Álgebra booleana e tabelas-verdade
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Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Prof. Ohara Kerusauskas Rayel
Disciplina de Eletrônica Digital - ET75C
Curitiba, PR
9 de abril de 2015
1 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Álgebra BooleanaPrincipal diferença para a álgebra convencional: variáveis sóassumem os valores 0 e 1
É um modo de expressar a relação entre entradas e saídas de umcircuito lógico
Exemplo: A é uma variável booleana. Dois valores possíveis: A = 0e A = 1
Tabela: Termos sinônimos
Lógico 0 Lógico 1
Falso VerdadeiroDesligado Ligado
Baixo AltoNão Sim
2 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Álgebra Booleana
Mais fácil que a álgebra convencional, pois somente 2 valores sãopossíveis!
Não existem portanto frações, números negativos, raízes,logaritmos, números imaginários, e assim por diante!
Só existem 3 operações básicas: AND (E), OR (OU) e NOT (NÃO).
3 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Operação OR (OU)
Deve retornar verdadeiro quando uma OU outra variável éverdadeira
Exemplo: tela do celular. Deve apagar quando se aproxima do rostoOU quando se aperta o botão para desligar
Digamos que A representa proximidade com o rosto, e B representabotão apertado. X = 0 representa tela ligada, X = 1 tela desligada
Tabela: Operação OU entre A e B
A B X
0 0 00 1 11 0 11 1 1
4 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
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Operação OR (OU)
É representada pelo sinal + na Álgebra Booleana. Ex.: X = A + B
Quanto é então 1 + 1?
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Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Operação OR (OU)
É representada pelo sinal + na Álgebra Booleana. Ex.: X = A + B
Quanto é então 1 + 1?
1, pois a operação OU entre dois valores VERDADEIRO temresultado VERDADEIRO
Portanto, a operação OU gera resultado 1 sempre que quaisquer dasvariáveis seja 1
5 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Operação AND (E)Deve retornar verdadeiro somente quando uma E outra variável éverdadeira
Exemplo: máquina de lavar roupas. Deve funcionar quando o botãoIniciar é pressionado E a porta estiver fechada
Digamos que A representa botão iniciar pressionado, e B portafechada. X = 0 representa máquina desligada, X = 1 máquinafuncionando
Tabela: Operação E entre A e B
A B X
0 0 00 1 01 0 01 1 1
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Operação AND (E)
É representada pelo sinal · na Álgebra Booleana. Ex.: X = A · B
Funciona exatamente como a multiplicação da Álgebra Tradicional.Quanto é então 0 · 1?
7 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
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Operação AND (E)
É representada pelo sinal · na Álgebra Booleana. Ex.: X = A · B
Funciona exatamente como a multiplicação da Álgebra Tradicional.Quanto é então 0 · 1?
0, a operação E gera resultado 1 somente se todas as variáveisforem 1
7 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
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Operação NOT (NÃO)
Deve retornar o valor inverso ao valor da variável de entrada
Exemplo: aviso de combustível na reserva. Se o nível NÃO estáacima do volume de reserva, o aviso é emitido.
Digamos que A representa nível acima do volume de reserva. A = 0representa portanto volume abaixo do volume de reserva.
Tabela: Operação NÃO A
A X
0 11 0
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Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Operação NOT (NÃO)
É representada pelo sinal X na Álgebra Booleana
Quanto é então 0?
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Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Operação NOT (NÃO)
É representada pelo sinal X na Álgebra Booleana
Quanto é então 0?
1, pois a operação NÃO sempre inverte o valor da variável
9 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
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Precedência de Operador
Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · B + C?
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Precedência de Operador
Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · B + C?
1, pois a operação AND deve ser sempre executada antes daoperação OU
Portanto: A · B = 0.
0 + 1 = 1.
Se tivéssemos executado a operação OU antes, qual seria oresultado?
10 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Precedência de Operador
Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · B + C?
1, pois a operação AND deve ser sempre executada antes daoperação OU
Portanto: A · B = 0.
0 + 1 = 1.
Se tivéssemos executado a operação OU antes, qual seria oresultado?
0, pois B + C = 1 −→ 0 · 1 = 0
10 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Precedência de Operador
Parênteses possuem precedência sobre a operação AND
Se houver parênteses, a expressão dentro dos mesmos deve ser aprimeira a ser realizada
Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · (B + C )?
11 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Precedência de Operador
Parênteses possuem precedência sobre a operação AND
Se houver parênteses, a expressão dentro dos mesmos deve ser aprimeira a ser realizada
Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · (B + C )?
0, pois B + C = 1 = 0 −→ 0 · 0 = 0
Quando a operação não aparece sobre uma expressão, primeiroobtém-se o resultado da expressão, para depois aplicar a operaçãoNÃO
11 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
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Tabelas-VerdadeNada mais são do que tabelas listando as saídas para todos osvalores de entrada possíveis
Exemplo: A · B + C?
Tabela: Tabela-Verdade X = A · B + C
A B C X
0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1
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Exercício
Construa a Tabela-Verdade da seguinte função: x = A · BC · A + D
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Exercício
Construa a Tabela-Verdade da seguinte função: x = A · BC · A + D
A B C D t = ABC u = A + D v = A + D x = tv
0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 1 1 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 00 1 0 1 0 1 0 00 1 1 0 1 0 1 10 1 1 1 1 1 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 1 0 01 1 0 0 0 1 0 01 1 0 1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 1 0 0
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Teoremas Booleanos
Álgebra booleana pode ser usada para auxiliar na descrição decircuitos lógicos
Teoremas booleanos poderão nos ajudar a simplificar estes circuitos
Se simplificamos a expressão algébrica, consequentementesimplificamos o circuito
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Teoremas Booleanos
Teorema 1: x · 0 = 0 Teorema 2: x · 1 = x
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Teoremas Booleanos
Teorema 3: x · x = x Teorema 4: x · x = 0
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Teoremas Booleanos
Teorema 5: x + 0 = x Teorema 6: x + 1 = 1
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Teoremas Booleanos
Teorema 7: x + x = x Teorema 8: x + x = 1
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Substituindo Variáveis
Podemos aplicar os teoremas anteriores em expressões que possuammais de uma variável, quando possível
Exemplo: AB(AB)
Se chamarmos x = AB, a expressão anterior fica xx
Pelo teorema 4, concluímos que AB(AB) = 0
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Teoremas Booleanos
Teorema 9:
x + y = y + x
Comutatividade da operação OR
Teorema 10:
x · y = y · x
Comutatividade da operaçãoAND
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Teoremas Booleanos
Teorema 11:
x + (y + z) = (x + y) + z
Associatividade da operação OR
Teorema 12:
x · (y · z) = (x · y) · z = xyz
Associatividade da operaçãoAND
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Teoremas Booleanos
Teorema 13:
(w + x) · (y + z) =wy + wz + xy + xz
Lei da Distributividade. Inverso:
A·B ·C+A·B ·C = B(A·C+A·C )
Teorema 14: diferente daálgebra comum. Prove usandoos teoremas anteriores!
x + xy = x
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Teoremas Booleanos
Teorema 13:
(w + x) · (y + z) =wy + wz + xy + xz
Lei da Distributividade. Inverso:
A·B ·C+A·B ·C = B(A·C+A·C )
Teorema 14: diferente daálgebra comum. Prove usandoos teoremas anteriores!
x + xy = x
x(1+y) = x(1) = x
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Teoremas Booleanos
Teorema 15: Prove usando os teoremas anteriores!
x + xy = x + y
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Teoremas Booleanos
Teorema 15: Prove usando os teoremas anteriores!
x + xy = x + y
x(1 + y) + xy
x + xy + xy
x + y(x + x)
x + y
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Teoremas de De Morgan
Teorema 16:
(x + y) = x · y
(x + y + z) = x · y · z
Teorema 17:
(x · y) = x + y
(x · y · z) = x + y + z
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Universalidade NAND
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Universalidade NOR
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Exercícios
Construa as Tabela-Verdade das seguintes funções:
1 x = A · B + C · D · (B + D)
2 x = (A + B · D) · D · C + A
3 x = (A + D) · C + B · D + A · C
27 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
ExercíciosDetermine a expressão de saída simplificada, sem negação dupla:
Simplifique as seguintes expressões:S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
Resposta: AC + B
S = ABCD+ ABCD+ABC D+ ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
Resposta: AB + CD
S = [(B + C + D)(A + B + C ) + C ] + ABC + B(A + C )
Resposta: C + AB
S = A[B(C + D) + A(B + C)] + CD + ABC + AB
Resposta: CD + AB + AD
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Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios
Exercícios
Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, alémdos seguintes exercícios do livro “Sistemas digitais: princípios e
aplicações": 3-19, 3-20, 3-21, 3-22, 3-24, 3-26, 3-29, 3-32, 3-38 e3-41.
29 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade
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Próxima Aula:
Mapas de Karnaugh!
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