integración numérica. la regla del...

beamer-tu-logo

Integracion Numerica.La regla del trapecio.

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: j.a.otero@itesm.mxweb: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes

3 La regla del trapecioProblema

4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema

5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes

3 La regla del trapecioProblema

4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema

5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Objetivo de la claseConocer e implementar los metodos numericos basicos para elcalculo aproximado de integrales mediante el empleo decomputadoras programables

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes

3 La regla del trapecioProblema

4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema

5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Integral

Integral

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Integral

IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:

I =

b∫a

f (x) dx,

y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Integral

IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:

I =

b∫a

f (x) dx,

y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Integral

IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:

I =

b∫a

f (x) dx,

y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Integral

IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:

I =

b∫a

f (x) dx,

y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Actividad

Actividad: trapz()

Dada la funcion f(x) = cos2(x)ex, calcular la integralaproximada en el intervalo [0 3] para un paso de 0.1. Utilizar lafuncion trapz() de Matlab.

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Formulas de Newton-Cotes

Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

fn (x) dx

donde fn (x) es un polinomio de la forma:

fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Formulas de Newton-Cotes

Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

fn (x) dx

donde fn (x) es un polinomio de la forma:

fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Formulas de Newton-Cotes

Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

fn (x) dx

donde fn (x) es un polinomio de la forma:

fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Formulas de Newton-Cotes

Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

fn (x) dx

donde fn (x) es un polinomio de la forma:

fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Formulas de Newton-Cotes

Integral

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes

3 La regla del trapecioProblema

4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema

5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecioLa regla del trapecio es la primera de las formulas deNewton-Cotes,Corresponde al caso de aproximar la funcion integrandopor un polinomio de primer grado, es decir una lınea recta.

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecioLa regla del trapecio es la primera de las formulas deNewton-Cotes,Corresponde al caso de aproximar la funcion integrandopor un polinomio de primer grado, es decir una lınea recta.

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f1 (x) dx

donde f1 (x) es la lınea recta dada por:

f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a).

El resultado de la integracion es:

I = (b− a)f(a) + f(b)

2.

Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f1 (x) dx

donde f1 (x) es la lınea recta dada por:

f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a).

El resultado de la integracion es:

I = (b− a)f(a) + f(b)

2.

Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f1 (x) dx

donde f1 (x) es la lınea recta dada por:

f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a).

El resultado de la integracion es:

I = (b− a)f(a) + f(b)

2.

Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f1 (x) dx

donde f1 (x) es la lınea recta dada por:

f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a).

El resultado de la integracion es:

I = (b− a)f(a) + f(b)

2.

Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio

I = (b− a)×AlturaPromedio

I = (b− a)f(a) + f(b)

2

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio

I = (b− a)×AlturaPromedio

I = (b− a)f(a) + f(b)

2

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio

I = (b− a)×AlturaPromedio

I = (b− a)f(a) + f(b)

2

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio

I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio

I = (b− a)×AlturaPromedio

I = (b− a)f(a) + f(b)

2

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Problema

ProblemaCalcular la integral de la funcion:

f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2

desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533. Evalue el error verdadero.

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes

3 La regla del trapecioProblema

4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema

5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio multipleConsideremos n+ 1 puntos igualmente espaciados(x0, x1, x2, · · · , xn−1, xn), por lo cual tenemos n segmentos delmismo ancho h:

h =b− a

n

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio multiple

I =

b∫a

f (x) dx =

x1∫x0

f (x) dx+

x2∫x1

f (x) dx+ · · ·+xn∫

xn−1

f (x) dx

I = hf(x0) + f(x1)

2+ h

f(x1) + f(x2)

2+ · · ·+ h

f(xn−1) + f(xn)

2

I =h

2

(f (xo) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

)

I = (b− a)

f (xo) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

2n

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio multiple

I =

b∫a

f (x) dx =

x1∫x0

f (x) dx+

x2∫x1

f (x) dx+ · · ·+xn∫

xn−1

f (x) dx

I = hf(x0) + f(x1)

2+ h

f(x1) + f(x2)

2+ · · ·+ h

f(xn−1) + f(xn)

2

I =h

2

(f (xo) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

)

I = (b− a)

f (xo) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

2n

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio multiple

I =

b∫a

f (x) dx =

x1∫x0

f (x) dx+

x2∫x1

f (x) dx+ · · ·+xn∫

xn−1

f (x) dx

I = hf(x0) + f(x1)

2+ h

f(x1) + f(x2)

2+ · · ·+ h

f(xn−1) + f(xn)

2

I =h

2

(f (xo) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

)

I = (b− a)

f (xo) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

2n

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Regla del trapecio multiple

I =

b∫a

f (x) dx =

x1∫x0

f (x) dx+

x2∫x1

f (x) dx+ · · ·+xn∫

xn−1

f (x) dx

I = hf(x0) + f(x1)

2+ h

f(x1) + f(x2)

2+ · · ·+ h

f(xn−1) + f(xn)

2

I =h

2

(f (xo) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

)

I = (b− a)

f (xo) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (xn)

2n

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Problema

ProblemaCalcular la integral de la funcion usando dos segmentos:

f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2

desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533. Evalue el error verdadero.

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes

3 La regla del trapecioProblema

4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema

5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Programa: int trapecio v1

Programa MATLAB: Regla del trapecio

function i n t t r a p e c i o v 1 (F , x i , x f , np )% i n t t r a p e c i o v 1 −−−−Nombre de l a func ion% F−−−−func ion matematica de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sh=( xf−x i ) / np ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0;for i =1:n−1

I ( i ) =h∗ (F ( x ( i ) ) +F( x ( i +1) ) ) / 2 ;I n t = I n t + I ( i ) ;sa l i da1 =[ ’ Trapecio ’ , num2str ( i ) , ’ ’ , num2str ( I ( i ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )

endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end

beamer-tu-logo

Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB

Problema

ProblemaCalcular la integral de la funcion usando 1, 2 y 3 segmentos:

f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2

desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533. Evalue el error verdadero.