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Geometria Espacial Parte 3

Cursinho Popular Paulo Freire

Jaquicele Ap. da Costa

Graduanda em Matemática- UFV

e-mail:jaquice.costa@ufv.br

Reflexão

"Sem a curiosidade que me move, que me inquieta, que me insere na busca, não aprendo nem ensino".

( Paulo Freire )

CONES

CONES

Considere um círculo

contido em um plano e V

é um ponto fora desse

plano.Denominamos

cone o conjunto de todos

os segmentos que tem

uma extremidade em V e

a outra extremidade num

ponto do círculo.

Elementos do cone

•Vértice:V

•Base:região circular

de raio de medida r e

centro O.

•Geratrizes:os

segmentos com

extremidades no

vértice e na

circunferência da

base;indicada por g

•Altura(h):distância

entre o vértice e o

plano da base

Classificação

Cone circular reto ou de revolução

Gerado pela rotação de 360° de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.

Áreas de um cone reto

Área da base de um

cone reto

Área da superfície

lateral de um cone reto

Área da superfície total

Volume de um cone

Tronco de cone

Tronco de cone de bases paralelas é a parte do cone circular reto limitada pela base e por uma seção transversal qualquer desse cone.

Elementos de um tronco de cone

Base do cone que deu origem ao tronco de medida R.

Base originada pela seção transversal do cone de medida r.

Geratriz do tronco

Elementos de um tronco cone e volume

Secção meridiana

Altura do tronco:distância

entre as bases

Esferas

Esferas

É um sólido gerado pela rotação de 360° de um semicírculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.

Superfície esférica

É uma figura de rotação gerada pela rotação de 360° de uma semicircunferência em torno de um eixo que contêm o seu diâmetro.

Secção plana

A secção

plana,produzida pela

intersecção de um plano

com uma esfera,é um

círculo.

Quando o plano intercepta

no centro,temos uma secção

circular de raio máximo

Secção plana

Quando o plano intercepta num ponto,temos a tangência

da esfera com o plano.

Área da superfície esférica e volume da esfera

Atividade 1

(ENEM 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

Considerando

que nenhum dos

recipientes

tenha tampa,

qual das figuras

a seguir

representa uma

planificação do

bebedouro 3.

Atividade 2

(ENEM 2011)- A figura seguinte mostra um modelo

de sombrinha muito usado em países orientais.

Esta figura é uma representação

De uma superfície de revolução

chamada de:

a)pirâmide

b)semiesfera

c)cilindro

d)Tronco de cone

e)Cone

Quiz da matemática

1-(ENEM 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Considere:

Sabendo que a taça com o

formato de hemisfério é servida

completamente cheia, a altura

do volume de champanhe que

deve ser colocado na outra taça,

em centímetros, é de

a)1,33

b)6,00

c)12,00

d)56,52

e)113,04

2-(UFJF) Considere um

recipiente em forma de um

cilindro circular reto,cujo

diâmetro da base é 8 cm,

contendo uma certa quantidade de

água.Ao se colocar as esferas de

mesmo raio dentro desse

recipiente, observando-se uma

elevação de 4 cm no nível d’água

conforme a figura abaixo.

Quanto mede o raio de cada

esfera?

a)1 cm

b)2 cm

c)3 cm

d)4 cm

e)5 cm

3-(UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio , até encostar no fundo , de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera.

Antes da esfera ser colocada no copo , a altura de água era a) 27/8 cm

b)19/6 cm

c)18/5 cm

d)10/3 cm

e)7/2 cm

4-(UFPB) Depois de desistir de retirar

a pipa do poste,Joãozinho foi jogar futebol no quintal de casa.Ao chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse em um reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é 96 cm. Maria percebeu que exatamente a metade da bola ficou submersa o q elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho).O raio dessa bola é:

a)10 cm

b)11 cm

c)12 cm

d)13 cm

e)14 cm

5-(Fuvest-SP) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, então o valor de V é:

a) (2/3)π cm3

b) (3/5) π cm3

c) (4/3)π cm3

d)(3/4) π cm3

e) (7/3) π cm3

6-(Unesp) Um paciente recebe por veia

intravenosa um medicamento á taxa constante de 1,5 mL/min.O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura , e estava cheio quando se iniciou a medicação.

Após 4 h de administração contínua a medicação foi interrompida.Dado que 1 cm3 =1mL, e usando a aproximação π=3,o volume em mL,do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação,é aproximadamente:

a)120

b)150

c)160

d)240

e)360

7-Pretende-se transportar 100 bolinhas esféricas,

maciças e feitas de vidro, em caixas que

comportam ,cada uma, um “peso” máximo

0,50Kg.Sabendo-se que o diâmetro de cada

bolinha é 2,1 cm e que a densidade do vidro é

2,60 g/ cm3 , qual o número mínimo de

caixas necessárias para o

transporte de 100

bolinhas?(Use π =22/7 ) .

a) 2

b)3

c)4

d)5

e)6

8-(UFG) A terra retirada na escavação de uma piscina

semicircular de 6m de raio e 1,25 m de profundidade

foi amontoada, na forma de um cone circular reto,

sobre a superfície horizontal plana.

a)2,0

b)2,8

c)3,0

d)3,8

e)4,0

Admita que a geratriz do cone faça um

ângulo de 60° com a vertical e que a terra

retirada tenha um volume 20% maior que o

volume da piscina.

Nessas condições,a altura do cone em

metros,é de

9-(UFLA) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois cones idênticos que ficam totalmente cheios.

A relação entre as alturas do líquido restante no cilindro ( h1) e a altura (H)

do cilindro é:

10-(UFPB) Se V1 , V2 e V3 são, respectivamente ,os

volumes dos cones circular, hemisfério e cilindro

circular representada abaixo.

Então é correto afirmar que:

11-(UFF) Na figura estão

representados três sólidos de mesma

altura h- um cilindro, uma semiesfera e

um prisma- cujos volumes são V1 , V2 e V3 respectivamente.

A relação entre

V1 , V2 e V3 é:

a) V3 < V2 <V1

b) V2 < V3 < V1

c) V1 < V2 < V3

d) V3 < V1 < V2

e) V2 < V1 < V3

Gabarito

1) B

2) B

3) D

4) C

5) C

6)A

7)A

8)C

9)D

10)A

11)E

Referência

http://www.matematicacomjorgeoliveira.com.br/arquivos/GEO_Espacial_Cilindro,%20Cone%20e%20Esfera_PSS%202.pdf