introdução à teoria dos grafos

Bianca de Almeida Dantas

Introdução Terminologia Exemplos de Grafos Digrafos Percursos em Grafos Representação Computacional Problemas em Grafos Conclusões Bibliografia

Ramo da matemática que se utiliza de modelos (os grafos) para estudar as relações entre os objetos de um conjunto.

Figura 1 – Grafo com 4 vértices e 6 arestas.

Diversos problemas podem ser representados por grafos:◦ Trajetos entre cidades◦ Roteamento de veículos◦ Mapa de páginas de um site◦ Redes de computadores◦ Representação de máquinas de estados finitos

A obtenção de estruturas de dados e de algoritmos eficientes para manipulação de grafos é uma área de grande interesse da ciência da computação.

Um grafo é um par ordenado (V, A), onde V é um conjunto qualquer e A é um subconjunto de V(2) , o conjunto de todos os pares não-ordenados de V. Chamamos os elementos de V de vértices e os elementos de A de arestas.

Considere dois vértices u e v e uma aresta que os conecta, denotada por uv ou vu. Dizemos que a aresta uv incide em u e em v ou, ainda, que u e v são pontas da aresta uv.

Quando dois vértices são pontas de uma mesma aresta, eles são ditos vizinhos ou adjacentes.

Em algumas situações, é interessante dar nome a um grafo, por exemplo, G. Neste caso, o conjunto de vértices e de arestas são denotados por V(G) e A(G), respectivamente.

O número de vértices, |V(G)|, de G é denotado por n e o número de arestas, |A(G)|, é denotado por m.

Vértices: t, u, v, w, x, y, zArestas: xu, uv, vw, wx, xy, yzn = 7m = 6

O grau de um vértice é definido como o número de arestas incidentes em tal vértice.

2

2

2

32

1

0

Um grafo regular é aquele em que todos os vértices possuem o mesmo grau.

Um grafo regular com vértices de grau k é chamado de k-regular.

0-regular 1-regular 2-regular 3-regular

Um grafo completo G é aquele que possui arestas conectando todos os pares de vértices, ou seja, G(V, V(2)). Usualmente, são nomeados usando a letra K.

Grafo completo com 6 vértices (K6)

Também é um grafo 5-regular

O complemento de um grafo (V, A) é definido como (V, V(2) \ A).

Grafo Grafo completo Complemento

u

v

w x

y

z u

v

w x

y

z u

v

w x

y

z

Um caminho entre dois vértices v1 e v2 de um grafo é a sequência de arestas do trajeto saindo de v1 em direção a v2. Os vértices v1 e v2 são ditos extremos do caminho.

O comprimento de um caminho é o seu número de arestas.

Um caminho que começa e termina no mesmo vértice é chamado de ciclo ou circuito.

Um ciclo de comprimento 1 é chamado de laço.

Qual é o caminho de v a y?

u

v

w

x

t

y z

u

v

w

x

t

y z

Alternativa 1

Comprimento: 3

Alternativa 2

u

v

w

x

t

y z

Comprimento: 3

u

v

w

x

t

y z

Ciclo a partir do vértice u

u

v

w

x

t

y z

Um laço no vértice t

Em um grafo simples não existem laços e há no máximo uma aresta entre quaisquer par de vértices, ou seja, não existem arestas paralelas.

Um grafo G(V, A) é conexo se existe um caminho entre todos os pares de vértices de V.

Grafos podem ter pesos associados a suas arestas, representado por um número rotulando cada aresta.

Neste caso, o comprimento do caminho entre dois vértices (ou peso do caminho) corresponde à soma dos pesos das arestas que compõem o caminho.

u

v

w

x

t

y z

Caminhos entre v e y?

Alternativa 1 (verde):Peso = 13Alternativa 2 (vermelho):Peso = 11

2 4

3 17 6

Dizemos que o caminho vermelho é um caminho mínimo entre v e y, pois tem o menor peso entre

os caminhos possíveis.

O grafo dos estados do Brasil é definido assim: cada vértice é um dos estados da República Federativa do Brasil; dois estados são adjacentes se têm uma fronteira comum.

Grafo que representa as adjacências entre os estados do Brasil

Tipos especiais de grafos nos quais todas as arestas são direcionadas.

Caminhos em digrafos devem levar em consideração a direção das arestas.

Dois tipos de graus de vértices: ◦ Grau de entrada: número de arestas que “chegam”

no vértice;◦ Grau de saída: números de arestas que “saem” do

vértice.

u

v

w

x

t

y z

Caminho de v até y? E de y até v?

u

v

w

x

t

y z

Única alternativa de v até y! De y até v não existe

caminho.

E: 0S: 2

E: 1S: 1

E: 2S: 0

E: 1S: 2 E: 1

S: 1

E: 0S: 0

E: 1S: 0

Quais os graus de entrada (E) e

saída (S)?

Um digrafo D(V, A) é dito fortemente conexo se, para todos os pares de vértices (u, v) existe caminho de u para v e de v para u.

Um digrafo é fracamente conexo se sua “versão não-direcionada” for conexa.

Digrafo fortemente conexo

u

v

w

xy z

Digrafo fracamente conexo

Existem duas formas de percorrer todos os vértices de um grafo, geralmente chamadas de buscas:◦ Busca em Largura ou BFS (Breadth-First Search);◦ Busca em Profundidades ou DFS (Depth-First

Search).

Nesse percurso, partimos de um vértice inicial e percorremos todos os seus vizinhos, um a um, e então percorremos os vizinhos de cada um de seus vizinhos, na ordem em que foram visitados no passo anterior.

1

1

2

1

2 3

1

2 3

4

1

2 3

4 5

1

2 3

4 5 6

1

2 3

4 5 6 7

1

2 3

4 5 6 7

1

2 3

4 5 6 7

1

2 3

4 5 6 7

1

2 3

4 5 6 7

Grafos com essa estrutura são chamados de árvores.

Partindo de um vértice inicial, esse algoritmo visita os vértices um a um até o “filho mais profundo” que pode ser alcançado e, após descer na hierarquia, passa para o próximo “filho”.

1

1

2

1

2

3

1

2

3

1

2

3 4

1

2

3 4

1

2

3 4

1

2 5

3 4

1

2 5

3 4 6

1

2 5

3 4 6

1

2 5

3 4 6 7

1

2 5

3 4 6 7

1

2 5

3 4 6 7

1

2 5

3 4 6 7

Existem diversas estruturas que podem ser utilizadas para armazenar as informações de um grafo ou digrafo. Pode-se citar:◦ Matriz de adjacências;◦ Lista de adjacências;◦ Lista de arestas;◦ Matriz de incidências;◦ Listas de vértices e arestas

A matriz de adjacências para um grafo (digrafo) G (V, A) é uma matriz M de dimensão |V|x|V| na qual o elemento Mi,j será igual a 1 se existe uma aresta de i para j ou 0, caso contrário.

v6

v1

v2

v3v4 v5

v1 v2 v3 v4 v5 v6v1 0 1 0 0 0 1v2 0 0 1 0 0 0v3 0 0 0 1 0 1v4 0 0 0 0 1 0v5 0 0 0 0 0 0v6 0 0 0 0 0 0

Matriz de adjacências para o digrafo

v6

v1

v2

v3v4 v5

v1 v2 v3 v4 v5 v6v1 0 1 0 0 0 1v2 1 0 1 0 0 0v3 0 1 0 1 0 1v4 0 0 1 0 1 0v5 0 0 0 1 0 0v6 1 0 1 0 0 0

Matriz de adjacência para o grafo

Matriz simétrica!

Uma lista de adjacências para um grafo (digrafo) G (V, A) armazena para cada vértice u de V uma lista de todos os vértices v para os quais existe uma aresta uv.

v6

v1

v2

v3v4 v5

v1v2v3v4v5v6

v2 v6

v3

v4 v6

v5

Lista de adjacências para o digrafo

A representação de um grafo (digrafo) G(V,A) por lista de arestas utiliza dois vetores com |A| elementos para armazenar os extremos das arestas pertencentes a A.

v6

v1

v2

v3v4 v5

v1 v1 v2 v3 v3 v4

v2 v6 v3 v4 v6 v5

Vetor1

Vetor2

Lista de arestas para o digrafo

Uma matriz de incidências para um digrafoG(V,A) é uma matriz M de dimensão |V|x|A| em que cada elemento segue a equação:

No caso de grafos não-direcionais, temos que mij será 1 se vi for extremo de aj ou 0 caso contrário.

contrário caso 0,a de final vérticeofor vse 1,

a de inicial vérticeofor vse 1,

ji

ji

ijm

a1 a2 a3 a4 a5 a6v1 1 0 0 0 1 0v2 -1 1 0 0 0 0v3 0 -1 1 0 0 1v4 0 0 -1 1 0 0v5 0 0 0 -1 0 0v6 0 0 0 0 -1 -1

v6

v1

v2

v3v4 v5

a1 a2 a3 a4

a5 a6

Matriz de incidências para o digrafo

As listas de vértices e de arestas são a forma mais simples de representação de um grafo (digrafo) G(V,A). São mantidas duas listas uma com todos os vértices de G e outra com todas as arestas e seus extremos.

v6

v1

v2

v3v4 v5

a1 a2 a3 a4

a5 a6

v1v2v3v4v5v6

vi vja1 v1 v2a2 v2 v3a3 v3 v4a4 v4 v5a5 v1 v6a6 v3 v6

Lista de Vértices Lista de Arestas

Listas de vértices e de arestas para o digrafo

Fecho transitivo Problema do caminho mínimo Caixeiro viajante Carteiro chinês Coloração de vértices

O fecho transitivo Dt de um digrafo D é obtido adicionando uma aresta dirigida entre todos os pares de vértices vi e vj entre os quais exista um caminho que saia de vi em direção a vj.

Digrafo Dt de D

Ou seja, o fecho transitivo representa a inserção de uma nova aresta entre os vértices conectados indiretamente por um caminho.

Diversos algoritmos foram propostos para solução.

Muitas soluções se baseiam na matriz de adjacências.

1 2 3 4 5

1 0 0 1 0 0

2 0 0 1 1 0

3 0 0 0 0 1

4 0 0 0 0 1

5 0 0 0 0 0

1 2

3 4

5

1 2 3 4 5

1 0 0 1 0 1

2 0 0 1 1 1

3 0 0 0 0 1

4 0 0 0 0 1

5 0 0 0 0 0

1 2

3 4

5

Complexidade θ(n3) Baseia-se na premissa de que, se existe uma

aresta de vi para vk e uma aresta de vk para vj, então, deve existir uma aresta de vi para vj.

Sua estrutura permite fácil paralelização.

AlgoritmoEntrada: M – matriz de adjacênciasSaída: Mt – matriz de adjacências do fechoinicion <- |V|Mt <- Mpara k de 1 ate n faca

para i de 1 ate n facapara j de 1 ate n faca

se Mt[i,k]=1 e Mt[k,j]=1 entaoMt[i,j] <- 1

fimsefimpara

fimparafimpara

fimalgoritmo

O problema do caminho mínimo consiste na minimização do custo de travessia de um grafo entre dois ou mais vértices, levando em consideração o peso de cada aresta percorrida.

Caso os pesos sejam omitidos, considere-os iguais a um.

u

v

w

x

t

y z2 4

3 17 6

Caminho mínimo entre v e y

Computa os caminhos mínimos a partir de um vértice inicial v a todos os demais vértices.

Ele utiliza uma estratégia gulosa baseada na busca em largura.

Funciona apenas para grafos com pesos positivos.

Bellman-Ford: permite que as arestas tenham peso negativo.

A*: heurística que também permite arestas negativas.

Floyd-Warshall: distância entre todos os pares de vértices do grafo.

Johnson: realiza a mesma tarefa do anterior, podendo ser mais eficiente em grafos esparsos.

Conhecido pela sigla TSP (Travelling SalesmanProblem), consiste em encontrar o menor circuito a partir de um vértice fonte v e que passe por todos os demais vértices exatamente uma vez.

Também é um problema de otimização .

2

1 3

4 5

2

3

3

3

4

36

7

Qual rota o caixeiro deve seguir a partir

de 1?

2

1 3

4 5

2

3

3

3

4

36

7

Passo 1

2

1 3

4 5

2

3

3

3

4

36

7

Passo 2

2

1 3

4 5

2

3

3

3

4

36

7

Passo 3

2

1 3

4 5

2

3

3

3

4

36

7

Passo 4

2

1 3

4 5

2

3

3

3

4

36

7

Fim

. Essa é a única solução????

Achar a melhor solução é um problema bastante difícil, envolvendo a exploração de todas as possibilidades.

Problema NP-completo! A complexidade do problema cresce de

acordo com o tamanho do gráfico. Utiliza heurísticas para encontrar uma

aproximação para o problema, por exemplo, colônia de formigas.

O problema do carteiro chinês, ou problema da inspeção de rotas, consiste em encontrar um ciclo em um grafo conexo e não direcionado que passe por todas as suas arestas exatamente uma única vez.

2

1 3

4 5

2

3

4

67

Qual rota o carteiro deve seguir a partir

de 1?

2

1 3

4 5

2

3

4

67

Passo 1

2

1 3

4 5

2

3

4

67

Passo 2

2

1 3

4 5

2

3

4

67

Passo 3

2

1 3

4 5

2

3

4

67

Passo 4

2

1 3

4 5

2

3

4

67

Final.

Novamente um problema difícil de otimizar.

O problema da coloração de grafos consiste em rotular componentes do grafo (vértices, arestas ou faces) com uma determinada cor de forma que não haja dois elementos adjacentes da mesma cor.

No caso de vértices, dois vértices vizinhos precisam ser coloridos de cores diferentes.

No caso de vértices, dois vértices vizinhos precisam ser coloridos de cores diferentes.

Coloração de vértices.

No caso de arestas, arestas adjacentes ao mesmo vértice devem ter cores diferentes.

Coloração de arestas.

No caso de faces, as faces que compartilham fronteiras não devem ter a mesma cor.

Coloração de faces.

Problema bastante popular. O jogo Sudoku é baseado na coloração de

vértices.

Exemplo de Sudoku.

Problemas em grafos podem: ◦ Ser bastante custosos para resolver;◦ Demandar capacidade de processamento elevada;◦ Exigir grande quantidade de espaço de

armazenamento. Busca por alternativas à computação

sequencial tradicional. Desenvolvimento de novas heurísticas e

utilização de múltiplos núcleos de processamento.

Cáceres, E.N.; Song, S.W.; Szwarcfiter, J.L. A Parallel Algorithm for Transitive Closure.

Cormen. Thomas (2000); Leiserson, Charles.; Rivest, Ronald. Introduction to Algorithms, McGraw-Hill.

http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/ http://professor.ufabc.edu.br/~leticia.bueno/cla

sses/teoriagrafos/materiais/caminhominimo.pdf http://www.prp.unicamp.br/pibic/congressos/xv

icongresso/paineis/043171.pdf http://www.icmc.sc.usp.br/~sandra/2/cor.htm http://pt.wikipedia.org