função trigonometrica
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Circunferência trigonométrica
É uma circunferência de orientada de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal.
Mas para isso devemos juntar a essa estrutura as seguintes convenções.De forma que poderemos definir como circunferência trigonométrica.
1) O ponto A (1, 0) é a origem de todos
os arcos a serem medidos na
circunferência.
2) Caso um arco for medido no sentido
horário, então a essa medida será
atribuído o sinal negativo ( - ).
3) Caso um arco for medido no sentido
anti-horário, então a essa medida será
atribuído o sinal positivo ( + ).
4) Os eixos coordenados dividem o
plano cartesiano em quatro regiões
denominadas quadrantes; esses
quadrantes são contados no sentido
anti-horário, a partir do ponto A.
Arcos Côngruos Dois arcos trigonométricos são côngruos quando têm a mesma origem e mesma extremidade.
Exemplo:
Levando-se em conta a circunferência trigonométrica a seguir:
Partindo do ponto A e girando duas voltas completas no sentido anti-horário, associamos as seguintes medidas aos pontos A, B, A’, B’:
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no
primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo
OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as
ordenadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da
circunferência, a o ângulo
correspondente ao arco AM e b o ângulo
correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação ao eixo OX
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no
primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes
pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são
simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o
ângulo correspondente ao arco AM e b o
ângulo correspondente ao arco AM'. Desse
modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação à origem
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no
primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes
pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o
ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo
correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns
ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e
aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples
observação no círculo trigonométrico.
Chamamos de função seno a função f: R → R que a cada número real x, associa o seno desse número:
f: R → R, f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ;visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 ≤ sen x ≤ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z.
Sinal da Função:
Como seno x é a ordenada do ponto-
extremidade do arco:
f(x) = sen x é positiva no 1 e 2
quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3 e 4
quadrantes (ordenada negativa)
Gráfico da função seno (senóide).
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico da função y = 2 senx.
2) Esboçar o gráfico da função y = 3+2sen x.
3) Esboçar o gráfico da função y = sen 2x.
4) Esboçar o gráfico da função y = sen (∏/2 – x).
Através de alguns exemplos, mostramos a influência de
cada coeficiente nas funções y = a (+-) b.sen (cx + d),
concluindo que:
o parâmetro c influencia no período da função que é
calculado por ;
o parâmetro b é a amplitude da curva, ou seja, a altura da
curva;
o parâmetro a é o responsável pelo deslocamento vertical
da curva, enquanto que d provoca translação no sentido
horizontal ;
a imagem é o intervalo [a - b , a + b] ;
se d = 0 , então o gráfico da função seno passa pelo ponto
(0, a) , enquanto que a função cosseno passa pelo ponto (0,
a + b) ou (0, a – b), dependendo do sinal do parâmetro b.
Sinais da função
Domínio: R
· Im(f) = [-1;1]
· A função é par: cosx = cos(-x)
· Crescente: 3o e 4o quadrante
· Decrescente: 1o e 2o quadrante
1Q: cosseno positivo
2Q: cosseno negativo
3Q: cosseno negativo
4Q: cosseno positivo
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO (cossenóide)
As alterações na função cosseno ocorrem quando promovemos operações no valor de cos x antes ou após o cálculo do valor de cosseno. Assim temos:
y = a (+ -) b cos(cx + d)
a = indica aumento na altura das ondas
gladiolação, amplitude.
b = indica alteração no período da função.
se b entre -1 e +1 _função aumenta período;
se b > 1 ou b < -1 _ período diminui
se b positivo _desenho normal;
se b negativo _gráfico rebate como espelho
c = provoca deslocamento horizontal da função.
se c > 0 _ desloca para esquerda ;
se c < 0 _ desloca para a direita
d = provoca deslocamento vertical da função.
se d > 0 - função sobe, se d < 0 _ função desce
Exemplos:
y = 2 cos x
y = 3 cos 2x
y = - 2cos x
y = -2 + 3cos x/2
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