférica (��):
9
�� = � ∙ ��� = 5� ∙ 0,075� ≅ 1,18�/
EXERCÍCIO 1.3 :
Uma roda possui d = 0,25 m e gira com velocidade angular ω = 8π rad/s.
Determine:
a) Período (T):
� =2�
�=
2�
8�= 0,25
b) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,25= 4 �
c) Rotação (�):
� = 60 ∙ � = 60 ∙ 4 � = 240���
d) Velocidade periférica (��):
�� = � ∙ ��� = 8� ∙ 0,125� ≅ 3,14�/
EXERCÍCIO 1.4
Uma roda possui d = 0,4 m e gira com velocidade angular ω = 25π rad/s.
Determine:
a) Período (T):
� =2�
�=
2�
25�= 0,08
b) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,08= 12,5 �
c) Rotação (�):
10
� = 60 ∙ � = 60 ∙ 12,5 � = 750���
d) Velocidade periférica (��):
�� = � ∙ ��� = 25� ∙ 0,2� ≅ 15,71�/
EXERCÍCIO 2:
O motor elétrico possui como característica de desempenho a rotação �=1740rpm. Determine
as seguintes características de desempenho do motor:
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009
a) Velocidade angular (�):
� =� ∙ �
30=
1740�
30= 58����/
b) Período (T):
� =2�
�=
2�
58����/= 0,0345
c) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,0345= 29 �
11
EXERCÍCIO 2.1
Um motor elétrico possui rotação �=2500rpm. Determine as seguintes características de
desempenho do motor:
a) Velocidade angular (�):
� =� ∙ �
30=
2500�
30≅ 83,4����/
b) Período (T):
� =2�
�=
2�
83,4����/≅ 0,024
c) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,024 ≅ 41,7 �
EXERCÍCIO 2.2
Determine as características abaixo, de motor elétrico com um período de T=0,028s
a) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,028 ≅ 35,7 �
b) Rotação (�):
� = 60. � = 60.35,7 � = 2142���
c) Velocidade angular (�):
� =� ∙ �
30=
2142�
30≅ 71,4����/
12
EXERCÍCIO 2.3:
Um motor elétrico trabalha com rotação �=1800rpm. Determine:
a) Velocidade angular (�):
� =� ∙ �
30=
1800�
30≅ 60����/
b) Período (T):
� =2�
�=
2�
60����/≅ 0,034
c) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,034 ≅ 29,42 �
EXERCÍCIO 2.4:
Determine as características abaixo, de motor elétrico com um período de T=0,016s
a) Frequência (�):
� =1
�=
1
0,016 ≅ 62,5 �
b) Rotação (�):
� = 60. � = 60.62,5 � = 3750���
c) Velocidade angular (�):
� =� ∙ �
30=
3750�
30≅ 125����/
13
EXERCÍCIO 3:
O ciclista monta uma bicicleta aro 26 (d=600mm), viajando com um movimento que faz com
que as rodas girem n= 240rpm. Qual a velocidade do ciclista?
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009
Velocidade Periférica (��):
�� = π. �. �
30=π. 240.0,30
30=
8,29�
Transformando para km/h:
�� =8,29�
. 3,6 =
30#�
ℎ
EXERCÍCIO 3.1:
Um ciclista com bicicleta de aro 29 (d=622mm), viaja com um movimento que faz com que
as rodas girem n= 267,7rpm. Qual a velocidade do ciclista?
Velocidade Periférica (��):
�� = π. �. �
30=π ∙ 267,7 ∙ 0,311
30=
8,72�
Transformando para km/h:
�� =8,72�
. 3,6 ≅
31,4#�
ℎ
14
EXERCÍCIO 3.2:
Um ciclista com bicicleta aro 28 (d=599mm), viaja com um movimento que faz com que as
rodas girem n= 258,5 rpm. Qual a velocidade do ciclista?
Velocidade Periférica (��):
�� = π. �. �
30=π ∙ 258,5 ∙ 0,2995
30=
8,11�
Transformando para km/h:
�� =8,11�
. 3,6 ≅
29,2#�
ℎ
EXERCÍCIO 3.3:
O ciclista monta uma bicicleta aro 24 (d=520mm), viajando com um movimento que faz com
que as rodas girem n= 221,5 rpm. Qual a velocidade do ciclista?
Velocidade Periférica (��):
�� = π. �. �
30=π ∙ 221,5 ∙ 0,26
30=
6,03�
Transformando para km/h:
�� =6,03�
. 3,6 ≅
21,9#�
ℎ
EXERCÍCIO 3.4:
O ciclista monta uma bicicleta aro 20 (d=420mm), viajando com um movimento que faz com
que as rodas girem n= 184,6 rpm. Qual a velocidade do ciclista?
Velocidade Periférica (��):
�� = π. �. �
30=π ∙ 184,6 ∙ 0,21
30≅
4,06�
Transformando para km/h:
15
�� =4,06�
. 3,6 ≅
14,6#�
ℎ
EXERCÍCIO 4 :
A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros, respectivamente:
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009
A polia 1 (motora) atua com velocidade angular ω1 = 39π rad/s.
Determinar:
a) Período da polia 1 (�%):
�% =2�
�%=
2����
39����/= 0,0512
b) Frequência da polia 1 (�%):
�% =1
�%=
1
0,0512= 19,5 �
c) Rotação da polia 1 (�%):
16
�% = 60. �% = 60.19,5 � = 1170���
d) Velocidade Angular da polia 2 (�&):
�& =�%. �%
�&=
39.100��
180��≅ 21,67����/
e) Frequência da polia 2 (�&):
�& =�&
2�=
21,67����/
2�= 10,83 �
f) Período da polia 2 (T&):
�& =2�
�&=
2�
21,67����/= 0,0922
g) Rotação da polia 2 (�&):
�& =�%. �%
�&=
1170.100
180= 650���
h) Velocidade periférica da transmissão (��):
�� = �%. �%
como:
�% =�%
2
tem-se que:
17
�� =�%. �%
2=
39����/. 0,1�
2= 1,95��/ ≅ 6,12�/
i) Relação de transmissão (i)
( =�&
�%=
180��
100��= 1,8
EXERCÍCIO 4.1:
A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros, respectivamente:
Polia 1 (motora) = 200
Polia 2 (movida) = 360
A polia 1 (motora) atua com velocidade angular ω1 = 78π rad/s.
Determinar:
a) Período da polia 1 (�%):
�% =2�
�%=
2����
78����/= 0,0256
b) Frequência da polia 1 (�%):
�% =1
�%=
1
0,0256= 39 �
c) Rotação da polia 1 (�%):
�% = 60. �% = 60.39 � = 2340���
d) Velocidade Angular da polia 2 (�&):
18
�& =�%. �%
�&=
78.200��
360��≅ 43,4����/
e) Frequência da polia 2 (�&):
�& =�&
2�=
43,4����/
2�= 21,7 �
f) Período da polia 2 (T&):
�& =2�
�&=
2�
43,4����/= 0,046
g) Rotação da polia 2 (�&):
�& =�%. �%
�&=
2340.200
360= 1300���
h) Velocidade periférica da transmissão (��):
�� = �%. �%como:�% =�%
2tem − seque:
�� =�%. �%
2=
78����/. 0,2�
2= 7,8��/ ≅ 24,50�/
i) Relação de transmissão (i)
( =�&
�%=
360��
200��= 1,8
EXERCÍCIO 4.2
A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros, respectivamente:
Polia 1 (motora) = 50
Polia 2 (movida) = 90
19
A polia 1 (motora) atua com velocidade angular ω1 = 25π rad/s.
Determinar:
a) Período da polia 1 (�%):
�% =2�
�%=
2����
25����/= 0,08
b) Frequência da polia 1 (�%):
�% =1
�%=
1
0,08= 12,5 �
c) Rotação da polia 1 (�%):
�% = 60. �% = 60.12,5 � = 750���
d) Velocidade Angular da polia 2 (�&):
�& =�%. �%
�&=
25.50��
90��≅ 13,89����/
e) Frequência da polia 2 (�&):
�& =�&
2�=
13,89����/
2�= 6,945 �
f) Período da polia 2 (T&):
�& =2�
�&=
2�
6,945����/= 0,287
g) Rotação da polia 2 (�&):
�& =�%. �%
�&=
750.50
90≅ 416,7���
h) Velocidade periférica da transmissão (��):
20
�� = �%. �%como:�% =�%
2tem − seque:
�� =�%. �%
2=
25����/. 0,05�
2= 0,625��/ ≅ 1,96�/
i) Relação de transmissão (i)
( =�&
�%=
90��
50��= 1,8
EXERCÍCIO 4.3:
A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros, respectivamente:
Polia 1 (motora) = 150
Polia 2 (movida) = 270
A polia 1 (motora) atua com velocidade angular ω1 = 117π rad/s.
Determinar:
a) Período da polia 1 (�%):
�% =2�
�%=
2����
117����/= 0,017
b) Frequência da polia 1 (�%):
�% =1
�%=
1
0,017= 58,82 �
c) Rotação da polia 1 (�%):
�% = 60. �% = 60.58,82 � = 3529,2���
d) Velocidade Angular da polia 2 (�&):
21
�& =�%. �%
�&=
117.150��
270��≅ 65����/
e) Frequência da polia 2 (�&):
�& =�&
2�=
65����/
2�= 32,5 �
f) Período da polia 2 (T&):
�& =2�
�&=
2�
32,5����/= 0,0615
g) Rotação da polia 2 (�&):
�& =�%. �%
�&=
3529,2.150
270≅ 1960,7���
h) Velocidade periférica da transmissão (��):
�� = �%. �%como:�% =�%
2tem − seque:
�� =�%. �%
2=
117����/. 0,15�
2= 8,775��/ ≅ 27,55�/
i) Relação de transmissão (i)
( =�&
�%=
270��
150��= 1,8
22
EXERCÍCIO 4.4:
A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros, respectivamente:
Polia 1 (motora) = 250
Polia 2 (movida) = 450
A polia 1 (motora) atua com velocidade angular ω1 = 195π rad/s.
Determinar:
a) Período da polia 1 (�%):
�% =2�
�%=
2����
195����/= 0,010
b) Frequência da polia 1 (�%):
�% =1
�%=
1
0,010= 100 �
c) Rotação da polia 1 (�%):
�% = 60. �% = 60.100 � = 6000���
d) Velocidade Angular da polia 2 (�&):
�& =�%. �%
�&=
195.250��
450��≅ 108,4����/
e) Frequência da polia 2 (�&):
�& =�&
2�=
108,4����/
2�= 54,2 �
f) Período da polia 2 (T&):
�& =2�
�&=
2�
54,2����/= 0,0369
g) Rotação da polia 2 (�&):
23
�& =�%. �%
�&=
6000.250
450≅ 3333,4���
h) Velocidade periférica da transmissão (��):
�� = �%. �%como:�% =�%
2tem − seque:
�� =�%. �%
2=
195����/. 0,25�
2= 42,375��/ ≅ 76,54�/
i) Relação de transmissão (i)
( =�&
�%=
450��
250��= 1,8
EXERCÍCIO 5:
A transmissão por correias de um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba de água e do alternador.
Dimensões das polias:
�%= 120 mm [Motor];
�&= 90 mm [Bomba d'água];
�3= 80 mm [Alternador].
A velocidade econômica do motor ocorre a rotação de �%= 2800 rpm. Calcular:
24
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009
Polia 1 [Motor]
a) Velocidade angular (�%):
�% =�%. �%
30=
�. 2800��
30��≅ 93,33����/ ≅ 293,2���/
b) Frequência (�%):
�% =�%
2�=
93,33����/
2�= 46,665 �
Polia 2 [Bomba d’água]
c) Velocidade angular (�&):
�& =�%. �%
�&=
120��. 93,33����/
90��≅ 124,44����/ ≅ 390,94���/
d) Frequência (�&):
25
�& =�&
2�=
124,44����/
2�= 62,22 �
e) Rotação (�&):
�& = 60. �& = 60.60,22 � = 3733,2���
Polia 3 [Alternador]
f) Velocidade angular (�3):
�3 =�%. �%
�3=
120��. 93,33����/
80��≅ 140����/ ≅ 439,82���/
g) Frequência (�3):
�3 =�3
2�=
140����/
2�= 70 �
h) Rotação (�3):
�3 = 60. �3 = 60.70 � = 4200���
i) Velocidade periférica (��):
�� = �%. �% = 93,33����/. 0,06� = 5,6��/ = 17,59�/
j) Relação de transmissão ((%) [Motor/Bomba d’água]:
(% =�%
�&=
120��
90��= 1,33
k) Relação de transmissão ((&) [Motor/Alternador]:
(& =�%
�3=
120��
80��= 1,5
26
EXERCÍCIO 5.1
A transmissão por correias de um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba de água e do alternador.
Dimensões das polias:
�%= 160 mm [Motor];
�&= 120 mm [Bomba d'água];
�3= 105 mm [Alternador].
Com rotação de �%= 4800 rpm. Calcular:
Polia 1 [Motor]
a) Velocidade angular (�%):
�% =�%. �%
30=
�. 4800��
30��= 160����/ ≅ 502,65���/
b) Frequência (�%):
�% =�%
2�=
160����/
2�= 80 �
Polia 2 [Bomba d’água]
c) Velocidade angular (�&):
�& =�%. �%
�&=
160��. 160����/
120��≅ 213,4����/ ≅ 670,21���/
d) Frequência (�&):
�& =�&
2�=
213,4����/
2�= 106,7 �
27
e) Rotação (�&):
�& = 60. �& = 60.106,7 � = 6402���
Polia 3 [Alternador]
f) Velocidade angular (�3):
�3 =�%. �%
�3=
160��. 160����/
105��≅ 243,81����/ ≅ 765,95���/
g) Frequência (�3):
�3 =�3
2�=
243,81����/
2�≅ 121,9 �
h) Rotação (�3):
�3 = 60. �3 = 60.121,9 � = 7314���
i) Velocidade periférica (��):
�� = �%. �% = 160����/. 0,08� = 12,8��/ ≅ 40,21�/
j) Relação de transmissão ((%) [Motor/Bomba d’água]:
(% =�%
�&=
160��
120��= 1,33
k) Relação de transmissão ((&) [Motor/Alternador]:
(& =�%
�3=
120��
80��= 1,52
28
EXERCÍCIO 5.2
A transmissão por correias de um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba de água e do alternador.
Dimensões das polias:
�%= 100 mm [Motor];
�&= 80 mm [Bomba d'água];
�3= 75 mm [Alternador].
Com rotação de �%= 2500 rpm. Calcular:
Polia 1 [Motor]
a) Velocidade angular (�%):
�% =�%. �%
30=
�. 2500��
30��≅ 83,4����/ ≅ 261,8���/
b) Frequência (�%):
�% =�%
2�=
83,4����/
2�= 41,7 �
Polia 2 [Bomba d’água]
c) Velocidade angular (�&):
�& =�%. �%
�&=
100��. 83,4����/
80��= 104,25����/ ≅ 327,5���/
d) Frequência (�&):
�& =�&
2�=
327,5����
2�= 163,75 �
29
e) Rotação (�&):
�& = 60. �& = 60.163,75 � = 9825���
Polia 3 [Alternador]
f) Velocidade angular (�3):
�3 =�%. �%
�3=
100��. 83,4����/
75��≅ 111,2����/ ≅ 349,35���/
g) Frequência (�3):
�3 =�3
2�=
349,35����/
2�= 174,675 �
h) Rotação (�3):
�3 = 60. �3 = 60.174,675 � = 10480,5���
i) Velocidade periférica (��):
�� = �%. �% = 83,4����/. 0,05� = 4,17��/ ≅ 13,10�/
j) Relação de transmissão ((%) [Motor/Bomba d’água]:
(% =�%
�&=
100��
80��= 1,25
k) Relação de transmissão ((&) [Motor/Alternador]:
(& =�%
�3=
100��
75��= 1,33
30
EXERCÍCIO 5.3
A transmissão por correias de um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba de água e do alternador.
Dimensões das polias:
�%= 120 mm [Motor];
�&= 90 mm [Bomba d'água];
�3= 80 mm [Alternador].
Com rotação de �%= 5500 rpm. Calcular:
Polia 1 [Motor]
a) Velocidade angular (�%):
�% =�%. �%
30=
�. 5500��
30��≅ 183,4����/ ≅ 575,96���/
b) Frequência (�%):
�% =�%
2�=
183,4����/
2�= 91,7 �
Polia 2 [Bomba d’água]
c) Velocidade angular (�&):
�& =�%. �%
�&=
120��. 183,4����/
90��≅ 244,54����/ ≅ 768,24���/
d) Frequência (�&):
�& =�&
2�=
244,54����/
2�= 122,27 �
31
e) Rotação (�&):
�& = 60. �& = 60.122,27 � = 7336,2���
Polia 3 [Alternador]
f) Velocidade angular (�3):
�3 =�%. �%
�3=
120��. 183,4����/
80��= 275,1����/ ≅ 864,25���/
g) Frequência (�3):
�3 =�3
2�=
275,1����/
2�= 137,55 �
h) Rotação (�3):
�3 = 60. �3 = 60.137,55 � = 8253���
i) Velocidade periférica (��):
�� = �%. �% = 183,4����/. 0,06� ≅ 11,00��/ ≅ 34,56�/
j) Relação de transmissão ((%) [Motor/Bomba d’água]:
(% =�%
�&=
120��
90��= 1,33
k) Relação de transmissão ((&) [Motor/Alternador]:
(& =�%
�3=
120��
80��= 1,5
32
EXERCÍCIO 5.4:
A transmissão por correias de um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba de água e do alternador.
Dimensões das polias:
�%= 150 mm [Motor];
�&= 100 mm [Bomba d'água];
�3= 50 mm [Alternador].
Com rotação de �%= 3000 rpm. Calcular:
Polia 1 [Motor]
a) Velocidade angular (�%):
�% =�%. �%
30=
�. 3000��
30��= 100����/ ≅ 314,16���/
b) Frequência (�%):
�% =�%
2�=
100����/
2�= 50 �
Polia 2 [Bomba d’água]
c) Velocidade angular (�&):
�& =�%. �%
�&=
150��. 100����/
100��≅ 150����/ ≅ 471,24���/
d) Frequência (�&):
�& =�&
2�=
150����/
2�= 75 �
e) Rotação (�&):
�& = 60. �& = 60.75 � = 4500���
33
Polia 3 [Alternador]
f) Velocidade angular (�3):
�3 =�%. �%
�3=
150��. 100����/
50��= 300����/ ≅ 942,48���/
g) Frequência (�3):
�3 =�3
2�=
300����/
2�= 150 �
h) Rotação (�3):
�3 = 60. �3 = 60.150 � = 9000���
i) Velocidade periférica (��):
�� = �%. �% = 100����/. 0,03� = 3��/ ≅ 9,425�/
j) Relação de transmissão ((%) [Motor/Bomba d’água]:
(% =�%
�&=
150��
100��= 1,5
k) Relação de transmissão ((&) [Motor/Alternador]:
(& =�%
�3=
150��
50��= 3
34
EXERCÍCIO 6:
Determinar o torque do aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A
carga aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da haste é l = 200mm
Figura 1.
45 = torque [N.mm]
F = carga aplicada [N]
S = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça [m]
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 80 ∙ 100 = 16.0008 ∙ �� = 168 ∙ �
EXERCÍCIO 6.1:
Determinar o torque do aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A
carga aplicada nas extremidades da haste é F = 40N. O comprimento da haste é l = 300mm
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 40 ∙ 150 = 12.0008 ∙ �� = 128 ∙ �
EXERCÍCIO 6.2:
Determinar o torque do aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A
carga aplicada nas extremidades da haste é F = 70N. O comprimento da haste é l = 100mm
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 70 ∙ 50 = 7.0008 ∙ �� = 78 ∙ �
35
EXERCÍCIO 6.3 :
Determinar o torque do aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A
carga aplicada nas extremidades da haste é F = 90N. O comprimento da haste é l = 120mm
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 90 ∙ 60 = 10.8008 ∙ �� = 10,88 ∙ �
EXERCÍCIO 6.4:
Determinar o torque do aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A
carga aplicada nas extremidades da haste é F = 120N. O comprimento da haste é l = 500mm
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 120 ∙ 250 = 36.0008 ∙ �� = 368 ∙ �
EXERCÍCIO 7:
A partir da figura, determinar o torque de aperto (45) no parafuso da roda do automóvel. A
carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 120N, e o comprimento de cada
braço é l = 200mm.
Figura 2
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 120 ∙ 200 = 48.0008 ∙ �� = 488 ∙ �
36
EXERCÍCIO 7.1:
A partir da figura (2), determinar o torque de aperto (45) no parafuso da roda do automóvel.
A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 160N, e o comprimento de cada
braço é l = 300mm.
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 160 ∙ 300 = 96.0008 ∙ �� = 968 ∙ �
EXERCÍCIO 7.2 :
A partir da figura, determinar o torque de aperto (45) no parafuso da roda do automóvel. A
carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 160N, e o comprimento de cada
braço é l = 300mm.
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 80 ∙ 100 = 16.0008 ∙ �� = 168 ∙ �
EXERCÍCIO 7.3 :
A partir da figura, determinar o torque de aperto (45) no parafuso da roda do automóvel. A
carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 45N, e o comprimento de cada
braço é l = 130mm.
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 45 ∙ 130 = 11.7008 ∙ �� = 11,78 ∙ �
EXERCÍCIO 7.4:
A partir da figura, determinar o torque de aperto (45) no parafuso da roda do automóvel. A
carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 220N, e o comprimento de cada
braço é l = 400mm.
45 = 2 ∙ 6 ∙ 7 = 2 ∙ 200 ∙ 400 = 160.0008 ∙ �� = 1608 ∙ �
37
EXERCÍCIO 8:
A transmissão por correia da figura 3, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro
d1=10mm e a polia movida 2 de diâmetro d2=240mm. A transmissão é acionada por uma
força tangencial Ft=600N.
Determinar:
a) Torque na polia 1:
Raio da polia 1:
�% =�1
2=
100
2= 50��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �% = 600 ∙ 0,05 = 308 ∙ �
b) Torque na polia 2
Raio da polia 2:
�& =�2
2=
240
2= 120��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �2 = 600 ∙ 0,12 = 728 ∙ �
38
EXERCÍCIO 8.1:
A transmissão por correia da figura 3, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro
d1=20mm e a polia movida 2 de diâmetro d2=200mm. A transmissão é acionada por uma
força tangencial Ft=400N.
Determinar:
a) Torque na polia 1:
Raio da polia 1:
�% =�1
2=
20
2= 10��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �% = 400 ∙ 0,01 = 48 ∙ �
b) Torque na polia 2
Raio da polia 2:
�& =�2
2=
200
2= 100��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �& = 400 ∙ 0,1 = 408 ∙ �
39
EXERCÍCIO 8.2:
A transmissão por correia da figura 3, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro
d1=34mm e a polia movida 2 de diâmetro d2=180mm. A transmissão é acionada por uma
força tangencial Ft=100N.
Determinar:
a) Torque na polia 1:
Raio da polia 1:
�% =�1
2=
34
2= 17��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �% = 100 ∙ 0,017 = 1,78 ∙ �
b) Torque na polia 2
Raio da polia 2:
�& =�2
2=
180
2= 90��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �& = 100 ∙ 0,09 = 98 ∙ �
40
EXERCÍCIO 8.3:
A transmissão por correia da figura 3, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro
d1=44mm e a polia movida 2 de diâmetro d2=260mm. A transmissão é acionada por uma
força tangencial Ft=500N.
Determinar:
a) Torque na polia 1:
Raio da polia 1:
�% =�1
2=
44
2= 22��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �% = 500 ∙ 0,022 = 118 ∙ �
b) Torque na polia 2
Raio da polia 2:
�& =�2
2=
260
2= 130��
Torque na polia 2:
45 = 65 ∙ �& = 500 ∙ 0,13 = 658 ∙ �
41
EXERCÍCIO 8.4:
A transmissão por correia da figura 3, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro
d1=60mm e a polia movida 2 de diâmetro d2=600mm. A transmissão é acionada por uma
força tangencial Ft=750N.
Determinar:
a) Torque na polia 1:
Raio da polia 1:
�% =�1
2=
60
2= 30��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �% = 750 ∙ 0,03 = 22,58 ∙ �
b) Torque na polia 2
Raio da polia 2:
�& =�2
2=
600
2= 300��
Torque na polia 1:
45 = 65 ∙ �& = 750 ∙ 0,3 = 2258 ∙ �
42
EXERCÍCIO 9:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=7000N (10 pessoas).
O peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 1m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ � = 70008 ∙ 1�
= 7000@
9=A =9(@)
735,5=
7000
735,5= 9,5BC
EXERCÍCIO 9.1:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=5000N (7 pessoas). O
peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 3m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ � = 50008 ∙ 3�
= 15000@
9=A =9(@)
735,5=
15000
735,5= 20,4BC
EXERCÍCIO 9.2:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=11000N (15 pessoas).
O peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 5m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ � = 110008 ∙ 5�
= 55000@
9=A =9(@)
735,5=
55000
735,5= 74,8BC
43
EXERCÍCIO 9.3:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=3000N (4 pessoas). O
peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 2,5m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ � = 30008 ∙ 2,5�
= 7500@
9=A =9(@)
735,5=
7500
735,5= 10,2BC
EXERCÍCIO 9.4:
O elevador encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx=7500N (10 pessoas).
O peso do elevador é Pe=1 kN e o contra-peso possui a mesma carga Cp= 1 kN. Determine a
potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante V= 1,8m/s.
9:;5;< = 6=>?; ∙ � = 75008 ∙ 1,8�
= 13500@
9=A =9(@)
735,5=
13500
735,5= 18,4BC
44
EXERCÍCIO 10:
Um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso 9= = 2008. A corda e a
polia são ideais. A altura da laje é ℎ = 8�, e o tempo de subida deD = 20. Determine a
potência útil do trabalho do operador.
6;� = 6E���G(B����HGEE�H���E�
9= = 9HE��G�D�BE�BE�B�HDE
6;� = 9= = 2008
Velocidade de subida:
�I =ℎ
D=
8
20= 0,4�/
Potência util do operador:
9 = 6;� ∙ �I
9 = 2008 ∙ 0,4�
= 80@
45
EXERCÍCIO 10.1:
Um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso 9= = 1508. A corda e a
polia são ideais. A altura da laje é ℎ = 9�, e o tempo de subida de D = 25. Determine a
potência útil do trabalho do operador.
6;� = 9= = 1508
Velocidade de subida:
�I =ℎ
D=
9
25= 0,36�/
Potência util do operador:
9 = 6;� ∙ �I
9 = 1508 ∙ 0,36�
= 54@
EXERCÍCIO 10.2:
Um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso 9= = 3008. A corda e a
polia são ideais. A altura da laje é ℎ = 10�, e o tempo de subida de D = 50. Determine a
potência útil do trabalho do operador.
6;� = 9= = 3008
Velocidade de subida:
�I =ℎ
D=
10
50= 0,2�/
Potência util do operador:
9 = 6;� ∙ �I
9 = 3008 ∙ 0,2�
= 60@
46
EXERCÍCIO 10.3:
Um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso 9= = 1008. A corda e a
polia são ideais. A altura da laje é ℎ = 4,5�, e o tempo de subida de D = 30. Determine a
potência útil do trabalho do operador.
6;� = 9= = 1008
Velocidade de subida:
�I =ℎ
D=
4,5
30= 0,15�/
Potência util do operador:
9 = 6;� ∙ �I
9 = 1008 ∙ 0,4�
= 40@
EXERCÍCIO 10.4:
Um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso 9= = 508. A corda e a
polia são ideais. A altura da laje é ℎ = 20�, e o tempo de subida de D = 60. Determine a
potência útil do trabalho do operador.
6;� = 9= = 508
Velocidade de subida:
�I =ℎ
D=
20
60= 0,33�/
Potência util do operador:
9 = 6;� ∙ �I
9 = 508 ∙ 0,33�
= 16,5@
47
EXERCÍCIO 11:
Supondo que, no caso anterior, o operador seja substituido por um motor elétrico com
potência 9 = 0,25#@, determinar:
a) a velocidade de subida do concreto �I
6I = 9= = 2008
�I =9:;5;<
6IJ?KL>=
250@
2008= 1,25�/
b)o tempo de subida da lata DI:
DI =ℎ
�I=
8�
1,25�/= 6,4
EXERCÍCIO 11.1:
Supondo que, no caso anterior, o operador seja substituido por um motor elétrico com
potência 9 = 0,5#@, determinar:
a) a velocidade de subida do concreto �I
6I = 9= = 2008
�I =9:;5;<
6IJ?KL>=
500@
2008= 2,5�/
b)o tempo de subida da lata DI:
DI =ℎ
�I=
8�
2,5�/= 3,2
48
EXERCÍCIO 11.2:
Supondo que, no caso anterior, o operador seja substituido por um motor elétrico com
potência 9 = 0,7#@, determinar:
a) a velocidade de subida do concreto �I
6I = 9= = 2008
�I =9:;5;<
6IJ?KL>=
700@
2008= 3,5�/
b)o tempo de subida da lata DI:
DI =ℎ
�I=
8�
3,5�/= 2,9
EXERCÍCIO 11.3:
Supondo que, no caso anterior, o operador seja substituido por um motor elétrico com
potência 9 = 1,0#@, determinar:
a) a velocidade de subida do concreto �I
6I = 9= = 2008
�I =9:;5;<
6IJ?KL>=
1000@
2008= 5�/
b)o tempo de subida da lata DI:
DI =ℎ
�I=
8�
5�/= 1,6
49
EXERCÍCIO 11.4:
Supondo que, no caso anterior, o operador seja substituido por um motor elétrico com
potência 9 = 0,1#@, determinar:
a) a velocidade de subida do concreto �I
6I = 9= = 2008
�I =9:;5;<
6IJ?KL>=
100@
2008= 0,5�/
b)o tempo de subida da lata DI:
DI =ℎ
�I=
8�
0,5�/= 16
EXERCÍCIO 12:
Uma pessoa empurra um carrinho de supermercado, aplicando uma carga F= 150N,
deslocando-se em um percurso de S=42m, no tempo t=60s. Determine a potência para
movimentar o carrinho.
C =
D=
42
60= 0,7�/
9 = 6 M C
9 = 150 M 0,7
9 = 105@
50
EXERCÍCIO 12.1:
Qual a velocidade tangencial na extremidade da uma polia com diâmetro D=250 mm que gira
com n= 1500 RPM? Determine a potência para movimentar uma carga de massa m=300 kg?
�� =� M N M �
60=
� M 0,25 M 1500
60= 19,63�/
6 = � M O = 300 M 9,81 = 29438
9 = 6 M C = 2943 M 19,63 = 57771,09@ ≅ 57,77PQ
EXERCÍCIO 12.2:
Um veículo cujos pneus medem 500 mm de diâmetro e giram com n=1060 RPM. Em um
dado instante t, o motor que fornece torque na roda Mt=663 Nm, determine a força tangencial
na roda e determine a potência utilizada nesse instante t . (Desprezar qualquer efeito de perda).
�� =� M N M �
60=
� M 0,5 M 1060
60= 27,75�/
� =� M �
30=
� M 1060
30= 111 ��� ⁄
4D =9
�→ 663 =
9
111 ∴ 9 = 73.593@ ≅ 100BC
6D =4D
�=
663
0,25= 26528
51
EXERCÍCIO 12.3:
Um automóvel vai da cidade A para cidade B em 45 minutos. Sabendo que o diâmetro do
pneu é 500 mm e tem giro médio de 1591 RPM. Despeja 100 cv de potencia. Determine a
velocidade periférica da roda, distância entre as cidades, velocidade angular da roda e torque.
�� =� M N M �
60=
� M 0,5 M 1591
60= 41,65�/
�� =7
D→ 41,65 =
(45 M 60)∴ = 112,46P�
� =� M �
30=
� M 1591
30= 166,61 ��� ⁄
9 = 4D M � → 73550 = 4D M 166,61 ∴ 4D = 441,458�
EXERCÍCIO 12.4:
Um ciclista mantém velocidade de 30 Km/h durante uma prova. Ele aplica força F= 852N
para manter a sua velocidade. Determine a potência do ciclista e qual a distância da prova,
considerando um tempo total de 01h 24min e 03seg.
�� = 30 #� ℎ ≅ 8,33 � ⁄⁄
9 = 852 M 8,33 = 7091,16@ ≅ 9,65BC
C =
D→ 8,33 =
(60 M 60) + (24 M 60) + 3∴ = 42.008P� ≅ 42P�
52
EXERCÍCIO 13:
A transmissão por correia é acionada por um motor com potência P= 5,5kW com rotação
n=1720 RPM, chavetando a polia 1 no sistema.
�% = 120��(diâmetrodapolia1);
�& = 300��(diâmetrodapolia2);
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Determine para a transmissão:
a) velocidade angular da polia 1(�%),
�% =�. �
30=
1720. �
30= 180,12 ��� ⁄
b) frequência da polia 1(�%),
�% =�%
60=
1720
60= 28,67 �
A rotação da polia 1 �% é a mesma rotação do motor n = 1720rpm, poia a polia encontra-se
chavetando ao eixo-árvore do motor.
c) torque da polia 1(4D%),
4D% =9
�=
5500
180,12= 30,568�
53
d) Velocidade angular da polia (�&):
�& =�1
�2. �% =
0,12
0,3∙ 180,12 = 72,05 ��� ⁄
e) frequência da polia 2 (�&),
�& =�&
2�=
72,05
2�= 11,47 �
f) rotação da polia 2(�&),
�& = 60. �2 = 60.11,47 = 688���
g) torque da polia 2(4D&),
4D& =9
�&=
5500
72,05= 76,338�
h) relação de transmissão (i),
( =�2
�1=
0,3
0,12= 2,5
i) velocidade periférica da transmissão (Vp):
��% = �%. �% = 180,12 ∙ 0,06 = 10,81 � ⁄
j) força tangencial (Ft).
6D → 6D% = 6D&
6D =4D%
�%=
30,56
0,06= 509,348
54
EXERCÍCIO 13.1:
A transmissão por correias, representada na figura abaixo é acionada pela polia 1 por um
motor elétrico com potência P e rotação �% =3000 rpm.
�% = 150��(diâmetrodapolia1);
�& = 450��(diâmetrodapolia2);
Determine:
a) potência para que o conjunto desenvolva força tangencial de 1000 N:
�% =� ∙ �
30=
3000 ∙ �
30= 314,16 ��� ⁄
6D =�%
�%→ 1000 =
4D%
0,075∴ 4D% = 758�
4D% =9
�%→ 75 =
9
314,16∴ 9 = 23562@ ≅ 23,56
b) rotação da polia 2:
�& =�1
�2∙ �% =
0,15
0,45∙ 314,16 = 104,72 ��� ⁄
c) relação da transmissão:
( =�2
�1=
0,45
0,15= 3
d) velocidade periférica do conjunto:
��1 = ��2
��1 = �1 M �1 = 314,16 M 0,075 = 23,56 � ⁄
55
EXERCÍCIO 13.2:
A transmissão por correias, representada na figura, é acionada pela polia 1 por um motor
elétrico com potência P=7,5 kW (10cv) e rotação �% = 1140���.
As polias possuem respectivamente, os seguintes diâmetros 120 mm e 220 mm.
Determine:
a) velocidade angular polia 1 (�%):
�% =� ∙ �
30=
1140 ∙ �
30= 119,38 ��� ⁄
b) frequência polia 1 (�%):
�% =�%
60=
1140
60= 19 �
c) torque polia 1 (4D%):
4D% =9
�%=
7500
119,38= 62,848�
d) velocidade angular polia 2 (�&):
�& =�1
�2∙ �% =
0,12
0,22∙ 119,38 = 65,12 ��� ⁄
e) frequência polia 2 (�&):
�& =�&
2�=
65,12
2�= 10,36 �
f) rotação polia 2 (�&):
�& = 60 ∙ �& = 60 ∙ 10,36 = 621,6���
g) torque polia 2 (4D&):
4D& =9
�&=
7500
65,12= 115,178�
h) velocidade da correia (��):
�� → ��% = ��&
��& = �& ∙ �& = 65,12 ∙ 0,11 = 7,16 � ⁄
56
i) força tangencial na correia (Ft):
6D → 6D% = 6D&
6D =4D&
�&=
115,17
0,11= 10478
j) relação da transmissão (i):
( =�2
�1=
0,22
0,12= 1,83
EXERCÍCIO 13.3:
A transmissão por correias, representada pela figura, é acionada pela polia 1 por um motor
elétrico com potência P=7,5 KW (10cv) e rotação n1=2000 RPM.
a) velocidade angular polia 1(�%):
�% =� ∙ �
30=
1140 ∙ �
30= 119,38 ��� ⁄
b) frequência polia 1 (�%):
�% =�%
60=
1140
60= 19 �
c) torque polia 1 (4D%):
4D% =9
�%=
7500
119,38= 62,848�
57
d) velocidade angular polia 2 (�&):
�& =�1
�2∙ �% =
0,15
0,35∙ 119,38 = 51,16 ��� ⁄
�3 = �&
e) frequência polia 2 e 3 (�&H�3):
�2 =�&
2�=
51,16
2�= 8,14 �
�3 = �&
f) rotação polia 2 e 3 (�&H�3):
�& = 60 ∙ �& = 60 ∙ 8,14 = 488,4���
�3 = �2
g) torque polia 2 e 3 (4D&H4D3):
4D& =9
�&=
7500
51,16= 146,68�
4D& = 4D3
h) velocidade das correias (��):
��% = ��&
��& = �& ∙ �& = 51,16 ∙ 0,175 = 8,95 � ⁄
��3 = �3 ∙ �3 = 51,16 ∙ 0,05 = 2,56 � ⁄
��3 = ��^
i) força tangencial nas correias (6B):
6B% → 6D% = 6D&
6B% =4D&
�&=
146,6
0,175= 837,718
6B& → 6D3 = 6D^
58
6B& =4D3
�3=
146,6
0,05= 29328
j) diâmetro polia 4:
�^ =� ∙ �
30=
100 ∙ �
30= 10,47 ��� ⁄
�^ =�3
�^∙ �3 → 10,47 =
0,1
�4∙ 51,16 ∴ �^ = 0,488�
EXERCÍCIO 13.4:
A esquematização da figura representa um motor a combustão para automóvel, que aciona
simultaneamente as polias da bomba d’água e do alternador. As curvas de desempenho do
motor representam para o torque máximo a potência P=35,3 KW(48cv) atuando com rotação
n=2000 rpm. Determine para a condição de torque máximo:
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Determine:
a) velocidade angular polia motor:
�% =� ∙ �
30=
2000 ∙ �
30= 209,45 ��� ⁄
59
b) frequência polia motor:
�% =�%
60=
2000
60= 33,33 �
c) torque polia motor:
4D% =9
�%=
35300
209,45= 168,58�
d) velocidade angular polia bomba:
�& =�1
�2∗ �% =
0,12
0,09∙ 209,45 = 279,27 ��� ⁄
e) frequência polia bomba,
�& =�&
2 ∙ �=
279,27
2 ∙ �= 44,445 �
f) rotação polia bomba,
�& = �& ∙ 60 = 44,445 M 60 = 2666,7���
g) torque polia bomba:
4D& =9
�&=
35300
279,27= 126,48�
h) velocidade angular polia alternador:
�3 =�1
�3∙ �1 =
0,12
0,08∙ 209,45 = 314,175 ��� ⁄
i) frequência polia alternador:
�3 =�3
2 ∙ �=
314,175
2 ∙ �= 50 �
j) rotação polia alternador:
�& = �& ∙ 60 = 50 ∙ 60 = 3000���
k) torque polia alternador,
4D3 =9
�3=
35300
314,175= 112,358�
60
l) relação de transmissão (% (motor/bomba d’água):
(% =�1
�2=
0,12
0,09= 1,33
m) relação de transmissão (& (motor/alternador):
(& =�1
�3=
0,12
0,08= 1,5
n) força tangencial:
65 = 4D%
�%=
168,58�
0,06�≅ 28088
o) velocidade periférica.
��% = ��& = ��3
��% = �% ∙ �% = 209,45 ∙ 0,06 = 12,56 � ⁄
EXERCÍCIO 14:
A transmissão por engrenagens é acionada por meio do pinhão 1 acoplado a um motor elétrico
4 polos, com potência P=15kW (20cv) e rotação n=1720 rpm.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009
61
Determine;
a) velocidade angular engrenagem 1:
�% =� ∙ �
30=
1720 ∙ �
30= 180,12 ��� ⁄
b) frequência polia engrenagem 1:
�% =�%
2 ∙ �=
180,12
2 ∙ �= 28,68 �
c) torque engrenagem 1:
4D% =9
�%=
15000
180,12= 83,288�
d) velocidade angular engrenagem 2:
�& =`1
`2∙ �% =
24
73∙ 180,12 = 59,21 ��� ⁄
e) frequência engrenagem 2:
�& =�&
2 ∙ �=
59,21
2 ∙ �= 9,42 �
f) rotação engrenagem 2:
�& = �& ∙ 60 = 9,42 ∙ 60 = 565���
g) torque engrenagem 2:
4D& =9
�&=
15000
59,21= 253,338
h) velocidade periférica:
�1 = � ∙ `1 = 4 ∙ 24 = 96��
��% = ��&
��% = �% ∙ �% = 180,12 ∙ 0,048 = 8,64 � ⁄
62
i) força tangencial:
6D =2 ∙ 4D%
�1=
2 ∙ 4D&
�2
6D =2 ∙ 4D%
�1=
2 ∙ 83,28
0,096= 17358
j) relação da transmissão.
( =`2
`1=
73
24= 3,04
EXERCÍCIO 14.1:
Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos de módulo m = 6 mm estão engrenadas,
montadas em dois eixos paralelos que têm uma distância entre centros de 288mm. Sabendo
que a relação de transmissão entre as engrenagens é 3/1, determine os números de dentes
dessas engrenagens:
�% =�%
�%→ 6 =
�%
�%∴ �% = 6 ∙ �%
�& =�&
�&→ 6 =
�&
�&∴ �& = 6 ∙ �&
( =�%
�&→
3
1=
�%
�& ∴ �% = 3�&
(�% + �&)
2= 288��
6 ∙ �% + 6 ∙ �& = 288 ∙ 2
6 ∙ (3 ∙ �&) + 6 ∙ �& = 576
24 ∙ �& = 576
63
�& = 24
�% = 3�&
�% = 72
EXERCÍCIO 14.2:
Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos de módulo m = 5 mm estão engrenadas,
montadas em dois eixos paralelos que têm uma distância entre centros de 300mm. Sabendo
que a relação de transmissão entre as engrenagens é 3/1, determine os números de dentes
dessas engrenagens:
�% =�%
�%→ 5 =
�%
�%∴ �% = 5 ∙ �%
�& =�&
�&→ 5 =
�&
�&∴ �& = 5 ∙ �&
( =�%
�&→
3
1=
�%
�& ∴ �% = 3�&
(�% + �&)
2= 300��
5 ∙ �% + 5 ∙ �& = 300 ∙ 2
5 ∙ (3 ∙ �&) + 5 ∙ �& = 600
20 ∙ �& = 600
�& = 30
�% = 3�&
�% = 90
64
EXERCÍCIO 14.3:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (P) e
rotação (n) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes características.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Dimensões das polias:
N%= mm;
N&= mm;
Os números de dentes das engrenagens são:
`%= Número de dentes engrenagem 1;
`&= Número de dentes engrenagem 2;
`3= Número de dentes engrenagem 3;
`^= Número de dentes engrenagem 4;
Os rendimentos são:
�a = (Transmissãoporengrenagens);
�: = ePardemancais(Rolamentos)h;
�= = (Transmissãoporcorreia);
Determinar para transmissão:
A) Potência útil nas árvores I, II e III:
65
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ �:e@h
Árvore II
9u&=9u%∙�a∙�: [W]
Árvore III
9u3 = 9u& ∙ �a∙�:e@h
B) Potência dissipada/estágio:
1º Estágio (motor/árvore I)
9d% = 9:;5;< − 9u%e@h
2º Estágio (árvore II/árvore III)
9d& = 9u% − 9u&e@h
3º Estágio (árvore II/árvore III)
9d3 = 9u& − 9u3e@h
C) Rotação nas árvores I, II e III:
Rotação árvore I
�% = �:;5;<e���h
Rotação árvore II
�& =� ∙ �%
�&e���h
Rotação árvore III
�3 =�%
�&M
�3
�^e���h
D) Torque nas árvores I, II e III:
66
Árvore I
4D% =9u%
�%=
30 ∙ 9u%
� ∙ �%e8�h
Árvore II
4t& =9u&
�&=
30 ∙ 9u&
� ∙ �&e8�h
Árvore III
4t3 =9u3
�3=
30 ∙ 9u3
� ∙ �3e8�h
E) Potência útil do sistema:
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 9I>íL> [W]
F) Potência dissipada do sistema:
9dIKI5 = 9:;5;< − 9u3 [W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
G) Rendimento da transmissão:
j =9I>íL>
9ak5<>L>=
9uIKI5
95;5>l
67
EXERCÍCIO 14.4:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (5,5
kW) e rotação (1740 rpm) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes
características.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Dimensões das polias:
N%=120 mm;
N&=280 mm;
Os números de dentes das engrenagens são:
�%mNúmero de dentes engrenagem 28;
�&= Número de dentes engrenagem 49;
�3= Número de dentes engrenagem 27;
�^= Número de dentes engrenagem 59;
Os rendimentos são:
�a = 0,98(Transmissãoporengrenagens);
�: = 0,99ePardemancais(Rolamentos)h;
�= = 0,97(Transmissãoporcorreia − V);
Determinar para transmissão:
68
A) Potência útil nas árvores I, II e III:
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ �:e@h
9u = 9:;5;< ∙ �: ∙ �=
9u = 5500 ∙ 0,97 ∙ 0,99
9u = 5280@
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ �= ∙ �a ∙ �²: [W]
9u&=5500 ∙ 0,97 ∙ 0,98 ∙ 0,99²
9u&=5120@
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ �= ∙ �²a ∙ �3:e@h
9u3 = 5500 ∙ 0,97 ∙ 0,98² ∙ 0,99³
9u3 = 4970Q
B) Potência dissipada/estágio:
1º Estágio (motor/árvore I)
9d% = 9:;5;< − 9u%e@h
9d% = 5500 − 5280
9d% = 220@
2º Estágio (árvore II/árvore III)
9d& = 9u% − 9u&e@h
9d& = 5280 − 5120
9d& = 160@
69
3º Estágio (árvore II/árvore III)
9d3 = 9u& − 9u3e@h
9d3 = 5120 − 4970
9d3 = 150@
C) Rotação nas árvores I, II e III:
Rotação árvore I
�% =�:;5;< ∙ �%
�&e���h
�% =1740 ∙ 120
280
�% = 748q94
Rotação árvore II
�& =� ∙ �% ∙ �%
�& ∙ �&e���h
�& =5500 ∙ 120 ∙ 23
280 ∙ 49
�& = 350���
Rotação árvore III
�3 =k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv [rpm]
�3 =1740 ∙ 120 ∙ 23 ∙ 27
280 ∙ 49 ∙ 59
�3 = 160���
70
D) Torque nas árvores I,II e III:
Árvore I
4t% =9u%
�%=
30 ∙ 9u%
� ∙ �%e8�h
4t% =30 ∙ 5280
� ∙ 746
4t% = 688�
Árvore II
4t& =9u&
�&=
30 ∙ 9u&
� ∙ �&e8�h
4t& =30 ∙ 5120
� ∙ 350
4t& = 1408�
Árvore III
4t3 =9u3
�3=
30 ∙ 9u3
� ∙ �3e8�h
4t3 =30 ∙ 4970
� ∙ 160
4t3 = 2978�
E) Potência útil do sistema:
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 9I>íL> [W]
9uIKI5 = 4970@
F) Potência dissipada do sistema:
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 5500 − 4970
9dIKI5 = 530@
71
G) Rendimento da transmissão:
j =9I>íL>
9ak5<>L>=
9uIKI5
95;5>l
j =4970
5550
j = 0,9
EXERCÍCIO 15:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (7,2
kW) e rotação (1200 rpm) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes
características.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Dimensões das polias:
N%=100 mm;
N&=250 mm;
Os números de dentes das engrenagens são:
`%= Número de dentes engrenagem 30;
`&= Número de dentes engrenagem 52;
`3= Número de dentes engrenagem 25;
`^= Número de dentes engrenagem 70;
72
Os rendimentos são:
�a = 0,98(Transmissãoporengrenagens);
�: = 0,99ePardemancais(Rolamentos)h;
�: = 0,97(Transmissãoporcorreia − V);
Determinar para transmissão:
A) Potência útil nas árvores I, II e III:
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ �:e@h
9u = 9:;5;< ∙ �: ∙ �=
9u = 7200 ∙ 0,97 ∙ 0,99
9u = 6914@
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ �= ∙ �a ∙ �&: [W]
9u&=7200 ∙ 0,97 ∙ 0,98 ∙ 0,99²
9u&=6708@
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ �= ∙ �²a ∙ �3:e@h
9u3 = 7200 ∙ 0,97 ∙ 0,98² ∙ 0,99³
9u3 = 6508@
73
B) Potência dissipada/estágio:
1º Estágio (motor/árvore I)
9d% = 9:;5;< − 9u%e@h
9d% = 7200 − 6914
9d% = 286@
2º Estágio (árvore II/árvore III)
9d& = 9u% − 9u&e@h
9d& = 6914 − 6708
9d& = 206@
3º Estágio (árvore II/árvore III)
9d3 = 9u& − 9u3e@h
9d3 = 6708 − 6508
9d3 = 200@
C) Rotação nas árvores I, II e III:
Rotação árvore I
�% =�:;5;< ∙ �%
�&e���h
�% =1200 ∙ 100
250
�% = 480���
Rotação árvore II
�& =� ∙ �% ∙ �%
�& ∙ �&e���h
�& =1200 ∙ 100 ∙ 30
250 ∙ 52
�& = 277���
74
Rotação árvore III
�3 =k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv [rpm]
�3 =1200 ∙ 100 ∙ 30 ∙ 25
250 ∙ 52 ∙ 70
�3 = 99���
D) Torque nas árvores I,II e III:
Árvore I
4t% =9u%
�%=
30 ∙ 9u%
� ∙ �%e8�h
4t% =30 ∙ 6914
� ∙ 480
4t% = 137,58�
Árvore II
4t& =9u&
�&=
30 ∙ 9u&
� ∙ �&e8�h
4t& =30 ∙ 6708
� ∙ 277
4t& = 2318�
Árvore III
4t3 =9u3
�3=
30 ∙ 9u3
� ∙ �3e8�h
4t3 =30 ∙ 6508
� ∙ 99
4t3 = 627,78�
E) Potência útil do sistema:
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 9I>íL> [W]
9uIKI5 = 6508@
75
F) Potência dissipada do sistema:
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 7200 − 6508
9dIKI5 = 692@
G) Rendimento da transmissão:
j =9I>íL>
9ak5<>L>=
9uIKI5
95;5>l
j =6508
7200
j = 0,903
EXERCÍCIO 15.1:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (9,3
kW) e rotação (1500 rpm) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes
características.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Dimensões das polias:
N%=200 mm;
N&=100 mm;
76
Os números de dentes das engrenagens são:
`%= Número de dentes engrenagem 15;
`&= Número de dentes engrenagem 30;
`3= Número de dentes engrenagem 45;
`^= Número de dentes engrenagem 90;
Os rendimentos são:
�a = 0,98(Transmissãoporengrenagens);
�: = 0,99ePardemancais(Rolamentos)h;
�= = 0,97(Transmissãoporcorreia − V);
Determinar para transmissão:
A) Potência útil nas árvores I, II e III:
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ �:e@h
9u = 9:;5;< ∙ �: ∙ �=
9u = 9300 ∙ 0,97 ∙ 0,99
9u = 8930,8@
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ �= ∙ �a ∙ �&: [W]
9u&=9300 ∙ 0,97 ∙ 0,98 ∙ 0,99²
9u&=8664,65@
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ �= ∙ �²a ∙ �3:e@h
9u3 = 9300 ∙ 0,97 ∙ 0,98² ∙ 0,99³
9u3 = 8406,4@
77
B) Potência dissipada/estágio:
1º Estágio (motor/árvore I)
9d% = 9:;5;< − 9u%e@h
9d% = 9300 − 8930,8
9d% = 369,2@
2º Estágio (árvore II/árvore III)
9d& = 9u% − 9u&e@h
9d& = 8930,8 − 8664,65
9d& = 266,2@
3º Estágio (árvore II/árvore III)
9d3 = 9u& − 9u3e@h
9d3 = 8664,65 − 8406,4
9d3 = 258,2@
C) Rotação nas árvores I, II e III:
Rotação árvore I
�% =�:;5;< ∙ �%
�&e���h
�% =1500 ∙ 200
100
�% = 3000���
Rotação árvore II
�& =� ∙ �% ∙ �%
�& ∙ �&e���h
�& =1500 ∙ 200 ∙ 15
100 ∙ 30
�& = 1500���
78
Rotação árvore III
�3 =k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv [rpm]
�3 =1500 ∙ 200 ∙ 15 ∙ 45
100 ∙ 30 ∙ 90
�3 = 750���
D) Torque nas árvores I, II e III:
Árvore I
4t% =9u%
�%=
30 ∙ 9u%
� ∙ �%e8�h
4t% =30 ∙ 8930,8
� ∙ 3000
4t% = 28,438�
Árvore II
4t& =9u&
�&=
30 ∙ 9u&
� ∙ �&e8�h
4t& =30 ∙ 8664,65
� ∙ 1500
4t& = 55,168�
Árvore III
4t3 =9u3
�3=
30 ∙ 9u3
� ∙ �3e8�h
4t3 =30 ∙ 8406,4
� ∙ 750
4t3 = 1078�
79
E) Potência útil do sistema:
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 9I>íL> [W]
9uIKI5 = 8406,4@
F) Potência dissipada do sistema:
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 9300 − 8406,4
9dIKI5 = 893,6@
G) Rendimento da transmissão:
j =9I>íL>
9ak5<>L>=
9uIKI5
95;5>l
j =8406,4
9300
j = 0,903
80
EXERCÍCIO 15.2:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (3
kW) e rotação (1500 rpm) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes
características.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Dimensões das polias:
N%=100 mm;
N&=300 mm;
Os números de dentes das engrenagens são:
`%= Número de dentes engrenagem 15;
`&= Número de dentes engrenagem 30;
`3= Número de dentes engrenagem 45;
`^= Número de dentes engrenagem 90;
Os rendimentos são:
�a = 0,92(Transmissãoporengrenagens);
�: = 0,98ePardemancais(Rolamentos)h;
�= = 0,98(Transmissãoporcorreia − V);
81
Determinar para transmissão:
A) Potência útil nas árvores I, II e III:
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ �:e@h
9u = 9:;5;< ∙ �: ∙ �=
9u = 3000 ∙ 0,98 ∙ 0,98
9u = 2881,2@
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ �= ∙ �a ∙ �&: [W]
9u&=3000 ∙ 0,98 ∙ 0,92 ∙ 0,98²
9u&=2597,7@
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ �= ∙ �²a ∙ �3:e@h
9u3 = 3000 ∙ 0,98 ∙ 0,92² ∙ 0,98³
9u3 = 2342@
B) Potência dissipada/estágio:
1º Estágio (motor/árvore I)
9d% = 9:;5;< − 9u%e@h
9d% = 3000 − 2881,2
9d% = 118,8@
2º Estágio (árvore II/árvore III)
9d& = 9u% − 9u&e@h
9d& = 2881,2 − 2597,7
9d& = 283,5@
82
3º Estágio (árvore II/árvore III)
9d3 = 9u& − 9u3e@h
9d3 = 2591,7 − 2342
9d3 = 255,7@
C) Rotação nas árvores I, II e III:
Rotação árvore I
�% =�:;5;< ∙ �%
�&e���h
�% =1500 ∙ 100
300
�% = 500���
Rotação árvore II
�& =� ∙ �% ∙ �%
�& ∙ �&e���h
�& =1500 ∙ 100 ∙ 15
300 ∙ 30
�& = 250���
Rotação árvore III
�3 =k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv [rpm]
�3 =1500 ∙ 100 ∙ 15 ∙ 45
300 ∙ 30 ∙ 90
�3 = 125���
83
D) Torque nas árvores I,II e III:
Árvore I
4t% =9u%
�%=
30 ∙ 9u%
� ∙ �%e8�h
4t% =30 ∙ 2881,2
� ∙ 500
4t% = 55,028�
Árvore II
4t& =9u&
�&=
30 ∙ 9u&
� ∙ �&e8�h
4t& =30 ∙ 2591,7
� ∙ 250
4t& = 98,998�
Árvore III
4t3 =9u3
�3=
30 ∙ 9u3
� ∙ �3e8�h
4t3 =30 ∙ 2342
� ∙ 125
4t3 = 178,98�
E) Potência útil do sistema:
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 9I>íL> [W]
9uIKI5 = 2342@
F) Potência dissipada do sistema:
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 3000 − 2342
9dIKI5 = 658@
84
G) Rendimento da transmissão:
j =9I>íL>
9ak5<>L>=
9uIKI5
95;5>l
j =2342
3000
j = 0,78
EXERCÍCIO 15.3:
A transmissão por engrenagem da figura é composta por um motor elétrico com potência (1,5
kW) e rotação (750 rpm) acoplado a uma transmissão por engrenagem com as seguintes
características.
FONTE: MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica.
Ano 2009.
Dimensões das polias:
N%=100 mm;
N&=500 mm;
Os números de dentes das engrenagens são:
`%= Número de dentes engrenagem 90;
`&= Número de dentes engrenagem 45;
`3= Número de dentes engrenagem 30;
`^= Número de dentes engrenagem 15;
85
Os rendimentos são:
�a = 0,92(Transmissãoporengrenagens);
�: = 0,98ePardemancais(Rolamentos)h;
�= = 0,98(Transmissãoporcorreia − V);
Determinar para transmissão:
A) Potência útil nas árvores I, II e III:
Árvore I
9u = 9:;5;< ∙ �:e@h
9u = 9:;5;< ∙ �: ∙ �=
9u = 1500 ∙ 0,98 ∙ 0,98
9u = 1440,6@
Árvore II
9u&=9:;5;< ∙ �= ∙ �a ∙ �&: [W]
9u&=1500 ∙ 0,98 ∙ 0,92 ∙ 0,98²
9u&=1298,8@
Árvore III
9u3 = 9:;5;< ∙ �= ∙ �²a ∙ �3:e@h
9u3 = 1500 ∙ 0,98 ∙ 0,92² ∙ 0,98³
9u3 = 1171@
B) Potência dissipada/estágio:
1º Estágio (motor/árvore I)
9d% = 9:;5;< − 9u%e@h
9d% = 1500 − 1440,6
9d% = 59,94@
86
2º Estágio (árvore II/árvore III)
9d& = 9u% − 9u&e@h
9d2 = 1440,6 − 1298,8
9d2 = 141,26@
3º Estágio (árvore II/árvore III)
9d3 = 9u& − 9u3e@h
9d3 = 1298,8 − 1171
9d3 = 127,8@
C) Rotação nas árvores I, II e III:
Rotação árvore I
�% =�:;5;< ∙ �%
�&e���h
�% =750 ∙ 100
500
�% = 150���
Rotação árvore II
�& =� ∙ �% ∙ �%
�& ∙ �&e���h
�& =750 ∙ 100 ∙ 90
500 ∙ 45
�& = 300���
Rotação árvore III
�3 =k∙Lr∙sr∙st
Lu∙su∙sv [rpm]
�3 =750 ∙ 100 ∙ 90 ∙ 30
500 ∙ 45 ∙ 15
�3 = 600���
87
D) Torque nas árvores I,II e III:
Árvore I
4t% =9u%
�%=
30 ∙ 9u%
� ∙ �%e8�h
4t% =30 ∙ 1440,6
� ∙ 150
4t% = 91,78�
Árvore II
4t& =9u&
�&=
30 ∙ 9u&
� ∙ �&e8�h
4t& =30 ∙ 1298,8
� ∙ 300
4t& = 41,348�
Árvore III
4t3 =9u3
�3=
30 ∙ 9u3
� ∙ �3e8�h
4t3 =30 ∙ 1171
� ∙ 600
4t3 = 18,648�
E) Potência útil do sistema:
9uIKI5 = 9u3 [W]
9uIKI5 = 9I>íL> [W]
9uIKI5 = 1171@
F) Potência dissipada do sistema:
9dIKI5 = 9:;5;< − 9w3[W]
9dIKI5 = 9:;5;< − 9I>íL> [W]
9dIKI5 = 1500 − 1171
9dIKI5 = 329@
88
G) Rendimento da transmissão:
j =9I>íL>
9ak5<>L>=
9uIKI5
95;5>l
j =1171
1500
j = 0,78
EXERCICIO 16
A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por meio do pinhão 1
acoplado a um motor elétrico de IV polos de potência P=15kW e rotação n= 1720rpm.
As características das engrenagens são:
Pinhão (engrenagem 1); = 24 dentes (número de dentes); m= 4mm (módulo);
Coroa (engrenagem 2); = 73 dentes (número de dentes); m= 4mm (módulo);
Determinar para a transmissão:
Engrenagem 1 [Pinhão];
Pinhão 1
A) Velocidade angular )( 1ωωωω
srad33,57
30
1720.
o3
n.11
11 ππππωωωωππππωωωω
ππππωωωω =⇒=⇒=
89
B) Freqüência )f( 1
Hz66,28f2
33,57f
2f 11
11 =⇒=⇒=
ππππππππ
ππππωωωω
C) Torque )M( 1T
m.N33,83M1720
15000.
30M
n
P.
30M 1T1T1T =⇒=⇒=
ππππππππ
Coroa 2
D) Velocidade angular )( 2ωωωω
srad849,18
30
47,565.
30
n.11
11 ππππωωωωππππωωωω
ππππωωωω =⇒=⇒=
E) Freqüência )f( 2
Hz42,9f2
849,18f
2f 22
22 =⇒=⇒=
ππππππππ
ππππωωωω
F) Rotação )n( 2
RPM47,565n73.n24.1720z.nz.n 222211 =⇒=⇒=
G) Torque )M( 2T
m.N43,253M47,565
15000.
30M
n
P.
30M 2T2T2T =⇒=⇒=
ππππππππ
H) Velocidade periférica PV( )
sm751,2V
21000
4.24
.33,57V
21000
M.z
.33,57V
r.V
P
P
1
P
1P
ππππ
ππππ
ππππ
ωωωω
=
=
=
=
90
I)Força tangencial )F( T
48r2
4.24r
2
M.zr 1 =⇒=⇒=
N4,1735Fm.N735,1F48
3,83F
r
MF TTT
TT =⇒=⇒=⇒=
J) Relação de transmissão (i)
04,3i24
73i
z
zi
1
2 =⇒=⇒=
91
3. CONCLUSÃO Vimos que a metodologia adotada pelo professor Paulo Lagos, é bem interessante uma vez
que incentiva o aluno a criar seus próprios exercícios para obter a nota bimestral. É uma
metodologia mais didática, que se bem praticada pelo aluno com certeza agrega mais valor ao
estudo, do que somente “estudar para provas”.
92
REFERÊNCIAS
Autor desconhecido. Calculando RPM. Disponível em:
<http://www.essel.com.br/cursos/material/01/CalculoTecnico/aula8b.pdf>. Acesso em: 20 set.
2015.
LINO, Paulo Sérgio Costa. Polias, Correias e Transmissão de Potência. 2013. Disponível
em: <http://blogdaengenharia.com/wp- content/uploads/2013/05/PoliaseCorreias.pdf>.
Acesso em: 13 set. 2015.
MELCONIAN. SARKIS: Elementos de Máquinas – 9 Ed. Revisada. Editora Érica. Ano 2009.
SARDÁ, Alexandre Augusto Pescador. TRENS DE ENGRENAGENS TRENS DE
ENGRENAGENS. Disponível em: <http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM129/Prof.
Pescador/Trens de engrenagem.pdf>. Acesso em: 20 set. 2015.
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