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Faturamento de Restaurantes

Gilberto A. Paula

Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil

giapaula@ime.usp.br

2o Semestre 2016

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 1 / 29

Faturamento de Restaurantes

Sumário

1 Faturamento de Restaurantes

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Linear Normal

4 Ajuste Modelo Duplo

5 Conclusões

6 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 2 / 29

Faturamento de Restaurantes

Faturamento de Restaurantes

Descrição dos Dados

Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29

Faturamento de Restaurantes

Faturamento de Restaurantes

Descrição dos Dados

Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:

faturamento anual (em mil USD)

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29

Faturamento de Restaurantes

Faturamento de Restaurantes

Descrição dos Dados

Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:

faturamento anual (em mil USD)

gasto anual com publicidade (em mil USD).

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29

Faturamento de Restaurantes

Faturamento de Restaurantes

Descrição dos Dados

Como ilustração de dados heteroscedásticos vamos considerar umaamostra aleatória de 30 restaurantes em que observou-se para cadaum as seguintes variáveis aleatórias:

faturamento anual (em mil USD)

gasto anual com publicidade (em mil USD).

O objetivo principal do estudo é tentar relacionar o faturamento médioanual com o gasto anual com publicidade (Montgomery, Peck e Vining,2001, Seção 5.5).

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 3 / 29

Análise de Dados Preliminar

Sumário

1 Faturamento de Restaurantes

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Linear Normal

4 Ajuste Modelo Duplo

5 Conclusões

6 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 4 / 29

Análise de Dados Preliminar

Medidas Resumo

Descrição

Medida Faturamento G. Publicidaden 30 30Média 147,10 12,13D.Padrão 42,13 5,12CV 28,6% 42,2%

Mínimo 72,34 3,001o Quartil 117,70 8,93Mediana 147,00 12,463o Quartil 180,30 15,19Máximo 218,70 19,50

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 5 / 29

Análise de Dados Preliminar

Boxplot Faturamento Anual

10

01

50

20

0

Fa

tura

me

nto

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 6 / 29

Análise de Dados Preliminar

Boxplot Gastos com Publicidade

51

01

52

0

Ga

sto

s P

ublic

ida

de

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 7 / 29

Análise de Dados Preliminar

Dispersão Faturamento versus Publicidade

5 10 15 20

100

150

200

Gastos Publicidade

Fatu

ram

ento

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 8 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Sumário

1 Faturamento de Restaurantes

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Linear Normal

4 Ajuste Modelo Duplo

5 Conclusões

6 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 9 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Modelo Linear Normal

Descrição

Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Modelo Linear Normal

Descrição

Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo deregressão linear:

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Modelo Linear Normal

Descrição

Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo deregressão linear:

yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Modelo Linear Normal

Descrição

Nota-se indícios de aumento do faturamento com o aumento do gastocom publicidade. Essa tendência sugere o seguinte modelo deregressão linear:

yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,

para i = 1, . . . , 30, em que yi denota o faturamento anual do i-ésimo

restaurante com ǫiiid∼ N(0, σ2).

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 10 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Modelo Ajustado

Descrição das Estimativas

Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-PConstante 49,443 4,289 11,53 0,00Publicidade 8,048 0,326 24,68 0,00R2 0,955R2-ajustado 0,954s 9,0F 607,5 (1 e 28 g.l.) 0,00

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 11 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Modelo Ajustado

Descrição das Estimativas

Efeito Estimativa E. Padrão valor-t valor-PConstante 49,443 4,289 11,53 0,00Publicidade 8,048 0,326 24,68 0,00R2 0,955R2-ajustado 0,954s 9,0F 607,5 (1 e 28 g.l.) 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 11 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Análise de Diagnóstico

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Índice

Med

ida

h

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Índice

Dis

tânc

ia d

e C

ook

29

0 5 10 15 20 25 30

−3−2

−10

12

3

Índice

Res

íduo

Pad

roni

zado

80 100 120 140 160 180 200

−3−2

−10

12

3

Valor Ajustado

Res

íduo

Pad

roni

zado

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 12 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Análise de Resíduos

−2 −1 0 1 2

−3−2

−10

12

3

Percentil da N(0,1)

Res

iduo

Stu

dent

izad

o

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 13 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Análise do Ajuste

Comentários

Embora o ajuste mostra-se adequado através da análise de resíduos,nota-se pelo último gráfico indícios de que a variância dos erros não éconstante.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 14 / 29

Ajuste Modelo Linear Normal

Análise do Ajuste

Comentários

Embora o ajuste mostra-se adequado através da análise de resíduos,nota-se pelo último gráfico indícios de que a variância dos erros não éconstante. Há um aumento no valor do resíduo com o aumento novalor ajustado.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 14 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Sumário

1 Faturamento de Restaurantes

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Linear Normal

4 Ajuste Modelo Duplo

5 Conclusões

6 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 15 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Normal Duplo

Descrição

A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Normal Duplo

Descrição

A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:

yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Normal Duplo

Descrição

A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:

yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,

para i = 1, . . . , 30, em que yi denota o faturamento anual do i-ésimo

restaurante e ǫiind∼ N(0, σ2

i ) com

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Normal Duplo

Descrição

A tendência detectada na análise de diagnóstico sugere o seguintemodelo alternativo:

yi = β1 + β2 × publicidadei + ǫi ,

para i = 1, . . . , 30, em que yi denota o faturamento anual do i-ésimo

restaurante e ǫiind∼ N(0, σ2

i ) com

logσ2i = γ1 + γ2 × publicidadei ,

sendo β1, β2, γ1 e γ2 os parâmetros a serem estimados.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 16 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MV

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MV

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MV

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

Estimativas para a Variância

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,516 0,674 3,73 0,00Publicidade 0,135 0,051 2,65 0,00

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MV

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 51,020 2,709 18,83 0,00Publicidade 7,898 0,273 28,93 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

Estimativas para a Variância

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,516 0,674 3,73 0,00Publicidade 0,135 0,051 2,65 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 17 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MVR

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MVR

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MVR

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

Estimativas para a Variância

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,641 0,766 3,45 0,00Publicidade 0,130 0,057 2,27 0,02

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Estimativas Modelo Ajustado MVR

Estimativas para a Média

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 50,984 2,748 18,55 0,00Publicidade 7,902 0,274 28,88 0,00

Os coeficientes são marginalmente significativos.

Estimativas para a Variância

Efeito Estimativa E. Padrão Valor-z Valor-PConstante 2,641 0,766 3,45 0,00Publicidade 0,130 0,057 2,27 0,02

Os coeficientes são marginalmente significativos.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 18 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Análise de Diagnóstico Média

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Índice

Distâ

ncia

de C

ook

1

80 100 140 180

−3−2

−10

12

3

Valor Ajustado

Resíd

uo S

tude

ntiza

do

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 19 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Análise de Resíduos Média

−2 −1 0 1 2

−3−2

−10

12

Percentil da N(0,1)

Res

íduo

Stu

dent

izad

o

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 20 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Análise de Diagnóstico Variância

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Índice

Dis

tânc

ia d

e C

ook 1

15

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 21 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Análise de Resíduos Variância

−2 −1 0 1 2

−4−2

02

Percentil da N(0,1)

Res

íduo

Com

pone

nte

do D

esvi

o

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 22 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Observações Influentes

Comentários

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Observações Influentes

Comentários

A observação #1 aparece como possivelmente influente nasestimativas do modelo para a média.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Observações Influentes

Comentários

A observação #1 aparece como possivelmente influente nasestimativas do modelo para a média.

As observações #1 e #15 aparecem como possivelmenteinfluentes nas estimativas do modelo para a variância.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Observações Influentes

Comentários

A observação #1 aparece como possivelmente influente nasestimativas do modelo para a média.

As observações #1 e #15 aparecem como possivelmenteinfluentes nas estimativas do modelo para a variância.

A eliminação individual das observações não muda a inferência,todos os coeficientes continuam significativos.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 23 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Ajustado MV

Ajuste para a Média

µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Ajustado MV

Ajuste para a Média

µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,

em que µ̂(publicidade) denota o valor predito de faturamento para ogasto com publicidade.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Ajustado MV

Ajuste para a Média

µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,

em que µ̂(publicidade) denota o valor predito de faturamento para ogasto com publicidade.

Ajuste para a Variância

σ̂2(publicidade) = exp(2, 516 + 0, 135 × publicidade),

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Modelo Ajustado MV

Ajuste para a Média

µ̂(publicidade) = 51, 020 + 7, 898 × publicidade,

em que µ̂(publicidade) denota o valor predito de faturamento para ogasto com publicidade.

Ajuste para a Variância

σ̂2(publicidade) = exp(2, 516 + 0, 135 × publicidade),

em que σ̂2(publicidade) denota o valor predito para a variância dofatumento para o gasto com publicidade.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 24 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Interpretação das Estimativas MV

Estimativas para a Média

Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidadeespera-se aumento de 7898 USD no faturamento anual dorestaurante.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 25 / 29

Ajuste Modelo Duplo

Interpretação das Estimativas MV

Estimativas para a Média

Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidadeespera-se aumento de 7898 USD no faturamento anual dorestaurante.

Estimativas para a Variância

Para cada aumento de 1000 USD no gasto anual com publicidadeespera-se aumento de 14,5% (exp(0,135)×100%) na variância dofaturamento anual.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 25 / 29

Conclusões

Sumário

1 Faturamento de Restaurantes

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Linear Normal

4 Ajuste Modelo Duplo

5 Conclusões

6 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 26 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidadeatravés do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustadodo modelo homocedástico.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidadeatravés do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustadodo modelo homocedástico.

O ajuste do modelo duplo, em que a média e a variância sãoajustados conjuntamente, mostra-se mais adequado confirmandoa dependência do faturamento médio anual bem como davariância do faturamento anual com o gasto anual compublicidade.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29

Conclusões

Conclusões

Considerações Finais

Este é um exemplo em que há indícios de heteroscedasticidadeatravés do gráfico do resíduo padronizado contra o valor ajustadodo modelo homocedástico.

O ajuste do modelo duplo, em que a média e a variância sãoajustados conjuntamente, mostra-se mais adequado confirmandoa dependência do faturamento médio anual bem como davariância do faturamento anual com o gasto anual compublicidade.

Os métodos de máxima verossimilhança e máximaverossimilhança restrita levam a resultados numéricos muitoparecidos e aos mesmos resultados inferenciais.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 27 / 29

Referências

Sumário

1 Faturamento de Restaurantes

2 Análise de Dados Preliminar

3 Ajuste Modelo Linear Normal

4 Ajuste Modelo Duplo

5 Conclusões

6 Referências

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 28 / 29

Referências

Referências

Referências

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 29 / 29

Referências

Referências

Referências

Montgomery, D. C.; Peck, E. A. e Vining, G. G. (2001).Introduction to Linear Regression Analysis, Third Edition.Hoboken: Wiley.

G. A. Paula (IME-USP) Faturamento de Restaurantes 2o Semestre 2016 29 / 29