fundamentos matematicos de la tca
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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TCA
Jorge Luis Jaramillo
PIET EET UTPL marzo 2010
Fundamentos matemáticos de la TCA
•Linealización de sistemas
•Transformada y antitransformada de la Laplace
•Integración de una ecuación diferencial
•Convolución de dos funciones
Linealización de sistemas
La teoría desarrollada parael diseño de sistemas decontrol, en su mayor parte, sebasa en el empleo de modelosmatemáticos lineales delproceso que se deseacontrolar
Sin embargo, son muchos lossistemas reales que exhibenuna conducta no lineal, por loque es necesario lalinealización de sistemas.
Con esta modificación, eldiseño del sistema de controlse aproxima al flujograma:
Flujograma tomado de documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003
Linealización de sistemas
Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x através de alguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables y y xes lineal si la función f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si laecuación no cumple con la condición anterior, entonces la ecuación es nolineal.
La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie deTaylor y el concepto de estados estacionarios.
La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en lasproximidades del punto a se define como :
donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el quese quiere calcular la serie.
Linealización de sistemas
Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003
Linealizar unaecuación no linealimplica“reemplazarla”por una ecuaciónlineal. Estereemplazo es local,es decir válido enuna región próximaa un punto llamado
de equilibrio.
Linealización de sistemas
Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando lascaracterísticas del mismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, unsistema estará en estado estacionario cuando sus variables descriptivas nocambien.
Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estadoestacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.
Linealización de sistemas
PROBLEMA PROPUESTO
Transformada y antitransformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función f(t), definida para todos losnúmeros reales , es la función F(s) definida por:
siempre y cuando la integral esté definida. Así por ejemplo, latransformada de f(t)=e -t será:
L e e e dt e dts
es
t t st s t s t
0
1
0
1
0
1
1
1
1
L f t F s f t e dtst
0
Transformada y antitransformada de Laplace
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útilen el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativasradica en que la integración y la derivación se convierten en operaciones demultiplicación y de división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales eintegrales en pseudo ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Transformada y antitransformada de Laplace
Tabla de transformadas básicas de Laplace
Transformada y antitransformada de Laplace
Tabla de transformadas básicas de Laplace
Transformada y antitransformada de Laplace
Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformadainversa de Laplace o antitransformada de F(s), se calcula como:
Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuestautilizando tablas y el método de las fracciones parciales.
L F s f tj
F s e dsc j
c jst1 1
2
Transformada y antitransformada de Laplace
PROBLEMA PROPUESTO
Integración de ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se pueden integrar utilizando los métodosnuméricos habituales, o, aplicando la transformada de Laplace.
El procedimiento para integrar ecuaciones diferenciales mediante latransformada de Laplace consiste en:
• Aplicar la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial,teniendo en cuenta los valores de las condiciones iniciales.
•Despejar la transformada de la solución, y(s) .
•Calcular la transformada inversa de Laplace
Integración de ecuaciones diferenciales
PROBLEMA PROPUESTO
Convolución de dos funciones
En matemáticas una convolución es un operador matemático que transformados funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representala magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertidade g.
Se puede considerar que una convolución es un tipo muy general depromedio móvil.
La convolución de f y g se denota f * g. Se define como la integral delproducto de ambas funciones después desplazada una distancia τ.
Convolución de dos funciones
Gifs tomados de wikipedia
DISCUSIÓN Y ANÁLISIS
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