linhas de transmissao
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ET720 Sistemas de Energia Eletrica I
1 Semestre 2011
Captulo 5 Linhas de transmissao Parte 1
5.1 Introducao
I Componentes de uma linha de transmissao:
(1) condutores
(2) isoladores (cadeia de isoladores de porcelana
ou vidro)
(3) estruturas de suporte (torres, postes)
(4) cabos para-raios (cabos de aco colocados no
topo da estrutura para protecao contra raios)
(1)
(2) (3)
(4)
5.2 Classes de tensao
I Sigla Denominacao Valores tpicos de tensao (de linha)
LV low voltage < 600 V
MV medium voltage 13,8 23 34,5 69 kV
HV high voltage 115 138 230 kV
EHV extra high voltage 345 440 500 600DC 765 kV
UHV ultra high voltage 1100 kV
1
-
5.3 Tipos de condutores
I Material
No passado: cobre
Atualmente: cobre, alumnio()
() mais barato, mais leve, requer area da secao reta maior que o cobre para asmesmas perdas
I Aereos, subterraneos
I Unidades mais comumente usadas:
comprimento: metro [m], pe (foot) [ft], milha (mile) [mi]
1 ft = 0,3048 m
1 mi = 1609 m
area da secao reta: milimetro quadrado [mm2], circular mil [CM]()
() 1 CM = area de um condutor de um milesimo de polegada (mil) de diametro
2
-
I Condutores de alumnio (linhas aereas):
Sigla (Ingles/Portugues) Significado (Ingles/Portugues)
AAC / CA all aluminum conductor (alumnio puro)
AAAC / AAAC all aluminum alloy conductor (liga de alumnio pura)
ACSR / CAA aluminum conductor steel reinforced (alumnio com
alma de aco)
ACAR / ACAR aluminum conductor alloy reinforced (alumnio com
alma de liga de alumnio)
outros para aplicacoes especiais
ACSR (alumnio com alma de aco): aco mais barato que alumnio, a alma de aco
o faz ser mais resistente a` tracao (admite lances maiores) e o mais utilizado
3
-
liga de alumnio: alumnio + magnesio/silcio, por exemplo
os condutores sao nus (nao ha camada isolante)
condutores sao torcidos para uniformizar a secao reta. Cada camada e torcida
em sentido oposto a` anterior (evita que desenrole, empacotamento e melhor)
ACSR (CAA) AAC (CA)
Cabos de cobre (linhas subterraneas): solidos ou encordoados. Condutores
isolados com papel impregnado em oleo. Existem outros tipos de isolacao
4
-
Cabos ACCC (Aluminum Composite Conductor Core) nucleo de carbono
envolvido por fibra de vidro. As fibras de carbono esticam menos que o aco. A
fibra de vidro nao resulta na corrosao tpica que ocorre no contato aco/alumnio
alumnio
alumnio
alma de aco compostoACSR tradicionalcondutor ACCC condutor ACCC
Mais caro
Maior capacidade de corrente
Menor sag
Sag
5
-
Exemplo
Determine a area de alumnio e a area externa total do condutor ACSR 26/7 Linnet em
cm2.
De acordo com a tabela A.3, o condutor Linnet apresenta as seguintes caractersticas:
Area de alumnio : 336.400 CM
Diametro externo : 0,721 in2
Calculando a area de alumnio em cm2:
1 CM = pi(0,0012
)2in2
336.400 CM = SAl
SAl = 0,264 in
2 = 1,7 cm2
que corresponderia a um condutor de alummio de 1,47 cm de diametro. A area externa
total e:
Sext = pi
(0,721
2
)2= 0,408 pol2 = 2,634 cm2
Visualizando:
diametro equivalentede alumnio1,47 cm
diametro externo1,83 cm
6
-
5.4 Projeto de linhas de transmissao
I Fatores eletricos:
Determinam o tipo de condutor, a area e o numero de condutores por fase
Capacidade termica: condutor nao deve exceder limite de temperatura, mesmo sob
condicoes de emergencia quando pode estar temporariamente sobrecarregado
Numero de isoladores: manter distancias fase-estrutura, fase-fase etc. Deve operar
sob condicoes anormais (raios, chaveamentos etc.) e em ambientes poludos
(umidade, sal etc.)
Esses fatores determinam os parametros da linha relacionados com o modelo da
linha
I Fatores mecanicos:
Condutores e estruturas sujeitos a forcas mecanicas (vento, neve etc.)
I Fatores ambientais:
Uso da terra (valor, populacao existente etc.)
Impacto visual (estetico)
I Fatores economicos:
Linha deve atender todos os requisitos a um mnimo custo
7
-
5.5 Parametros das linhas de transmissao
torre
isoladores
condutor
ifuga
i
campo eletrico
campo magnetico
I Resistencia (R)
Dissipacao de potencia ativa devido a` passagem de corrente
I Condutancia (G)
Representacao de correntes de fuga atraves dos isoladores (principal fonte de
condutancia) e do efeito corona
Depende das condicoes de operacao da linha (umidade relativa do ar, nvel de
poluicao, etc.)
O efeito corona ocorre quando campos eletricos muito intensos na superfcie do
condutor causam a ionizacao do ar, que se torna um condutor
E muito variavel, em funcao dos fatores acima
Seu efeito e em geral desprezado (sua contribuicao no comportamento geral de
operacao da linha e muito pequena)
8
-
I Indutancia (L)
Deve-se aos campos magneticos criados pela passagem das correntes
I Capacitancia (C)
Deve-se aos campos eletricos: carga nos condutores por unidade de diferenca de
potencial entre eles
I Com base nessas grandezas que representam fenomenos fsicos que ocorrem na
operacao das linhas, pode-se obter um circuito equivalente (modelo) para a mesma,
como por exemplo:
Fonte GG CC
R X
Carga
Linha de transmissao
5.6 Resistencia (R)
I Causa a dissipacao de potencia ativa:
R =potencia dissipada no condutor
I2ef
9
-
I Resistencia CC:
R0 = `
A
resistividade do material ( m)` comprimento (m)A area da secao reta (m2)
I Cobre recozido a 20: = 1,77 108 m
Alumnio a 20: = 2,83 108 m
I depende da temperatura R0 varia com a temperatura ( aumenta R0aumenta):
R2R1
=T + t2T + t1
em que a constante T depende do material:
T =
234,5 cobre recozido com 100% de condutividade
241,0 cobre tempera dura com 97,3% de condutividade
228,0 alumnio tempera dura com 61% de condutividade
t
t1
t2
R1 R2
T
R
10
-
I R0 aumenta de 1 a 2% para cabos torcidos (fios de alumnio torcidos, p.ex. cabos
ACSR)
Para se ter x metros de cabo, necessita-se de 1,01x a 1,02x metros de fios para
depois agrupa-los e torce-los
I Em corrente alternada a distribuicao de corrente nao e uniforme pela secao reta do
condutor a corrente concentra-se na periferia do condutor
Area util para passagem da corrente diminui RAC > R0 efeito pelicular(skin effect)
Exemplo
Um cabo AAAC Greeley (6201-T81) apresenta as seguintes caractersticas (dados de
tabela):
resistencia CC a 20 0,07133 /kmresistencia CA a 50 0,08202 /kmcoeficiente de variacao com a temperatura () 0,00347 C1
Calcule o aumento percentual da resistencia devido ao efeito pelicular, considerando a
seguinte equacao para a variacao da resistencia em funcao da temperatura:
R2 = R1 [1 + (t2 t1)]
A resistencia CC a 50 e:
R500 = R200 [1 + (50
20)]= 0,07133 [1 + 0,00347 (50 20)] = 0,07876 /km
11
-
A relacao entre as resistencias CA (dada) e CC (calculada) a 50 e:
R50CAR500
=0,08202
0,07876= 1,0414
ou seja, o efeito pelicular faz com que a resistencia CA aumente em 4,14%
5.7 Indutancia (L)
I Relacionada com os campos magneticos produzidos pela passagem de corrente pelo
condutor corrente produz campo magnetico
H
H
HH
i
i
12
-
I Fluxo concatenado com uma corrente (): e aquele que enlaca a corrente lquida
Fluxo concatenado externo ao condutor: a corrente produz um campo
magnetico (). O fluxo externo concatenado com a corrente enlaca toda a
corrente, portanto:
i
fluxo magnetico ()
=
Fluxo concatenado interno ao condutor: o fluxo interno concatenado com a
corrente a uma distancia x do centro do condutor de raio R e:
i
x
R = ( xR
)2
Assumindo densidade de corrente (distribuicao de carga por area) uniforme, a
corrente enlacada a uma distancia x e proporcional a` corrente total. Aparece
portanto na expressao de a relacao entre areas(pix2/piR2
)
13
-
Fluxo concatenado com uma bobina:
i
iii
i
= 3
A bobina tem 3 espiras. Logo, o fluxo concatenado enxerga tres vezes a
corrente i
I Lei de Faraday:
e =d
dt
Relacao entre tensao e corrente para o indutor:
e = Ld
dti
Dividindo uma equacao pela outra, obtem-se uma expressao para a indutancia:
L =d
di
14
-
Se o circuito magnetico possui permeabilidade magnetica constante:
L =
iH ()
()
L =d
di =
d
diN = N
d
diBA = NA
d
diH = NA
d
diNi
`=
N2A
`
d
dii
Se o circuito magnetico possui permeabilidade magnetica constante:
L =N2A
`
d
dii =
N2A
` (i/i)
=N2Ai
`i=
Ni
` NA
i= H
NA
i
= HNA
i=
BNA
i=
N
i=
i
5.7.1 Indutancia de um condutor
I Deve-se calcular a indutancia devido ao fluxo interno no condutor, indutancia devido
ao fluxo externo ao condutor e a indutancia total
I Consideracao: o condutor esta isolado, isto e, outros condutores estao muito
afastados e os seus campos magneticos nao o afetam
15
-
Indutancia devido ao fluxo interno
I Considerar um condutor solido pelo qual circula uma corrente i
I Lei de Ampe`re:
c
H d` = ic
a intensidade de campo magnetico (A/m) ao longo de qualquer contorno e igual a`
corrente que atravessa a area delimitada por este contorno
Esta expressao e valida para CC ou CA (utilizar fasores neste caso)
I Considerar a seguinte situacao (condutor visto de frente):
R
xdx
d`
I Resolvendo a equacao de Ampe`re:
H (2pi x) =pix2
piR2i H = x
2piR2i A/m
16
-
I Densidade de fluxo:
B = r 0H Wb/m2
em que 0 = 4pi 107 H/m e a permeabilidade do vacuo e r e a permeabilidaderelativa do material
I Considerar o elemento tubular de espessura dx e comprimento `:
dx
`
dS
H
dS = ` dx
O fluxo magnetico e igual a` densidade de fluxo B vezes a area da secao transversal
que o campo atravessa (H dS):
d = B dS Wb
Da figura tem-se dS = ` dx e:
d = roH`dx Wb
17
-
O fluxo por unidade de comprimento do condutor e (dividindo por `):
d = roHdx Wb/m
I O fluxo concatenado com a corrente e proporcional a` area de raio x :
d =x2
R2d
=x2
R2r0Hdx
=x2
R2r0
x
2piR2 H
idx
= r0x3
2piR4idx Wb/m
Integrando:
int =
R0
r0x3
2piR4idx =
r08pi
i Wb/m
e independe do raio do condutor, dependendo somente do material e da intensidade
da corrente
18
-
I A indutancia devido ao fluxo interno e dada por:
Lint =d
diint
()=
inti
Lint =r08pi
H/m
() considerando permeabilidade constante
e e constante. Para materiais como o alumnio, cobre, ar, agua, tem-se r = 1 e:
Lint =1
2 107 H/m
Outra maneira de obter a indutancia devido ao fluxo interno e atraves da energia
armazenada no campo magnetico, que e dada por:
E =1
2Linti
2 J
Considerando um cilindro de base circular com raio x e comprimento `, a energia
armazenada tambem pode ser obtida por:
d
dVE =
1
2r0H
2
em que V e o volume do cilindro:
V = pix2`
19
-
Portanto:
d
dxV = 2pix`
Por unidade de comprimento:
dV = 2pix dx
Logo:
dE =1
2r0H
22pix dx =1
2r0
(ix
2piR2
)22pix dx
Para a obtencao da energia, deve-se integrar de 0 a R, o que resulta em:
E =1
2r0i
2 1
8pi
que, comparando com a primeira expressao da energia fornece:
Lint =r08pi
H/m
20
-
Indutancia devido ao fluxo externo
I Considere a seguinte situacao em que se deseja obter o fluxo concatenado externo
ao condutor:
dxx
i
I A corrente total i e enlacada. Aplicando a Lei de Ampe`re:
c
H d` = i
2pixH = i
H =i
2pix
I Densidade de campo magnetico:
B()= 0H =
0i
2pix() r = 1 (ar)
21
-
I Fluxo magnetico (lembrando do elemento tubular de comprimento ` e espessura dx):
d = BdS = B`dx
I Fluxo por unidade de comprimento:
d = Bdx =0i
2pixdx
I O fluxo concatenado e igual ao fluxo pois o mesmo enlaca toda a corrente uma vez:
d = d = Bdx =0i
2pixdx
I O fluxo concatenado externo deve ser calculado entre dois pontos externos ao
condutor:
dxx
i
P1
P2
D1
D2
22
-
I O fluxo entre dois pontos P1 e P2 quaisquer externos ao condutor e obtido pela
integracao de d:
ext = 12 =
D2D1
d
em que D1 e D2 sao as distancias dos pontos ao condutor (considera-se que r x).Logo:
12 =
D2D1
0i
2pi
dx
x=
0i
2piln
(D2D1
)Wb/m
I Indutancia devido ao fluxo externo entre os dois pontos:
L12()=
12i
=02pi
ln
(D2D1
)= 2 107 ln
(D2D1
)H/m
() considerando permeabilidade constante
5.7.2 Indutancia de uma linha monofasica
I Considerar a linha monofasica:
D
r1 r2i i Hipotese simplificadora:
r1, r2 D
23
-
I O fato da corrente no condutor 1 ser i e a corrente no condutor 2 ser i faz comque o calculo de H para uma distancia maior que a distancia entre os condutores
seja nula, pois neste caso a corrente total enlacada sera nula (itotal = i + (i) = 0):
00
I Indutancia externa entre os condutores produzida pelo condutor 1:
Uma linha de fluxo com raio maior ou igual a (D + r2) e com centro no condutor
1 nao estara concatenada com o circuito, nao induzindo portanto nenhuma
tensao. Em outras palavras, a corrente enlacada por esta linha de fluxo e nula,
uma vez que a corrente no condutor 2 e igual e de sentido oposto a` do condutor
1
Uma linha de fluxo externa ao condutor 1 e com raio menor ou igual a (D r2)envolve uma vez a corrente total
As linhas de fluxo com raios entre (D r2) e (D + r2) cortam o condutor 2 envolvem uma fracao da corrente do condutor 2 que varia entre 0 e 1
24
-
I Simplificacoes:
Admitir D r1, r2 (D r1) (D r2) D
Considerar condutor 2 como um ponto, localizado a uma distancia D do centro
do condutor 1
Entao:
L1,ext =02pi
lnD
r1
I Indutancia externa entre os condutores produzida pelo condutor 2 (lembrar a
hipotese simplificadora r2 D e o condutor 1 e representado por um pontolocalizado no centro do condutor):
L2,ext =02pi
lnD
r2
I Indutancias internas: como considera-se que cada condutor enxerga o outro como
um ponto, o fluxo externo de um condutor nao afeta o fluxo interno do outro.
Entao:
L1,int =r08pi
=1
2 107 H/m
L2,int =r08pi
=1
2 107 H/m
25
-
I Indutancia total devido ao condutor 1:
L1 = L1,int + L1,ext
=r08pi
+02pi
ln
(D
r1
)
Considerando que a permeabilidade relativa dos materiais mais comuns das linhas
(cobre, alumnio) e unitaria e que o = 4pi 107 H/m:
L1 =02pi
[1
4+ ln
(D
r1
)]
= 2 107 [ln(e1/4
)+ ln
(D
r1
)]
= 2 107 [ln
(e1/4D
r1
)]
= 2 107 [ln
(D
r1e1/4
)]
= 2 107 ln(D
r 1
)H/m
A expressao acima e parecida com a do fluxo externo, so que engloba tambem o
fluxo interno. Equivale, portanto, ao fluxo externo de um condutor com raio:
r 1 = r1e1/4 = 0, 7788 r1
que e chamado de raio efetivo ou GMR Geometric Mean Radius ou RMG Raio
Medio Geometrico
26
-
I Indutancia total devido ao condutor 2: o procedimento e o mesmo usado para o
condutor 1, resultando em:
L2 = L2,int + L2,ext
=r08pi
+02pi
ln
(D
r2
)
= 2 107 [ln
(D
r2e1/4
)]
= 2 107 ln(D
r 2
)H/m
onde:
r 2 = r2e1/4 = 0, 7788 r2
e o raio efetivo ou GMR Geometric Mean Radius do condutor 2.
I Indutancia total: e a soma das indutancias dos condutores 1 e 2:
L = L1 + L2
= 2 107 [ln
(D
r 1
)]+ 2 107
[ln
(D
r 2
)]
= 2 107 [ln
(D2
r 1r2
)]
= 4 107 [ln
(Dr 1r
2
)]H/m
27
-
a indutancia depende da distancia entre os fios, dos raios dos condutores e do
meio (r e 0 estao embutidos no termo 4 107)
a indutancia independe da corrente
I Se os condutores tiverem o mesmo raio:
r 1 = r2 = r
e a indutancia sera:
L = 4 107 ln(D
r
)H/m
Exemplo
Determine a indutancia de uma linha monofasica cuja distancia entre condutores e de
1,5 m e o raio dos condutores e igual a 0,5 cm
Os dois condutores tem mesmo raio. O raio efetivo (GMR) e:
r = 0,7788 0,5 102 = 0,0039 m
A indutancia da linha vale:
L = 4 107 ln(
1,5
0,0039
)= 2,38 H/m
28
-
Exemplo
A corrente pela linha de transmissao monofasica do exemplo anterior e igual a
120 A (rms), 60 Hz. Uma linha telefonica, cuja distancia entre condutores e de 10 cm,
esta situada no mesmo plano dessa linha, afastada de 1 m, conforme mostra a figura a
seguir. Calcule a tensao induzida na linha telefonica em Volts por metro de condutor.
Considere que o raio dos condutores da linha telefonica e muito menor que as distancias
entre condutores do problema
1,5 m
1,0 m
10 cm
Linha de transmissao Linha telefonica
A tensao induzida na linha telefonica e o resultado de um fluxo concatenado entre os
dois condutores da linha, produzido pelas correntes nos condutores da linha de
transmissao
Neste caso, o fluxo concatenado com a linha telefonica tem duas componentes, uma
devido a` corrente do condutor 1 (i) e a outra devido a` corrente no condutor 2 (i).Lembrando que:
d =0i
2pixdx
e chamando as componentes de fluxo concatenado de 1 e 2, tem-se:
1 = 2 107 i 2,62,5
1
xdx = 2 107 i ln
(2,6
2,5
)
2 = 2 107 (i) 1,11,0
1
xdx = 2 107 i ln
(1,1
1,0
)
29
-
Notar que a corrente no condutor 2 tem sentido contrario a` do condutor 2. O fluxo
concatenado total e:
= 1 + 2 = 2 107 i [ln
(2,6
2,5
) ln
(1,1
1,0
)]= 1,1218 108 i Wb/m
A corrente pelos condutores vale:
i(t) = 120 2 sen (2pif t) A
em que f e a frequencia e considerou-se o angulo de fase da corrente nulo (referencia
angular) Logo a expressao do fluxo fica:
= 1,3462 106 2 sen (2pif t) Wb/m
A tensao induzida na linha por unidade de comprimento vale:
v(t) =d
dt = 2pif (1,3462)106
2cos (2pif t) = 5,0750104
2cos (2pif t) V/m
cujo valor eficaz e:
Vef = 5,0750 104 V/m = 0,5075 V/km
Este e o valor da tensao induzida na linha telefonica por unidade de comprimento da
linha de transmissao
30
-
5.7.3 Fluxo concatenado com um condutor de um grupo de condutores
I Considere o grupo de n condutores:
I1
I2
I3In
1
2
3
n
D1P
D2P
D3P
DnP
P
I A soma algebrica das correntes nos condutores e nula:
ni=1
Ii = 0
I Ideia: calcular o fluxo concatenado com um condutor do grupo de condutores, por
exemplo, o condutor 1
O fluxo concatenado dependera das contribuicoes das correntes I1 (do proprio con-
dutor), I2, I3 . . . In
31
-
I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a` corrente I1: e composto por duas
parcelas fluxo interno e fluxo externo
O fluxo externo sera calculado ate o ponto P somente (e um ponto de localizacao
arbitraria e nao influencia no resultado final)
De acordo com os resultados obtidos anteriormente:
1P1 = 2 107 I1 ln(D1Pr 1
)Wb/m
em que r 1 e o raio efetivo. 1P1 ja inclui os fluxos interno e externo ate o ponto P
I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a` corrente I2:
1P2 = 2 107 I2 ln(D2PD12
)Wb/m
A expressao geral para o fluxo concatenado com o condutor i devido a` corrente Ije:
iP j = 2 107 Ij ln(DjPDi j
)Wb/m
32
-
I Fluxo concatenado com o condutor 1 devido a`s correntes de todos os condutores:
1P = 2 107 [I1 ln
(D1Pr 1
)+ I2 ln
(D2PD12
)+ . . .+ In ln
(DnPD1n
)]= 2 107 [I1 ln (D1P ) + I2 ln (D2P ) + . . .+ In ln (DnP )] +
2 107 [I1 ln
(1
r 1
)+ I2 ln
(1
D12
)+ . . .+ In ln
(1
D1n
)]
Como I1 + I2 + . . .+ In = 0 In = (I1 + I2 + . . .+ In1). Entao:
1P = 2 107 [I1 ln
(D1PDnP
)+ I2 ln
(D2PDnP
)+ . . .+ In1 ln
(D(n1)1PDnP
)+
I1 ln(1
r 1
)+ I2 ln
(1
D12
)+ . . .+ In ln
(1
D1n
)]
Se considerarmos o ponto P tendendo ao infinito (P ), os termos DkP/DnPtenderao a 1 e, portanto, seus logaritmos tenderao a zero. Logo, o fluxo concate-
nado com o condutor 1 vale (fazendo P ):
1P = 2 107 [I1 ln
(1
r 1
)+ I2 ln
(1
D12
)+ . . .+ In ln
(1
D1n
)]Wb/m
I O afastamento do ponto P para o infinito e equivalente a` inclusao de todo o fluxo
concatenado com o condutor 1
33
-
I Lembre que a expressao do fluxo concatenado acima e a de um condutor pertencente
a um grupo de condutores cuja soma das correntes seja nula
I A expressao e valida tanto para valores instantaneos (usar correntes instantaneas)
como para fasores (usar fasores das correntes)
5.7.4 Indutancia de linhas com condutores compostos (mais de um condutor por
fase)
I Considere a seguinte linha monofasica:
a
b c
n
a
b c n
condutor X condutor Y
I Caractersticas da linha:
Condutor composto: condutores encordoados, cabos.
A fase X (condutor X) e composto por n fios identicos em paralelo e conduz uma
corrente I uniformemente distribuda pelos fios. A corrente em cada fio e I/n.
A fase Y (condutor Y) e composto por m fios identicos em paralelo e conduz
uma corrente I uniformemente distribuda pelos fios. A corrente em cada foi eI/m.
34
-
I Obtencao do fluxo concatenado com o fio a da fase X: deve-se levar em consi-
deracao o efeito de todas as correntes por todos os fios, inclusive o proprio fio
a.
I De acordo com os resultados anteriores:
a = 2 107 I
n(ln
1
r a+ ln
1
Dab+ . . .+ ln
1
Dan
)
fase X
2 107 Im(ln
1
Daa+ ln
1
Dab+ . . .+ ln
1
Dam
)
fase Y
que resulta em:
a = 2 107 I lnmDaaDab . . .Damn
r aDab . . . Dan
Wb/m
I Em geral considera-se: r a = Daa = 0,7788ra
I A indutancia do fio a e:
La =aI/n
= 2 n 107 lnmDaaDab . . . Damn
r aDab . . .Dan
H/m
35
-
I Para o fio b:
Lb = 2 n 107 lnmDbaDbb . . .DbmnDbaDbb . . . Dbn
H/m
I Para os outros fios da fase X o processo e semelhante.
I A indutancia da fase X e calculada verificando-se que os fios a, b, . . . , n estao em
paralelo:
1
LX=
ni=1
1
Li
I Utiliza-se tambem uma forma aproximada, que fornece bons resultados e simplifica
bastante as deducoes. Primeiro, calcula-se a indutancia media da fase X:
Lav =La + Lb + . . .+ Ln
n
Assume-se agora que a fase X e composta por n fios de indutancia Lav em paralelo.
Portanto, a indutancia da fase X vale:
LX =Lavn
=La + Lb + . . .+ Ln
n2H/m
36
-
I Esta expressao e mais conveniente pois, substituindo os valores de La, Lb, etc.
obtem-se:
LX = 2 107 lnmn
(DaaDab . . .Dam) (DbaDbb . . .Dbm) . . . (DnaDnb . . .Dnm)n2(DaaDab . . .Dan) (DbaDbb . . .Dbn) . . . (DnaDnb . . .Dnn)
H/m
I Entao:
LX = 2 107 lnDmDsX
H/m
I Numerador: produto das distancias dos fios da fase X e da fase Y:
Dm =mn
(DaaDab . . .Dam) (DbaDbb . . .Dbm) . . . (DnaDnb . . . Dnm)
Dm e a Distancia Media Geometrica DMG, ou Geometric Mean Distance GMD,
ou DMG mutua
I Denominador: produto das distancias dos fios da fase X:
DsX =n2(DaaDab . . .Dan) (DbaDbb . . .Dbn) . . . (DnaDnb . . . Dnn)
DsX e o Raio Medio Geometrico RMG, ou Geometric Mean Radius GMR, ou
DMG propria da fase X
37
-
I A indutancia da fase Y e obtida de maneira identica a` da fase X e resulta em LY :
LY = 2 107 lnDmDsY
H/m
I A indutancia da linha e dada por:
L = LX + LY
I Caso as fases X e Y sejam identicas, tem-se:
L = 4 107 ln DmDs
H/m
em que Ds = DsX = DsY
I Relembrando a expressao da indutancia de uma fase de uma linha monofasica com
um condutor por fase:
L1 = 2 107 ln(D
r 1
)H/m
e comparando com a indutancia da fase X da linha com condutores compostos LX,
percebe-se que a expressao de L1 e um caso particular da expressao de L1:
Condutor unico por fase Condutores multiplos por fase
Distancia entre fases (D) Distancia media geometrica DMG (Dm)
Raio efetivo do condutor (r 1) Raio medio geometrico RMG (Ds)
38
-
Exemplo
Calcule a indutancia da linha monofasica mostrada a seguir.
a
b
c
d
e
lado X lado Y
6 m
6 m
r = 0,25 cm r = 0,50 cm
9 m
Calculo da DMG entre os lados X e Y (Dm):
Dm =6
DadDaeDbdDbeDcdDce = 10,743 m
em que:
Dad = Dbe = 9 m
Dae = Dbd = Dce =62 + 92 =
117 m
Dcd =92 + 122 = 15 m
39
-
RMG do lado X (DsX):
DsX =9
DaaDabDacDbaDbbDbcDcaDcbDcc = 0,481 m
em que:
Daa = Dbb = Dcc = e1/4r = 0,7788 0,25 102 = 1,9470 103 m
Dab = Dba = Dbc = Dcb = 6 m
Dac = Dca = 12 m
RMG do lado Y (DsY ):
DsY =4
DddDdeDedDee = 0,153 m
em que:
Ddd = Dee = e1/4r = 0,7788 0,50 102 = 3,8940 103 m
Dde = Ded = 6 m
Indutancias dos lados X e Y:
LX = 2 107 lnDmDsX
= 6,212 107 H/m
LY = 2 107 lnDmDsY
= 8,503 107 H/m
40
-
Indutancia completa da linha por unidade de comprimento:
L = LX + LY = 14,715 107 H/m
Exerccio
Calcule a indutancia e a reatancia por unidade de comprimento a 60 Hz da linha
monofasica mostrada na figura a seguir. Verifique que a DMG e praticamente igual a`
distancia entre os centros das fases quando esta e muito maior que as distancias entre
os condutores de uma mesma fase.
a b c d
lado X lado Y
12 m
45 cm 5 cm
(Resposta: 1,9413 H/m, 0,732 m/m)
5.7.5 Uso de tabelas
I Existem tabelas com varias informacoes sobre os condutores: resistencia, reatancias,
RMG, etc.
I As tabelas fornecem a reatancia para certas frequencias (por exemplo 60 Hz), ao
inves da indutancia.
41
-
I A reatancia de um condutor (simples ou composto) vale:
XL = 2pif L = 2pif 2 107 lnDmDs
(
m 1609 m
1 mi
)
= 2,022 103 f ln DmDs
/mi
= 2,022 103 f ln 1Ds
Xa
+2,022 103 f lnDm Xd
/mi
em que:
Xa reatancia indutiva para espacamento unitario (por exemplo, 1 pe se esta fora unidade utilizada) depende da frequencia e do raio do condutor
Xd fator de espacamento da reatancia indutiva depende da frequencia e doespacamento entre condutores
Exemplo
Determine a reatancia indutiva por milha de uma linha monofasica com as seguintes
caractersticas:
frequencia 60 Hz
tipo dos cabos Partridge
distancia entre os centros dos cabos 20 ft
42
-
Tem-se portanto:
20
aco
alumnio26Al / 7St
Area = 266.800 CM
Conforme definido anteriormente:
1 CM = pi
(0,001
2
)2in2 = 0,7854 106 in2
Logo, para o cabo Partridge:
Area = 266.800 CM = 0,2095 in2
que resulta em um diametro de 0,5165 in. Da tabela de condutores obtem-se:
Diametro externo = 0,642 in > 0,5165 in !
A razao da diferenca e que a area em CM fornecida na tabela refere-se a` area de
alumnio, enquanto que o diametro e externo, o que inclui o espacamento entre os
condutores.
Alem disso, o raio e igual a 0,5165/2 = 0,2583 in, ou 0,0215 ft. Pela tabela de dados
dos condutores tem-se:
RMG = 0,0217 ft 6= (0,7788 0,0215) !
43
-
Razao da diferenca entre os RMG: o RMG (0,7788 0,0215) e calculado considerandoum condutor solido. No entanto, o condutor Partridge e encordoado, e o RMG deve ser
calculado por:
RMG = 2626DaaDabDac . . .
Da tabela A.3 de dados dos condutores, o RMG para o condutor e Ds = 0,0217 ft.
Pode-se utilizar diretamente a equacao da indutancia e obter a reatancia por condutor:
X = 2,022 103 60 ln 200,0217
= 0,828 /mi
e a reatancia total sera XL = 2X = 1,656 /mi
Ou entao:
da tabela A.3 a reatancia indutiva para um pe de afastamento e Xa = 0,465 /mi
da tabela A.4, para um espacamento de 20 ft o fator de espacamento eXd = 0,3635 /mi
a reatancia indutiva de um cabo sera X = Xa +Xd = 0,8285 /mi
a reatancia indutiva da linha (2 cabos): XL = 2X = 1,657 /mi
44
-
Exerccio
Uma linha monofasica de 2 km deve ser construda utilizando-se condutores ACSR
Linnet. Por motivos tecnicos, a indutancia total nao deve exceder 4 mH. Obtenha o
espacamento maximo entre condutores. Resolva o problema utilizando equacoes e
tabelas, e compare os resultados.
(Resposta: 1,1 m)
I Na tabela A.4, a expressao para Xd e:
Xd = 0, 2794 logd
em que d e o que chamamos de Dm (DMG) aproximado como sendo a distancia
entre os centros dos cabos e aparece a funcao log ao inves de ln. Demonstracao
da equivalencia entre as expressoes:
Se ln d = y , entao d = ey
Aplicando o logaritmo:
log d = log ey = y log e
45
-
x Logo:
y =1
log e log d
= 2,3026 log d = ln d
Assim, para 60 Hz:
Xd = 2,022 103 f ln d= 2,022 103 60 (2,3026 logd)= 0,2794 logd
46
-
5.7.6 Linhas trifasicas
I Considere linha de transmissao trifasica composta por tres fases e um condutor
neutro:
A
B
C
N
In
Ic
Ib
Ia
znn
zcc
zbb
zaa
zab
a
b
c
n
zan
zac
em que:
zi i impedancia propria do condutor da fase i
zi j impedancia mutua entre os condutores das fases i e j
47
-
I Define-se a matriz impedancia primitiva como:
Zprim =
zaa zab zac zanzba zbb zbc zbnzca zcb zcc zcnzna znb znc znn
A aplicacao da lei das tensoes de Kirchhoff para o ramo resulta em:
VANVBNVCNVNN
=
VanVbnVcnVnn
+
zaa zab zac zanzba zbb zbc zbnzca zcb zcc zcnzna znb znc znn
IaIbIcIn
VF = Vf + Zprim If
ou ainda:
VAVBVCVN
=
zaa zab zac zanzba zbb zbc zbnzca zcb zcc zcnzna znb znc znn
IaIbIcIn
[VFVN
]=
[ZA ZBZC ZD
][IfIn
]
Como VNN = Vnn = 0 e VN = 0, tem-se:
{VN = ZA If + ZB In0 = ZC If + ZD In
48
-
Da segunda equacao tem-se que(In = Z1D ZC If
), que, substituda na primeira
resulta em:
VF =(ZA ZBZ1D ZC
)If = Z If
ou:
VANVBNVCN
=
VanVbnVcn
+
Zaa Zab ZacZba Zbb ZbcZca Zcb Zcc
IaIbIc
VF = Vf + Z If
em que a matriz reduzida Z e chamada de matriz de impedancia de fase, sendo seus
elementos calculados por:
Zi j = zi j zin zniznn
O processo de reducao da dimensao da matriz primitiva de rede e conhecido como
reducao de Kron.
Sera visto adiante que, no caso particular de uma linha balanceada e completamente
transposta conectada a uma carga equilibrada (condutores formam um triangulo
equilatero), a matriz impedancia de fase sera diagonal (permitindo o desacoplamento
entre as fases), com os elementos da diagonal principal iguais entre si.
49
-
5.7.7 Indutancia de uma linha trifasica com espacamento simetrico
I Considere a linha trifasica:
a c
b
D
DD
em que:
os tres condutores tem raios iguais, portanto o mesmo RMG, igual a Ds
a distancia entre condutores e D
nao ha fio neutro ou o circuito e equilibrado Ia + Ib + Ic = 0
50
-
I Fluxo concatenado com o condutor da fase a (ha contribuicoes das tres correntes):
a = 2 107 (Ia ln
1
Ds+ Ib ln
1
D+ Ic ln
1
D
)
= 2 107 [Ia ln
1
Ds+ (Ib + Ic) ln
1
D
]
= 2 107 (Ia ln
1
Ds Ia ln
1
D
)(pois Ia = (Ib + Ic))
= 2 107 (Ia ln
1
Ds+ Ia lnD
)
= 2 107 Ia lnD
DsWb/m
I Indutancia da fase a:
La =aIa
= 2 107 ln DDs
H/m
I Por simetria, para as outras fases tem-se Lb = Lc = La
I Portanto:
La = Lb = Lc = 2 107 lnD
DsH/m
51
-
5.7.8 Indutancia de linhas trifasicas com espacamento assimetrico
I O fluxo concatenado e a indutancia de cada fase sao diferentes circuitodesequilibrado
I Equilbrio e obtido atraves da transposicao:
1
2
3a
a
a b
b
b c
c
c
Pos. 1
Pos. 2
Pos. 3
I Calculos considerando a transposicao sao mais simples
Linhas nao transpostas considera-se a linha como transposta e a sua indutanciacomo a media das indutancias das fases
52
-
I Fluxo concatenado com fase a, primeiro trecho:
D12
D23
D31
a
b
c
a1 = 2107(Ia ln
1
Ds+ Ib ln
1
D12+ Ic ln
1
D31
)
I Fluxo concatenado com fase a, segundo trecho:
D12
D23
D31 a
b
c
a2 = 2107(Ia ln
1
Ds+ Ib ln
1
D23+ Ic ln
1
D12
)
I Fluxo concatenado com fase a, terceiro trecho:
D12
D23
D31
a
b
c a3 = 2107(Ia ln
1
Ds+ Ib ln
1
D31+ Ic ln
1
D23
)
I Fluxo medio concatenado com a fase a:
a =a1 + a2 + a3
3=
2 1073
(3Ia ln
1
Ds+ Ib ln
1
D12D23D31+ Ic ln
1
D12D23D31
)
=2 107
3(3Ia ln
1
Ds Ia ln
1
D12D23D31
)(pois Ia = (Ib + Ic))
= 2 107 Ia ln3D12D23D31
DsWb/m
53
-
I Indutancia media por fase da linha trifasica com transposicao:
La = 2 107 lnDeqDs
H/m
em que:
Deq =3
D12D23D31
e o espacamento equilatero equivalente da linha
Exemplo
Determine a reatancia indutiva por fase a 60 Hz da linha trifasica mostrada a seguir,
composta por condutores ACSR Drake.
2020
38
Pela tabela A.3, o RMG do condutor tipo Drake e Ds = 0,0373
O espacamento equilatero da linha e:
Deq =320 20 38 = 24,7712
54
-
A indutancia e a reatancia por fase valem:
L = 2 107 ln 24,77120,0373
= 1,3 H/m
XL = 2pif L = 2pi 60 1,3 106 = 0,49 mH/m = 0,7884 H/mi
O problema pode ser resolvido pela utilizacao das tabelas A.3 e A.4:
tabela A.1 Xa = 0,399 /mitabela A.2 (para Deq = 24
) Xd = 0,3856 /mitabela A.2 (para Deq = 25
) Xd = 0,3906 /mi
O valor de Deq e obtido por interpolacao:
25
24
24,7712
0,3856 0,3906Xd Xd
Deq
25 240,3906 0,3856 =
24,7712 24Xd 0,3856
Xd = 0,3895 /mi
e a reatancia por fase vale:
XL = Xa +Xd = 0,399 + 0,3895 = 0,7885 /mi
55
-
5.7.9 Condutores multiplos por fase
I Extra-alta tensao (EAT ou EHV) por exemplo 440 kV efeito corona excessivo
Corona: descargas que se formam na superfcie do condutor quando a intensidade
do campo eletrico ultrapassa o limite de isolacao do ar. Consequencias: luz, rudo
audvel, rudo de radio (interferencia em circuitos de comunicacao), vibracao do
condutor, liberacao de ozonio, aumento das perdas de potencia (deve ser suprida
pela fonte)
I Solucao: colocacao de dois ou mais condutores por fase cabos multiplos (bundledconductors)
d
dd
D
d D
I Outras configuracoes:
ddd
d
d
56
-
I Outra vantagem dos cabos multiplos: reducao da reatancia (aumento do RMG). O
RMG e calculado por:
2 condutores Dbs =4
D2s d2 =
Ds d
3 condutores Dbs =9
D3s d6 = 3
Ds d2
4 condutores Dbs =16
D4s d12 22 = 1,09 4
Ds d3
I Equacoes da indutancia e reatancia sao as mesmas, substituindo-se o RMG Ds do
condutor simples por Dbs para cabos multiplos
I A corrente nao e distribuda uniformemente entre os condutores da fase, pois
reatancias por fase nao sao iguais. Essa diferenca e pequena e geralmente e
desprezada
Exemplo
Determine a reatancia da linha trifasica mostrada a seguir.
d
a b ca b c
D
Condutor ACSR Pheasant
d = 45 cm
D = 8 m
Comprimento da linha ` = 160 km
Da tabela A.3, obtem-se o RMG do condutor Pheasant:
Ds = 0,0466 0,0466 0,3048 = 0,0142 m
57
-
No entanto, cada fase e composta por dois condutores deve-se calcular o RMGdo cabo:
Dbs =4
0,01422 0,452 = 0,0799 m
Espacamento equilatero equivalente para a configuracao dada (DMG mutua) aproximacao considerando-se apenas as distancias entre os centros das fases:
Deq =38 8 16 = 10,0794 m
O calculo correto do espacamento equilatero equivalente neste caso seria:
DMGab = DMGbc =48 8,45 7,55 8 = 7,9937 m
DMGca =416 16,45 15,55 16 = 15,9968 m
Deq =37,9937 7,9937 15,9968 = 10,0734 m
que praticamente corresponde ao mesmo resultado anterior.
Reatancia por metro por fase:
XL = 2pi 60 2 107 ln10,0794
0,0799= 0,3647 m/m
Como a linha tem 160 km, a reatancia total por fase da linha sera:
X = XL 160000 = 58,36
58
-
5.7.10 Linhas trifasicas de circuitos em paralelo
I Duas linhas trifasicas identicas em paralelo possuem a mesma reatancia indutiva.
A reatancia equivalente sera igual a` metade de cada reatancia individual, desde que
a distancia entre as linhas seja tao grande que a indutancia mutua entre elas possa
ser desprezada
I Duas linhas trifasicas em paralelo na mesma torre indutancias mutuas entre oscircuitos deve ser considerada
I O metodo de calculo e semelhante ao que foi mostrado anteriormente
I Considera-se sempre que haja a transposicao, resultando em calculos mais simples
e resultados suficientemente precisos
59
-
Exemplo
Uma linha trifasica de circuito duplo e constituda de condutores ACSR 26/7 tipo Ostrich
de 300.000 CM dispostos de acordo com a figura a seguir. Determine a reatancia
indutiva por fase a 60 Hz em /mi.
a
b
c a
b
c
18
18
21
10
10
Pela tabela A.3, o RMG do condutor tipo Ostrich e Ds = 0,0229
DMG entre as fases a e b:
Dab =102 + 1,52 = 10,1119 = Dab
Dab =102 + 19,52 = 21,9146 = Dab
DMGab =[(10,1119 21,9146)2
]1/4= 14,8862
DMGbc = DMGab = 14,8862
60
-
DMG entre as fases c e a:
DMGca =[(20 18)2
]1/4= 18,9737
Espacamento equilatero equivalente:
Deq = (DMGab DMGbc DMGca)1/3 = 16,1401
RMG: lembrando que assume-se a transposicao
Trecho 1 fase a ocupando posicao original:
Daa =202 + 182 = 26,9072
RMG1 =[(0,0229 26,9072)2
]1/4= 0,7850
Trecho 2 fase a ocupando posicao originalmente ocupada por b:
Daa = 21
RMG2 =[(0,0229 21)2
]1/4= 0,6935
Trecho 3 fase a ocupando posicao originalmente ocupada por c :
RMG3 = RMG1 = 0,7850
61
-
x RMG da fase a:
RMG =(0,78502 0,6935
)1/3= 0,7532
Indutancia:
L = 2 107 ln(16,1401
0,7532
)= 6,1295 107 H/m
Reatancia por fase:
XL = 2pif L = 2,3108 104 /m = 0,3718 /mi
62
-
Exerccio
Repita o exemplo anterior para a configuracao de linha mostrada a seguir e compare os
resultados obtidos.
a
b
c c
b
a
18
18
21
10
10
(Resposta: X = 0,3962 /mi, 6,5% maior)
63
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