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IM250 – Prof. Eugênio Rosa

CINEMÁTICA

Assista Flow Visualization

Download film notes

CONTEÚDO DA AULA

i. Definição de fluido;

ii. Definição de contínuo;

iii. Referencial Lagrangeano e Euleriano;

iv. Campos de Velocidade (regimes 1D, 2D, 3D, transiente);

v. Representação dos campos: linha do tempo, trajetória partícula; linha de emissão de linha de corrente;

vi. Derivada Substantiva e seu significado;

vii. Tensor deformação do fluido e sua decomposição;

viii.Vorticidade;

Definição de Fluido

Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:

O Fluido se deforma continuamente

O Sólido se deforma, mas não continuamente

Sólido Fluido

O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.

Fluido como um Continuo

Os fluidos são compostos de moléculas em constante

movimento.

1 mol de gás contém 1023 moléculas, não é possível simular a

trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os

efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade,

pressão, temperatura, etc.

O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa

de lado o comportamento individual das moléculas.

Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da

mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do

problema

Fluido como um Contínuo

Definição da densidade num ponto

infinitezimal requer um cubo com

arestas maiores que 10-6 m

Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um

valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular

o ponto C do espaço

Dimensões comparadas ao metro

1mm = 10-3m milimetro

1m = 10-6m micrometro (‘micro word’ 100 m a 1 m)

1nm = 10-9m nanometro (grandeza da ordem do átomo)

1A = 10-10 m Angstrom (grandeza da ordem do átomo)

1pm = 10-12m picometro

Considere um mol de gás (6x1023 moléculas) a P e T de 105 Pa e 300K e a

constante universal dos gases 8.31 J/(mol K).

Calcule o volume que o gás ocupa: V = P/RT = 24,94 litros

Considere agora um cubo com aresta de 1m, volume = 10-15 litros

Calcule o No moléculas no volume. No = 6x1023x10-15/24,94 = 2.4x107!

O No moléculas num cubo de aresta de 1m

Referencial

Euler x Lagrange

Métodos de Descrição

Referencial Lagrangeano:

Acompanha elementos de massa identificáveis;

Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de

cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.

Referencial Euleriano

Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento

num determinado ponto do espaço como função do

tempo;

As propriedades do campo do escoamento são descritas

como funções das coordenadas espaciais e do tempo;

Lagrange: segue a trajetória de partículas

com identidade fixa

ttr 20

t,c,b,azz

t,c,b,ayy

t,c,b,axx

dtzddtdwa

dtyddtdva

dtxddtdua

Eqs. paramétricas da trajetória de uma

partícula que t =t0, x=a, y=b e z=c

Velocidade partícula Aceleração partícula

Em t = t0, r (t0) = ai + bj + ck ^ ^ ^

Euleriano: descreve o que ocorre em

diferentes posições do campo do escoamento

t,z,y,xww

t,z,y,xvv

t,z,y,xuu

Anemômetro

O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no

tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x0,y0)

ele vai registrar a velocidade:

Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x0,y0)

será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para

o ponto (x1,y1) você obterá um novo valor de velocidade

(x0,y0) (x1,y1)

Relação Coordenadas: Euler e Lagrange

No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x0,y0,z0)

coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por

este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano):

0000000

dtt,z,y,xZdt,z,y,xww

dtt,z,y,xYdt,z,y,xvv

dtt,z,y,xXdt,z,y,xuu

Euler Lagrange

Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial:

EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento.

Policial: segue um veículo

Lagrangeano x Euleriano

A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com 1

segundo de injeção.

Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd,

cortesia Prof. Altemani DE.

Tente acompanhar como o CO2 se dispersa (Lagrangeano)

Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia

(Euleriano)

Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração

mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .

2 seg após injeção

mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.

mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.

Todas as leis físicas são definidas para um referencial

Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento,

energia etc.

Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade)

Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os

fluidos, dentro deste contexto?

Reescrever as leis a partir de um referencial Euleriano que

define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.

Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds

(cap 3).

Campo de Velocidade

Um conceito EULERIANO

Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma

função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo

(t) – referencial euleriano;

Ou em termos de suas componentes:

(u,v,w), também dependem de x, y, z e t.

Campo de Velocidade

ESCOAMENTO PERMANENTE

As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não mudam

com o tempo, então:

ESCOAMENTO TRANSIENTE:

As propriedades em cada ponto do escoamento

mudam com o tempo, então:

Campo de Velocidade

zy,x,V V ou 0 t

Escoamentos 1D, 2D e 3D

Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade .

Exemplos:

Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D

permanente e D1 xVV

transiente e D1 t,xVV

permanente e D2 y,xVV

transiente e D3t,z,y,xVV

Escoamento 1D

Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O

perfil de velocidades é dado por:

A velocidade axial é função

do “r”

r-1 u u

Escoamento 2D em um Difusor Plano

A velocidade varia em y e x.

O canal é considerado como infinito em z. O campo de

velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os

planos, ou seja, invariável na direção z.

Escoamento 3D

Escoamento em rotação

na vizinhança da parede

de um disco estacionário.

A velocidade varia nas

direções x, y e z.

Campo de Velocidades: regime permanente e 2D

Escoamento

laminar sobre

uma placa, plano

Resultados

produzidos pelo

PHOENICS cfd

Campo Vetorial (j,k)

Campo escalar w(y,z)

superposição

PIV imagem: campo de velocidades

instantâneas num plano, experimental

Outras Formas de Representação Visual do

Campo de Escoamento

É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das

velocidades das partículas por meio de:

Linhas de tempo (experimental)

Trajetória da partícula (experimental)

Linhas de emissão (experimental)

Linhas de Corrente (matemática)

Assista o filme NCFMM “Flow Visualization”

Linhas de Tempo

Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas

simultaneamente num dado instante do tempo:

• making timelines 1

• making timelines 2

Links p/ técnica de bolha de

hidrogênio: (1) e (2)

Trajetória e Linhas de Emissão

Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano).

Linha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço

Injetor de fumaça

veja túnel de fumaça

Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão

Em regime permanente, a trajetória da partícula é coincidente com a

linha de emissão , veja filme.

A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente!

Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal

alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha ->

trajetória.

Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a

trajetória!

emissão emissão + trajetória

Placa Plana Oscilante

Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento

transiente as linhas de emissão não coincidem com a

trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de

corrente!

Linha de Corrente

R(t+dt)

Linha de corrente

Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática

da linha de corrente:

Definição: tangente ao vetor velocidade em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.

Linhas de Corrente 1: linhas de correntes são tangentes ao vetor velocidade. Consequência:

não há escoamento normal a elas.

flow no- flow

Impossível!

2: linhas de corrente não se cruzam no interior do escoamento, do contrário haveria extinção ou produção de massa.

Escoamento num cilindro com circulação. Cruzamento linhas de corrente num ponto

de estagnação! Não viola item (2)

Importante

Em regime permanente, a trajetória das

partículas é coincidente com a linha de

emissão que por sua vez também coincide

com a linha de corrente

Exemplo Um campo de velocidade é dado por:

Obtenha uma equação para as linha de corrente e outra para a trajetória de uma partícula no plano xy para aquela que passou pelo ponto (x,y) = (1,2)

1m/s B e 3m/sA ;jAyiBAxV

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y(3x+1)=C

Derivada Total ou

Substantiva

Ela relaciona a taxa de variação no tempo de uma propriedade

(H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano

a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!

Para que serve Derivada Total?

Todas as leis físicas são definidas para um referencial

Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento,

energia etc

Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade)

Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os

fluidos, utilizando um referencial Lagrangeano?

A derivada Total é a taxa de variação no tempo seguindo uma

partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a

partir de um referencial Euleriano.

Ref. Lagrangeano:

segue a partícula

r(t+dt)

Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano.

Referencial Euleriano: fixo no

espaço ele define o campo de

velocidades em função do ponto.

tz,y,xvvtz,y,xvv

tz,y,xuutz,y,xuu

,22222,11111

Como seguir uma partícula num fluido? Conceito Lagrangeano.

Como definir uma aceleração?

1 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆr x i y j e r x i y j

Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...)

Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua

concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza.

Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um

bote com motor e um medidor da concentração C do contaminante.

Você realizou três medidas dentro do bote: parado, movendo e motor

desligado. Cada medida c/ um resultado diferente! Tente explicar

porque:

1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma

concentração;

2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a

velocidade Vb e mediu outra concentração;

3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a

correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.

Barco Estacionário, Vb = 0

Se o barco está estacionário, o

sensor de poluição medirá uma

concentração C que passa pelo

ponto de medida : x

A variação da concentração c é função

do tempo e do espaço:

Barco Movimentando

com Vb ≠ 0

Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são

independentes mas estão relacionados por Vb:

dtvdy e dtudx bb

A taxa temporal de c é determinada por:

Barco Movimentando com

a correnteza Vb = V

y Se o bote desloca junto com a

correnteza então:

Desta maneira o medidor de concentração irá medir a

variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula

carregada pela correnteza (CONCEITO

LAGRANGEANO!!!)

Derivada Total, Material ou Substancial

• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal

de variação de uma grandeza escalar ou vetorial SEGUINDO uma

partícula de fluido.

• f é uma variável genérica, sua derivada substancial:

• Sua taxa de variação, Df/Dt, é coincidente com aquela determinada por

um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um

referencial EULERIANO.

• Nota: o termo convecção é usualmente utilizado para transporte de

calor e advecção para transporte de uma concentração. Entretanto

muitos utilizam como sinônimos.

convectivo termo

transiente termo

forma vetorial

Derivada Total de um Escalar

• O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia interna,

entalpia, entropia, etc.

• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada por:

f Transiente

Convectivo – 2D

tT u T x v T y

tc u c x v c y

ˆ ˆu u x v u y

u h x v h y

Derivada Total de um Vetor

• A derivada total do vetor velocidade é a aceleração da partícula

medida de um referencial Lagrangeano.

• Para um escoamento 2D ela possui duas componentes:

f transiente Convectivo 2D

tu u u x v u y

tv u v x v v y

DV v DVV V v ; ou V V

Dt x Dt

Identidades para Aceleração do Campo

Aceleração seguindo uma

partícula:

DV VV V

Considere as

identidades: V V V V

DV V V V V

Dt t 2

Definindo o vetor vorticidade: V

V VV V

A relação acima será importante para derivar Bernoulli.

TAXA DE DEFORMAÇÃO

DO FLUIDO

• Fluidos são substâncias que se deformam continuamente

quando submetidas a uma tensão (normal ou cisalhante).

• A determinação da taxa de deformação será necessária para

estabelecer uma equação constitutiva para o fluido: ~

deformação

Estado simples de deformação (o que vc viu no seu curso de graduação)

Placas paralelas com espaçamento dy deslocam-se com velocidade relativa du. Calcule a deformação angular e sua taxa, d/dt

Como generalizar a taxa de deformação se ocorrer deformações nas três direções simultaneamente?

u0+du 0 0u du u dt du

dtdy dy

d du 1

dt dy seg

Note que a tensão, yx é proporcional à viscosidade ,

Natureza da Taxa de Deformação

Taxa de deformação é um conceito relativo, quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo à sua vizinhança;

Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.

Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional

Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy = du/dy

Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...

Deformação 2D de um Elemento Fluido

A taxa de deformação depende do movimento relativo de um ponto

em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre

ele e seus vizinhos.

Caso 2D há duas direções principais. Em t = 0 tem-se o triângulo

AOB, após t = dt observa-se o deslocamento e deformação devido às

diferentes vel. que atuam em AOB.

O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação

pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação

angular, deformação linear e rotação ( obs. a translação não entra!):

O’ dttr

Cinemática • Veja deformação de um elemento próximo a parede (filme).

• Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos

básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:

rotação

linear

angular

Assista o filme NCFMM “Deformation of Continua media”

Deformação de um Elemento Fluido

No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w

A velocidade na vizinhança de O é determinada por uma expansão em

série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:

u u uu du u dx dy dz

v v vv dv v dx dy dz

w w ww dw w dx dy dz

Deformação de um Elemento Fluido

A variação da velocidade de O para vizinhança é expressa por uma

matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:

Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido

( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e

portanto tem natureza tensorial.

A matriz é o tensor deformação do fluido D definido por:,

Tensor Deformação

Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por

Em notação vetorial,

333231

232221

131211

TTVDou VgradD

Partição Tensor de Deformação O tensor D i,j = ui/xj ( i = linha e j = coluna) pode ser decomposto

em uma parte simétrica e outra anti-simétrica:

j ji i

i j i j j i i j j i

j i j i

Tensor Simétrico Tensor Anti-Simétrico RS

u uu u1 1 1 1D D D = D D =

2 2 x x 2 2 x x

, , , , ,

TENSOR SIMÉTRICO

u 1 u v 1 u w 1 u v 1 u0

x 2 y x 2 z x 2 y x 2 z

1 v u v 1 v w

2 x y y 2 z y

1 w u 1 w v w

2 x z 2 y z z

TENSOR ANTI-SIMÉTRICO

1 v u 1 v w0

2 x y 2 z y

1 w u 1 w v0

2 x z 2 y z

Decomposição do Tensor Deformação

Vamos ver a seguir que:

1. A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear

do elemento

2. Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão

associados a deformação angular

3. Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação

do elemento fluido.

TENSOR SIMÉTRICO

u 1 u v 1 u w 1 u v 1 u0

x 2 y x 2 z x 2 y x 2 z

1 v u v 1 v w

2 x y y 2 z y

1 w u 1 w v w

2 x z 2 y z z

TENSOR ANTI-SIMÉTRICO

1 v u 1 v w0

2 x y 2 z y

1 w u 1 w v0

2 x z 2 y z

(1) Dilatação linear na direção x

Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0

deforma-se e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A

extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’.

O deslocamento relativo:

' '0 0

u u x dx u dtA C AC

A taxa de deformação linear na

direção é:

d A C ACD

As componentes nas outras

direções são:

yvDyy zwDzz

u x dt

(2) Deformação angular no plano xy

Um segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no

tempo t = 0 deforma-se no instante t = dt, em A’D’B’C’. O ângulo

original do vértice A deforma-se nos ângulos xy e yx

dydtyu

DD xy'

dv x dxdtCCv x

dx dtAC

A taxa de deformação angular é

definida como a média destes dois

movimentos:

A deformação angular e sua taxa:

yxxyyxxy

(3) Rotação no plano xy

Um segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira

sobre o vértice A e no instante t = dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O

ângulo original do vértice A é preservado! Não há deformação mas

rotação.

A taxa de rotação no plano (x,y) é definida

como a média de d/dt dos vértices. O

sinal ‘-’ para xy é porque u < 0!

Se o ângulo de A é

preservado então:

du y dydtDDu y

dy dtAD

dv x dxdtCCv x

dx dtAC

yxxyyxxy

Sinal: regra

mão direita

1. A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento.

2. Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação

angular.

3. Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação

do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente

rotação dos elementos.

xx xy xz xy xz

xy yy yz xy yz

xz yz zz xz yz

TENSOR S TENSOR R

SIMÉTRICO ANTI-SIMÉTRICO

S S S 0 R R

Def V S S S R 0 R

S S S R R 0

u u1S S

ij ijk

onde = 0 se dois índices forem iguais, = +1 se ijk = 1,2,3; 2,3,1;

3,1,2 e = -1 se ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2.

Dij = Sij + Rij

D = parte simétrica (shear) + parte anti-

simétrica (rotação)

Vetor Vorticidade,

Definição

de vetor

vorticidade:

i i ijk

i j ku

V ou x y zx

Observe que as componentes do vetor vorticidade , i, são

compostas por velocidades que existem num plano ortogonal.

w v u w v uˆ ˆ ˆV i j ky z z x x y

w v u w v uˆ ˆ ˆi; j ky z z x x y

Tensor Rotação e Vetor Vorticidade

As componentes do tensor Rotação, Rij, estão diretamente

associadas às três componentes do vetor vorticidade:

IMPORTANTE: vorticidade ou rotação do elemento são fenômenos

locais, isto é, linhas de corrente com curvatura não garantem que o o

fluido tenha rotação!

1 1z y2 2

1 1z x2 2

1 1y x2 2

1 u v 1 u w0 0 +

2 y x 2 z x

1 v u 1 v w+ 0 0

2 x y 2 z y

1 w u 1 w v 002 x z 2 y z

é igual a duas vezes a taxa de rotação do elemento de fluido.

Considere rotação no plano xy, rz é a média das taxas de rotação:

Relação entre Rij e

Um tensor anti-simetrico (Rij) possui somente 3 escalares distintos,

isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!

Para um elemento em estado de rotação pura (S ≡ 0),

R dr U dr = dU

1 v u 1 u w0

2 x y 2 z xdx i j k

1 v u 1 w v 10 dy det

2 x y 2 y z 2dz dx dy dz

1 u w 1 w v0

2 z x 2 y z

ˆ ˆdy dz i du i

ˆ ˆ dx dz j dv j

ˆ ˆdx dz k dw k

ij ijk ijk k

uu1 1R

2 x x 2

Para rotação pura, as componentes dU são definidas em termos da

rotação dos eixos e das distâncias dx, dy e dz

Vetor Vorticidade,

A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido.

Ela tem papel central no estudo de escoamentos com ausência de viscosidade.

Escoamentos onde é nulo são chamados de escoamentos irrotacionais.

Note que na parede (condição de não deslizamento) o fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!

As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.

Assista o filme NCFMM “Vorticity 1 and 2”

Baixe as notas dos filmes 1 e 2

Apêndice I

Expressões para a derivada total do vetor velocidade em

coordenadas cartesianas e cilíndrico-polar.

Aceleração de uma partícula de fluido num campo de velocidade

Sistema de coordenadas Cilíndrico Polar

Sistema de coordenadas Cartesiano

APROVEITAR SLIDES DE EM561 DU/Dt

para aula da ´PG

TAREFA PARA 2019

Métodos de Descrição Referencial Lagrangeano: Acompanha elementos de massa identificáveis; Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada

partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.

Referencial Euleriano: Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num

determinado ponto do espaço como função do tempo; As propriedades do campo do escoamento são descritas como

funções das coordenadas espaciais e do tempo;

As leis físicas (massa, 2ª lei Newton, Energia) aplicam-se para referencial Lagrangeano com elementos de massa identificáveis (todo curso de dinâmica baseia-se neste princípio!). No entanto, fluidos se deformam continuamente. Não é possível seguir cada partícula individualmente mas é possível determinar a aceleração seguindo uma partícula. Este é o tema desta aula!

A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com

1 segundo de injeção.

Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd.

Tente acompanhar como o CO2 se dispersa

(Lagrangeano)

Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia

(Euleriano)

Referencial Lagrangeano:

segue a partícula de fluido

r(t+dt)

Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano:

Mas, como seguir uma partícula no fluido?

Referencial Euleriano:

fixo no espaço, define o

campo de velocidades.

(x2,y2) (x1,y1)

Velocidade para um referencial

Euleriano:

Como definir uma aceleração??

1 1 1 1 2 2 2 2

u u x , y , t u u x , y , t

v v x , y , t v v x , y , t

Todas as leis físicas são definidas para um referencial Lagrangeano:

conservação massa, quantidade de movimento, energia etc

Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa.

Como tratar os fluidos que possuem a propriedade de se deformarem

continuamente sob ação de uma tensão?

Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os

campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.

Algo semelhante foi realizado em EM461 onde a taxa de variação do

sistema foi expressa por medidas a partir de um Volume de Controle.

Em EM561 pode-se determinar a aceleração seguindo uma partícula a

partir de um referencial Euleriano usando a Derivada Substantiva!

Um Experimento MENTAL... (Tente Imaginar)

Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A concentração

diminui a medida que é transportada pela correnteza. Você deve fazer

uma medida da poluição. Para isto você dispõe de: um bote a motor e um

medidor da concentração C do contaminante.

Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado

diferente! Tente explicar porque:

1) Com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração;

2) Com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração;

3) Com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.

Barco Estacionário, Vb = 0

Se o barco está estacionário, o

sensor de poluição medirá uma

concentração C que passa pelo

ponto de medida e que varia com o

tempo apenas: x

Vb ≠ 0

Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são

independentes mas estão relacionados por Vb:

dtvdy e dtudx bb

A taxa temporal de c é determinada por:

a correnteza Vb = V

y Se o bote desloca junto com a

correnteza então:

Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação

de ‘c’ SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela

correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)

Derivada Total, Material ou Substancial, D/Dt

• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa

temporal de variação de um escalar, ou vetor, SEGUINDO uma

partícula de fluido.

• A taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um

referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um

referencial EULERIANO.

• é uma variável genérica, sua derivada substancial:

• Importante: D/Dt é uma propriedade Lagrangeana (seguindo uma

partícula) obtida por meio de informação Euleriana (do campo de

velocidades e da propriedade )

termo notacao vetorial termo transiente

convectivo/advectivo

D u v V

Dt t x y t

Nota sobre convecção e advecção

• Frequentemente os termos convecção e advecção

são empregados como sinônimos do transporte de uma

propriedade pelo campo de velocidades, por exemplo:

q. movimento, energia ou concentração. termo convectivo/advectivo bidimensional

u vx y

• Estes termos podem ser diferenciados pelas definições:

Convectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de

um fluido em resposta a adição ou remoção de calor;

Advectivo - representa o mecanismo de transporte ( movimento) de

algum material dissolvido ou em suspensão em um fluido.

As definições dadas não são um consenso na literatura. Usualmente

são usadas como se fossem sinônimos.

Exemplos advecção

• As definições dadas no slide anterior não são um consenso na literatura.

Na prática elas são usadas como se fossem sinônimos.

Exemplos convecção

Derivada Total de um Escalar • O escalar pode ser concentração espécie química, temperatura,

energia interna, entalpia, entropia, etc.

• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula para um sistema

de coordenadas Cartesianas é dada por:

f Transiente

Convectivo

tT u T x v T y

tc u c x v c y

u u x v u y

u h x v h y

Derivada Total do Vetor Velocidade, DV/Dt

• A derivada total do vetor velocidade é aceleração da partícula

medida de um referencial Lagrangeano. :

• Para um escoamento 2D o vetor DV/Dt possui duas componentes:

f transiente convectivo

tu u u x v u y

tv u v x v v y

Para que serve mesmo o cálculo da derivada Total?

Lembre que todas as leis físicas foram feitas para sistemas.

A derivada total fornece a taxa de variação do sistema:

Como nossa próxima etapa é chegar a forma diferencial da Eq.

Quantidade de Movimento, estamos a um passo dela, já determinamos

a aceleração da partícula por exemplo!

Deve ser lembrado que a forma integral desta relação foi apresentada

no cap. 4 como sendo o Teorema de Transporte de Reynolds:

initezimalinf.C.Vsistema

sistema V C C SC

dB Dd dV V n dA

dt Dt t. .

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