lista 1 - ii unidade
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Álgebra Linear Prof. Henrique Plínio hpsantos2@gmail.com
FAMEC Faculdade Metropolitana de Camaçari
Engenharias - Ciclo Básico
1. Dados os espaços vetoriais V abaixo verifique, em cada caso, se S é subespaço vetorial de V
sobre R.
a) b) V =
a.1) S = {(x,y) V; y = 3x} b.1) S = {(x,y,z) V; x+y+z=1}
a.2) S = {(x,y) V; y = -2x+1} b.2) S = {(x,y,z) V; x = 2y+z }
a.3) S = {(x,y) V; y = b.3) S = {(x,y,z) V; xz = 0}
a.4) S = {(x,y) V; y = x2} b.4) S = {(x,y,z) V, y 0}
c) V =
c.1) S =
c.2) S =
c.3) S =
c.4) S =
2. Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de u = (0,-2,2) e v = ( 1,3,-1)?
a) (2,2,2) b) (3,1,5) c) (0,4,5) d) (0,0,0)
3. Expresse, se possível, os seguintes vetores como combinações lineares de u = (2,1,4)
v = (1,-1,3) e w = (3,2,5).
a) (-9, -7, -15) b) (6,11,6) c) (0,0,0) d) (7.8.9)
4. Expresse os seguintes vetores como combinações lineares dos vetores p1 = 2 + x + 4x2,
p2 = 1 – x + 3x2 e p3 = 3 + 2x + 5x
2.
a) - 9 – 7x – 15x2 b) 6 + 11x + 6x
2 c) 0 d) 7 + 8x + 9x
2
Docente: Henrique Plinio Disciplina: Álgebra Linear 2013.1
Discente: Carga Horária: 80 horas
Lista 1 II Unidade
Álgebra Linear Prof. Henrique Plínio hpsantos2@gmail.com
5. Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de A =
, B =
e
C =
?
a)
b)
c)
d)
6. Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos do conjunto S,
sendo:
a)
b) v = (2,7) e S = {(1,0), (2,9)}
c) v = (0,0,3) e S = {(2,00),(0,1,0)}
d) v = (4, 5, -1) e S = {(1,1,1),(1,2,0),(2,3,-1)}
e)
7. Sejam os vetores u = (2,-3,2) e v = (-1,2,4) em
a) Escreva o vetor w = (7,-11,2) como combinação linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor (-8, 14, k) é combinação linear de u e v?
c) Determinar uma condição entre a, b, e c para que o vetor (a,b,c) seja uma combinação linear
de u e v.
8. Consideremos no espaço P2 = {at2 + bt + c/ a, b, c } os vetores p1 = t
2 – 2t +1, p2 = t + 2
e p3 = 2t2 – t.
a) Escrever o vetor p = 5t2 – 5t + 7 como combinação linear de p1,p2 e p3.
b) Escrever o vetor p = = 5t2 – 5t + 7 como combinação linear de p1 e p2.
c) Determinar uma condição para a, b, e c de modo que o vetor at2 + bt + c seja combinação
linear de p2 e p3.
9. Considere os vetores
.
Álgebra Linear Prof. Henrique Plínio hpsantos2@gmail.com
a) Escreva
como combinação linear de . Esta combinação linear é
única?
b) Escreva u como combinação linear de Esta combinação linear é única?
c) Verifique se
pode ser escrito como uma combinação linear de ?
10. Mostre que os vetores = (2,1) e = (1,1) geram o
11. Mostre que os vetores = (1,1,1), = (0,1,1) e = (0,0,1) geram o .
12. Seja S o subespaço do definido por:
S = { (x,y,z,t)
Pergunta-se:
a) (-1, 2, 3,0)
b) (3,1,4.0)
c) (-1, 1, 1,1)
13. Determinar os subespaços do gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2,-1,3)}
b) A = {(-1, 3,2), (2,-2,1)}
c) A = {(1,0,1), (0,1,1), (-1,1,0)}
d) A = {(-1, 1,0), (0, 1, -2), (-2, 3,1)}
e) A = {(1, 2, -1), (-1, 1,0), (-3, 0,1), (-2, -1,1)}
f) A = {(1, 2, -1), (-1, 1,0), (0,0,2), (-2,1,0)}
14. Em cada parte, determine se os vetores dados geram o .
a) = (2,2,2), (0,0,3) e (0,1,1)
b) = (2,-1,3), (4,1,2) e (8,-1,8)
c) = (3,1,4), (2,-3,5) , (5,-2,9) e (1,4,-1)
d) = (1,2,6), (3,4,1) , (4,3,1) e (3,3,1)
15. Seja o conjunto A = { }, sendo = (-1, 3, -1) e = (1,-2,4) . Determinar:
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a) O subespaço G(A).
b) O valor de k para que o vetor v = (5,k,11) pertença a G(A).
16. Sejam os vetores = (1,1,1), = (1,2,0) e = (1,3,-1). Se (3,-1,k) [ ], qual o
valor de k?
17. Determinar os subespaços de (espaço vetorial dos polinômios de grau 2) gerados pelos
seguintes vetores:
a)
b)
c)
18. Seja o espaço vetorial . Determinar seus subespaços gerados pelos vetores
a)
b)
19. Determinar o subespaço de gerado pelos vetores u = (2,-1,1,4), v = (3,3,-3,6) e w =
(0,4,-4,0).
20. Verificar se o vetor v = (-1, -3, 2,0) pertence ao subespaço do gerado pelos vetores
.
21. é gerado por
22. é gerado por
23. é gerado por
24. é gerado por
25. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) S = {(x, y, z) , x + z = 0 e x – 2y = 0}
b) S = {(x,y,z) , x + 2y – 3z = 0 }.
c) S =
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d) S =
e) S = {(x, y, z, t) /
f) ) S = {(x,y,z,t) /
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Respostas
1) a.1) sim a.2) não a.3) não a.4) não
b.1) não b.2) sim b.3) não b.4) não
c.1) sim c.2) não c.3) sim c.4) não
2) a,b,d
3) a) (-9,-7,-15) = -2u + v - 2w b) (6,11,6) = 4u – 5v + w
c) (0,0,0) = 0u + 0v + 0w d) (7,8,9) = 0u – 2v + 3w
4) a) b)
c) d)
5) a,b,c
6) a)
=
b) (2,7) =
c) Não é possível
d) (4, 5, -1) = 1(1,1,1) – 1(1,2,0) + 2(2,3,-1)
e) Não é possível.
7) a) w = 3u – v b) k = 12 c) 16 a + 10b - c = 0
8) a) b) Não é possível
c) a + 2b – c = 0 d) Não é possível
9) a)
b)
c) Não é possível
10)
11)
12) a) sim b) não c) não
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13)
b) 7
c)
d)
e)
f)
14) a) geram b) não geram c) não geram d) geram
15) a) G(A) = b) k = -13
16) k = 7
17) a) b) c)
18) a)
b)
19)
20 Pertence 21) Não 22) Sim
23) Sim 24) Não
25) a)
b)
c)
d)
e)
f) {(1,1,0,0),(0,0,1-1)}
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