geometria analítica2

Geometria Analítica Equação geral da reta

Cálculo do coeficiente angular de uma reta Equação Fundamental da Reta

Equação Reduzida da Reta Equação segmentária da reta

Equação Geral da Reta

Para determinarmos a equação geral de uma reta, utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral:

Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1) e (x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º coluna da matriz é completada com o algarismo 1.

Equação Geral da RetaExemplo 1: Obter a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,8).

Ponto A temos que: x1 = 1 e y1 = 2

Ponto B temos que: x2 = 3 e y2 = 8

Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y)

Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus significa:

Equação Geral da Reta

1º passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.

2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.

3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária.

4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária.

Equação Geral da Reta[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 * 1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0[ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 08 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 02x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0

–6x + 2y + 2 = 0

Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta: –6x + 2y + 2 = 0.

Exemplo 2Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5).

Cálculo do coeficiente angular de uma reta

Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.

Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.

Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.

Cálculo do coeficiente angular de uma reta

Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.

Cálculo do coeficiente angular de uma retaLevando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:

tgα = cateto oposto / cateto adjacente

tgα = yB – yA / xB – xA

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.

m = tgα = Δy / Δx

Cálculo do coeficiente angular de uma reta

Exemplo 1Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

Exemplo 2O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

Exemplo 3 O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

Equação Fundamental da RetaPodemos determinar a equação fundamental de uma reta utilizando o

ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas (x) e as coordenadas de um ponto pertencente à reta. O coeficiente angular da reta, associado à coordenada do ponto, facilita a representação da equação da reta. Observe: Considerando uma reta r, o ponto C(xC, yC) pertencente à reta, seu coeficiente angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos pertencentes a reta r, um real e outro genérico, podemos calcular o seu coeficiente angular.

m = y – y0/x – x0

m (x – x0) = y – y0

Portanto, a equação fundamental da reta será determinada pela seguinte expressão:

y – y0 = m (x – x0)

Equação Fundamental da RetaExemplo 1

Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e coeficiente angular igual a m = – 2.

Exemplo 2 

Obtenha uma equação para a reta representada abaixo: 

Exemplo 2

Obtenha uma equação para a reta representada abaixo:

Exemplo 3

Determine a equação da reta que passa pelo ponto de coordenadas (6; 2) e possui inclinação de 60º.

Equação Reduzida da RetaUma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = mx + c, onde x e y são os pontos pertencentes à reta, m é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso dessa expressão, ao atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), obtemos valores para y (eixo das ordenadas). No caso de funções matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o domínio (x) de uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo de representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear.O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (y).

Equação Reduzida da Reta

Vamos construir a equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas maneiras, observe:

1º maneiraDeterminar o coeficiente angular da reta.m = (y2 – y1) / (x2 – x1)m = (–5 – 7) / (–1 – 2)m = –12 / –3m = 4De acordo com o ponto P(2, 7), temos:y – y1 = m * (x – x1) y – 7 = 4 * (x – 2)y – 7 = 4x – 8y = 4x – 8 + 7y = 4x – 1

Equação Reduzida da Reta2ª maneiraTemos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:P(2, 7)7 = m * 2 + c7 = 2m + c2m + c = 7

Q(–1, –5)–5 = m * (–1) + c–5 = –m + c–m + c = –5

Equação Reduzida da Reta

Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) serão calculados por um sistema de equações. Veja: Isolando c na 2ª equação:–m + c = –5c = –5 + m

Substituindo c na 1ª equação:2m + c = 72m + (–5 + m) = 72m – 5 + m = 73m = 7 + 5 3m = 12m = 12/3m = 4Calculando o valor de c:c = –5 + mc = –5 + 4c = –1

Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1.

Equação segmentária da retaO estudo analítico da reta é muito utilizado em problemas cotidianos ligados a

diversas áreas do conhecimento, como a física, biologia, química, engenharia e até a medicina. Determinar a equação da reta e compreender seus coeficientes é bastante importante para a compreensão do seu comportamento, sendo possível analisar sua inclinação e os pontos onde intercepta os eixos do plano. Sobre as retas temos os seguintes tipos de equação: equação geral da reta, equação reduzida, equação paramétrica e equação segmentária. Faremos o estudo da equação segmentária da reta e sua utilização.

Considere uma reta s qualquer do plano de equação ax + by = c. Para obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo:

Que é a equação na forma segmentária da reta s.

Equação segmentária da reta

Equação segmentária da reta

Exemplo 1. Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é:s: 2x + 3y – 6 = 0

Solução: Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo independente c. Assim, segue que:2x + 3y = 6

Dividindo a equação por 6, obtemos:

Equação segmentária da retaExemplo 2. Determine a equação segmentária da reta t: 7x + 14y – 28 =0 e as coordenadas dos pontos de interseção da reta com os eixos do plano.

Solução: Para determinar a forma segmentária da equação da reta t devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos:

7x + 14y = 28

Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:

Equação segmentária da reta

Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de interseção da reta com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equação segmentária é abscissa do ponto de intercessão da reta com o eixo x, e o termo que divide y é abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo y. Assim:

(4, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo x.(0, 2) é o ponto de interseção da reta com o eixo y.