geração e estimação de processos gegenbauer

Geracao e Estimacao em Processos Gegenbauer

A.V. Schmidt1, C. Bisognin e S.R.C. Lopes

Instituto de Matematica - UFRGS

Porto Alegre, RS, Brasil

Resumo. Este trabalho baseia-se nos chamados processos Gegenbauer(d, u). Foram estudadas as condicoes deestacionariedade e invertibilidade destes processos, suas representacoes autoregressiva e media movel infinitas,suas funcoes densidade espectral e de autocovariancia. Alem disso, foi investigado um metodo de geracao doprocesso, bem como a estimacao dos seus parametros. Foi realizado um estudo sobre a estimacao classica,robusta e semi-parametrica do parametro de longa dependencia e do parametro de frequencia, baseado emsimulacoes de Monte Carlo com tamanhos de truncamento de serie diferentes e para valores diferentes de d eu. O desempenho destes estimadores e avaliado atraves do erro quadratico medio e o vıcio dos mesmos.

Palavras-Chave. Processos com Longa Dependencia, Gegenbauer, Estimacao.

1. Introducao

Os modelos de series temporais classicos, como os modelos ARMA, nao levam em conta a caracterısticade longa dependencia das observacoes, embora, em aplicacoes utilizando dados de observacoes reais, as seriespodem apresentar dependencia entre observacoes distantes entre si. O fenomeno da longa dependencia foi abor-dado, inicialmente, por por Hurst (1951) enquanto investigava a serie temporal do nıvel mensal do rio Nilo.Posteriormente, Granger e Joyeux (1980) e Hosking (1981 e 1984) definiram os modelos ARFIMA(p, d, q), quesao os chamados modelos auto-regressivos fracionariamente integrados de media movel. A caracterıstica dalonga dependencia pode ser caracterizada de diversas formas, dentre as quais destacamos: i) pelo decaimentohiperbolico da funcao de autocorrelacao com o aumento dos lags; ii) pelo crescimento ilimitado da funcao densi-dade espectral quando a frequencia tende a zero. Estes modelos de longa dependencia tem sido extensivamenteinvestigados deste a decada de 80 e, em particular, diversos artigos publicados abordam a questao da estimacaodos parametros.

Detalhes sobre a estimacao semiparametrica podem ser encontradas em Geweke e Porter-Hudak (1983) eRobinson (1994a, 1995a, 1995b). Metodos de estimacao parametrica foram propostos por Yajima (1985), Fox eTaqqu (1986), Giraitis e Surgalis (1990) e Sowell (1992). Uma revisao dos metodos de estimacao para modelosde longa dependencia pode ser vista em Beran (1994), Guegan (1994), Robinson (1994b) e Bisaglia and Guegan(1998).

Alguns dados reais comecaram a apresentar um comportamento periodicamente persistente que nao erabem modelado (absorvido?) pelo modelo ARFIMA tradicional. Na decada de 80, Gray et. al. (1988) propuseramos modelos de Gegenbauer e auto-regressivo de media movel Gegenbauerutilizando os polinomios de Gegenbauer.Este novo modelo passou a ser chamado de GARMA (Gegenbauer autoregressive moving-average e e umageneralizacao dos modelos ARFIMA. A grande diferenca e que os processos GARMA nao necessariamente saoilimitados na origem, podendo apresentar ilimitacao em qualquer frequencia d dentro do intervalo [0, π]. Giraitise Leipus (1995) e Woodward et al. (1998) propuseram uma extensao ao modelo GARMA, denotado k-factorGARMA. Neste modelo, podem ocorrer k ilimitacoes (nao gostei deste termo aqui, mas nao consigo pensar emoutro), para um numero finito k de frequencias, chamadas de frequencias de Gegenbauer, tambem chamadas defrequencias G, no intervalo [0, π].

Neste trabalho, para a estimacao dos parametros, foram utilizados os seguintes estimadores da classedos semi-parametricos: o estimador proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983) e o estimador baseado nafuncao periodograma suavizado de covariancias ambos com as suas respectivas versoes robustas. Considerou-se tambem o estimador nao-parametricos proposto por Fox e Taqqu (1986) e os estimadores parametricos demaxima verossimilhanca aproximado e o de maxima verossimilhanca exato, este ultimo sendo uma propostadeste trabalho.

1 E-mail: aishameriane.schmidt@ufrgs.br

2 A.V. Schmidt et al.

2. Processos Gegenbauer

Seja {Xt}t∈Z um processo estocastico dado pela expressao

(1− 2uB + B2)λ(Xt − µ) = εt, (2.1)

onde |u| 6 1, µ e a media do processo, B e o operador de defasagem ou de retardo, isto e, Bj(Xt) = Xt−j , paratodo j ∈ N e {εt}t∈Z e um processo ruıdo branco.

Se o processo e inversıvel, podemos escrever (2.1) atraves de sua representacao media movel infinita

Xt = µ +∑

j∈ Z>

C(λ)j (u)εt−j , (2.2)

onde C(λ)j (·)j∈Z sao os polinomios Gegenbauer definidos como

C(λ)j (u) =

bj/2c∑

k=0

(−1)kΓ(λ− k + j)(2u)j−2k

Γ(λ)Γ(k + 1)Γ(j − 2k + 1), (2.3)

para todo j > 0, com bxc sendo a parte inteira de x.

Definicao 2.1. O processo {Xt}t∈Z, dado pela equacao (2.2), e chamado de processo Gegenbauer com parametrosu e λ e pode ser escrito pela expressao dada em (2.1).

Observe que, se u = 1, {Xt}t∈Z e um ARFIMA(0, 2λ, 0). Logo, para u = 1, o processo {Xt}t∈Z pode serescrito como

(1− B)2λ(Xt − µ) = εt. (2.4)

2.1. Propriedades dos processos Gegenbauer(u, λ)Nesta secao serao definir os valores dos parametros λ e u para os quais o processo Gegenbauer e estacionario,inversıvel e apresenta a caracterıstica de longa dependencia. Tambem apresentaremos as funcoes de autoco-variancia, autocorrelacao e a funcao densidade espectral.

Proposicao 2.1. Seja Xtt∈Z um processo Gegenbauer, dado na Definicao 2.1. Entao,a) O processo {Xt}t∈Z e estacionario se λ < 0.5, quando |u| < 1, ou λ < 0.25, quando |u| = 1.b) O processo {Xt}t∈Z e inversıvel se λ > −0.5, quando |u| < 1, ou λ > −0.25, quando |u| = 1.c) Se 0 < λ < 0.25, quando |u| = 1 ou 0 < λ < 0.5, quando |u| < 1, entao {Xt}t∈Z apresenta a caracterıstica

de longa dependencia.d) A funcao densidade espectral do processo e dada por

σ2ε

2π[2(cos(ω)− u)]−2λ ∀ ω ∈ (0, π], (2.5)

onde G = cos−1 u e chamada frequencia de Gegenbauer ou frequencia G. Note que a funcao densidadeespectral torna-se ilimitada em G.

Quando ω ⇒ G temos,

fx(ω) Cf |ω −G|−2λ, onde Cf =σ2

ε

2π[2| sen (G)|]−2λ > 0. (2.6)

e) Uma aproximacao para a funcao de autocovariancia do processo quando |u| < 1 e dada por:

γx(k) =21−2λσ2

ε

πsen−2λ(G)sen(λπ)Γ(1− 2λ) cos(kG)

×Γ(k + 2λ)Γ(k + 1)

[1 + O(k−1)].

Observacao 2.1. A equacao:

γx(k) = σ2ε

∑

j∈Z≥C

(λ)j (u)C(λ)

j+k(u), ∀ |u| ≤ 1,

com k ∈ Z≥ e os componentes C(λ)j sao dados pela expressao (2.3), foi proposta em 1998 por Woodward

et al. como uma representacao da funcao de autocovariancia do processo GARMA.

Utilizando a expressao descrita na Observacao (2.1), e possıvel fazer uma extensao do processo, acrescen-tando uma componente auto-regressiva e/ou uma componente de media movel, isto e, uma combinacao de umprocesso Gegenbauer com um processo ARMA(p, q), resultando em um GARMA(p, u, λ, q).

Processos Gegenbauer 3

3. Estimacao

Nesta secao serao apresentados alguns estimadores semi-parametricos ja estabelecidos na literatura (ref ref refref) para estimar os parametros de longa dependencia e frequencia de um processo GARMA e tambem seraapresentado um estimador exato proposto neste trabalho.

3.1. O estimador GPH

O estimador GPH, proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983), e um estimador semi-parametrico que utilizaa funcao periodograma. Inicialmente era utilizado para estimar o parametro d dos processos ARFIMA(p, d, q).Aqui apresentamos uma extensao para os processos Gegenbauer.

A ideia basica e aplicar o logaritmo na funcao densidade espectral e adicionar o logaritmo da funcaoperiodograma. A esquacao resultante pode ser comparada a uma equacao de regressao onde os parametros saoestimados atraves de mınimos quadrados ordinarios.

Para o problema da estimacao do parametro d no processo GARMA(λ, u), considere a funcao densidadeespectral de um processo Xt dada por:

fx(w) = σ2ε [2(cos(w)− u)]−2 para todo w ∈ (0, π]

Aplicando o logaritmo na equacao acima, temos:

ln fx(w) = ln(

σ2ε

2π

)− λ ln 2 cos(w)− u

2

Seja ln fu(0) = algumacoisa e ln I(w) o logaritmo natural da funcao periodograma em w. Adicionandoln fu(0) e ln I(w) aos dois lados da equacao anterior, teremos:

ln I(w) = ln fu(0) + ln(

σ2ε

2π

)− λ ln[2(cos(w)− u)]2 + ln

[I(w)fx(w)

]

Para certas condicoes (ver Geweke e Porter-Hudak - 1983) uma forma aproximada sera dada por:

ln I(w) ln fu(0)− λ ln[2(cos(w)− u)]2 + ln[

I(w)fx(w)

]

Que pode ser comparada a uma equacao de regressao da forma:

ln I(w) = β0 − β1 ln[2(cos(w)− u)]2 + εv

Como proposto por Geweke em Porter-Hudak, uma forma de estimar β0 e β1 e atraves de mınimos quadra-dos. Suas versoes robustas variam apenas na forma de estimacao dos coeficientes da regressao.

3.2. O estimador FT

O estimador proposto por Fox e Taqqu em 1986 esta na classe dos estimadores parametricos e utiliza umaaproximacao, proposta por Whittle (1951), para a matriz de autocovariancia do processo. Consiste em mini-mizar uma soma escrita em funcao do periodograma e pode ser utilizado para qualquer sequencia gaussianaestacionaria.

3.3. O estimador de maxima verossimilhanca exato

O estimador de maxima verossimilhanca exato e obtido maximizando-se a seguinte expressao:

L(x, η, σ2) = −n

2ln(2π)− 1

2ln |Qn(η)| − 1

2z′Q−n 1(η)z.

4. Simulacao

Nesta secao apresentamos os resultados das simulacoes de Monte Carlos para os Processos GARMA(d, u), paradiferentes valores de d e de u com tamanho amostral igual a 1000.

Comparamos o desempenho dos estimadores semiparametricos GPH, BA, FT e de verossimilhanca exato.Nos estimadores que utilizam a funcao periodograma suavizado de covariancia associados a janela de

Bartlett, utilizamos como ponto de truncamento o valor nβ , com β = 0.9.Para os estimadores semiparametricos GPH e BA considerou-se g(n) = nα, com α ∈ {0.55, 0.89}.Para cada valor de d geramos 1000 amostras independentes (re = 1000) e reportamos a media, o vıcio, o

erro quadratico medio e a variancia amostral. A seguinte notacao e utilizada: seja di o valor estimado de d paraa amostra i, onde i = i, · · · , re, entao

Media =1re

re∑

i=1

di, Vies = media− d, EQM =1re

re∑

i=1

(di − d)2, Var =1

re− 1

re∑

i=1

(di −media)2.

4 A.V. Schmidt et al.

5. Conclusoes

Neste trabalho comparamos o comportamento de estimadores semiparametricos e parametricos, quanto aovıcio, erro quadratico medio e variancia.

Quando aumentamos o valor de α o vıcio, o erro quadratico medio e a variancia dos estimadores semi-parametricos diminuem, na maioria dos casos analisados.

Referencias

1. Brockwell, P.J. e R.A. Davis (1991). Time Series: Theory and Methods. New York: Springer-Verlag.2. Geweke, J. e S. Porter-Hudak (1983). “The Estimation and Application of Long Memory Time Series

Model”. Journal of Time Series Analysis, Vol. 4(4), pp. 221-238.3. Granger, C.W.J. e R. Joyeux (1980). “An Introduction to Long Memory Time Series Models and Fractional

Differencing”. Journal of Time Series Analysis, Vol. 1(1), pp. 15-29.4. Hosking, J.R.M. (1981). “Fractional Differencing”. Biometrika, Vol. 68(1), pp. 165-176.5. Hosking, J.R.M. (1984). “Modelling Persistence in Hydrological Time Series Using Fractional Differencing”.

Water Resources Research, Vol. 20(12), pp. 1898-1908.6. Robinson, M.P. (2003). Time Series with long memory - Advanced texts in Econometrics. New York:

Oxford University Press.

Processos Gegenbauer 5

Tabela 1. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.2, u = 1, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.50

Media 0.2069 0.2052 0.2049 0.1872 0.1961 0.1989Vies 0.0069 0.0052 0.0049 -0.0128 -0.0039 -0.0011

EQM 0.0047 0.0057 0.0062 0.0030 0.0051 0.0046Var 0.0047 0.0057 0.0062 0.0028 0.0051 0.0046

α = 0.55Media 0.2038 0.2019 0.2006 0.1909 0.1981 0.1988

Vies 0.0038 0.0019 0.0006 -0.0091 -0.0019 -0.0012EQM 0.0033 0.0037 0.0040 0.0020 0.0033 0.0028

Var 0.0033 0.0037 0.0040 0.0019 0.0033 0.0028α = 0.60

Media 0.2035 0.2017 0.2001 0.1943 0.1995 0.1996Vies 0.0035 0.0017 0.0001 -0.0057 -0.0005 -0.0004

EQM 0.0022 0.0026 0.0025 0.0014 0.0021 0.0019Var 0.0022 0.0026 0.0025 0.0014 0.0021 0.0019

α = 0.65Media 0.2043 0.2005 0.2022 0.1971 0.2005 0.2009

Vies 0.0043 0.0005 0.0022 -0.0029 0.0005 0.0009EQM 0.0016 0.0021 0.0016 0.0010 0.0015 0.0013

Var 0.0016 0.0021 0.0016 0.0010 0.0015 0.0013α = 0.70

Media 0.2031 0.1982 0.2022 0.1986 0.2012 0.2011Vies 0.0031 -0.0018 0.0022 -0.0014 0.0012 0.0011

EQM 0.0011 0.0017 0.0011 0.0007 0.0010 0.0009Var 0.0011 0.0017 0.0011 0.0007 0.0010 0.0009

α = 0.75Media 0.2027 0.2005 0.2018 0.1998 0.2021 0.2020

Vies 0.0027 0.0005 0.0018 -0.0002 0.0021 0.0020EQM 0.0008 0.0013 0.0008 0.0005 0.0007 0.0006

Var 0.0008 0.0013 0.0008 0.0005 0.0007 0.0006α = 0.80

Media 0.2025 0.2004 0.2021 0.2004 0.2028 0.2022Vies 0.0025 0.0004 0.0021 0.0004 0.0028 0.0022

EQM 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0005Var 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0004

α = 0.85Media 0.2027 0.2007 0.2018 0.2013 0.2023 0.2022

Vies 0.0027 0.0007 0.0018 0.0013 0.0023 0.0022EQM 0.0004 0.0008 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003

Var 0.0004 0.0008 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003α = 0.89

Media 0.2024 0.2003 0.2019 0.2013 0.2019 0.2022Vies 0.0024 0.0003 0.0019 0.0013 0.0019 0.0022

EQM 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0003Var 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0003

6. Tabelas

6 A.V. Schmidt et al.

Tabela 2. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.3, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.6, 0.65, · · · , 0.85, 0.89}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60

Media 0.3345 0.3172 0.2999 0.3441 0.3286 0.3308Vies 0.0345 0.0172 -0.0001 0.0441 0.0286 0.0308

EQM 0.3347 0.3391 0.3508 0.1819 0.2314 0.2389Var 0.3338 0.3392 0.3511 0.1801 0.2308 0.2382

α = 0.65Media 0.3147 0.2885 0.3012 0.3191 0.3105 0.3130

Vies 0.0147 -0.0115 0.0012 0.0191 0.0105 0.0130EQM 0.0320 0.0490 0.0353 0.0185 0.0265 0.0248

Var 0.0318 0.0490 0.0353 0.0182 0.0264 0.0247α = 0.70

Media 0.3122 0.3050 0.3114 0.3200 0.3180 0.3187Vies 0.0122 0.0050 0.0114 0.0200 0.0180 0.0187

EQM 0.0045 0.0066 0.0044 0.0031 0.0042 0.0039Var 0.0043 0.0066 0.0042 0.0027 0.0039 0.0035

α = 0.75Media 0.3108 0.3026 0.3097 0.3169 0.3161 0.3164

Vies 0.0108 0.0026 0.0097 0.0169 0.0161 0.0164EQM 0.0033 0.0061 0.0031 0.0022 0.0033 0.0029

Var 0.0032 0.0061 0.0030 0.0020 0.0030 0.0026α = 0.80

Media 0.3066 0.3048 0.3071 0.3108 0.3122 0.3112Vies 0.0066 0.0048 0.0071 0.0108 0.0122 0.0112

EQM 0.0017 0.0029 0.0018 0.0012 0.0018 0.0015Var 0.0016 0.0029 0.0017 0.0011 0.0016 0.0014

α = 0.85Media 0.3047 0.3037 0.3048 0.3072 0.3071 0.3071

Vies 0.0047 0.0037 0.0048 0.0072 0.0071 0.0071EQM 0.0009 0.0018 0.0010 0.0006 0.0009 0.0007

Var 0.0008 0.0018 0.0009 0.0005 0.0008 0.0007α = 0.89

Media 0.3030 0.3032 0.3032 0.3051 0.3056 0.3048Vies 0.0030 0.0032 0.0032 0.0051 0.0056 0.0048

EQM 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005Var 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005

Processos Gegenbauer 7

Tabela 3. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.2, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60

Media 0.1775 0.1723 0.1686 0.4761 0.3399 0.4010Vies -0.0225 -0.0277 -0.0314 0.2761 0.1399 0.2010

EQM 0.3281 0.3508 0.3640 7.8707 10.1096 10.4015Var 0.3279 0.3504 0.3633 7.8022 10.1001 10.3715

α = 0.65Media 0.1962 0.1795 0.1917 0.2529 0.2397 0.2116

Vies -0.0038 -0.0205 -0.0083 0.0529 0.0397 0.0116EQM 0.0328 0.0484 0.0353 1.3267 1.8829 1.8824

Var 0.0328 0.0481 0.0352 1.3252 1.8832 1.8842α = 0.70

Media 0.2053 0.1980 0.2018 0.2142 0.2020 0.1934Vies 0.0053 -0.0020 0.0018 0.0142 0.0020 -0.0066

EQM 0.0041 0.0069 0.0040 0.1889 0.2392 0.2479Var 0.0041 0.0069 0.0040 0.1889 0.2395 0.2481

α = 0.75Media 0.2034 0.1967 0.2018 0.2068 0.2018 0.1978

Vies 0.0034 -0.0033 0.0018 0.0068 0.0018 -0.0022EQM 0.0031 0.0055 0.0032 0.0187 0.0262 0.0236

Var 0.0031 0.0055 0.0032 0.0187 0.0262 0.0236α = 0.80

Media 0.2016 0.2013 0.2017 0.2067 0.2049 0.2036Vies 0.0016 0.0013 0.0017 0.0067 0.0049 0.0036

EQM 0.0015 0.0029 0.0016 0.0024 0.0036 0.0033Var 0.0015 0.0029 0.0016 0.0024 0.0036 0.0033

α = 0.85Media 0.2011 0.2021 0.2012 0.2045 0.2025 0.2013

Vies 0.0011 0.0021 0.0012 0.0045 0.0025 0.0013EQM 0.0008 0.0016 0.0009 0.0019 0.0028 0.0025

Var 0.0008 0.0016 0.0009 0.0019 0.0028 0.0025α = 0.89

Media 0.2006 0.2012 0.2008 0.2023 0.2018 0.2018Vies 0.0006 0.0012 0.0008 0.0023 0.0018 0.0018

EQM 0.0005 0.0012 0.0006 0.0009 0.0014 0.0012Var 0.0005 0.0012 0.0006 0.0009 0.0014 0.0012

8 A.V. Schmidt et al.

Tabela 4. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.2, u = 0.6, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60

Media 0.1839 0.0832 0.0969 0.8151 0.5452 0.4613Vies -0.0161 -0.1168 -0.1031 0.6151 0.3452 0.2613

EQM 1.7110 1.8992 1.8969 32.2087 43.7689 45.0897Var 1.7137 1.8888 1.8895 31.8851 43.7250 45.0991

α = 0.65Media 0.2365 0.1619 0.1928 0.4802 0.2862 0.3303

Vies 0.0365 -0.0381 -0.0072 0.2802 0.0862 0.1303EQM 0.2196 0.2842 0.2275 5.5206 6.8090 7.1307

Var 0.2186 0.2832 0.2278 5.4515 6.8133 7.1260α = 0.70

Media 0.2018 0.1689 0.1955 0.2555 0.1847 0.1669Vies 0.0018 -0.0311 -0.0045 0.0555 -0.0153 -0.0331

EQM 0.0241 0.0435 0.0274 0.9199 1.2183 1.2328Var 0.0241 0.0426 0.0275 0.9184 1.2202 1.2339

α = 0.75Media 0.2038 0.1967 0.2021 0.2365 0.2095 0.2145

Vies 0.0038 -0.0033 0.0021 0.0365 0.0095 0.0145EQM 0.0027 0.0060 0.0029 0.1400 0.2100 0.1912

Var 0.0027 0.0060 0.0029 0.1389 0.2103 0.1914α = 0.80

Media 0.2036 0.2006 0.2026 0.2009 0.1994 0.1952Vies 0.0036 0.0006 0.0026 0.0009 -0.0006 -0.0048

EQM 0.0023 0.0048 0.0022 0.0150 0.0224 0.0208Var 0.0023 0.0048 0.0022 0.0150 0.0225 0.0209

α = 0.85Media 0.2039 0.2030 0.2028 0.2034 0.2042 0.2045

Vies 0.0039 0.0030 0.0028 0.0034 0.0042 0.0045EQM 0.0012 0.0023 0.0012 0.0016 0.0028 0.0024

Var 0.0012 0.0023 0.0012 0.0016 0.0028 0.0024α = 0.89

Media 0.2021 0.2036 0.2017 0.2032 0.2047 0.2033Vies 0.0021 0.0036 0.0017 0.0032 0.0047 0.0033

EQM 0.0008 0.0016 0.0008 0.0014 0.0024 0.0020Var 0.0008 0.0015 0.0008 0.0014 0.0024 0.0020

Processos Gegenbauer 9

Tabela 5. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.1, u = 1, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60

Media 0.1030 0.0992 0.0996 0.0938 0.0947 0.0954Vies 0.0030 -0.0008 -0.0004 -0.0062 -0.0053 -0.0046

EQM 0.0020 0.0025 0.0026 0.0013 0.0021 0.0021Var 0.0020 0.0025 0.0026 0.0013 0.0021 0.0021

α = 0.65Media 0.1030 0.0986 0.1000 0.0958 0.0968 0.0976

Vies 0.0030 -0.0014 0.0000 -0.0042 -0.0032 -0.0024EQM 0.0013 0.0020 0.0015 0.0009 0.0014 0.0013

Var 0.0013 0.0020 0.0015 0.0009 0.0014 0.0013α = 0.70

Media 0.1020 0.0968 0.1002 0.0967 0.0975 0.0977Vies 0.0020 -0.0032 0.0002 -0.0033 -0.0025 -0.0023

EQM 0.0010 0.0016 0.0010 0.0006 0.0010 0.0009Var 0.0010 0.0015 0.0010 0.0006 0.0010 0.0009

α = 0.75Media 0.1016 0.0971 0.1005 0.0975 0.0980 0.0979

Vies 0.0016 -0.0029 0.0005 -0.0025 -0.0020 -0.0021EQM 0.0007 0.0012 0.0008 0.0005 0.0007 0.0006

Var 0.0007 0.0012 0.0008 0.0004 0.0007 0.0006α = 0.80

Media 0.1019 0.0982 0.1008 0.0986 0.0989 0.0993Vies 0.0019 -0.0018 0.0008 -0.0014 -0.0011 -0.0007

EQM 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0004Var 0.0005 0.0010 0.0005 0.0003 0.0005 0.0004

α = 0.85Media 0.1013 0.0989 0.1004 0.0991 0.0991 0.0994

Vies 0.0013 -0.0011 0.0004 -0.0009 -0.0009 -0.0006EQM 0.0004 0.0007 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003

Var 0.0004 0.0007 0.0004 0.0002 0.0004 0.0003α = 0.89

Media 0.1008 0.0977 0.1002 0.0989 0.0988 0.0992Vies 0.0008 -0.0023 0.0002 -0.0011 -0.0012 -0.0008

EQM 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0002Var 0.0003 0.0006 0.0003 0.0002 0.0003 0.0002

10 A.V. Schmidt et al.

Tabela 6. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.4, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60

Media 0.4272 0.4063 0.4224 0.4619 0.4495 0.4503Vies 0.0272 0.0063 0.0224 0.0619 0.0495 0.0503

EQM 0.3142 0.3698 0.3643 0.1889 0.2476 0.2475Var 0.3138 0.3701 0.3641 0.1852 0.2454 0.2452

α = 0.65Media 0.4030 0.3865 0.3990 0.4224 0.4133 0.4153

Vies 0.0030 -0.0135 -0.0010 0.0224 0.0133 0.0153EQM 0.0326 0.0447 0.0321 0.0181 0.0279 0.0238

Var 0.0326 0.0446 0.0321 0.0176 0.0277 0.0235α = 0.70

Media 0.4250 0.4135 0.4201 0.4391 0.4360 0.4366Vies 0.0250 0.0135 0.0201 0.0391 0.0360 0.0366

EQM 0.0053 0.0075 0.0055 0.0048 0.0058 0.0053Var 0.0047 0.0074 0.0051 0.0033 0.0045 0.0040

α = 0.75Media 0.4209 0.4096 0.4173 0.4319 0.4277 0.4297

Vies 0.0209 0.0096 0.0173 0.0319 0.0277 0.0297EQM 0.0039 0.0066 0.0040 0.0033 0.0041 0.0039

Var 0.0034 0.0065 0.0037 0.0023 0.0033 0.0030α = 0.80

Media 0.4136 0.4076 0.4115 0.4202 0.4182 0.4191Vies 0.0136 0.0076 0.0115 0.0202 0.0182 0.0191

EQM 0.0018 0.0033 0.0019 0.0015 0.0020 0.0018Var 0.0017 0.0032 0.0018 0.0011 0.0017 0.0015

α = 0.85Media 0.4090 0.4048 0.4069 0.4134 0.4109 0.4118

Vies 0.0090 0.0048 0.0069 0.0134 0.0109 0.0118EQM 0.0009 0.0018 0.0009 0.0008 0.0010 0.0009

Var 0.0009 0.0018 0.0009 0.0006 0.0009 0.0008α = 0.89

Media 0.4069 0.4049 0.4061 0.4109 0.4088 0.4098Vies 0.0069 0.0049 0.0061 0.0109 0.0088 0.0098

EQM 0.0006 0.0014 0.0007 0.0005 0.0007 0.0006Var 0.0006 0.0014 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005

Processos Gegenbauer 11

Tabela 7. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.1, u = 0.8, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60

Media 0.1048 0.0827 0.0851 0.1201 0.0998 0.1059Vies 0.0048 -0.0173 -0.0149 0.0201 -0.0002 0.0059

EQM 0.3021 0.3647 0.3239 0.1748 0.2279 0.2365Var 0.3024 0.3648 0.3240 0.1746 0.2282 0.2367

α = 0.65Media 0.1049 0.0864 0.0968 0.1091 0.0997 0.1029

Vies 0.0049 -0.0136 -0.0032 0.0091 -0.0003 0.0029EQM 0.0311 0.0430 0.0327 0.0186 0.0265 0.0237

Var 0.0311 0.0428 0.0327 0.0185 0.0266 0.0237α = 0.70

Media 0.1022 0.0973 0.0988 0.1039 0.1017 0.1026Vies 0.0022 -0.0027 -0.0012 0.0039 0.0017 0.0026

EQM 0.0043 0.0073 0.0045 0.0024 0.0037 0.0032Var 0.0043 0.0073 0.0045 0.0024 0.0037 0.0032

α = 0.75Media 0.1025 0.0976 0.0985 0.1028 0.0999 0.1011

Vies 0.0025 -0.0024 -0.0015 0.0028 -0.0001 0.0011EQM 0.0031 0.0057 0.0033 0.0018 0.0030 0.0024

Var 0.0031 0.0057 0.0033 0.0018 0.0030 0.0024α = 0.80

Media 0.0998 0.0972 0.0994 0.1008 0.1005 0.1008Vies -0.0002 -0.0028 -0.0006 0.0008 0.0005 0.0008

EQM 0.0015 0.0031 0.0016 0.0009 0.0015 0.0013Var 0.0015 0.0031 0.0016 0.0009 0.0015 0.0013

α = 0.85Media 0.0999 0.0990 0.0994 0.1006 0.1000 0.1007

Vies -0.0001 -0.0010 -0.0006 0.0006 0.0000 0.0007EQM 0.0008 0.0019 0.0009 0.0005 0.0009 0.0007

Var 0.0008 0.0019 0.0009 0.0005 0.0009 0.0007α = 0.89

Media 0.0999 0.0989 0.0998 0.1002 0.0995 0.1002Vies -0.0001 -0.0011 -0.0002 0.0002 -0.0005 0.0002

EQM 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005Var 0.0006 0.0013 0.0006 0.0004 0.0006 0.0005

12 A.V. Schmidt et al.

Tabela 8. Estimacao semi-parametrica dos parametros do processo Gegenbauer(λ, u), quandoλ = 0.1, u = 0.6, n = 1000 e α ∈ {0.5, 0.55, · · · , 0.85}.

Estimador GPHLM GPHMM GPHLTS BALM BAMM BALTSα = 0.60

Media 0.1011 0.0630 0.1073 0.1670 0.1229 0.1261Vies 0.0011 -0.0370 0.0073 0.0670 0.0229 0.0261

EQM 1.6889 1.9738 1.8577 0.9640 1.3002 1.3660Var 1.6906 1.9744 1.8595 0.9605 1.3010 1.3667

α = 0.65Media 0.0938 0.0648 0.0767 0.1060 0.0951 0.0942

Vies -0.0062 -0.0352 -0.0233 0.0060 -0.0049 -0.0058EQM 0.2456 0.3591 0.2644 0.1492 0.1853 0.1892

Var 0.2458 0.3583 0.2641 0.1493 0.1855 0.1894α = 0.70

Media 0.1013 0.0893 0.0982 0.1032 0.0971 0.1000Vies 0.0013 -0.0107 -0.0018 0.0032 -0.0029 0.0000

EQM 0.0254 0.0430 0.0273 0.0160 0.0236 0.0224Var 0.0255 0.0429 0.0274 0.0160 0.0237 0.0224

α = 0.75Media 0.0998 0.0916 0.0984 0.0999 0.0982 0.0991

Vies -0.0002 -0.0084 -0.0016 -0.0001 -0.0018 -0.0009EQM 0.0027 0.0052 0.0031 0.0016 0.0027 0.0022

Var 0.0027 0.0051 0.0031 0.0016 0.0027 0.0022α = 0.80

Media 0.1007 0.0921 0.0989 0.1004 0.0992 0.0994Vies 0.0007 -0.0079 -0.0011 0.0004 -0.0008 -0.0006

EQM 0.0023 0.0045 0.0025 0.0013 0.0022 0.0018Var 0.0023 0.0044 0.0025 0.0013 0.0022 0.0018

α = 0.85Media 0.1010 0.0976 0.1007 0.1010 0.1009 0.1010

Vies 0.0010 -0.0024 0.0007 0.0010 0.0009 0.0010EQM 0.0012 0.0028 0.0012 0.0007 0.0012 0.0010

Var 0.0012 0.0028 0.0012 0.0007 0.0012 0.0010α = 0.89

Media 0.1012 0.0983 0.1009 0.1007 0.1005 0.1008Vies 0.0012 -0.0017 0.0009 0.0007 0.0005 0.0008

EQM 0.0008 0.0018 0.0009 0.0005 0.0008 0.0007Var 0.0008 0.0018 0.0009 0.0005 0.0008 0.0007

Tabela 9. Estimacao parametrica do parametro λ do processo Gegenbauer(λ, u)

FT(d)

(d=0.1,v=0.6) (d=0.1,v=0.8) (d=0.4,v=0.8) (d=0.1,v=1.0) (d=0.2,v=0.6) (d=0.2,v=0.8) (d=0.2,v=1.0) (d=0.3,v=0.8)Media 0.0806 0.0653 0.3890 0.0311 0.1863 0.1810 0.1513 0.2899

Vies -0.0194 -0.0347 -0.0110 -0.0689 -0.0137 -0.0190 -0.0487 -0.0101EQM 0.0013 0.0026 0.0015 0.0087 0.0009 0.0014 0.0181 0.0007

Var 0.0009 0.0014 0.0014 0.0039 0.0007 0.0011 0.0157 0.0006

Tabela 10. Estimacao parametrica do parametro u do processo Gegenbauer(λ, u)

FT(v)

(d=0.1,v=0.6) (d=0.1,v=0.8) (d=0.4,v=0.8) (d=0.1,v=1.0) (d=0.2,v=0.6) (d=0.2,v=0.8) (d=0.2,v=1.0) (d=0.3,v=0.8)Media 0.4257 0.4719 0.7997 0.4633 0.5719 0.7434 0.8274 0.7967

Vies -0.1743 -0.3281 -0.0003 -0.5367 -0.0281 -0.0566 -0.1726 -0.0033EQM 0.0460 0.1462 0.0001 0.3794 0.0067 0.0227 0.1420 0.0016

Var 0.0157 0.0385 0.0001 0.0913 0.0059 0.0195 0.1123 0.0015