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Jessica Kubrusly 1,4, Hélio Lopes 1,3, e Álvaro Veiga 2,3
Um Novo Modelo Probabilístico para Estimação de Reservas do Tipo IBNR
1 Departamento de Matemática 2 Departamento de Engenharia Elétrica 3 IAPUC 4 Bolsista FUNENSEG
IntroduçãoIntrodução
IBNR (Incurred But Not Reported):
Representa a soma de todos os sinistros ocorridos mas ainda não avisados à seguradora.
Alguns Trabalhos Anteriores
1934 Tarbell, T. F. Incurred but not reported claim reserves
Proceedings for the Casualty Actuarial Society - Part II Volume XX
1985 Hertig, J. A statistical approach to ibnr-reserves in marine reinsurance
ASTIN Bulletin –
15:171-183
1996 Doray, L.G. Umvue of the ibnr reserve in a lognormal linear regression model
Insurance: Mathematics and Economics
Ano Autor Título Jornal ou Revista
Alguns Trabalhos Anteriores
1999 Herbst, T. An application of randomly truncated data models in reserving ibnr claims
Insurance: Mathematics and Economics
2002 England, P.D.
and
Verrall, R.J.
Stochastic claims reserving in general insurance
British Actuarial Journal, 8(3):443-518(76)
2004 De Jong, P. Forecasting General Insurance Liabilities
Department of Actuarial Studies Research Series
Ano Autor Título Jornal ou Revista
IntroduçãoIntrodução
O objetivo principal desse trabalho é apresentar um novo estimador probabilístico para a média do IBNR que leve em consideração não só os sinistros avisados como também os dados das apólices.
IntroduçãoIntrodução
Esse método utiliza os seguintes dados de entrada: O valor total assegurado; O período de exposição; A data de ocorrência, a data de aviso e o valor do
sinistro, para as apólices com sinistro.
O Novo Estimador - NotaçãoO Novo Estimador - Notação
= data presente N = número total de apólices
Para cada apólice i , seja: Yi = o valor total assegurado;
[ai , bi] = o período de exposição;
yi = o valor do sinistro;
i = yi / Yi .
O Novo Estimador - ModeloO Novo Estimador - Modelo
N
iii IYIBNR
1
avisado não ainda e i apólice na sinistroOcorreu
O Novo Estimador - ModeloO Novo Estimador - Modelo IBNRE
N
iii IYE
1
avisado foi não ainda e i apólice na sinsitroOcorreu
N
iii IYE
1
avisado foi não ainda e i apólice na sinistroOcorreu
N
iii IEY
1
avisado foi não ainda e i apólice na sinsitroOcorreu
N
iii IEEY
1
avisado foi não ainda e i apólice na sinistroOcorreu
N
iii PEY
1
avisado foi não ainda e i apólice na sinistroOcorreu
N
iii PPEY
1
i sinistroocorreu i sinistroocorreu | i sinistro avisado foi não
O Novo Estimador - ModeloO Novo Estimador - Modelo
Então, temos que estimar: E[i] P(não foi avisado sinistro i | ocorreu sinistro i) P(ocorreu sinistro i)
N
iii PPEYIBNRE
1
i sinsitroocorreu i sinsitroocorreu | i sinistro avisado foi não][
O Novo Estimador O Novo Estimador - - E[i]
n
i i
ii Y
y
nE
1
1
Onde n = número de apólices com sinistro; Yi = valor total assegurado na i-ésima apólice;
yi = valor do sinistro da i-ésima apólice.
O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)
Onde, para a i-ésima apólice com sinistro ocorrido temos: Si = instante em que o sinistro ocorreu,
Si Uniforme(ai,bi) ;
Di = tempo entre o dia da ocorrência o o dia do aviso
Di Lognormal(,) .
ii DSPP i sinistroocorreu | i sinistro avisado foi não
O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)
Por que usamos Si Uniforme?
Dados dois intervalos I1 e I2 do mesmo tamanho espera-se que P(Si I1) = P(Si I2). Dessa forma, Si deve ser modelada como uma variável aleatória uniforme.
Como [ai,bi] é o período de exposição da i-ésima apólice, Si Uniform(ai,bi).
O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)
Por que usamos Di Lognormal?
Os testes de Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling mostraram que a Lognormal é a distribuição mais adequada para Di.
Tabela gerada pelo Easy Fit
O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)
Primeiro, os parâmetros da distribuição Lognormal foram estimados.
Em seguida, utilizando o método de Monte Carlo, determinou-se uma estimativa para P(Si+Di>).
O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..)- P(..)
Ti = tempo entre o início da exposição e o acontecimento de um sinistro na apólice i. Ti é uma variável aleatória sem memória;
Ti > 0;
Ti exp( )
iii abTPP i sinsitroocorreu
O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..)- P(..)
será estimado pelo uso do algoritmo EM.
i sinsitroocorreu P
)( iii abTP
ii ab t
dte0
1
ii ab
e
1
O Novo EstimadorO Novo Estimador – Algoritmo – Algoritmo EM
é o limite da sequencia definida por:
Onde, A = conjunto dos índices das apólices com sinistro. B = conjunto dos índices das apólices sem sinistro. na= número de elementos em A.
nb= número de elementos em B.
O Novo EstimadorO Novo Estimador
N
i
ab
iiiNOVO
ii
eDSPYIBNR1
ˆ1
ResultadosResultados
IBNR1 : Chain Ladder
IBNR2 : Hertig’s model
IBNR3 : Doray’s UMVUE model
ResultadosResultadosIBNR1 IBNR2 IBNR3 IBNRNOVO IBNROBSERVADO
FEV 0.085 0.085 0.085 3.592 0.582
MAR 0.860 0.878 0.828 3.544 0.897
ABR 1.787 1.834 1.889 3.168 1.256
MAI 5.941 6.036 6.077 2.824 1.455
JUN 1.340 1.680 2.437 2.532 1.152
JUL 1.510 1.954 2.327 2.397 1.343
AGO 2.364 2.990 3.378 2.306 1.485
SET 2.352 2.982 3.528 2.203 1.487
OUT 2.094 2.566 3.058 2.073 1.589
NOV 2.398 2.974 3.392 1.934 1.654
DEZ 1.368 1.590 1.955 1.793 1.768
ResultadosResultados
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
FEB MAR APR MAY J UN J UL AUG SEP OCT NOV DEC
IBNR1
IBNR2
IBNR3
IBNRNEW
IBNROBSERVED
ResultadosResultados
FEV 0.302 1.010 812.60 127.86
MAR 0.299 1.006 1311.82 129.87
ABR 0.298 1.009 1765.80 130.11
MAI 0.295 1.011 2136.60 129.68
JUN 0.292 0.977 2480.67 128.20
JUL 0.299 0.977 2764.38 125.95
AGO 0.306 0.984 3027.66 123.00
SET 0.311 0.992 3301.46 120.08
OUT 0.313 0.999 3611.83 118.16
NOV 0.314 1.000 3947.43 116.46
DEZ 0.314 4305.56 115.57
Resultados Com Beta FixoResultados Com Beta FixoIBNRNOVO IBNROBSERVADO
FEV 0.689 0.582
MAR 1.096 0.897
ABR 1.316 1.256
MAI 1.421 1.455
JUN 1.476 1.152
JUL 1.553 1.343
AGO 1.635 1.485
SET 1.702 1.487
OUT 1.747 1.589
NOV 1.776 1.654
DEZ 1.794 1.768
Resultados Com Beta FixoResultados Com Beta Fixo
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
FEB MAR APR MAY J UN J UL AUG SEP OCT NOV DEC
IBNR1
IBNR2
IBNR3
IBNRNEW
IBNROBSERVED
Comentários Finais
O novo estimador mostrou-se mais suave.
Uma estável para o beta resulta numa estimativa estável para a reserva IBNR.
Para melhores resultados seria necessário testar o novo estimador em outros bancos de dados.
Trabalhos Futuros
Calcular a variância do novo estimador.
Modificar o modelo de forma a incluir mais de um sinistro.
Adaptar o modelo para o caso de seguro de vida.
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