função de transferência modelos entrada-saída · função de transferência modelos...

Função de TransferênciaModelos Entrada-Saída

Função de Transferência (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 63

Roteiro

1 Função de Transferência de Processos SISO2 Função de Transferência de Processos MISO3 Função de Transferência de Processos MIMO

Sem InteraçãoCom Interação

4 Pólos e Zeros de Função de TransferênciaModelo Ganho-Zero-Pólo

5 ExemplosTanque de NívelTanque de MisturaTanque de Mistura TérmicaTanques de Nível Sem InteraçãoTanques de Nível Com InteraçãoReator Bioquímico

6 Atividades Complementares

Função de Transferência de Processos SISO

A Função de Transferência relaciona a Transformada de Laplace deuma variável resposta (saída ou efeito) com a Transformada de Laplacede uma variável de entrada (perturbação ou manipulada ou carga oucausa). Ela é obtida a partir do modelo linear do processo, esquemati-zado como

P r o c e s s oS I S O

e n t r a d au ( t )

s a í d ay ( t )

e a seguinte equação diferencial da forma geral

andnydtn + an−1

dn−1ydtn−1 + · · ·+ a1

+ a0y = bu

onde y (i)(0) = y (i)(t = 0) = 0.

Função de Transferência de Processos SISOcontinuação

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equaçãodiferencial

ansnY (s) + an−1sn−1Y (s) + · · ·+ a1sY (s) + a0Y (s) = bU(s)

(ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0)Y (s) = bU(s)

Y (s)U(s) = G(s) = b

ansn+an−1sn−1+···+a1s+a0→ função de transferência

G ( s )e n t r a d aU ( s )

s a í d aY ( s )

a n s n + a n - 1 s n - 1 + . . . + a 1 s + a 0bU ( s ) Y ( s )

D i a g r a m a d e B l o c o s

Função de Transferência de Processos MISO

Para um processo MISO, o modelo linear é esquematizado pelo dia-grama

P r o c e s s oM I S Ou 2 ( t )

y ( t )u 1 ( t )

com a seguinte equação diferencial da forma geral, que agora apre-senta duas entradas, u1(t) e u2(t),

andnydtn + an−1

dn−1ydtn−1 + · · ·+ a1

+ a0y = b1u1 + b2u2

onde y (i)(0) = y (i)(t = 0) = 0.

Função de Transferência de Processos MISOcontinuação

Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados da equaçãodiferencial, e rearranjando

Y (s) =b1

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0︸︷︷︸G1(s)

U1(s) +

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0︸︷︷︸G2(s)

Y (s) = G1(s)U1(s) + G2(s)U2(s)

Y (s) =[G1(s) G2(s)

] [U1(s)U2(s)

]onde G1(s) e G2(s) são as 1×2 funções de transferências do processo

Função de Transferência de Processos MISOcontinuação

G 1 ( s )U 1 ( s )

G 2 ( s )U 2 ( s )

Y ( s )++

Função de Transferência de Processos MIMOsem interação

Para um processo MIMO, o modelo linear é esquematizado pelo dia-grama

P r o c e s s oM I M Ou 2 ( t )

y 1 ( t )u 1 ( t )y 2 ( t )

que agora apresenta duas saídas, y1(t) e y2(t), e duas entradas, u1(t)e u2(t).

Função de Transferência de Processos MIMOsem interação (continuação)

As seguintes equações diferenciais da forma geral são consideradas:

a1ndny1

dtn + a1(n−1)dn−1y1

dtn−1 + · · ·+ a11dy1

dt+ a10y1 =

b11u1 + b12u2

a2ndny2

dtn + a2(n−1)dn−1y2

dtn−1 + · · ·+ a21dy2

dt+ a20y2 =

b21u1 + b22u2

onde y (i)j (0) = y (i)

j (t = 0) = 0.

Função de Transferência de Processos MIMOsem interação (continuação)

Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados das equa-ções diferenciais, e rearranjando

Y1(s) =b11

a1nsn + a1(n−1)sn−1 + · · ·+ a11s + a10︸︷︷︸G11(s)

U1(s) +

a1nsn + a1(n−1)sn−1 + · · ·+ a11s + a10︸︷︷︸G12(s)

Y2(s) =b21

a2nsn + a2(n−1)sn−1 + · · ·+ a21s + a20︸︷︷︸G21(s)

U1(s) +

a2nsn + a2(n−1)sn−1 + · · ·+ a21s + a20︸︷︷︸G22(s)

Função de Transferência de Processos MIMOcom interação

As seguintes equações diferenciais simplificadas são consideradas:

dt+ a11y1 + a12y2 = b11u1 + b12u2

dt+ a21y1 + a22y2 = b21u1 + b22u2

onde y1(0) = y2(0) = y1(t = 0) = y2(t = 0) = 0.

Função de Transferência de Processos MIMOcom interação (continuação)

Após aplicar Transformada de Laplace em ambos os lados das equa-ções diferenciais, e rearranjando

sY1(s) + a11Y1(s) + a12Y2(s) = b11U1(s) + b12U2(s)

sY2(s) + a21Y1(s) + a22Y2(s) = b21U1(s) + b22U2(s)

(s + a11)Y1(s) + a12Y2(s) = b11U1(s) + b12U2(s)

a21Y1(s) + (s + a22)Y2(s) = b21U1(s) + b22U2(s)

Na forma matricial[(s + a11) a12

a21 (s + a22)

] [Y1(s)Y2(s)

[b11U1(s) + b12U2(s)b21U1(s) + b22U2(s)

Y1(s)Y2(s)

[(s + a11) a12

a21 (s + a22)

]−1 [b11U1(s) + b12U2(s)b21U1(s) + b22U2(s)

]A matriz inversa de[

(s + a11) a12a21 (s + a22)

[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)

](s + a11)(s + a22)− a12a21

Portanto,[Y1(s)Y2(s)

[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)

](s + a11)(s + a22)− a12a21

[b11U1(s) + b12U2(s)b21U1(s) + b22U2(s)

onde D(s) = (s + a11)(s + a22) − a12a21 é comum a Y1(s) e Y2(s),sendo chamado de polinômio característico.Assim,

Y1(s) =(s + a22)b11 − a12b21

D(s)︸︷︷︸G11(s)

U1(s) +(s + a22)b12 − a12b22

D(s)︸︷︷︸G12(s)

Y2(s) =(s + a11)b21 − a21b11

D(s)︸︷︷︸G21(s)

U1(s) +(s + a11)b22 − a21b12

D(s)︸︷︷︸G22(s)

Função de Transferência de Processos MIMOsem e com interação

Observe que em ambos os casos (sem e com interação) pode-se es-crever

Y1(s) = G11(s)U1(s) + G12(s)U2(s)

Y2(s) = G21(s)U1(s) + G22(s)U2(s)

Na forma matricial,[Y1(s)Y2(s)

]︸︷︷︸

[G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)

]︸︷︷︸

[U1(s)U2(s)

]︸︷︷︸

Y(s) = G(s)U(s)

onde G11(s), G12(s), G21(s) e G22(s) são as 2× 2 funções de transfe-rência do processo

Função de Transferência de Processos MIMOsem e com interação (continuação)

G 1 1 ( s )U 1 ( s )

G 2 1 ( s )

U 2 ( s )

Y 1 ( s )++

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s ) Y 2 ( s )+ +

e G(s) é a Matriz de Transferência ou Matriz Função de Transferênciado processo.

Função de Transferência de Processos MIMOestudo de caso

Tanque de Aquecimento com Agitação

G 1 1 ( s )F i 1 ( s )

G 2 1 ( s )

F s t ( s )

G 1 5 ( s )

G 2 5 ( s ) T ( s )+

T i 2 ( s )

G 1 4 ( s )

G 2 4 ( s )

G 1 2 ( s )T i 1 ( s )

G 2 2 ( s )

h ( s )+

G 1 3 ( s )F i 2 ( s )

G 2 3 ( s )

T s t ( s )

G 1 6 ( s )

G 2 6 ( s )

Função de Transferência de Processos MIMOestudo de caso: continuação

„h(s)T (s)

«| {z }

„G11(s) G12(s) G13(s) G14(s) G15(s) G16(s)G21(s) G22(s) G23(s) G24(s) G25(s) G26(s)

«| {z }

0BBBBBB@Fi1(s)Ti1(s)Fi2(s)Ti2(s)Fst(s)Tst(s)

1CCCCCCA| {z }

G11(s) =h(s)

Fi1(s)=

s + 0, 10

G12(s) =h(s)

Ti1(s)= 0

G13(s) =h(s)

Fi2(s)=

s + 0, 10

G14(s) =h(s)

Ti2(s)= 0

G15(s) =h(s)

Fst(s)= 0

G16(s) =h(s)

Tst(s)= 0

G21(s) =T (s)

Fi1(s)=−86, 52

s + 1, 30

G22(s) =T (s)

Ti1(s)=

s + 1, 30

G23(s) =T (s)

Fi2(s)=−84, 52

s + 1, 30

G24(s) =T (s)

Ti2(s)=

s + 1, 30

G25(s) =T (s)

Fst(s)=

190, 04

s + 1, 30

G26(s) =T (s)

Tst(s)=

s + 1, 30

Pólos e Zeros de Função de Transferência

Uma Função de Transferência é definida como

G(s) =Transformada de Laplace da saída

Transformada de Laplace da entrada=

A função de transferência descreve as características dinâmicas do sis-tema. Se U(s) é a transformada da função de entrada (perturbação oumanipulada), a resposta é simplesmente

Y (s) = G(s)U(s)

Diz-se que a função de transferência opera na função de entrada U(s)para produzir uma função de saída Y (s).

Modelo Ganho-Zero-Pólo

Pode-se representar uma função de transferência, G(s), como a razãoentre dois polinômios em s, N(s) e D(s). Após fatorá-los, é possívelre-escrever G(s) como um Modelo Ganho-Zero-Pólo, tal que

G(s) =N(s)

K (s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)

(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)

ondesistemas fisicamente realizáveis: a ordem de D(s) é sempremaior ou igual à ordem de N(s) (n ≥ m)

n ≥ m: função de transferência é dita próprian > m: função de transferência é dita estritamente própria

zeros do sistema ou da função de transferência: são as raízes dopolinômio N(s)

Modelo Ganho-Zero-Pólocontinuação

pólos do sistema ou da função de transferência: são as raízes dopolinômio D(s)

funções de transferência de fase mínima: não apresentam pólos ouzeros no semi-plano direito do plano sfunções de transferência de fase não mínima: apresentam pólos ouzeros no semi-plano direito do plano s

Função de Transferência

ExemploObtenha a função de transferência de um tanque de nível de seção retauniforme de área A = 0, 3 m2, ao qual é adaptado uma resistência aofluxo. Suponha que a vazão volumétrica F , através da resistência, serelaciona com a altura de líquido h pela relação F = 8

√h. Uma vazão

volumétrica Fo de líquido e massa específica constante ρ alimenta otanque. Considere, para efeito de análise, os níveis médios de opera-ção de hs = 1 e 3 m de altura de líquido.

Exemplo (continuação)

h( A ) hkF =

Figura: Tanque de nível

Solução

Modelo Linearizado

A− k

hsh, h(0) = 0

Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados daequação e resolvendo a equação resultante no domínio daTransformada:

sH(s)− h(0)︸︷︷︸=0

hsH(s) =

k2A√

)H(s) =

Fo(s) ⇒ H(s) =1A

s + k2A√

Função de Transferênciacontinuação

Função de TransferênciaA relação entre a variável de saída, H(s) e a variável de entrada,Fo(s) é chamada de Função de Transferência entre H(s) e Fo(s):

Gp(s) =H(s)

Fo(s)=

s + k2A√

hsk s + 1

τps + 1, onde

Kp =2√

ke τp =

Condições estacionárias1 hs = 1 m → Kp = 0, 25 m/(m3/min) e τp = 0, 075 min2 hs = 3 m → Kp = 0, 43 m/(m3/min) e τp = 0, 130 min

Observe que Kp e τp dependem das condições de operaçãoestacionária.Diagrama de Blocos

G p ( s )e n t r a d aF o ( s )

s a í d aH ( s )

ExemploObtenha a função de transferência de um tanque de mistura de vo-lume constante V , do qual uma corrente contendo sal dissolvido escoacom uma vazão volumétrica constante F . Uma corrente de líquido comconcentração de sal Co alimenta o tanque.

C( V )

Figura: Tanque de mistura

Solução

Modelo Linear

(Co − C), C(0) = 0

sC(s)− C(0)︸︷︷︸=0

C(s) =FV

)C(s) =

Co(s) ⇒ C(s) =FV

s + FV

Função de TransferênciaA relação entre a variável de saída, C(s) e a variável de entrada,Co(s) é chamada de Função de Transferência entre C(s) e Co(s):

Gp(s) =C(s)

Co(s)=

s + FV

VF s + 1

τps + 1, onde

Kp = 1 e τp =VF

Diagrama de Blocos

G p ( s )e n t r a d aC o ( s )

s a í d aC ( s )

ExemploObtenha a função de transferência de um tanque de mistura térmicade volume constante V , do qual uma corrente escoa com uma vazãovolumétrica constante F . Uma corrente de líquido com temperatura Toalimenta o tanque.

T( V )

Figura: Tanque de mistura térmica

Solução

Modelo Linear

(To − T ), T (0) = 0

sT (s)− T (0)︸︷︷︸=0

T (s) =FV

)T (s) =

To(s) ⇒ T (s) =FV

s + FV

Função de TransferênciaA relação entre a variável de saída, T (s) e a variável de entrada,To(s) é chamada de Função de Transferência entre T (s) e To(s):

Gp(s) =T (s)

To(s)=

s + FV

VF s + 1

τps + 1, onde

Kp = 1 e τp =VF

Diagrama de Blocos

G p ( s )e n t r a d aT o ( s )

s a í d aT ( s )

Função de Transferência e Sistemas Sem Interação

ExemploDetermine as funções de transferência do sistema representado pordois tanques sem interação, onde F1 = K1

√h1 e F2 = K2

√h2. Desenhe

o diagrama de blocos desse sistema.

Exemplo (continuação)F i

T a n q u e 1 F 3

h 2F 2

T a n q u e 2

Figura: Tanques de nível sem interação

Solução

Modelo Linearizado

A1h−1/2

)︸︷︷︸

Fi , h1(0) = 0

A2h−1/2

)︸︷︷︸

A2h−1/2

)︸︷︷︸

F3, h2(0) = 0

Função de Transferência e Sistemas Sem Interaçãocontinuação

Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados dasequações e resolvendo as equações resultantes no domínio daTransformada:

sH1(s)− h1(0)︸︷︷︸=0

+a11H1(s) = b11Fi(s)

sH2(s)− h2(0)︸︷︷︸=0

+a22H2(s) = a21H1(s) + b22F3(s)

{(s + a11)H1(s) = b11Fi(s)(s + a22)H2(s) = a21H1(s) + b22F3(s){

H1(s) = b11s+a11

H2(s) = a21s+a22

H1(s) + b22s+a22

Função de TransferênciaAs Funções de Transferência são:

Gp1(s) =H1(s)

Fi(s)=

s + a11=

b11a11

s + 1=

τp1s + 1, onde

Kp1 =b11

K1e τp1 =

2A1√

Gp2(s) =H2(s)

H1(s)=

s + a22=

a21a22

s + 1=

τp2s + 1, onde

Kp2 =a21

h1se τp2 =

2A2√

Gp3(s) =H2(s)

F3(s)=

s + a22=

b22a22

s + 1=

τp3s + 1, onde

Kp3 =b22

K2e τp3 =

2A2√

Diagrama de Blocos

G p 1 ( s )F i ( s ) G p 2 ( s )

G p 3 ( s ) H 2 ( s )F 3 ( s )

H 1 ( s )

G p 4 ( s )A Função de Transferência entre H2(s) e Fi(s) é dada por

Gp4(s) =H2(s)

Fi(s)=

Fi(s)· H2(s)

H1(s)= Gp1(s) ·Gp2(s) =

τp1s + 1·

τp2s + 1

Função de Transferência e Sistemas Com Interação

ExemploDetermine as funções de transferência do sistema representado pordois tanques com interação, onde F1 = K1

√h1 − h2 e F2 = K2

√h2.

Desenhe o diagrama de blocos desse sistema.

T a n q u e 1

h 1 h 2 F 2A 1 A 2

T a n q u e 2

K 1 K 2

Figura: Tanques de nível com interação

SoluçãoModelo Linearizado

A1(h1s − h2s)

−1/2]

︸︷︷︸a11

A1(h1s − h2s)

−1/2]

︸︷︷︸a12

)︸︷︷︸

Fi , h1(0) = 0

A2(h1s − h2s)

−1/2]

︸︷︷︸a21

A2(h1s − h2s)

−1/2 +12

A2h−1/2

]︸︷︷︸

)︸︷︷︸

F3, h2(0) = 0

Função de Transferência e Sistemas Com Interaçãocontinuação

Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados dasequações:

sH1(s)− h1(0)︸︷︷︸=0

+a11H1(s) + a12H2(s) = b11Fi(s)

sH2(s)− h2(0)︸︷︷︸=0

+a21H1(s) + a22H2(s) = b22F3(s)

{(s + a11)H1(s) + a12H2(s) = b11Fi(s)a21H1(s) + (s + a22)H2(s) = b22F3(s)

Função de TransferênciaResolvendo as equações resultantes na forma matricial e nodomínio da Transformada:[

(s + a11) a12a21 (s + a22)

] [H1(s)H2(s)

[b11Fi(s)b22F3(s)

[H1(s)H2(s)

[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)

](s + a11)(s + a22)− a12a21

[b11Fi(s)b21F3(s)

]onde o polinômio característico é igualD(s) = (s + a11)(s + a22)− a12a21.

Função de TransferênciaAssim, as Funções de Transferência são:

H1(s) =(s + a22)b11

D(s)︸︷︷︸G11(s)

Fi(s) +−a12b22

D(s)︸︷︷︸G12(s)

H2(s) =−a21b11

D(s)︸︷︷︸G21(s)

Fi(s) +(s + a11)b22

D(s)︸︷︷︸G22(s)

Diagrama de Blocos

G 1 1 ( s )F i ( s )

G 2 1 ( s )

F 3 ( s )

H 1 ( s )++

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s ) H 2 ( s )+ +

Espaço de Estados LTI e Função de Transferência

Exemplo: Reator BioquímicoObtenha a representação em espaço de estados LTI e função de trans-ferência do reator bioquímico tanque-contínuo com mistura perfeita-mente agitada e volume constante

V F SX

Espaço de Estados LTI e Função de Transferência

Solução

Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)

= (µ− D)X , X (0) = Xs

= (Sf − S)D − µXY

, S(0) = Ss

com µ =µmáxS

km + S + k1S2

Espaço de Estados LTI e Função de Transferênciacontinuação

Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)

x =dxdt

= f(x, u), x0(0) = xs

y = h(x, u)

onde f = [f1 f2]T , x = [X S]T , u = [D Sf ]T , y = [X S]T e

= (µ− D)X ⇒ f1 = (µ− D)X

= (Sf − S)D − µXY

⇒ f2 = (Sf − S)D − µXY

Modelo Linear: LTI

x =dxdt

= Ax + Bu, x0(0) = 0

y = Cx

onde x, u e y são variáveis-desvio e aij = ∂fi∂xj

)s, bij = ∂fi

cij = ∂hi∂xj

Assim,A(2×2):

a11 =∂f1∂X

= µs − Ds e a12 =∂f1∂S

=∂µ

a21 =∂f2∂X

= −µs

Ye a22 =

∂f2∂S

= −Ds −∂µ∂S

B(2×2):

b11 =∂f1∂D

= −Xs e b12 =∂f1∂Sf

b21 =∂f2∂D

= Sfs − Ss e b22 =∂f2∂Sf

C(2×2): C = I

Desta forma,

= (µs − Ds)︸︷︷︸a11

[∂µ

]︸︷︷︸

S + (−Xs)︸︷︷︸b11

D, X (0) = 0

=(−µs

)︸︷︷︸

−Ds −∂µ∂S

︸︷︷︸

S + (Sfs − Ss)︸︷︷︸b21

D + (Ds)︸︷︷︸b22

S(0) = 0

com∂µ

=µmáx(km − k1S2

(km + Ss + k1S2s )2

Função de TransferênciaAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados dasequações:

sX (s)− X (0)︸︷︷︸=0

+a11X (s) + a12S(s) = b11D(s)

sS(s)− S(0)︸︷︷︸=0

+a21X (s) + a22S(s) = b21D(s) + b22Sf (s)

{(s + a11)X (s) + a12S(s) = b11D(s)a21X (s) + (s + a22)S(s) = b21D(s) + b22Sf (s)

Função de TransferênciaResolvendo as equações resultantes na forma matricial e nodomínio da Transformada:[

(s + a11) a12a21 (s + a22)

] [X (s)S(s)

[b11D(s)

b21D(s) + b22Sf (s)

[X (s)S(s)

[(s + a22) −a12−a21 (s + a11)

](s + a11)(s + a22)− a12a21

[b11D(s)

b21D(s) + b22Sf (s)

]onde o polinômio característico é igualDEN(s) = (s + a11)(s + a22)− a12a21.

Função de TransferênciaAssim, as Funções de Transferência são:

X (s) =(s + a22)b11 − a12b21

DEN(s)︸︷︷︸G11(s)

D(s) +−a12b22

DEN(s)︸︷︷︸G12(s)

Sf (s)

S(s) =−a21b11 + (s + a11)b21

DEN(s)︸︷︷︸G21(s)

D(s) +(s + a11)b22

DEN(s)︸︷︷︸G22(s)

Sf (s)

Diagrama de Blocos

G 1 1 ( s )D ( s )

G 2 1 ( s )

S f ( s )

X ( s )++

G 1 2 ( s )

G 2 2 ( s ) S ( s )+ +

Estado Estacionário ("Steady-State")

parâmetros:µmáx = 0, 53 h−1

km = 0, 12 g/lk1 = 0, 4545 l/gY = 0, 4

especificações:Ds = 0, 3 h−1

Sfs = 4, 0 g/l

Como resultado do sistema de equações (solução não trivial e estável):Xs = 1, 5302 g/l e Ss = 0, 1745 g/l

Modelo LTIObtém-se as seguintes matrizes do sistema

(0 0, 90

−0, 75 −2, 56

(−1, 53 03, 82 0, 30

O modelo LTI fica, então, igual a(XS

)︸︷︷︸

(0 0, 90

−0, 75 −2, 56

)︸︷︷︸

(−1, 53 03, 82 0, 30

)︸︷︷︸

, x0 = 0

)︸︷︷︸

(1 00 1

)︸︷︷︸

Modelo Função de Transferência

Obtém-se a seguinte Matriz Função de Transferência, G(s), utilizandoas instruções no MATLABsysss=ss(A,B,C,D) % cria modelo em espaço de estado

systf=tf(sysss) % cria modelo em função de transferência

que calculaY(s) = [C(s − A)−1B + D︸︷︷︸

O modelo Função de Transferência fica, então, igual a(X (s)S(s)

)︸︷︷︸

(G11(s) G12(s)G21(s) G22(s)

)︸︷︷︸

(D(s)Sf (s)

)︸︷︷︸

Modelo Função de Transferência

G11(s) =X (s)

−1, 53s − 0.46s2 + 2, 56s + 0, 68

G12(s) =X (s)

Sf (s)=

0, 27s2 + 2, 56s + 0, 68

G21(s) =S(s)

3, 82s + 1, 15s2 + 2, 56s + 0, 68

G22(s) =S(s)

Sf (s)=

0, 30ss2 + 2, 56s + 0, 68

Leitura I

Leitura Complementar

Próxima aula:

apostila do Prof. Wua, capítulos 10 e 11 (volume I).

livro do Stephanopoulosb, capítulos 10 e 11.

livro do Seborg et al.c , capítulo 5.

aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory andPractice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.

cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st

Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.

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