importÂncia da geometria a geometria é de extrema importância no cotidiano das pessoas, pois...

IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIAIMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA A geometria é de extrema importância no

cotidiano das pessoas, pois desenvolve o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguiriam resolver as diferentes situações de vida que forem geometrizadas resolvendo ainda questões de outras áreas de conhecimento humano. A Geometria torna a leitura interpretativa do mundo mais completa, a comunicação das idéias se ampliam e a visão de Matemática torna-se fácil de se entender.

NESSA PONTE, PODEMOS VER UMA

CONTRIBUIÇÃO DA GEOMETRIA PARA

A SOCIEDADE ATUAL.

O QUE É PARALELISMO?O QUE É PARALELISMO? Em geometria, Paralelismo é

uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Assim, duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somente se, são coincidentes (iguais) ou são coplanares e não têm nenhum ponto em comum, logo, dadas duas retas coplanares distintas e uma transversal, se existem pares de ângulos congruentes (ou ângulos correspondentes), então essas duas retas são paralelas.

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA PARALELAS CORTADAS POR UMA

TRANSVERSALTRANSVERSAL Consideremos as retas r e s traçadas em um mesmo plano, sem pontos

comuns, essas retas são consideradas paralelas; uma outra reta t, que corta as paralelas considerada transversal ou secante, que é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.

Essas retas determinam oito ângulos que possuem propriedades específicas em congruência e suplemento.

TRANSVERSALTRANSVERSAL

TRANSVERSAL PERPENDICULAR ÀS RETAS

TRANSVERSAL NÃO-PERPENDICULAR ÀS RETAS

Quando a transversal for perpendicular às duas semi-retas paralelas retas todos os ângulos serão retos (de 90°).

Quando a transversal não for perpendicular às retas paralelas, haverá quatro ângulos agudos iguais e quatro ângulos obtusos iguais.

Ângulos alternos internos: c e e    d e f.

Ângulos alternos externos: b e h    a e g.

Ângulos colaterais internos: c e f    d e e.

Ângulos colaterais externos: b e g    a e h.

Ângulos correspondentes: d e f    a e e    c e g    d e h.

TIPOS DE ÂNGULOSTIPOS DE ÂNGULOS POSIÇÃO

Ângulos colaterais internos: estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180º(suplementares).

Ângulos colaterais externos: estão do mesmo lado da transversal, fora das retas paralelas, a soma dos ângulos é 180º (suplementares).

Ângulos alternos internos: estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais (congruentes).

Ângulos alternos externos: estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice (congruentes).

Ângulos correspondentes: apresentam a mesma medida, com demarcação estabelecida a um mesmo lado da transversal (congruentes).

TEOREMA DAS RETAS PARALELASTEOREMA DAS RETAS PARALELAS

" Se duas retas coplanares e distintas

r e s, e uma transversal t,

determinam um par de ângulos alternos

congruentes, então r é paralela a s.”

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º

Segmentos proporcionais e os

triângulos semelhantes na Antiguidade

HISTÓRIAHISTÓRIA

Tales de Mileto, matemático e filósofo grego do século VI a.C., certa vez, apresentou-se ao Rei do Egito, oferecendo-se para calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento.

O RACIOCÍNIO DE TALES NAS O RACIOCÍNIO DE TALES NAS PIRÂMIDESPIRÂMIDES

Nas proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo.

estaca

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDEDE TALES NA PIRÂMIDE

Alturada pirâmide

(h)

Alturada

estaca(2 m)

115 mbase

250 msombra

5 msombra

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDEDE TALES NA PIRÂMIDE

Alturada pirâmide

(h)

Alturada

estaca(2 m)

115 mbase

250 msombra

5 msombra

mh

h

h

1465

365

2

5

250115

2

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSSEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

* Os três ângulosângulos internos são ordenadamente congruentescongruentes.

Dois triângulos são semelhantessemelhantes, se e somente se:

* Os lados homólogoslados homólogos (mesma posição) são proporcionaisproporcionais.A

B C

A’

B’ C’a a’

b’bcc’

kc

c

b

b

a

aCBAABC

''''''~

k = razão de semelhança

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSSEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

TEOREMA FUNDAMENTAL

A B

C

D E

Se uma reta é paralela a um dos lados de um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado por ela é semelhante ao primeiro:

CDECAB ~

CASOS DE CONGRUÊNCIA

1- LAL dois lados iguais e o ângulo entre eles congruentes.

2- ALA dois ângulos iguais e o lado entre eles congruentes.

3- LLL lados homólogos iguais.

* Os casos AAL e ALL só são válidos se o triângulo for retângulo.

CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSTRIÂNGULOS

BASE MÉDIA

x

A

B C

M N

B

b

2

BCMN

2

bBx

TEOREMA DE TALES

Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a

razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das

transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes de outra.

A

B

A’

B’

C

D

C’

D’

''

''

DC

BA

CD

AB

As medidas dos segmentos correspondentes nas transversais

são diretamente proporcionais.

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA

Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em

segmentos proporcionais aos lados adjacentes:

A

B C

c b

Dx y

y

b

x

c

A

B C

c b

Dx y

r s

Ângulos alternos internos

Ângulos correspondentes

r//s E

Demonstração:

y

b

x

c

A

B C

c b

Dx y

r

E

Logo o triângulo ACE é

isósceles AC = AE = b b

Pelo Teorema de Tales temos:

s

r//s

A

BC

D

CD

AC

BD

AB

TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA

A

BC

D

Dica para a demonstração:

...pelo Teorema de Tales:

A

BC

D

CD

AC

BD

AB

c b

x

y

OO

TRIÂNGULOTRIÂNGULO

RETÂNGULRETÂNGULOO

RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS NO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Significado:

Trigonometria

Tri trêsgono ângulosmetria medição

É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de

um triângulo retângulo.

Aplicação:

É empregada na navegação, na aviação, na topografia, etc.

É indispensável à engenharia e à física.

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida

a Hipotenusa

A = Ângulo reto   A=90°

b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

HIPOTENUSA E CATETOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.

hipotenusa

cateto

cateto catetocateto

hipotenusa

RELAÇÕES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO

TRIÂNGULO RETÂNGULOtg x = Cat.Oposto

Cat. Adjacente

sen x = Cat.Oposto Hipotenusa

cos x = Cateto Adjacente Hipotenusa

Tabela de razões trigonométricas:(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º)

30º 45º 60º

Sen

Cos

Tg

2

1

2

2

2

3

2

3

2

22

1

1 3

30º 45º 60º

Sen

Cos

Tg 2

3

3

OUTROS SEGMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

a: é a hipotenusa.b e c: são os catetos.h: é altura do triângulo em relação à hipotenusa.m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.

a

mn

hbc

A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.

A

B H C

h

Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja:

h

(I) + = 90º

A

B H C

(II) + + 90º = 180º + = 90º

Comparando (I) e (II), tem-se: + = + = .

Portanto, = .

(I) + = 90º

(III) + + 90º = 180º + = 90º

Comparando (I) e (III), tem-se: + = + = .

Portanto, = .

(I) + = 90º

CONCLUSÃO

Como = e = , os triângulos ABC, ABH

e ACH são semelhantes pelo caso (AA). h

A

B H C

A

B CB H H C

A A

1ª RELAÇÃO MÉTRICA

nmh

h

m

n

h

2

h

b

m

A

H C

hc

n

A

HB

2ª RELAÇÃO MÉTRICA

amb

b

m

a

b

2

h

b

m

A

H C

bc

A

B Ca

3ª RELAÇÃO MÉTRICA

c

h n

hc

n

A

HB

a

b c

bc

A

B Ca

anc

a

c

c

n

2

4ª RELAÇÃO MÉTRICA

c

h n

hc

n

A

HB

a

b c

bc

A

B Ca

cbhaa

b

c

h

TEOREMA DE PITÁGORAS(5ª RELAÇÃO MÉTRICA)

a

mn

hbc

2ª relação: b² = m . a3ª relação: c² = n . a

Observe que a = m + n

anc

amb2

2

222

22

22

22

acb

aacb

nmacb

anamcb

TEOREMA DE PITÁGORAS

A

B Ca

bc

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a² = b² + c²

1ª e 4ª RELAÇÃO MÉTRICA SOB OUTRAS PERSPECTIVAS

Ba = m + n

CH

n

bh

A

m

c

A

m

c

HB

h

CH

n

bh

n

h

h

mtg

nmh .2

A área do triângulo ABC pode ser calculada por:

2

.

2

. cbha

cbha ..

A

RESUMO

a

mn

hbc

Relações métricas:

1ª) h² = m . n

2ª) b² = m . a

3ª) c² = n . a

4ª) a . h = b . c

Teorema de Pitágoras

5ª) a² = b² + c²

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo, que inaugurou um novo conceito de

demonstração matemática. O Teorema de Pitágoras é

provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática, estabelece

uma relação simples entre o comprimento dos lados de um

triângulo retângulo.

TEOREMA DE PITÁGORASTEOREMA DE PITÁGORAS

A figura ao lado mostra o significado geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Triângulo Retângulo

A área do quadrado maior é a soma das áreas dos quadrados

menores

Triângulo Retângulo

A área do quadrado

é dada por a2

b c

b

c

b + c

Efetuando a soma das áreas temos:

22 )(2

.4 cb

cba

222 22 cbcbbca 222 cba

a

a

Triângulo Retângulo

b2

c2

Conclusão:

a2 = b2 + c2

Isto é, a área do quadrado maior é a soma das áreas

dos quadrados menores

a2

aa

c

b

Triângulo Retângulo

l

l

2l

22

222

.2 ld

lld

2ld

2

l

2

l

l lh

22

2

2h

ll

€

⇒ l2 −l2

4= h2

22

4

3h

l

2

3lh

Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero